Tính chính quy metric của ánh xạ đa trị

Khái niệm chính quy metric là một khái niệm quan trọng trong Giải tích Biến phân hiện đại. Bài viết Tính chính quy metric của ánh xạ đa trị trình bày một số kết quả quan trọng liên quan đến tính chính quy metric của ánh xạ đa trị.

46 46 Tạp chí Khoa – Trường Phú Yên, (2022),46-52 46-52 Tạp chí Khoa học –học Trường ĐạiĐại họchọc Phú Yên, SốSố3030(2022), TÍNH CHÍNH QUY METRIC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Phùng Xuân Lễ Trường Đại học Phú Yên Email: phungxuanle@pyu.edu.vn Ngày nhận bài: 24/05/2022; Ngày nhận đăng: 17/06/2022 Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi trình bày số kết quan trọng liên quan đến tính quy metric ánh xạ đa trị Các kết đưa tác giả, Huỳnh Văn Ngãi, Nguyễn Hữu Trọn, Michel Théra Tuy nhiên, hầu hết chứng minh vắn tắt không chứng minh Ở đây, chúng tơi trình bày với chứng minh chặt chẽ chi tiết Từ khóa: tính quy metric, ánh xạ đa trị, hàm ẩn đa trị, giải tích đa trị Metric regularity of set – valued mappings Phung Xuan Le Phu Yen University Received: May 24, 2022; Accepted: June 17, 2022 Abstract In this paper, we present some results related to Metric regularity of Set – Valued Mappings These results have been reported by, Huynh Van Ngai., Nguyen Huu Tron., and Thera, M However, most of them were not proved in full detail Herein, we present them with the detail in proof Keywords: Metric regularity, set – valued mappings, implicit multifunction, set – valued analysis Đặt vấn đề Khái niệm quy metric khái niệm quan trọng Giải tích Biến phân đại Những năm gần đây, với phát triển Giải tích khơng trơn Giải tích biến phân, lý thuyết quy metric cho ánh xạ đa trị đạt nhiều thành tựu quan trọng mặt lý thuyết ứng dụng Đặc biệt, tính quy metric xem công cụ mạnh để nghiên cứu toán quan trọng toán điều khiển, điều kiện cần tối ưu, định lý hàm ẩn, toán ổn định Ngồi ra, cịn đóng vai trị phân tích hội tụ số thuật toán, chẳng hạn thuật toán kiểu Newton Các khái niệm định lý 2.1 Một số khái niệm sở Trong phần này, tác giả trình bày kiến thức sở liên quan đến chứng minh phần sau, tìm thấy (Aubin & Frankowska, 1990; Yên, 2007) Định nghĩa 2.1.1 (Aubin & Frankowska, 1990) Cho X không gian metric hàm f :X    Ta ký hiệu domf: x  X : f  x    miền hữu hiệu f 47 Journal YenYen University, No.30 (2022), 46-52 46-52 JournalofofScience Science– Phu – Phu University, No.30 (2022), a) Hàm f gọi nửa liên tục x  domf với   tồn lân cận U x cho f  x   f  x    , x U b) Hàm f gọi nửa liên tục x  domf với   tồn lân cận U x cho f  x   f  x    , x U Ví dụ 2.1.2 Cho hàm f :  định nghĩa sau:   x  x  0, f  x    x  x   Khi đó, hàm f nửa liên tục điểm x  0, nửa liên tục điểm x  không nửa liên tục x  Vậy f không liên tục x  Chú ý 2.1.3 Nếu X không gian metric điều kiện  a  định nghĩa viết dạng liminf f  x   f  x  , x x   liminf f  x   : inf   : xk  x , lim f  x k x x k  Tương tự, điều kiện điều kiện  b  định nghĩa viết dạng limsup f  x   f  x  , x x   limsup f  x   : sup   : xk  x , lim f  x k x x k  Định nghĩa 2.1.4 (Aubin & Frankowska, 1990) Độ dốc mạnh f  x  hàm nửa liên x cực tiểu địa phương tục f x  domf định nghĩa f  x   f Hơn nữa, f  x   limsup yx Ví dụ 2.1.5 Cho hàm f :  f  x  f  y d  x, y  định nghĩa sau:  x x  0, f  x   2 x x  Khi đó, f    Định nghĩa 2.1.6 (Aubin & Frankowska, 1990) Cho X , Y hai tập hợp Ánh xạ F : X  2Y cho tương ứng x  X , F  x  tập hợp Y gọi ánh xạ 48 48 Tạp chí Khoa – Trường Phú Yên, (2022),46-52 46-52 Tạp chí Khoa học –học Trường ĐạiĐại họchọc Phú Yên, SốSố3030(2022), đa trị từ X vào Y Định nghĩa 2.1.7 (Yên, 2007) Đồ thị gphF miền hữu hiệu domF