Ánh xạ gauss và ứng dụng (KL06085)

TRNG I HC S PHM H NI II KHOA TON o0o DON TH Lí VN NH X GAUSS V NG DNG KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc Th.S Trn Vn Ngh H NI-2014 LI CM N Trong thi gian thc hin ti khúa lun tt nghip, di s ch bo tn tỡnh ca thy hng dn v c phớa nh trng to iu kin thun li em ó cú mt quỏ trỡnh nghiờn cu, tỡm hiu v hc nghiờn tỳc hon thnh khúa lun Kt qu thu c khụng ch n lc ca bn thõn m cũn cú s giỳp ca quý thy cụ khoa Toỏn-Trng i hc S phm H Ni 2, Ban ch nhim khoa Toỏn, gia ỡnh v cỏc bn Em xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo ó giỳp em c bit l thy Trn Vn Ngh thy ó hng dn, h tr em hon thnh tt khúa lun tt nghip v phng phỏp, lý lun v ni dung sut thi gian thc hin khúa lun tt nghip H Ni, ngy 29 thỏng 05 nm 2014 Sinh viờn Doón Th Lý Võn i LI CAM OAN Khúa lun ny c hon thnh sau quỏ trỡnh t tỡm hiu, nghiờn cu ca bn thõn em v s hng dn tn tỡnh ca Thc s Trn Vn Ngh Trong khúa lun, em cú tham kho cỏc kt qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc v ngoi nc Em xin cam oan khúa lun ny khụng chộp t bt kỡ khúa lun no v em xin chu hon ton trỏch nhim v li cam oan ca mỡnh H Ni, ngy 29 thỏng 05 nm 2014 Sinh viờn Doón Th Lý Võn ii Mc lc LI NểI U 1 KIN THC CHUN B 1.1 Cỏc mt chớnh quy v to nh ca cỏc giỏ tr chớnh quy 1.2 Hm kh vi trờn mt 1.3 Mt phng tip xỳc ca mt cong v vi phõn ca mt ỏnh x 1.4 Dng c bn th nht v din tớch 4 5 7 26 26 30 38 48 48 51 61 61 69 NH X GAUSS V NG DNG 2.1 nh x Gauss v mt s tớnh cht c bn 2.2 nh x Gauss h to a phng 2.2.1 nh x Gauss h to a phng 2.2.2 Tớnh cht 2.2.3 Kt lun 2.3 Cỏc trng vect 2.3.1 Cỏc trng vect 2.3.2 Trng cỏc hng 2.4 Cỏc mt k v mt cc tiu 2.4.1 Cỏc mt k 2.4.2 Cỏc mt cc tiu KT LUN 81 TI LIU THAM KHO 83 LI NểI U Lý chn ti Hỡnh hc l mụn khoa hc i nghiờn cu v tớnh cht nh tớnh v nh lng ca cỏc hỡnh Tựy vo cỏc phng phỏp nghiờn cu khỏc m cú nhng ngnh hỡnh hc khỏc nh Hỡnh hc Afin, Hỡnh hc X nh, Hỡnh hc Vi phõn, Hỡnh hc Gii tớch, Hỡnh hc i s, Tụpụ Hỡnh hc Vi phõn l ngnh hỡnh hc ng dng phộp tớnh vi phõn vo gii quyt cỏc bi toỏn hỡnh hc ú, cỏc nh ngha v cỏc tớnh cht c bn ca ỏnh x Gauss l mt nhng cụng c then cht nghiờn cu cỏc tớnh cht a phng ca mt nh x Gauss l cụng c nh ngha cỏc khỏi nim cong bao gm: cong Gauss, cong trung bỡnh, cong chớnh quy Vi cỏc mt i mt chiu, mt E3 v siờu phng En , ỏnh x Gauss ó chng t l mt cụng c hu hiu nghiờn cu tớnh cht a phng ca chỳng Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v cỏc i tng núi trờn v c s nh hng ca thy hng dn, tụi ó quyt nh chn ti ny trỡnh by khúa lun tt nghip i hc ngnh S phm Toỏn Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca khúa lun ny l h thng cỏc khỏi nim, nh ngha, cỏc nh lớ v mt s tớnh cht c bn ca ỏnh x Gauss E3 Tỡm hiu ỏnh x Gauss h ta phng v tỡm hiu cỏc trng vect cỏc mt k, cỏc mt cc tiu, i tng v phm vi nghiờn cu a i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu l ỏnh x Gauss v cỏc tớnh cht c bn ca nú b Phm vi nghiờm cu Phm vi nghiờn cu l lý thuyt v ỏnh x Gauss Nhim v nghiờn cu Nhim v nghiờn cu l lm rừ cỏc nh ngha ca ỏnh x Gauss v cỏc tớnh cht c bn ca ỏnh x Gauss, tỡm hiu v ỏnh x Gauss h ta a phng, tỡm hiu cỏc trng vect cỏc mt k, cỏc mt cc tiu, Phng phỏp nghiờn cu