Tính liên tục của ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều

Mục đích của bài báo viết này là nghiên cứu tính C-liên tục trên và tính C-liên tục dưới của ánh xạ đa trị trong các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff dưới ngôn ngữ của một nón lồi (hoặc nón lồi đóng) có phần trong khác rỗng.

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU Nhận bài: 28 – 09 – 2015 Chấp nhận đăng: 30 – 11 – 2015 http://jshe.ued.udn.vn/ Trần Văn Sự Tóm tắt: Mục đích báo nghiên cứu tính C-liên tục tính C-liên tục ánh xạ đa trị khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff ngơn ngữ nón lồi (hoặc nón lồi đóng) có phần khác rỗng Cụ thể, Mệnh đề 3.1, cung cấp điều kiện cần để đồ thị ánh xạ đa trị xác định có phần khơng rỗng Trong Mệnh đề 3.2, nghiên cứu ánh xạ đa trị C-bị chặn lân cận xác định Trong Định lí 3.3, 3.5, 3.6 Hệ 3.7, 3.8, đưa điều kiện cần để ánh xạ đa trị C-nửa liên tục (viết đơn giản C-u.s.c) hay C-nửa liên tục (viết đơn giản C-l.s.c) Trong Định lí 3.4, cung cấp điều kiện cần đủ ánh xạ đa trị C-bị chặn điểm cho trước Từ khóa: Tính liên tục ánh xạ đa trị; Khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff; C-bị chặn; C-tựa lồi dưới; C-u.s.c; C-l.s.c Giới thiệu Giải tích đa trị vấn đề cho nghiên cứu toán học, chúng xuất lâu khoảng năm 30 kỷ XX Nó có nhiều ứng dụng toán học lý thuyết tối ưu lý thuyết điều khiển (xem [4]) Vấn đề quan tâm ngành giải tích đa trị nghiên cứu tồn nghiệm cho toán tối ưu đa trị, toán tựa cân mà tính liên tục hay tính bị chặn theo nón thứ tự hàm đối tượng giữ vai trị quan trọng Trong giải tích hàm, tốn tử tuyến tính muốn liên tục điểm cần tốn tử bị chặn câu hỏi nảy sinh lúc là: Khi ánh xạ đa trị nửa liên tục (dưới) theo nón thứ tự tính nửa liên tục theo nón thứ tự ánh xạ đa trị có quan hệ với tính bị chặn theo nón thứ tự Hơn nữa, biết rằng, ánh xạ đa trị khơng thể bị chặn theo nón thứ tự không gian vô hạn chiều được, nhiên ánh xạ đa trị nửa liên tục theo nón thứ tự có thêm tính chất compact xảy điều * Liên hệ tác giả Trần Văn Sự Trường Đại học Quảng Nam Email: tranuu63@gmail.com 16 | Vì báo này, chúng tơi lựa chọn chủ để tính liên tục ánh xạ đa trị không gian vô hạn chiều để tiến hành nghiên cứu cụ thể vấn đề nêu bên Cơ sở lý thuyết kết liên quan 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Các định nghĩa (i) Cho X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, C nón Y, D tập khác rỗng X F : D  X → Y Y ánh xạ đa trị (ở ký hiệu thay cho họ tất tập Y) Cho A tập khác rỗng Y Nhắc lại rằng, x  A điểm hữu hiệu Ideal A tương ứng với C y  x + C với y A Tập tất điểm hữu hiệu Ideal A ký hiệu IMin(A |C) Tập C  Y gọi nón Y tc  C với c  C , t  Nếu tập C có tính chất T ta nói C nón có tính chất T Miền ánh xạ đa trị F ký hiệu domF:={ x  D | F ( x )   } (ii) Ánh xạ đa trị F gọi C-tựa lồi D tập D lồi X x, y  D , t  [0,1] ta có Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 5, số 4B(2015), 16-20 ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 5, số 4B(2015), 45-49 F (tx + (1 − t ) y )  F ( x) − C 2.2.2 Bổ đề [1] Cho C nón lồi đóng Y F (tx + (1 − t ) y )  F (y) − C F : D → 2Y ánh xạ đa trị compact Khi (iii) Ánh xạ đa trị F gọi C-bị chặn với W lân cận Y, tồn số thực t>0 cho F ( D )  tW + C Tập A  Y gọi C-bị chặn với W lân cận Y, tồn số thực t>0 cho A  tW + C (iv) Ánh xạ đa trị F gọi compact F(D) tập compact tương đối Y, nghĩa bao đóng F(D) compact (v) Ánh xạ đa trị F gọi C-u.s.c (t.