ánh xạ đa trị F : X  2Y xác định tương ứng công thức sau: gphF   x, y   X  Y : y  F  x , domF x  X : F  x    Định nghĩa 2.1.8 (Yên, 2007) Cho F : X  2Y ánh xạ đa trị từ không gian topo X vào không gian topo Y F gọi nửa liên tục x  domF với tập mở V  Y thỏa mãn F  x   V   tồn lân cận mở U x cho F  x   V   với x U  domF Định nghĩa 2.1.9 (Aubin & Frankowska, 1990) Cho X , Y không gian metric Ánh xạ F : X  2Y gọi quy metric x ứng với y y  F  x  có số   lân cận U x lân cận V y cho d  x, F 1  y     d  y, F  x   với  x, y  U V Ví dụ 2.1.10 Cho hàm F :  , F  x  2 x, 1 quy metric  0,0  2.2 Tính quy metric ánh xạ đa trị Phần này, tác giả trình bày số kết quan trọng tính quy metric ánh xạ đa trị Định lý 2.2.1 (Ngai, Tron, & Thera, 2011) Cho X không gian metric đầy đủ Y không gian metric Cho P không gian topo ánh xạ đa trị F : X  P  2Y thỏa điều kiện sau  x , y , p   X Y  P : a  x  S  y, p ; b  Hàm đa trị p  F x , p nửa liên tục p; c  Bất kỳ p gần p, ánh xạ đa trị x  F  x, p  hàm đa trị đóng Cho    0,   cố định Khi đó, khẳng định sau tương đương: i   x , p  cho V  S  y , p    với p W d  x, S  y , p     d  y , F  x, y   với  x, p  V W ;  ii  Tồn lân cận V W  X  P  x , p  cho V  S  y , p    với p W d  x, S  y , p     p  y , F  x, y   với  x, p  V W ;  iii  Tồn lân cận V W  X  P  x , p  cho  x, p  V W với y  F  x , p    0, dãy  xn n  X hội tụ đến x với lim sup d  y , F  xn , p    d  y , F  x, p   , n Tồn lân cận V W  X  P tồn dãy un n  X với lim d un, x   cho n 49 49 Journal – Phu YenYen University, No.30 (2022), 46-52 46-52 JournalofofScience Science – Phu University, No.30 (2022), lim sup d  y , F  xn , p    d  y , F  un , p   d  xn , un  n  ;    2.1  iv  Tồn lân cận V W  X  P  x , p  số thực    0;   cho với  x, p  V W  p  x , y      0, với dãy xnn  X hội tụ đến x với lim d  y , F  xn , p    lim inf d  y , F  u, p   , n n ta tìm dãy un n  X với lim d  un , x   để  2.1 n Chứng minh  i    iii  , lấy V W lân cận  x , y  cho p  P gphF ., p  đóng với d  x,S y , p     d  y , F  x, p   với  x, p  V W Lấy  x, p  V W , y  F x , p    Lấy dãy  xn n  X hội tụ đến x Khi n  n0 đủ lớn xn V y  F  xn , p  Do đó,   Với n  n0 , chọn un  S  y , p  cho d  xn , un   1   2    d  xn , S  y , p    Giả sử tồn lim d  xn, un , tính đóng gphF ., p  ta có lim d  xn , un   n n Hơn nữa, với n  n0   d  xn , un   1   2    d  xn , S  y , p       1     d  y , F  xn , p    d  y , F  un , p     2 Suy d  y , F  xn , p    d  y , F  un , p   d  xn , un  Vậy  2.1    Chứng minh  iii    iv  Từ  iii  , tồn lân cận V W  X  P  x , p  cho  x, p  V W với y  F  x , p    0, dãy  xn n  X hội tụ đến x với lim sup d  y , F  xn , p    d  y , F  x, p   n Mặt khác, với dãy  xn n  X hội tụ đến x ta có lim d  y , F  xn , p    lim inf d  y , F  u, p   n Vậy  iv  chứng minh n 50 Tạp chí Khoa – Trường Phú Yên, (2022),46-52 46-52 Tạp chí Khoa học –học Trường ĐạiĐại họchọc Phú Yên, SốSố3030(2022), Chứng minh  ii    i  Đặt  lim inf d  v, F  u, p   liminf d  y , F  u, p     p  x, y  u ,v  x , y  u x Theo  ii  , tồn lân cận V W  X  P  x , p  cho V  S  y , p    với p W d  x, S  y , p     p  y , F  x, y   với  x, p  V W Do đó, ta có d  x, S  y , p     d  y , F  x, y   với  x, p  V W Vậy  i  chứng minh Chứng minh  iv    ii  Vì hàm đa trị p  p F x , p nửa liên tục p nên hàm d  y , F  x , p   nửa liên tục p Do đó, lim sup p  x , y   lim sup d  y , F  x , p    d  y , F  x , p     p  x , y  n n Điều chứng tỏ p  p  x , y  nửa liên tục p Cho  x, p  V W , y  F  x, p  ,  p  x, y      Cho dãy  xn n  X hội tụ đến x với lim d  y , F  xn , p     p  x, y  n Theo  iv  , tồn dãy un n  X với lim d  un , x   cho n lim