Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị tác động trong không gian banach có thứ tự

Bài viết Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị tác động trong không gian banach có thứ tự dựa trên các kết quả tổng quát về bậc tôpô của ánh xạ đa trị trong không gian Banach có thứ tự, chúng tôi chứng minh một số kết quả mới về bậc tôpô này để dễ áp dụng vào các bài toán cụ thể.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vol 19, No (2022): 1332-1345 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 ISSN: 2734-9918 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Website: https://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.8.3543(2022) Bài báo nghiên cứu * BẬC TÔPÔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ TÁC ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH CĨ THỨ TỰ Nguyễn Bích Huy1, Nguyễn Đăng Quang2*, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Trường Đại học FPT – Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Nguyễn Đăng Quang – Email: quangnd32@fe.edu.vn Ngày nhận bài: 22-7-2022; ngày nhận sửa: 12-8-2022; ngày duyệt đăng: 20-8-2022 TĨM TẮT Lí thuyết bậc tơpơ cho ánh xạ đa trị khơng gian Banach có thứ tự xây dựng nhiều nhà toán học thập niên 1970, cung cấp công cụ mới, hiệu nghiên cứu bao hàm thức vi phân đạo hàm riêng Trong báo này, dựa kết tổng quát bậc tôpô ánh xạ đa trị khơng gian Banach có thứ tự, chứng minh số kết bậc tôpô để dễ áp dụng vào tốn cụ thể Cụ thể, chúng tơi chứng minh đạo hàm theo nón ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng ánh xạ compact bậc tơpơ ánh xạ ban đầu tính dựa vào bậc tơpơ ánh xạ đạo hàm Từ khóa: ánh xạ đa trị nửa liên tục compact; nón; bậc tơpơ; quan hệ thứ tự Giới thiệu Định lí Banach điểm bất động ánh xạ co cho phép chứng minh tồn tại, nghiệm xây dựng dãy lặp hội tụ nghiệm phương trình vi phân thường Định lí điểm bất động Schauder cho phép chứng minh tồn nghiệm phương trình đạo hàm riêng Điểm hạn chế Định lí Schauder khơng cho phép khẳng định nghiệm tìm khơng tầm thường (thơng thường, phương trình xuất phát từ thực tế ln có nghiệm tầm thường số không) Hạn chế khắc phục nhờ lí thuyết bậc tơpơ cho ánh xạ đơn trị, Leray – Schauder xây dựng phát triển cơng trình M Krasnosel’skii cộng sự, F Browder, V Petryshyn Lí thuyết cho phép chứng minh tồn nghiệm không tầm thường, có tính chất đặc biệt (dương, lồi…), đánh giá số nghiệm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm (xem Deimling, 1985; Guo & Lakshmikantham, 1988; O'Regan, Cho, & Chen, 2006) Các ánh xạ đa trị quan tâm nghiên cứu nhiều từ năm 1950 phát triển nội toán học để giải số toán xuất phát từ khoa học tự nhiên, Cite this article as: Nguyen Dang Quang, & Nguyen Bich Huy (2022) Fixed point index for some classes of multivalued mappings in ordered Banach spaces Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(8), 1332-1345 1332 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM kĩ thuật, kinh tế Các định lí điểm bất động cho ánh xạ đa trị S Nadler, K Fan mở rộng định lí Banach Schauder Lí thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị xây dựng thập niên 1970 cơng trình T Ma, Borisovich cộng sự, Petryshyn tìm ứng dụng cho bao hàm thức vi phân (Borisovich et al., 2011; Deimling, 1985; Fitzpatrick, & Petryshyn, 1975) tài liệu tham khảo đó) Gần đây, ứng dụng bậc tơpơ ánh xạ đa trị đưa (Nguyen, Tran, & Vo, 2018), (Vo, 2016) Điểm báo dựa kết bậc tôpô ánh xạ đa trị khơng gian Banach có thứ tự, thiết lập thêm số kết bậc tơpơ nhằm mục đích áp dụng để giải toán cụ thể Đồng thời, kết tính compact đạo hàm theo nón ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng chứng minh Cuối cùng, sử dụng bậc tôpô ánh xạ đạo hàm tính bậc tơpơ cho ánh xạ đa trị ban đầu Các khái niệm sử dụng kết Giả sử X khơng gian Banach trường số thực K ⊂ X K gọi nón X nếu: (i) K tập đóng X, (ii) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ , (iii) K ∩ (− K ) ={θ } Nếu K nón thứ tự X sinh K xác định x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Khi ta nói cặp (X, K) khơng gian Banach có thứ tự 2.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.1 (Deimling, 1985; De Blasi, 1976) Cho X , Y không gian Banach trường số thực ánh xạ đa trị F : D ⊂ X → 2Y \ {∅} (i) F gọi nửa liên tục D với tập hợp V mở Y tập hợp F (V ) = { x ∈ D : F ( x) ⊂ V } mở D + (ii) F gọi ánh xạ compact F ( S ) =  F ( x) tập compact tương đối Y, x∈S với S tập bị chặn D (tx) tF ( x) , ∀t > , ∀x ∈ D (iii) F gọi dương F= (iv) Với K ⊂ Y , ta kí hiệu cc( K ) tập tập lồi, đóng, khác rỗng K (v) Giả sử A, B ⊂ X tập hợp khác rỗng, ta định nghĩa khoảng cách Hausdorff A, B, kí hiệu d H ( A, B) ,   d H ( A, B) = max sup d ( x, B ),sup d ( y, A)  , y∈B  x∈A  1333 Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM , U ) inf x − u d ( x= u∈U Mệnh đề 2.2 (Deimling, 1985) Cho X , Y không gian Banach trường số thực ánh xạ đa trị F : D ⊂ X → 2Y \ {∅} (i) F nửa liên tục D với x0 ∈ D với tập mở V chứa F ( x0 ) tồn số r > cho F ( B( x0 , r ) ∩ D ) ⊂ V (ii) Giả sử F nửa liên tục D, dãy { xn }n ⊂ D lim xn = x0 , dãy { yn }n ⊂ Y n →+∞ thỏa mãn yn  F ( xn ) , n   , lim yn = y0 F ( x0 ) tập đóng Khi đó, y0 ∈ F ( x0 ) * n →+∞ Định nghĩa 2.3 (De Blasi, 1976) Giả sử ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, Y khơng gian Banach Ta kí hiệu Kr = K ∩ B(θ , r ), r > 1) Tập D ⊂ X gọi K – lân cận x ∃r > : x + K r ⊂ D 2) Cho D K – lân cận x0 Ánh xạ đa trị A : D → 2Y \ {∅} có giá trị đóng, bị chặn gọi khả vi Fréchet theo nón K x0 tồn ánh xạ đa trị F : X → 2Y \ {∅} nửa liên tục có giá trị lồi, đóng, bị chặn dương cho d H ( A( x0 + h), A( x0 ) + F (h) ) = h →0 h h∈K lim Ánh xạ F gọi đạo hàm A x0 , kí hiệu Ax' 3) Ánh xạ đa trị A : K \ K r → 2Y \ {∅} (r > đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn gọi khả vi Fréchet theo nón K ∞ tồn ánh xạ đa trị F : X → 2Y \ {∅} nửa liên tục có giá trị lồi, đóng, bị chặn dương cho d H ( A(h), F (h) ) =0 h →∞ h h∈K lim Ánh xạ F gọi đạo hàm A ∞ , kí hiệu A∞' 2.2 Bậc tôpô ánh xạ đa trị tác động khơng gian Banach có thứ tự Định nghĩa 2.4 (Borisovich et al., 2011; Fitzpatrick & Petryshyn, 1975) Cho Ω tập mở, bị chặn không gian Banach X với thứ tự sinh nón K A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact cho x ∉ A( x), ∀x ∈ K ∩ ∂Ω (ta nói A không suy biến K ∩ ∂Ω ) Khi tồn ánh xạ đơn 1334 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM trị, compact f : K ∩ ∂Ω → K đồng luân với A K ∩ ∂Ω , nghĩa tồn ánh xạ đa trị G : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) nửa liên tục trên, compact cho x ∉ G ( x, t ) , ∀( x, t ) ∈ ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] = ; G (.,1) A= , G (., 0) f Ta định nghĩa bậc tơpơ iK ( A, Ω) theo nón K ánh xạ A tập Ω , ) iK ( f , Ω) , iK ( A, Ω = iK ( f , Ω) bậc tơpơ theo nón K ánh xạ đơn trị f tập Ω Mệnh đề 2.5 (Borisovich et al., 2011) Giả sử ( X , K ) không gian Banach có thứ tự Ω ⊂ X tập mở, bị chặn Trong tính chất – 3, ta giả sử ánh xạ A xác định K ∩ ∂Ω , cịn tính chất – 5, ta giả sử ánh xạ A xác định K ∩ Ω , nhận giá trị cc( K ) nửa liên tục trên, compact Tính chất chuẩn hóa Nếu A( x) ≡ C , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω C ⊂ K tập lồi, compact 1 C ⊂ K ∩ Ω , iK ( A, Ω) = 0 C ⊂ K \ Ω Tính chất bất biến qua đồng luân Nếu H : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact không suy biến iK ( H = (.,1), Ω ) iK ( H (., 0), Ω ) Tính chất Poincaré Giả sử A1 : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact, không suy biến K ∩ ∂Ω thỏa mãn x− y x−z ≠− , x− y x−z Ω) iK ( A1 , Ω) với y ∈ A( x), z ∈ A1 ( x), x ∈ K ∩ ∂Ω Khi đó, iK ( A,= Tính chất cộng tính Giả sử Ω1 , Ω tập mở không giao Nếu ( ) x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ Ω \ (Ω1 ∪ Ω ) ) iK ( A, Ω1 ) + iK ( A, Ω ) iK ( A, Ω = Nếu iK ( A, Ω) ≠ A có điểm bất động Ω 1335 Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 2.3 Các kết Định lí 2.6 Cho (X,K) khơng gian Banach có thứ tự, Ω ⊂ X tập mở, bị chặn, A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact Giả sử tồn tập lồi, compact C ⊂ K cho t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ , ∀u ∈ C , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Khi đó, 1 C ⊂ K ∩ Ω , iK ( A, Ω) = 0 C ⊂ K \ Ω Đặc biệt, tồn phần tử u ∈ K cho t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω 1 u ∈ Ω , iK ( A, Ω) = 0 u ∉ Ω Chứng minh Xét ánh xạ đa trị A1 ( x) ≡ C , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Điều kiện nêu Định lí 2.6 viết lại dạng: x− y x−z ≠− , ∀y ∈ A( x), ∀z ∈ A1 ( x), ∀x ∈ K ∩ ∂Ω x− y x−z Áp dụng Mệnh đề 2.5, ta có 1 C ⊂ K ∩ Ω , iK ( A, Ω) = 0 C ⊂ K \ Ω Định nghĩa 2.7 Giả sử ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, α : K →  hàm số lồi, liên tục, β : K →  hàm số lõm, liên tục Với λ , µ ∈  cho trước, ta đặt K (α , λ ) = { x ∈ K : α ( x ) ≤ λ} , K (β , µ ) = { x ∈ K : β ( x) ≥ µ} , K (α , β= , λ , µ ) K (α , λ ) ∩ K ( β , µ ) Định lí 2.8 Cho (X,K) khơng gian Banach có thứ tự, α : K →  hàm số lồi, liên tục, β : K →  hàm số lõm, liên tục cho tập hợp { x ∈ K : α ( x) < λ} khác rỗng bị chặn, tập hợp { x ∈ K (α , β , λ , µ ) : α ( x) < λ} khác rỗng 1336 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM { x ∈ X : α ( x) < λ} ) ánh xạ nửa liên tục trên, Giả sử A : K ∩ Ω → cc( K ) (với Ω= compact, thỏa điều kiện sau: (i) Với x ∈ K (α , β , λ , µ ) ∀y ∈ A( x) : α ( y ) < λ , (ii) Với x ∈ K (α , λ ) ∀y ∈ A( x) : ( β ( y ) < µ ⇒ α ( y ) < λ ) Khi đó, iK ( A, Ω) =1 Chứng minh Từ giả thiết ta suy Ω tập mở X K ∩ Ω tập mở, bị chặn K Lấy u ∈ { x ∈ K (α , β , λ , µ ) : α ( x) < λ} u ∈ K ∩ Ω Ta chứng minh t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Giả sử ngược lại, tức ∃ x0 ∈ K ∩ ∂Ω, ∃ t0 ≥ : t0 ( x0 − u ) ∈ A( x0 ) − x0 Chọn y0 ∈ A( x0 ) cho t0 ( x0 − u ) = y0 − x0 , ta có = x0 t y0 + u α ( x0 ) = λ hay x0 ∈ K (α , λ ) + t0 + t0 * Nếu β ( y0 ) ≥ µ , áp dụng tính chất lõm hàm số β ( x) , ta có β ( x0 ) ≥ t β ( y0 ) + β (u ) ≥ µ + t0 + t0 Vậy x0 ∈ K ( β , µ ) x0 ∈ K (α , β , λ , µ ) Áp dụng giả thiết (i), ta có α ( y0 ) < λ Áp dụng tính chất lồi hàm số α ( x) , ta λ= α ( x0 ) ≤ t α ( y0 ) + α (u ) < λ , + t0 + t0 điều vơ lí * Nếu β ( y0 ) < µ theo (ii) ta có α ( y0 ) < λ , λ= α ( x0 ) ≤ t α ( y0 ) + α (u ) < λ + t0 + t0 Ta gặp mâu thuẫn Vậy ta chứng minh t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Áp dụng Định lí 2.6 ta suy iK ( A, Ω) =1 Định lí 2.9 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, α : K →  hàm số lồi, liên tục, β : K →  hàm số lõm, liên tục cho tập hợp { x ∈ K : β ( x) < µ} khác rỗng bị chặn, tập hợp { x ∈ K (α , β , λ , µ ) : β ( x) > µ} khác rỗng 1337 Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Giả sử A : K ∩ Ω → cc( K ) (với Ω= { x ∈ X : β ( x) < µ} ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact, thỏa điều kiện sau: (i) Với x ∈ K (α , β , λ , µ ) ∀y ∈ A( x) : β ( y ) > µ , (ii) Với x ∈ K ( β , µ ) ∀y ∈ A( x) : (α ( y ) > λ ⇒ β ( y ) > µ ) Khi đó, iK ( A, Ω) =0 Chứng minh Từ giả thiết ta suy Ω tập mở X K ∩ Ω tập mở, bị chặn K Lấy u ∈ { x ∈ K (α , β , λ , µ ) : β ( x) > µ} u ∈ K \ Ω Ta chứng minh t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Giả sử ngược lại, tức ∃ x0 ∈ K ∩ ∂Ω, ∃ t0 ≥ : t0 ( x0 − u ) ∈ A( x0 ) − x0 Chọn y0 ∈ A( x0 ) : t0 ( x0 − u ) = y0 − x0 , ta có = x0 t y0 + u β ( x0 ) = µ hay x0 ∈ K ( β , µ ) + t0 + t0 * Nếu α ( y0 ) ≤ λ , áp dụng tính chất lồi hàm số α ( x) , ta có α ( x0 ) ≤ t α ( y0 ) + α (u ) ≤ λ + t0 + t0 Vậy x0 ∈ K (α , λ ) x0 ∈ K (α , β , λ , µ ) Do giả thiết (i), ta β ( y0 ) > µ Áp dụng tính chất lõm hàm số β ( x) , ta µ= β ( x0 ) ≥ t β ( y0 ) + β (u ) > µ , + t0 + t0 điều vơ lí * Nếu α ( y0 ) > λ theo (ii) ta có β ( y0 ) > µ , ta có điều vơ lí sau µ= β ( x0 ) ≥ t β ( y0 ) + β (u ) > µ + t0 + t0 Vậy ta chứng minh t ( x − u ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ 0, ∀x ∈ K ∩ ∂Ω Áp dụng Định lí 2.6 ta suy iK ( A, Ω) =0 Định lí 2.10 Giả s ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, Ω tập mở, bị chặn A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact Khi đó, (i) Nếu θ ∈ Ω λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ , 1338 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM iK ( A, Ω) =1 (ii) Nếu tồn phần tử x0 ∈ K \ {θ } cho x ∉ A( x) + λ x0 , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ , iK ( A, Ω) =0 Chứng minh (i) Vì t ( x − θ ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω nên điều phải chứng minh suy từ Định lí 2.6 (ii) Khi λ > đủ lớn λ x0 ∉ Ω ta chứng minh tồn λ0 > cho t ( x − λ x0 ) ∉ A( x) − x , ∀t ≥ , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ λ0 Khi theo Định lí 2.6 ta có iK ( A, Ω) =0 Nếu khẳng định nêu khơng ta tìm dãy tn ≥ 0, λn → ∞ , xn ∈ K ∩ ∂Ω , yn ∈ A( xn ) cho hay xn tn ( xn − λn x0 ) = yn − xn = t yn + n λn x0 + tn + tn t λ  Vì dãy { xn } , { yn } bị chặn, ta suy dãy  n n  bị chặn tn → 1 + tn  Chuyển sang dãy cần, ta coi t yn → y0 , n λn → λ0 ≥ 0, xn → x0 + tn Khi đó, ta có y0 ∈ A( x0 ) x= y0 + λ0 x0 hay x0 ∈ A( x0 ) + λ0 x0 Ta gặp mâu thuẫn Định lí 2.11 Giả sử ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, Ω tập mở, bị chặn A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact cho: (i) inf d (θ , A( x)) > , x∈K ∩∂Ω (ii) λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ∈ (0,1] Khi đó, iK ( A, Ω) =0 Chứng minh Xét ánh xạ H : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) xác định H ( x, s ) = (1 − s + st ) A( x) (t > 1) , H ( x, s ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng Vì t > nên − s + st ≥ , ∀s ∈ [0,1] theo (ii) ta suy x ∉ H ( x, s ) , ∀( x, s ) ∈ ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] 1339 Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Áp dụng tính chất bất biến đồng luân cho H ( x, s ) ta iK ( A,= Ω) iK (tA, Ω) Tiếp theo ta chứng minh iK (tA, Ω) =0 với t > đủ lớn Cố định x0 ∈ K \ {θ } , ta chứng minh tồn t0 > cho ∀t ≥ t0 , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ : λ x0 ∉ x − tA( x) (1) Giả sử ngược lại, tồn dãy {tn } ⊂ , { xn } ⊂ K ∩ ∂Ω , {λn } ⊂  thỏa mãn lim tn = +∞ , λn ≥ , xn ∈ K ∩ ∂Ω , λn x0 ∈ xn − tn A( xn ) , ∀n ∈  * n →+∞ Suy tồn yn ∈ A( xn ) cho λn x0 = xn − tn yn , ∀n ∈  * (2) { } Vì { yn } ⊂ A ( K ∩ ∂Ω ) tập compact tương đối nên tồn dãy ynk ⊂ { yn } y ∈ K cho lim ynk = y Do giả thiết (i) ta có y ≠ θ k →+∞ Mặt khác, từ (2) suy ynk ≤ xn , ∀k ∈  * Do đó, tnk k   y ≤ lim  xnk  = lim ynk = θ,  k →+∞ k →+∞  t  nk  điều vơ lí Vậy (1) hay iK (tA, Ω) =0 , ∀t ≥ t0 Do iK ( A, Ω) =0 Định lí 2.12 Giả sử ( X , K ) không gian Banach có thứ tự, Ω tập mở, bị chặn A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact tồn ánh xạ B : K ∩ ∂Ω → K hoàn toàn liên tục