ư C-l.s.c) điểm xo  D, với W lân cận Y, tồn U lân cận điều kiện (*) (  x → x0 , y  F ( x ) + C , y → y0  y0  F ( x0 ) + C ) đúng, F C-u.s.c điểm x0 x0 với F (x )   Ngược lại, F C-u.s.c F (x ) + C đóng lại thu kết (*) 2.2.3 Bổ đề [2] Cho C nón lồi Y với phần khác rỗng Khi đó: C + C = C, x0 cho: C + int C = int C , tC  C ( t  ) F ( x)  F ( xo ) + W + C ( F ( xo )  F ( x) + W − C ) với x  U  domF (vi) Ánh xạ đa trị F gọi C-u.s.c (t.ư, C-l.s c) F C-u.s.c (t.ư, C-l.s.c) điểm x0  D Ánh xạ đa trị F gọi C-liên tục F C-u.s.c F C-l.s.c điểm x0  D 2.1.2 Các ý Các ký hiệu C-u.s.c thay cho tính C nửa liên tục ánh xạ đa trị F C-l.s.c thay cho tính C nửa liên tục ánh xạ đa trị F Từ trở đi, khơng có mô tả khác, giả sử X, Y, A, D, C F mô tả giới thiệu bên 2.2 Các kết liên quan đến báo Trong mục này, giới thiệu số kết quan trọng cần thiết cho chứng minh trang giấy Bạn đọc xem chứng minh chi tiết tài liệu tham khảo [1] [2] cuối báo 2.2.1 Bổ đề [2, 3] Giả sử Y thứ tự nón C y  A  Y Sự tương đương sau : y  IMin( A | C )  A  y + C  x − y C ( x  A) Kết báo Sau giới thiệu số kết tính liên tục bị chặn ánh xạ đa trị F không gian lồi địa phương X, Y theo ngơn ngữ nón lồi (có thể đóng) với phần không rỗng 3.1 Mệnh đề Cho X, Y khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D tập khác rỗng chứa X Y thứ tự nón lồi C có phần khác rỗng Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y Ký hiệu EPI ( F ) = { (x,  )  D  Y | F ( x)   + C }, Khi int (EPI(F))   tồn lân cận U điểm x0 nằm tập xác định D cho IMin( F (U ) | C )   Chứng minh: Gọi U lân cận điểm x0 D cho IMin( F (U ) | C )   Lấy tiếp phần tử   IMin( F (U ) | C ), theo kết Bổ đề 2.2.1 ta có F (U )   + C Tiếp theo ta đặt V = {(x, z)  D  Y:x  U,   z+intC} Chúng V   , ta chứng minh tập V  EPI ( F ) V mở D  Y 0 17 Trần Văn Sự Thật vậy, nón lồi C có phần khác rỗng, nên ta lấy phần tử e thuộc int(C) đặt z = αo - e, hiển nhiên ta ln có (U , z )  V Điều suy tập V   Lấy tuỳ ý (x, z) V , tồn lân cận mở U0 x D nữa, theo giả thiết ta có int(C) khơng rỗng, tồn lân cận dãy tuỳ ý F(xβ) + C hội tụ y0 Chúng ta phải y0  F ( x) + C Theo Tấn Lin[1] F C-u.s.c 1  cho x  U với   1 Lấy tùy ý điểm mở V0 z cho (U , V0 )  V Suy V tập 0 y  F ( x)  IMin( F (U ) | C ),  V , ta mở Cuối cùng, lấy tuỳ ý cặp (x, z) x Thật vậy, ta có x → x nên tồn Thì y  F ( x) , F (U )  y + C Với có x  U   z + int(C ) nên dễ dàng suy   1 , ta có y  F ( x ) + C  F (U ) + C Suy kết sau y  y + C   1 Vì y + C đóng Y C F ( x)   + C = ( − z ) + z + C nón đóng nên cho  z + int(C ) + C = z + int(C)  z + C C nón lồi Y Vậy, ta chứng minh ( x, z )  EPI ( F ) Điều int(EPI(F))   Mệnh đề 3.1 chứng minh  → + ta y0  y + C Từ suy y0  F ( x ) + C Vậy F C-u.s.c x Định lí 3.1 chứng minh đầy đủ 3.4 Định lí Cho D tập khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D → ánh xạ đa trị C-u.s.c, C  Y nón lồi Y Y xong 3.2 Mệnh đề Với giả thiết xác định Mệnh đề 3.1 Giả sử tồn lân cận U D cho IMin( F (U ) | C )   Khi F(U) C-bị chặn Y x0  D  domF Khi F C-bị chặn x0 F C-bị chặn lân cận x0 D   IMin( F (U ) | C ) t > số thực dương Chứng minh: Chiều ngược lại Định lí 3.4 hiển nhiên Chúng ta chứng minh chiều thuận Giả sử F C-bị chặn x0, với W lân cận lồi cho với W lân cận gốc Y, ta có gốc Y, tồn t0 > cho F ( x0 )  t0 W + C Chứng minh: Thật vậy, lấy tuỳ ý  tW Theo định nghĩa điểm hữu hiệu Ideal nón C, kéo theo F (U )  tW + C Vậy F(U) C-bị chặn Y Mệnh đề 3.2 chứng minh xong 3.3 Định lí Cho D tập khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F : D → 2Y ánh xạ đa trị, C  Y nón lồi đóng Y ánh xạ đa trị F compact Giả sử tồn lân cận U điểm x  D cho F ( x)  IMin( F (U ) | C )   Khi F C-u.s.c x Chứng minh: Chúng ta áp dụng Bổ đề 2.2.2 nêu phần giới thiệu cho chứng minh Định lí 3.1 sau: Gọi xβ dãy tuỳ ý D hội tụ 18 x yβ Mặc khác, F C-u.s.c nên F C-u.s.c x0, với W lân cận lồi gốc Y (vẫn chọn lân cận lồi W trên), tồn U lân cận x0 D cho F ( x)  F ( xo ) + W + C với x  U  domF Suy F ( x )  t0 W + W + C nón C lồi Y Do cách chọn W tập lồi C nón lồi giả thiết nên suy F ( x )  tW + C với t:=t0+1 Điều với x  U  domF Vậy F C-bị chặn lân cận U x0 D Định lí 3.4 chứng minh xong 3.5 Định lí Cho D tập lồi cân đối X Giả sử Y thứ tự nón lồi C F : D → 2Y ánh xạ đa trị C-tựa lồi D với ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 5, số 4B(2015), 45-49  F (x) − C  x  D Khi đó, F (-C)- bị chặn lân cận U D F C-l.s.c U Chứng minh: Giả sử U lân cận D cho F (-C)-bị chặn U Vì D cân đối nên ta xem U cân đối Lấy điểm x0 U tuỳ ý Gọi W lân cận tuỳ ý gốc Y, theo định nghĩa tồn số thực t0>0 cho l.s.c U mà điều tương đương với F (-C)-l.s.c U Theo định nghĩa tính C-u.s.c, ta khẳng định F C-u.s.c U chứng minh đầy đủ 3.7 Hệ Dưới giả thiết Định lí 3.3 nón lồi C thay nón C  −C  ( F (x) − C )  ( F (x) + C ) ( x  D) Khi F (U )  t0 W − C Khơng tính tổng qt toán ta kết luận F liên tục U ta xem x0=0 Đặt tiếp tập U = min{t ,1}U U0 = - Chứng minh: Hiển nhiên có kết từ Định lí 3.5 3.6 với ý F liên tục U F C-l.s.c U C-u.s.c U U0 lân cận gốc D Xét tùy ý x  U0 với F (x)   , ta có − xt0 −1 U Từ ta có phân tích sau: 0= t0 + x+ t0 + t0 x  U  D , ( − (− F : D → 2Y ánh xạ đa trị, C  Y nón lồi đóng x)  D t0 x)  U  D theo giả thiết t0 cách áp dụng định nghĩa tính C-tựa lồi D ánh xạ đa trị F a   F (0) = F    F (0) = F  1 + t0 1 + t0 x+ x+ t0 + t0 t0 + t0 ( −t x )   F ( x) − C −1  ( −t x )   F (−t −1  −1 x ) − C Nếu xảy trường hợp đầu F (0)  F(x) − C  F(0)  F(x) + W-C W chứa gốc theo định nghĩa, F C-l.s.c Nếu xảy trường hợp sau 3.8 Hệ Cho D tập lồi cân đối không gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff X, F (0)  F(U) − C  F(0)  t0 W-C C+C=C Do  F (x) − C nên F(0)  F (x) − C+ t W − C  F (x) + t W − C hệ F C-l.s.c Định lí 3.5 chứng minh xong 3.6 Định lí Dưới giả thiết