sup d  y , F  xn , p    d  y , F  un , p   n  lim sup n d  xn , un   p  x, y    p  u n , y  d  x, un        Do đó, ta điều cần phải chứng minh Định lý sau đưa tính quy metric hàm ẩn đa trị cách sử dụng độ dốc mạnh bao hàm nửa liên tục x  p  x, y  Định lý 2.2.2 (Ngai, Tron, & Thera, 2011) Cho X không gian metric đầy đủ, Y không gian metric P không gian topo Giả sử ánh xạ đa trị F : X  P  2Y thỏa điều kiện  a  ,  b  ,  c  định lý 2.2.1 xung quanh  x , y , p   gphF Cho m  0, tồn lân cận V W U  x , p, y  số thực   cho  p ., y   x   m,   x, p, y  V W U  p  x, y    0,   ,  2.2 tồn lân cận V W U  x , p, y  cho d  x, Fp1  y    d  y, F  x, p   / m,   x, p, y  V W U  2.3 Hơn nữa, chiều ngược lại Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Chứng minh Từ định lý 2.2.1, ta có chiều suy Bây giờ, ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Cho r  lân cận W 51 Journal YenYen University, No.30 (2022), 46-52 46-52 JournalofofScience Science– Phu – Phu University, No.30 (2022), p cho d  x, Fp1  y    d  y, F  x, p   / m,   x, p, y   B  x ,2r  W  B  y ,2r  Cho  x, p, y   B  x , r  W  B  y , r  với y  F  x , p  ;  p  x, y   r Dãy un n  X cho  1 d  un , x   n 1 p  x, y  ; d  y, F  un , p    1    p  x, y  ,  n Với n    2.4  tồn yn  F  un , p  cho  1 d  y, F  un , p    y  yn  1   d  y, F  un , p    n Đặt n 1  n  n1/2  zn : y n 1 n 1 1/2 Ta có  yn  z n n 1  n 1/2  n 1 y  yn  n 1  n 1/2  y n 1  n  d  y, F  u , p   1 n 1 = 1  n 1/2  d  y, F  un , p   n < 1  n 1/2 1  n 1   p  x, y   1  n 1/2 1  n 1/2   p  x, y   1  n   x, y  1 p Do đó, zn  F  un , p  zn  y  y  y  y  zn  2r n đủ lớn Vì vậy, ta chọn xn  Fp1  zn  cho d  un , xn   1  n1/2  d  un , Fp1  zn    1  n1/2  d  zn , F  un , p   /m  1  n1/2 1  n1/2   n  1 1 y  yn /m Suy lim d  x, xn   Với n đủ lớn, ta có n n d  y, F  un , p    d  y, F  xn , p   n 1 1 n   n 1   1  n 1/2  y  yn  n 1 n1/2 1  n 1/2  n 1  y  yn =  2.6   n  1 1  n1   p  x, y    p  xn , y     Từ  2.4  ,  2.5 ,  2.6  ta có    2.5  52 Tạp chí Khoa – Trường Phú Yên, (2022), 46-52 46-52 Tạp chí Khoa học –học Trường ĐạiĐại họchọc Phú Yên, SốSố3030(2022),  p  x, y    p  xn , y  d  x, xn    Vì  p  x, y    p  xn , y  d  x, xn   d  x, xn  mn1/2 1  n 1/2  n 1  y  yn n 2  n 1  1 r  1  n 1 1  n1/2  y  yn lim y  yn lim d  y, F  un ,  p    p  x, y   0, n n nên  p ., y   x   lim inf n  p  x, y    p  xn , y  d  x, xn   m Vậy định lý chứng minh Kết luận Bài báo này, thực vấn đề sau: Chứng minh chi tiết kết quả, định lý 2.2.1 định lý 2.2.2 Định lý 2.2.1, mơ tả tính quy hàm ẩn đa trị Định lý 2.2.2, đưa tính quy metric hàm ẩn đa trị cách sử dụng độ dốc mạnh bao hàm nửa liên tục x  p  x, y   TÀI LIỆU THAM KHẢO Aubin, J P., Frankowska, H (1990) Set-valued Analysis, Springer, Berlin Huynh Van Ngai, Nguyen Huu Tron, and Michel Théra (2011) Metric regularity of the sum of multifunctions and applications, Math Prog Hoang Tuy (1997) Convex Analyis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers Nguyễn Đông Yên (2007) Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ  ... 1 quy metric  0,0  2.2 Tính quy metric ánh xạ đa trị Phần này, tác giả trình bày số kết quan trọng tính quy metric ánh xạ đa trị Định lý 2.2.1 (Ngai, Tron, & Thera, 2011) Cho X không gian metric. .. tiết kết quả, định lý 2.2.1 định lý 2.2.2 Định lý 2.2.1, mơ tả tính quy hàm ẩn đa trị Định lý 2.2.2, đưa tính quy metric hàm ẩn đa trị cách sử dụng độ dốc mạnh bao hàm nửa liên tục x  p  x, y... gian metric Cho P không gian topo ánh xạ đa trị F : X  P  2Y thỏa điều kiện sau  x , y , p   X Y  P : a  x  S  y, p ; b  Hàm đa trị p  F x , p nửa liên tục p; c  Bất kỳ p gần p, ánh