Phõn tớch v tng hp kin thc Cu trỳc khúa lun Khúa lun gm chng: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: nh x Gauss v ng dng Chng KIN THC CHUN B 1.1 Cỏc mt chớnh quy v to nh ca cỏc giỏ tr chớnh quy nh ngha 1.1 Mt S R3 l mt mt chớnh quy nu vi mi p X tn ti mt lõn cn V R3 v ỏnh x X : U V S t mt m U R2 n V S R3 cho: i) X l ỏnh x kh vi iu ú cú ngha l X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) U vi cỏc hm x(u, v), y(u, v), z(u, v) cú o hm riờng liờn tc mi cp U ii) X l mt ng phụi vỡ X l liờn tc theo iu kin i) nờn iu ny cú ngha l X cú ỏnh x ngc X : V S U liờn tc Núi cỏch khỏc, X l hn ch ca mt ỏnh x liờn tc F : W R3 R3 xỏc nh trờn mt m W cha V S iii) (iu kin chớnh quy) Vi mi q U , vi phõn dXq : R2 R2 l n ỏnh nh x X c gi l mt tham s húa hay mt h ta (a phng) (mt lõn cn) ca p Lõn cn V S ca p S c gi l mt lõn cn ta nh ngha 1.2 Cho ỏnh x kh vi F : U Rn Rm xỏc nh mt m U ca Rn ta thy rng p U l mt im ti hn ca F nu vi phõn dFp : Rn Rm khụng l ton ỏnh nh F (p) Rm ca mt im ti hn c gi l giỏ tr ti hn ca F Mt im ca Rm m khụng phi giỏ tr ti hn c gi l giỏ tr chớnh quy ca F Mnh 1.1 Nu f : U R3 R l mt hm kh vi v a f (U ) l mt giỏ tr chớnh quy ca f thỡ f (a) l mt mt chớnh quy R3 Mnh 1.2 Cho S R3 l mt mt chớnh quy v p S Khi ú tn ti mt lõn cn V ca p S cho V l th ca mt hm kh vi cú mt ba dng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z) Mnh 1.3 Cho S mt chớnh quy v ỏnh x X : U R2 R3 , X(u) S Nu X l n ỏnh tho iu kin i) v iii) nh ngha 1.1 thỡ X l liờn tc, cú ngha l X tho iu kin ii) v ú X l mt tham s hoỏ 1.2 Hm kh vi trờn mt nh ngha 1.3 Cho f : V S R l mt hm xỏc nh trờn mt m V ca mt mt chớnh quy S Hm f c gi l kh vi ti p V nu vi tham s húa X : U R2 S vi p X(U ) V , thỡ hm hp X : U R2 R l kh vi ti X (p) Hm f c gi l kh vi trờn V nu nú kh vi ti mi im ca V 1.3 Mt phng tip xỳc ca mt cong v vi phõn ca mt ỏnh x nh ngha 1.4 Mt vect tip xỳc ca mt chớnh quy S ti mt im p S l mt vect tip xỳc ca cung tham s kh vi cú vt nm trờn S : (, ) S; vi (0) = p Tp tt c vect tip xỳc ca S ti p gi l mt phng tip xỳc ca S ti p, kớ hiu l Tp S Mnh sau cho thy mi khụng gian tip xỳc Tp S l mt khụng gian vect hai chiu Mnh 1.4 Gi s X : U R2 S l mt tham s húa ca mt chớnh quy S vi q U Khi ú khụng gian vect hai chiu dXq (R2 ) R3 chớnh l khụng gian tip xỳc vi S ti X(q) Mnh 1.5 nh x dp : Tp (S1 ) T(p) (S2 ) xỏc nh bi dp (w) = (0) l tuyn tớnh Theo trờn ta cú: u (0) = dp (w) = u v v u (0) v (0) ngha l ỏnh x tuyn tớnh t Tp (S1 ) vo T(p) (S2 ) m ma trn i vi cp c s {Xu , Xv } ca Tp (S1 ) v X u , X v ca T(p) (S2 ) chớnh l u u v v nh x tuyn tớnh dp xỏc nh bi Mnh 1.2 c gi l vi phõn ca ti p S1 Tng t ta xỏc nh vi phõn mt hm f : U S R ti p U cng l ỏnh x tuyn tớnh dfp : Tp (S) R Mnh 1.6 Nu S1 v S2 l cỏc mt chớnh quy v : U S1 S2 l mt ỏnh x kh vi ca m U S1 cho vi phõn dp ca ti p U l phộp ng cu ú c gi l vi phụi a phng ti p Cho mt im p mt chớnh quy S , cú hai vect n v ca R3 l trc giao ca mt phng tip xỳc Tp (S) c gi l mt vect phỏp tuyn n v ti p ng thng i qua p v cha mt vect phỏp tuyn n v ti p c gi l ng trc giao ti p Gúc ca hai mt phng ct ti im p l gúc ca mt phng tip xỳc ca nú ti p 1.4 Dng c bn th nht v din tớch Ta thy rng, tớch vụ hng ca R3 S cm sinh trờn