thỏa mãn: (i) inf x∈K ∩∂Ω B( x) > , (ii) x ∉ A( x) + tB( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀t ≥ Khi đó, iK ( A, Ω) =0 Chứng minh Xét ánh xạ H : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → K \ {∅} xác định ) A( x) + (1 − s )tB ( x) (t ≥ 0) H ( x, s= Ta có H ( x, s ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact nhận giá trị lồi, đóng (ii) ta suy x ∉ H ( x, s ) , ∀( x, s) ∈ ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] Áp dụng tính chất bất biến đồng luân cho H ( x, s ) ta = iK ( A, Ω ) iK ( A + tB, Ω) , ∀t ≥ 1340 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ta chứng minh iK ( A + tB, Ω) =0 t đủ lớn Lấy x0 ∈ K \ {θ } , ta chứng minh x ∉ A( x) + tB ( x) + λ x0 , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ ∀t ≥ đủ lớn Nếu điều khơng ta tìm dãy xn ∈ K ∩ ∂Ω , yn ∈ A( xn ) , tn → ∞ , λn ≥ cho xn = yn + tn B( xn ) + λn x0 , hay xn − yn λ (3) = B( xn ) + n x0 tn tn x − yn λ Ta có n → θ coi (nếu cần ta chuyển sang dãy con) B( xn ) → y, n → λ ≥ tn tn Do điều kiện (i) y ∈ K \ {θ } , qua giới hạn (3) ta θ= y + λ x0 điều vơ lí Định lí 2.13 i) Giả sử D K – lân cận x0 , ánh xạ đa trị A : D → 2Y \ {∅} có giá trị đóng, bị chặn khả vi Fréchet theo nón K x0 Khi đó, A ánh xạ compact Ax' ánh xạ compact K ii) Giả sử ánh xạ đa trị A : K \ K r → 2Y \ {∅} (r > đủ lớn) có giá trị đóng, bị chặn khả vi Fréchet theo nón K ∞ Khi đó, A ánh xạ compact A∞' ánh xạ compact K dạng sau: Nếu Ω ⊂ K tập bị chặn inf x > A∞' (Ω) tập compact tương đối x∈Ω Chứng minh Đặt B = Ax' B = A∞' Giả sử Ω ⊂ K tập bị chặn ∀x ∈ Ω : x ≤ M ( σ ≤ x ≤ M , ∀x ∈ Ω B = A∞' ), ta chứng minh B(Ω) tập compact tương đối Y Giả sử ngược lại, tức ∃{ yn } ⊂ B(Ω) ε > cho ym − yn ≥ M ε Vì yn ∈= B (Ω)  B(h) , ∀n ∈  * ( m ≠ n) nên ∃hn ∈ Ω hn ≤ M : yn ∈ B(hn ) , ∀n ∈ * h∈Ω i) Trường hợp B = Ax' Vì B đạo hàm theo nón A x0 nên ε   ∃δ > 0, ∀h ∈ X  h < δ ⇒ d H ( A( x0 + h), A( x0 ) + B (h) ) < h    Suy   δ  δ  ε δ d H  A  x0 + hn  , A( x0 ) + B  hn   < hn M   M  M   Do định nghĩa d H , ta có 1341 Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM  δ   δε δ  d  u , A  x0 + hn   < , ∀u ∈ A( x0 ) + B ( hn ) , M  M   hay  δ δ   δε  d  y0 + yn , A  x0 + hn   < , y0 ∈ A( x0 ) M M    Từ suy δ  δ    δε ∃ zn ∈ A  x0 + hn  : zn −  y0 + yn  < M  M    Do đó, zm − zn = zm − y0 − ≥ ≥ δ M δ δ δ δ   δ ym + ym −  zn − y0 − yn  − yn M M M  M  ym − yn − zm − y0 − ε M − δε − δε δ M ym − zn − y0 − δ M yn δε = 3 M Ta gặp mâu thuẫn với tính compact ánh xạ A ii) Trường hợp B = A∞' Vì B đạo hàm theo nón A ∞ nên ε   ∃r > 0, ∀x ∈ X  x > rσ ⇒ d H ( A( x), B( x) ) < x  3M   Từ suy ε rε d H ( A(rhn ),= rB(hn ) ) d H ( A(rhn ), B(rhn ) ) < rhn ≤ 3M Do rε d ( y, A(rhn ) ) < , ∀y ∈ rB(hn ) rε rε Do d ( ryn , A(rhn ) ) < nên tồn zn ∈ A(rhn ) : zn − ryn < 3 Khi đó, zm − zn = zm − rym + rym − ( zn − ryn ) − ryn ≥ r ym − yn − zm − rym − zn − ryn rε r ε r ε − = 3 Ta gặp mâu thuẫn với tính compact ánh