Bậc Tôpô của ánh xạ A-Proper và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tơ Thanh Tùng BẬC TƠPƠ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tơ Thanh Tùng BẬC TƠPƠ CỦA ÁNH XẠ A-PROPER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ HỒN HĨA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS Lê Hồn Hóa lời cảm ơn sâu sắc tận tình bảo tơi học tập, thời gian tìm hiểu trình bày hồn chỉnh luận văn Xin trân trọng cảm ơn q Thầy Cơ giảng dạy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu cho tơi suốt q trình học tập trường Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cơ cơng tác Phịng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn tất chương trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn người thân bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên Tơ Thanh Tùng MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương ÁNH XẠ A-PROPER 1.1 Định nghĩa sơ đồ chiếu 1.2 Ánh xạ A-proper .5 Chương BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER 11 2.1 Định nghĩa bậc suy rộng ánh xạ A-proper .11 2.2 Tính chất bậc 12 Chương ỨNG DỤNG CỦA BẬC SUY RỘNG 16 3.1 Phương trình với ánh xạ Fredholm số 16 3.2 Phương trình với dạng ánh xạ Fredholm số 24 3.3 Ứng dụng 39 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 MỞ ĐẦU Mục đích luận văn trình bày bậc suy rộng ánh xạ A-proper ứng dụng bậc suy rộng vào việc chứng minh tồn nghiệm phương trình Nội dung luận văn dựa nội dung tài liệu: “Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen, Volume 10: Topological Degree Theory And Applications, Taylor – Francis Group, LLC, 2006, Chapter 4, 75-103” Và tham khảo thêm tài liệu sau: 1/ WoloDymyr V.Petryshyn, Generalized Topological Degree And Semilinear Equations, Cambridge University 1995 2/ Lê Hồn Hóa, Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp sở - Mã số: CS.2008.19.02, năm 2012 Luận văn bao gồm chương sau: Chương Ánh xạ A-proper Trình bày định nghĩa sơ đồ chiếu ánh xạ A-proper (Định nghĩa 1.1.1 định nghĩa 1.2.1) Chương Bậc suy rộng ánh xạ A-proper Trình bày định nghĩa bậc suy rộng (Định nghĩa 2.1.1) Trình bày tính chất quan trọng bậc (Định lý 2.2.1) Chương Ứng dụng bậc suy rộng Ở mục 3.1: Bậc định nghĩa chương ứng dụng vào việc tồn nghiệm phương trình Sx  Nx  p  D  S  (định lý 3.1.1, định lý 3.1.2, mệnh đề 3.1.2) Trong đó: S : D  S   X  Y ánh xạ Fredholm số 0,   N :  D  S   Y cho N  D  S  bị chặn Ở mục 3.2: Trình bày định nghĩa dạng ánh xạ Fredholm số (Định nghĩa 3.2.1) Các định lý quan trọng: + Định lý 3.2.1: tồn nghiệm phương trình Lx  Nx   D  L  , L : D  L   X  Y dạng ánh xạ Fredholm số 0, 0   X n , Pn  sơ đồ chiếu X;  tập mở, bị chặn X N :   Y ánh xạ L-A-proper  + Định lý 3.2.4: tồn nghiệm phương trình Lx  Nx   D  L  , L : D  L   X  Y dạng ánh xạ Fredholm số 0, 0   X n , Pn  sơ đồ chiếu X;  tập mở, bị chặn X N :   Y  ánh xạ cho I   L   JP  1  N   JP   ánh xạ A-proper  với   Ở mục 3.3: Sử dụng kết định lý 