Định lí 3.5  F (x) + C  x  D ánh xạ đa trị F (-C)tựa lồi D C-bị chặn lân cận U D Khi đó, F C-u.s.c U Chứng minh: Xét nón Q với Q = −C Khi F Q- tựa lồi D (-Q)-bị chặn lân cận U D Theo Định lí 3.5, F Q- Y có phần khác rỗng, F (-C)-tựa lồi D với  F (x) + C  x  D Giả sử tồn lân cận U D cho IMin(F(U) | C)   Khi F C-u.s.c U Chứng minh: Bằng cách áp dụng Mệnh đề 3.2 kết thu từ Định lí 3.6 Điều phải chứng minh Kết luận Bài báo mối quan liên hệ tính C-bị chặn điểm với tính C-bị chặn lân cận điểm ánh xạ đa trị theo quan hệ nón Ngồi ra, báo khảo sát số tính chất tính C-u.s.c, C-l.s.c ánh xạ đa trị theo quan hệ nón lồi, đóng Các kết báo hoàn toàn áp dụng để nghiên cứu tồn nghiệm cho toán tối ưu định nghĩa toán [3]) α vector tổng quát (xem Tài liệu tham khảo [1] Lai-Jin Lin and Nguyen Xuan Tan (2006), On Systems of Quasivariational Inclusion Problems of Type I and Related Problems, Vietnam J Math 34, 423-440 [2] Luc, D.T (1989), Theory of Vector Optimization, Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, spring Verlag, Berlin, Germany, Vol 319 [3] Trần Văn Sự (2012), Khảo sát tính chất nghiệm toán ( GVOP ) : F ( x)   Min(F(D) | C)   ,  x  D,  {I, P, W} , Journal of Science of Hnue, 19 Trần Văn Sự Natural Sci., Vol 57, No 3, pp 41-47 [4] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất Khoa học - Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội THE CONTINUITY OF SET-VALUED MAPPING IN INFINITE-DIMENSIONAL SPACES Abstract: The purpose of this paper is to investigate the upper C-continuity and the lower C-continuity of set-valued mapping (or multivalued mapping) in Hausdorff locally convex topological linear spaces by means of a convex cone (or a closed convex cone) with its nonempty interior Specifically, in Proposition 3.1 we provide a necessary condition for the epigraph of the set-valued mapping with its nonempty interior In Proposition 3.2, we research the C-bounded set-valued mapping in a certain given neighbourhood In theorems 3.3, 3.5, 3.6 and corollaries 3.7, 3.8, we introduce necessary conditions for the set-valued mapping to become either upper C-semicontinuous or lower C-semicontinuous (C-u.s.c or C-l.s.c in abbreviation) In theorem 3.4, we provide a necessary and sufficient condition about the C-bounded set-valued mapping at a given point Key words: the continuity of set-valued mapping; Hausdorff locally convex topological linear space; C-bounded; lower Cquasiconvex; C-u.s.c; C-l.s.c 20 ... nửa liên tục ánh xạ đa trị F C-l.s.c thay cho tính C nửa liên tục ánh xạ đa trị F Từ trở đi, khơng có mơ tả khác, giả sử X, Y, A, D, C F mô tả giới thiệu bên 2.2 Các kết liên quan đến báo Trong. .. Bài báo mối quan liên hệ tính C-bị chặn điểm với tính C-bị chặn lân cận điểm ánh xạ đa trị theo quan hệ nón Ngồi ra, báo khảo sát số tính chất tính C-u.s.c, C-l.s.c ánh xạ đa trị theo quan hệ... thiệu số kết tính liên tục bị chặn ánh xạ đa trị F không gian lồi địa phương X, Y theo ngôn ngữ nón lồi (có thể đóng) với phần khơng rỗng 3.1 Mệnh đề Cho X, Y không gian tơpơ tuyến tính lồi địa