xạ A ≥ rε − 1342 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Định lí 2.14 1) Giả sử A : K r → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact, A(θ ) = {θ } có đạo hàm theo nón K θ Aθ' đồng thời Aθ' khơng có K vectơ riêng với giá trị riêng Khi đó, iK ( A, B (θ , ρ ) ) = iK ( Aθ' , B (θ , ρ ) ) với ρ > đủ nhỏ 2) Giả sử A : K \ K r → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có đạo hàm theo nón K ∞ A∞' đồng thời A∞' khơng có K vectơ riêng với giá trị riêng Khi đó, iK ( A, B (θ , ρ ) ) = iK ( A∞' , B (θ , ρ ) ) với ρ > đủ lớn Chứng minh 1) Do Định lí 2.13 Aθ' ánh xạ nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng Xét ánh xạ đa trị H : K r × [0,1] → cc( K ) xác định H ( x, t= ) tA( x) + (1 − t ) Aθ' ( x) Ta có H ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact Ta chứng minh x ∉ H ( x, t ) , ∀t ∈ [0,1] , ∀x ∈ K ∩ ∂B (θ , ρ ) với ρ > đủ nhỏ Thật vậy, ∀t ∈ [0,1], ∀x ∈ K \ {θ } , ∀y ∈ A( x), ∀y ' ∈ Aθ' ( x) , ta có x − ty − (1 − t ) y ' = x − y '− t ( y − y ') ≥ x − y ' − t y − y ' ≥ x − y ' − y − y ' (4) Đầu tiên ta chứng minh ∃a > : d ( x, Aθ' ( x) ) ≥ a x , ∀x ∈ K \ {θ } (5) Nếu điều khơng đúng, ta có ∀n ∈ * , ∃xn ∈ K \ {θ } : d ( xn , Aθ' ( xn ) ) < Đặt yn = xn xn xn n yn = d ( yn , Aθ' ( yn ) ) < , ∀n ∈ * Do tồn zn ∈ Aθ' ( yn ) n , ∀n ∈ * n Vì Aθ' ánh xạ compact nên ta giả sử lim zn = z ∈ K lim yn = z cho yn − zn < n →∞ n →∞ Mà Aθ ánh xạ nửa liên tục nên suy z ∈ Aθ ( z ) điều vơ lí ' ' Vậy (5) x − y ' ≥ a x , ∀x ∈ K \ {θ } , ∀y ' ∈ Aθ' ( x) Mặt khác, với y ∈ A( x) , y ' ∈ Aθ' ( x) , ta có 1343 (6) Nguyễn Bích Huy tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM y − y ' ≤ d ( y, Aθ' ( x) ) + d ( A( x), Aθ' ( x) ) + d ( y ', A( x) ) ≤ sup d ( y, Aθ' ( x) ) + sup d ( y ', A( x) ) + d ( A( x), Aθ' ( x) ) y∈ A ( x ) y '∈ Aθ' ( x ) ≤ d H ( A( x), Aθ' ( x) ) + d H ( A( x), Aθ' ( x) ) + d H ( A( x), Aθ' ( x) ) = 3d H ( A( x), Aθ' ( x) ) (7) Từ (4), (6), (7) ta có 3d H ( A( x), Aθ ( x) ) x − ty − (1 − t ) y ' ≥a− x x ' Mà lim d H ( A( x), Aθ' ( x) ) x →0 x∈K a− x = nên ta tìm ρ > đủ nhỏ cho 3d H ( A( x), Aθ' ( x) ) x > , ∀x ∈ K \ {θ } , x ≤ ρ Vậy ta chứng minh x ∉ H ( x, t ) , ∀t ∈ [0,1] , ∀x ∈ K ∩ ∂B(θ , ρ ) Áp dụng tính chất bất biến đồng luân bậc tôpô ta iK ( A, B(θ , ρ ) ) = iK ( Aθ' , B (θ , ρ ) ) với ρ > đủ nhỏ 2) Chứng minh tương tự ta có iK ( A, B (θ , ρ ) ) = iK ( A∞' , B (θ , ρ ) ) với ρ > đủ lớn Kết luận Trong báo này, chứng minh số kết bậc tôpô ánh xạ đa trị tác động khơng gian Banach có thứ tự Các kết dễ áp dụng nghiên cứu bao hàm thức vi phân thường đạo hàm riêng chúng tơi trình bày báo Theo đánh giá chúng tôi, với việc ứng dụng ngày rộng rãi ánh xạ đa trị khoa học, kinh tế… hướng sử dụng bậc tôpô nghiên cứu ánh xạ đa trị nhà toán học quan tâm  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Borisovich, Y G., Gelman, B D., Myshkis, A D., & Obukhovskii, V V (2011) Introduction to the Theory of