3.1.1 để chứng tỏ tồn nghiệm toán (E.3.3.1) Xét toán (E.3.3.4), theo định lý 3.2.5 phương trình Sx  Nx  p có nghiệm hay tốn (E.3.3.4) có nghiệm yếu Chương ÁNH XẠ A-PROPER 1.1 Định nghĩa sơ đồ chiếu Định nghĩa Cho X Y không gian Banach tách i) Nếu có dãy khơng gian hữu hạn chiều X n  X dãy Pn n phép chiếu tuyến tính Pn : X  X n thỏa mãn: lim Pn x  x với x  X n Khi ta nói X có sơ đồ chiếu  X n , Pn  ii) Nếu X có sơ đồ chiếu  X n , Pn  , Y có sơ đồ chiếu Yn , Qn  dim X n  dim Yn với số n nguyên dương Khi ta gọi    X n , Pn ;Yn , Qn  sơ đồ toán tử chiếu Ví dụ 1.1.1 Cho X  C 0,1 n  Đặt: t0   t1  , ta chia đoạn  0,1 thành n đoạn  t2    tn  n n Cho X n không gian với x  X hàm tuyến tính với khoảng ti , ti 1  Pn : X  X n phép chiếu thỏa mãn Pn x  ti   x ti  , i  1,2, , n Khi  X n , Pn  sơ đồ chiếu X Ví dụ 1.1.2 Cho X không gian Banach với sở Schauder ei : i   Khi X có sơ đồ chiếu  X n , Pn  định nghĩa sau: n  i 1 i 1 X n  spane1 , e2 , , en  , Pn x   i  x  ei với x   i  x  ei Trong trường hợp X khơng gian Hilbert tách được, ta chọn sở trực chuẩn ei : i   Khi phép chiếu n Pn x    x, ei  ei thỏa mãn: Pn  Pn i 1 Pn  Ví dụ 1.1.3 Cho X không gian phản xạ với sơ đồ chiếu thỏa mãn Pn Pm  Pminm,n Khi Pn X  , Pn sơ đồ chiếu X  Chứng minh Trên X ta có: Pn Pn f  x   Pn  Pn f   x   Pn  f Pn   x   Pn  f   Pn x    f Pn  Pn x   f  Pn Pn x   f  Pn2 x   f  Pn x    f Pn  x  Pn f  x  Vậy Pn phép chiếu Ta có: dim Pn X  dim N  I   Pn   dim N  I  Pn   dim X n Ta chứng minh: X    i 1 Pi  X  Nếu điều khơng có x0  X \ 0 cho f  i 1 f  x   với Pi  X  Khi X   J  X  J  x  f   f  x  với f  X  x  X Do f  Pn x   với n f  X  Vì f  x   với f  X  , dẫn đến x  Điều mâu thuẫn Vậy X    i 1 Pi  X  Ta có Pn X   Pm X  với n  m Do với f  X    , ta chọn g  Pn X  cho f  g   ta có: Pm f  f  Pm  f  g   g  f   sup Pn  1   n1  Dẫn đến lim Pm f  f m Ví dụ 1.1.4 Nếu X Y có sở Schauder tồn sơ đồ toán tử chiếu Chứng minh Cho en n sở Schauder X en/  sở Schauder Y n Đặt: X n  spane1 , e2 , , en  Yn  span e1/ , e2/ , , en/    n n i 1 i 1 Với x   i ei y   i ei Đặt: Pn x   i ei Qn y   i ei / / i 1 i 1 Khi    X n , Pn ;Yn , Qn  sơ đồ toán tử chiếu 1.2 Ánh xạ A-proper Định nghĩa 1.2.1 Cho X , Y không gian Banach thực    X n , Pn ;Yn , Qn  sơ đồ tốn tử chiếu Khi ánh xạ T : D  X  Y gọi ánh xạ A-proper  thỏa mãn điều kiện: Với dãy bị chặn xm  D   X m lim QmTxm  y , tồn dãy xmk m k thỏa mãn lim xmk  x  D Tx  y k  Ta kí hiệu: A  D, Y  lớp ánh xạ A-proper T : D  Y Định nghĩa 1.2.2 Cho X , Y không gian Banach thực    X n , Pn ;Yn , Qn  sơ đồ tốn tử chiếu Khi ánh xạ T : D  X  Y gọi ánh xạ giả A-proper  thỏa mãn điều kiện: Với dãy bị chặn xm  D X m lim QmTxm  y , tồn x  D T  thỏa m mãn Tx  y Định nghĩa 1.2.3 Cho X không gian Banach tách với sơ đồ chiếu    X n , Pn  Khi T : D T   X  X gọi ánh xạ P1 compắc   I  T  ánh xạ A-proper  với   Cho X , Y không gian Banach tách được, S : X  Y ánh xạ Fredholm số với N  S   0 N : D  X  Y ánh xạ phi tuyến Xét tốn nửa tuyến tính: Sx  Nx  y với x  D  S  D y  Y Khi S ánh xạ Fredholm số tồn khơng gian đóng X / X Y / Y với dim Y /  dim N  S  thỏa mãn: X  N  S   X / Y  Y /  R  S  Cho P : X  N  S  Q : Y  Y / hai phép chiếu M : N  S   Y / đẳng cấu Đặt: T  MP : X  Y / , T tốn tử tuyến tính compắc Dẫn đến S  T ánh xạ Fredholm số ind  S  T   ind  S   S  T song ánh  S  T  : Y  X bị chặn 1 Đặt: S1  S X / D S  Khi S1 phép nội xạ đóng S11 liên tục R  S  Giả sử Y có dãy khơng gian tuyến tính Yn với dãy phép chiếu Qn : Y  Yn cho lim Qn y  y với y  Y n Nếu S : X  Y ánh xạ Fredholm số Đặt: X n   S  T  Yn 1  S   X n , Yn , Qn  sơ đồ chiếu chấp nhận cho  X , Y  Bổ đề 1.2.1 Nếu S : X  Y ánh xạ Fredholm số S ánh xạ A-proper S Chứng minh Ta có: Qn S : X n  Yn ánh xạ liên tục   Cho xn j j  X n j dãy bị chặn lim Qn j Sxn j  y  Y j  Khi Qn  S  T  x   S  T  x với x  X n Qn j  S  T  xn j   S  T  xn j 35 Nếu điều khơng đúng, tồn t j  0,1 với lim t j  t0 j  x j  D  L   cho lim  Lx j  t j Nx j  1  t j  QNx j   j  + Nếu t0  lim  Lx j  Nx j   Điều mâu thuẫn với giả thiết i) j  + Nếu t0  lim  QLx j  QNx j   , lim QNx j  x j  D  L  Điều j  j  mâu thuẫn với giả thiết ii) Vậy  t0,1  L  tN  1  t  QN   D  L    Theo định lý 3.2.2 ta có deg  L  N , ,0   deg  L  QN , ,0  Định lý chứng minh Cho L : D  L   X  Y dạng ánh xạ Fredholm số 0, 0   X n , Pn  sơ đồ chiếu X   X tập mở, bị chặn Cho N :   Y ánh xạ  thỏa mãn I   L   JP  1  N   JP   ánh xạ A-proper  với   Khi  Lx  Nx   I   L   JP   Giả sử 0  L  N    1  N   JP  x D  L   Khi   I   L   JP   1  N   JP     với   Ta định nghĩa bậc: deg0  L  N , ,0    0  Trong Deg I   L   JP   proper I   L   JP  1   Deg I   L   JP  1  N   JP  , ,0  N   JP   1  N   JP  , ,0  (3.2.2) bậc suy rộng ánh xạ A- ánh xạ A-proper  Nói cách khác, ta có Deg I   L   JP  1  N   JP  , ,0   Định lý 3.2.4 Bậc deg0  L  N , ,0  định nghĩa (3.2.2) có tính chất sau: i) Nếu 1  hai tập mở rời  cho: 36     L  N  D  L   \  1 2  Khi deg0  L  N , ,0  deg0  L  N , 1 ,0  deg0  L  N , 2 ,0  ii) Nếu H : 0,1    Y ánh xạ thỏa mãn: 0  L  H t,   D  L   t0,1 luân ánh xạ   A-proper I   L   JP   ,L 1  H t ,    JP  t0,1 với đồng   Khi deg0  L  H  t ,  , ,0  không phụ thuộc t  0,1 iii) Nếu deg0  L  N , ,0  0 0  L  N   D  L    iv) Nếu  lân cận đối xứng N :   Y ánh xạ lẻ cho:  I   L   JP  1  N   JP   0  L  N    ánh xạ A-proper  với   D  L   Khi deg0  L  N , ,0  không chia hết cho số chẵn Chứng minh Chứng minh i):  Do giả thiết   L  N  D  L   \  1   I   L   JP  1  2  nên:  N   JP     \  1  2  với   Từ định lý 2.2.1 ta có:  Deg I   L   JP   1  N   JP  , ,0  Deg I   L   JP  1  N   JP  , 1,0  Deg  I   L   JP   N   JP  , 2 ,0 1 Theo (3.2.2) ta có: deg0  L  N , ,0  deg0  L  N , 1 ,0  deg0  L  N , 2 ,0  Chứng minh ii): Khi  t0,1  L  H t,   D  L  0  I   L   JP   t0,1   , dẫn đến: 1  H t ,    JP    với   37 Theo định lý 2.2.1 thì:  Deg I   L   JP  1  H t ,    JP  , ,0 không phụ thuộc t  0,1 với   Từ (3.2.2) suy deg0  L  H  t ,  , ,0  