Multivalued Maps and Differential Inclusions Moscow: Librokom De Blasi, F S (1976) On The Differentiability of Multifunctions Pacific Jounal of Mathematic, 66(1), 67-82 Deimling, K (1985) Nonlinear Functional Analysis Berlin: Springer 1344 Tập 19, Số (2022): 1332-1345 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Fitzpatrick, P M., & Petryshyn, W V (1975) Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones J.London Math Soc., 12(2-12), 75-85 Guo, D., & Lakshmikantham, V (1988) Nonlinear Problems in Abstract Cone San Diego: Academic Press Nguyen, B H., Tran, T B., & Vo, V T (2018) The monotone minoraut method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones Fixed Point Theory, 19(1), 275-286 O'Regan, D., & Agarwal, R (2000) A note on the of multiple fixed points for multivalued maps with applications J.Differ.Eq, 160, 389-403 O'Regan, D., & Zima, M (2007) Leggett-Williams norm-type fixed point theorems for multivalued mappings Appl.Math.Comput, 187, 1238-1249 O'Regan, D., Cho, Y., & Chen, Y (2006) Topological Degree Theory and applications New York Vo, V T (2016) Some classes of equations in an ordered Banach space Doctoral Thesis FIXED POINT INDEX FOR SOME CLASSES OF MULTIVALUED MAPPINGS IN ORDERED BANACH SPACES Nguyen Bich Huy1, Nguyen Dang Quang2* Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam FPT University – Ho Chi Minh City, Vietnam * Corresponding author: Nguyen Dang Quang – Email: quangnd32@fe.edu.vn Received: July 22, 2022; Revised: August 12, 2022; Accepted: August 20, 2022 ABSTRACT The fixed point index theory for multivalued mappings in ordered Banach spaces developed by many mathematicians in the 1970s has provided a new and effective tool in studying differential inclusions and partial derivatives In this paper, from the general properties of the fixed point index for multivalued mappings in cones, we deduce new results on computing this index, which are easily applied in concrete problems Partially, we prove that the derivative of a compact upper semicontinuous multivalued mapping A with convex closed values is a compact mapping, and the fixed point index of A can be computed by the index of its derivative Keywords: compact upper semi-continuous multivalued mappings; cone; fixed point index; order relations 1345 ... Gần đây, ứng dụng bậc tôpô ánh xạ đa trị đưa (Nguyen, Tran, & Vo, 2018), (Vo, 2016) Điểm báo dựa kết bậc tôpô ánh xạ đa trị khơng gian Banach có thứ tự, thiết lập thêm số kết bậc tơpơ nhằm mục... Khi ta nói cặp (X, K) khơng gian Banach có thứ tự 2.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.1 (Deimling, 1985; De Blasi, 1976) Cho X , Y không gian Banach trường số thực ánh xạ đa trị F : D ⊂ X → 2Y {∅}... liên tục có giá trị lồi, đóng, bị chặn dương cho d H ( A(h), F (h) ) =0 h →∞ h h∈K lim Ánh xạ F gọi đạo hàm A ∞ , kí hiệu A∞' 2.2 Bậc tôpô ánh xạ đa trị tác động khơng gian Banach có thứ tự Định