không phụ thuộc t  0,1 Chứng minh iii): Do giả thiết deg0  L  N , ,0  0 nên tồn số 0  cho:  Deg I   L  0 JP  1  N  0 JP  , ,0  0 Theo định lý 2.2.1 phương trình:  I   L  0 JP 1  N  0 JP  x  có nghiệm    Hay   I   L  0 JP   1  N  0 JP     Suy ra: 0  L  N   D  L   Chứng minh iv): Do giả thiết 0  L  N    D  L   nên:   I   L   JP   1  N   JP     với   Theo định lý 2.2.1 thì:  Deg I   L   JP  1  N   JP  , ,0 không chia hết cho số chẵn với   Từ (3.2.2) ta có deg0  L  N , ,0  không chia hết cho số chẵn Định lý chứng minh Định lý 3.2.5 Giả sử  L   JP  1 : Y  X ánh xạ compắc, liên tục với   ;   X tập mở, bị chặn với 0 N :   Y ánh xạ liên tục, bị chặn cho Lx  Nx QNx   JPx với x  Khi deg  L  N , ,0   1 Chứng minh Cho 0   X n , Pn  sơ đồ chiếu X D  L    38 Khi  L   JP  : Y  X ánh xạ compắc, liên tục với   , dẫn đến: 1 I   L   JP  1  t  N   JP  t 0,1 đồng luân ánh xạ A-proper  Ta chứng minh: x   L   JP  t  N   JP  x với  t , x   0,1    D  L     1 Nếu điều khơng Khi tồn 0   t0 , x0   0,1   cho: x0   L  0 JP  t0  Nx0  0 JPx0  1 Do x0  D  L  Lx0  0 JPx0  t0  Nx0  0 JPx0  + Nếu t0  Lx0  Nx0 với x0  D  L Điều mâu thuẫn với giả thiết Lx  Nx với x  D  L + Nếu t0  1  t0  0 JPx0  t0QNx0 D  L    Điều mâu thuẫn với giả thiết QNx   JPx với x   Dẫn đến Deg I   L   JP  1  N   JP  , ,0  deg  I , ,0  1 Vậy deg  L  N , ,0   1 Định lý chứng minh Hệ 3.2.2 Giả sử H không gian Hilbert tách được,  L   JP  : H  X ánh xạ 1 compắc, liên tục với   Nếu   X tập mở, bị chặn, 0 N :   H ánh xạ liên tục, bị chặn thỏa mãn Lx  Nx với x  QNx  x  với D  L x  D  L   Ker  P  C Ker  P  Khi deg  L  N , ,0   1 Chứng minh  QNx, JPx   với D  L , 39 Từ giả thiết QNx  với x  x  D  L  Ker  P  C D  L Ker  P  QNx, JPx  với suy QNx   JPx với x  D  L    Theo định lý 3.2.5 ta có deg  L  N , ,0   1 Hệ chứng minh 3.3 Ứng dụng Xét toán: // / //   x  t   f  t , x  t  , x  t  , x  t    g  t  , t  0, T   / /   x    x T  , x    x T  Trong f : 0, T    (E.3.3.1) hàm liên tục Bổ đề 3.3.1 Cho f : 0, T    hàm liên tục thỏa mãn điều kiện sau: (a) Tồn số M  c, d  theo d  f  t , x,0, r  với t  0, T  , r  với t  0, T  r  với c  gm  g M  d , x  M kéo ; x  M kéo theo f  t , x,0, r   c Trong gm  g  t  : t  0, T  g M  max g  t  : t  0, T  Nếu x  C 0, T  nghiệm toán (E.3.3.1) x  t  không đạt giá trị lớn t  t  T Khi đó: x  t   M với t  0, T  Chứng minh Giả sử x  t  đạt giá trị lớn t0   0, T  Ta chứng minh: x  t0   M Nếu điều không đúng, tức là: x  t0   M  x  t0   M x  t0   M + Trường hợp: Nếu x  t0   M , x /  t0   x //  t0   Do f  t0 , x  t0  ,0, x //  t0    g  t0   40 Do điều kiện (a) nên  x //  t0   f  t0 , x  t0  ,0, x //  t0    g  t0   d  g M Dẫn đến d  g M  hay d  g M Điều mâu thuẫn với g M  d + Trường hợp: Nếu x  t0   M , x /  t0   x //  t0   Do f  t0 , x  t0  ,0, x //  t0    g  t0   Do điều kiện (a) nên  x //  t0   f  t0 , x  t0  ,0, x //  t0    g  t0   c  g m Dẫn đến c  gm  hay c  g m Điều mâu thuẫn với g m  c Vây x  t0   M Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.3.2 Giả sử điều kiện (a) bổ đề 3.3.1 thỏa mãn Khi nghiệm x tốn (E.3.3.1) thỏa mãn: x  t   M với t  0, T  Chứng minh Với x nghiệm toán (E.3.3.1) Ta chứng minh: Nếu x  t  đạt giá trị lớn t0  t0  T x  t0   M   Thật vậy, x /    x / T   , đó: x    x T  dẫn đến x đạt giá trị lớn t0  t0  T Do x /    Suy ra: x    x T   M Ta có khẳng định   Từ   phần chứng minh bổ đề 3.3.1, ta kết luận: x  t   M với t  0, T  Bổ đề chứng minh Bổ đề 3.3.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Tồn số M  cho với nghiệm x tốn (E.3.3.1) thì: x  t   M với t  0, T  41 ii) Tồn số A, C  B  0,1 cho: f  t , x, r , q   A.r  B q  C với  t , x   0, T    M , M  r , q  Khi có số M1 , M  phụ thuộc vào M , A, B, C g M thỏa mãn x /  t   M1 , x //  t   M với t  0, T  , với nghiệm x toán (E.3.3.1) Chứng minh Khi x /  t  triệt tiêu  0,T  , với điểm t  0, T  mà x /  t   thuộc vào đoạn   ,   cho x /  t  bất động   ,   x     x    Khơng tính tổng qt, ta giả sử x     x /  t   với t    ,   Với  t , x   0, T    M , M  giả thiết ii), ta có: x //  t   A. x /  t    B x //  t   C  D (1) Trong D  max  gm , g M  Do x /  t   với t    ,   nên từ (1) suy ra: x /  t  x //  t    A. x /  t    C  D  x /  t   B x /  t  x // t     1  B  x /  t  x //  t    A. x /  t    C  D  x / t  (2)   Đặt:   CD A   1 B 1 B Khi (2) trở thành: x /  t  x //  t   x /  t  x //  t     x /  t      x / t    Suy 2 x /  t  x //  t    x /  t      2 x /  t  Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức đoạn   , t  , ta được: t 2 x /  s  x //  s     x  s  / t t t ds   2 x /  s  ds  ln   x /  s       2 x  s        42  ln   x /  t       ln   2 x  t  (do x     x /     )      x /  t  2    ln       x /  t     Suy     2 M (do x  t   M với t  0, T  )    e2 M   x /  t     2 M  e  1     x /  t     e2 M  1     2 Đặt: M1    e2 M  1  Khi M1  , M phụ thuộc vào M , A, B, C g M   Hơn x /  t   M1 với t  0, T  Nếu x /    x /  t   với t    ,   Khi  x /  t   x /  t  với t    ,   Từ (1) giả thiết ii), ta có x //  t     x /  t     Suy x //  t    M12   (do x /  t   M1 với t  0, T  ) Đặt: M   M12   Khi M  , M phụ thuộc vào M , A, B, C g M Hơn x //  t   M với t  0, T  Bổ đề chứng minh Mệnh đề 3.3.1 Giả sử điều kiện (a) bổ đề 3.3.1 thỏa mãn Nếu có hàm A  t , x  , C  t , x   liên tục, bị chặn tập compắc 0,T   số B  0,1 thỏa mãn: f  t , x, r , q   A  t , x  r  B q  C  t , x  với  t , x   0, T    M , M  r , q  Khi có số M M cho với nghiệm x tốn (E.3.3.1) ta có: 43 x  t   M , x /  t   M1 , x //  t   M với t  0, T  Ta xét toán sau: // / //   x  t    f  t , x  t  , x  t  , x  t     g  t  , t  0,T   / /   x    x  T  , x    x T  (E.3.3.2) Trong   0,1 Bổ đề 3.3.4 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Cho M  c, d  giống bổ đề 3.3.1 điều kiện (a) bổ đề 3.3.1 thỏa mãn ii) Cho A, C  B  0,1 cho: f  t , x, r , q   Ar  B q  C với  t , x   0, T    M , M  r , q  Khi có số M1 , M  thỏa mãn: Với   0,1 nghiệm x toán (E.3.3.2), ta có: x  t   M , x/  t   M1 , x//  t   M với t  0, T  Chứng minh Thay f  f g  g bổ đề 3.3.2 bổ đề 3.3.3 Bổ đề chứng minh Đặt: Y  C 0, T  không gian Banach gồm hàm liên tục x đoạn  0,T  với   chuẩn x  sup x  t  :  t  T Đặt: C k 0, T  không gian Banach gồm hàm có đạo hàm bậc k liên tục với   chuẩn x k  max x  :  i  k Trong i  chuẩn C 0, T   Đặt: X  x  C 0, T  : x    x T  , x /    x / T  Cho S : X  Y ánh xạ định bởi: Sx  t   x //  t  với x  X , t  0, T  Ta có S ánh xạ Fredholm số và: 44 T   N  S   x  X : x  t   conts , R  S    y  Y :  y  t  dt  0 ,   X  N S   X / , Y  N S   RS  Đặt: K   S  I  : X  Y K phép đẳng cấu tuyến tính Cho Yn , Qn  sơ đồ chiếu Y đặt: X n  K 1 Yn  X Khi lim d  x, X n   với x  X n Khi S   X n , Yn , Qn  sơ đồ chiếu chấp nhận cho ánh xạ từ X vào Y Ta có S : X  Y ánh xạ A-proper  S Đặt: N : X  Y ánh xạ định bởi: Nx  t   f  t , x  t  , x /  t  , x //  t   với t  0, T  , x  X Khi N ánh xạ liên tục từ tập bị chặn X đến tập bị chặn Y Định lý 3.3.1 Cho g  Y , f  t , x, r , q  : 0, T    hàm liên tục S ,  S , N phần Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i)  S   N  ánh xạ A-proper  S với    0,1 với c  gm  g M  d , x  M kéo ii) Tồn số M  c, d  theo d  f  t , x,0, r  với t  0, T  , r  với t  0, T  , r  ; x  M kéo theo f  t , x,0, r   c Trong gm  g  t  : t  0, T  g M  max g  t  : t  0, T  iii) Có hàm liên tục A  t , x  , C  t , x   , bị chặn tập compắc 0,T   số B  0,1 thỏa mãn: f  t , x, r , q   A  t , x  r  B q  C t , x  với  t , x   0, T    M , M  r , q  45 Khi tốn (E.3.3.1) có nghiệm Chứng minh Lấy r  max M , M1 , M  , M , M1 , M giống bổ đề 3.3.5 Đặt:   B  0, r   x : x  r Khi Sx   Nx   g với    0,1 x  T Đặt: Qu  u  t dt với u  Y Khi đó: Q : Y  N  S  phép chiếu T 0 Ta định nghĩa dạng song tuyến tính Y  X sau: T u, x   u  t  x  t  dt với  u, x   Y  X Nếu x  N  S  x  t  hàm Do x  c  r  M , dẫn đến x  r x  r T Từ giả thiết ii) suy QN  c   Qg    f  t , c,0,0   g  t  dt  0 T QN  c   Qg , c     f  t , c,0,0   g  t  cdt  Trong c  r c  r Từ định lý 3.1.1 ta kết luận toán (E.3.3.1) có nghiệm Định lý chứng minh Trường hợp đặc biệt toán (E.3.3.1) là: // /   x  t   f  t , x  t  , x  t    g  t  , t  0, T   / /   x    x  T  , x    x T  Trong f : 0, T    (E.3.3.3) hàm liên tục Ánh xạ N : X  Y định N  x  t   f  t , x  t  , x /  t   với t  0, T  ánh xạ compắc Do  S   N  ánh xạ A-proper  S Hệ 3.3.1 46 Cho g  Y , f  t , x, r  : 0, T    hàm liên tục S , S , N giống phần Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: i) Tồn số M  c, d  theo d  f  t , x,0  với t  0, T  , r  t  0, T  , r  với c  gm  g M  d , x  M kéo ; x  M kéo theo f  t , x,0   c với Trong gm  g  t  : t  0, T  g M  max g  t  : t  0, T  ii) Có hàm liên tục A  t , x  , C  t , x   , bị chặn tập compắc 0,T   cho: f  t , x, r   A  t , x  r  C  t , x  với  t , x   0, T    M , M  Khi tốn (E.3.3.3) có nghiệm Tiếp theo, ta xét phương trình sóng: utt  t , x   u xx  t , x   h  u  t , x    f  t , x  , t   0, 2  , x   0,    (E.3.3.4) u  t ,0   u  t ,    0, t   0, 2   u  0, x   u  2 , x  , x   0,   Trong h :  hàm liên tục thỏa mãn h  u    u   Và f  L2   0, 2    0,    , đó:     số Ta nói u  L2   0, 2    0,    nghiệm yếu toán (E.3.3.4) nếu: u, vtt  vxx    h u t , x   , v    f t , x  , v  với v  C 0,2   0,   thỏa mãn: v  t ,0   v  t ,    với t  0, 2  v  2 , x   v  0, x  với x  0,   Cho L : D  L   L2   0,2    0,     L2   0,2    0,    tốn tử sóng định bởi: Lu  utt  uxx Khi L tự liên hợp, trù mật, đóng Ker  L  khơng gian vơ hạn chiều với Ker  L   Im  L  Do L dạng ánh xạ Fredholm số  Cho P : L2   0,2    0,     Ker  L  phép chiếu 47 Khi  L   P  : L2   0,2    0,     D  L  ánh xạ compắc với   1 Với   , ta xét toán sau: utt  t , x   u xx  t , x   u  t , x   h  u  t , x    f  t , x  , t   0, 2  , x   0,    u  t ,0   u  t ,    0, t   0, 2   u  0, x   u  2 , x  , x   0,   (E.3.3.5) Trong h, f giống tốn (E.3.3.4) Cho u nghiệm yếu (E.3.3.5) tồn đặt: S  u :   0 Định lý 3.3.2 Hoặc S không bị chặn L2   0, 2    0,    tốn (E.3.3.4) có nghiệm yếu Chứng minh Cho N : L2   0,2    0,     L2   0,2    0,    định bởi: Nu  t , x   h  u  t , x    f  t , x  với u  t , x   L2   0, 2    0,    Do h  u    u   nên N ánh xạ liên tục bị chặn Ta giả sử S bị chặn L2   0, 2    0,    Khi tồn r0  cho: u  Cho   u  t , x   L2   0, 2    0,    : u L2 L2  r0 với u  S   r0 Do   nên PNu   Pu với u  C 0, 2   0,      Giả sử Lu  Nu với u  C 0, 2   0,    Do định lý 3.2.5 nên deg  L  N , ,0   1 Vậy tốn (E.3.3.4) có nghiệm yếu Định lý chứng minh   48 KẾT LUẬN Mục đích luận văn trình bày định nghĩa bậc suy rộng ánh xạ A-proper, tính chất quan trọng bậc ứng dụng vào việc chứng tỏ tồn nghiệm số tốn mục 3.3 Thơng qua luận văn, thực làm quen với việc nghiên cứu tài liệu khoa học cách sâu sắc hơn, hệ thống hết học phương pháp nghiên cứu khoa học từ người Thầy hướng dẫn Tuy nhiên, với hiểu biết thân nhiều hạn chế nên mong nhận góp ý q báu q Thầy, Cơ hội đồng bảo vệ luận văn 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Hồn Hóa (2012), Định lý điểm bất động ứng dụng để nghiên cứu tồn nghiệm phương trình, Tp.Hồ Chí Minh Tiếng Anh Donal O’Regan, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen (2006), Volume 10: Topological Degree Theory And Applications, Taylor – Francis Group, pp 75-103 WoloDymyr V.Petryshyn (1995), Generalized Topological Degree And Semilinear Equations, Cambridge University ... Chương ÁNH XẠ A-PROPER 1.1 Định nghĩa sơ đồ chiếu 1.2 Ánh xạ A-proper .5 Chương BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER 11 2.1 Định nghĩa bậc suy rộng ánh xạ A-proper. .. Y dạng ánh xạ Fredholm số ánh xạ N : D  X  Y   i) Nếu I  P   J 1Q  K PQ  N ánh xạ A-proper  ta nói N ánh xạ L -A-proper    ii) Nếu I  P   J 1Q  K PQ  N ánh xạ giả A-proper. .. Vậy T  S   N ánh xạ A–proper  S với    0,1 Bổ đề chứng minh   có dãy yn/j hội tụ j 11 Chương BẬC SUY RỘNG CỦA ÁNH XẠ A-PROPER 2.1 Định nghĩa bậc suy rộng ánh xạ A-proper Cho X , Y