tng mt phng tip xỳc Tp (S) ca mt mt chớnh quy S Mt tớch vụ hng c kớ hiu l w1 , w2 p Nu w1 , w2 Tp (S) R3 Khi y w1 , w2 p bng tớch vụ hng ca w1 v w2 nh vect R3 Tớch vụ hng ny m cú song tuyn i xng tớnh dng ( w1 , w2 , w2 , w1 v w1 , w2 l tuyn tớnh c hai w1 v w2 ) cú tng ng mt dng ton phng Ip : Tp (S) R cho bi Ip (w) = w, w = |w|2 > (1.1) nh ngha 1.5 Dng ton phng Ip trờn Tp (S) xỏc nh bi biu thc (1.1) c gi l dng c bn th nht ca mt chớnh quy S R3 ti p S nh ngha 1.6 Cho R S l mt b chn ca mt mt chớnh quy cha lõn cn ta ca tham s húa X : U R2 S S dng: |Xu Xv | dudv = A(R), Q = X (R); Q c gi l din tớch ca R Chng NH X GAUSS V NG DNG 2.1 nh x Gauss v mt s tớnh cht c bn Khi nghiờn cu tc thay i ca tip tuyn ca mt ng cong C ti mt im dn ta n mt bt bin hỡnh hc quan trng, cong ti im ang xột ca ng cong Khi nghiờn cu tc thay i ca mt phng mt tip, hay mt cỏch tng ng tc thay i ca cỏc vect trựng phỏp, ta cú khỏi nim xon, l bt bin hỡnh hc quan trng th hai ca ng cong Hai bt bin ny phn ỏnh hỡnh dng a phng ti tng im ca cong Mt cỏch hon ton tng t, ta s xột tc bin thiờn ca mt phng tip xỳc mt lõn cn ca im p ca mt mt chớnh quy hay mt cỏch tng ng l tc ca trng vect phỏp tuyn n v lõn cn ú Tc bin thiờn ny khụng c c trng bi mt s m c c trng bi mt t ng cu tuyn tớnh t liờn hp ca Tp S Nhiu tớnh cht a phng ỏng ngc nhiờn c tỡm thy t s nghiờn cu ỏnh x tuyn tớnh ny Nh ta ó bit, mt tham s húa X : U R2 S ca mt mt chớnh quy S ti mt im p S , ú, ta cú th chn mt vect phỏp tuyn n v ti mi im ca X(U ) bi cụng thc Nq = X u Xv q, q X(U ) |Xu Xv | Do ú, ta cú mt ỏnh x kh vi N : X(U ) R3 m cho tng ng vi mi q X(U ) mt vect phỏp tuyn n v N (q) Núi chung, vi V S l mt m S v N : V R3 l mt ỏnh x kh vi m nú tng ng vi mi q V mt vect phỏp tuyn n v ti q Khi ú, ta núi rng N l mt trng vect phỏp tuyn n v kh vi trờn V Vớ d, trờn mt Mobius ca hỡnh 2.1 nú khụng th c xỏc nh nh mt trng Hỡnh 2.37: Mt bao ca mt h mt phng tip xỳc dc theo ng song song ca mt mt cu Vy X l mt mt bao Bõy gi, ta s chng minh X l chớnh quy mt lõn cn ca v = v nú l tip tuyn ca S dc theo Ti v = 0, ta cú (N N ) N = N , |N | |N | kn N N = , = N , |N | |N | Xs X v = ú, kn = kn (s) l cong phỏp tuyn ca Vỡ kn (s) = 0, nờn X l chớnh quy mt lõn cn ca v = v vect phỏp tuyn n v ca X ti X(s, 0) l N (s) Do ú, X l tip tuyn ca S dc theo v = Vy ta cú iu phi chng minh Kt lun Ly (s) l mt ng cong tham s húa c bi mt di trờn mt mt S v gi s l tip tuyn ca mt phng tim cn Khi ú, mt bao (2.27) ca h cỏc mt phng tip xỳc ca S dc theo l mt mt bao, chớnh quy mt lõn cn ca (s) v tip xỳc vi S dc (s) 2.4.2 Cỏc mt cc tiu nh ngha 2.15 Mt mt tham s húa chớnh quy c gi l mt cc tiu nu cong trung bỡnh ti mi im bng Mt mt chớnh quy S R3 l cc tiu nu mi tham s húa l cc tiu Cho X : U R2 R3 l mt mt tham s húa chớnh quy Ly D U l b chn v h : D R l mt hm kh vi, ú D l hp ca D vi biờn D ca nú Ta gi mt bin phõn chun tc ca X(D), xỏc nh bi h, 69 l ỏnh x c cho bi (Hỡnh 2.38) : D ì (, ) R3 , xỏc nh nh sau (u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N (u, v), (u, v) D, t (, ) Vi mi t (, ) c nh, ỏnh x X t : D R3 : X t (u, v) = (u, v, t) l mt mt tham s húa Tớnh toỏn trc tip cho ta X t = Xu + thNu + thu N, u X t = Xv + thNv + thv N v Hỡnh 2.38: Mt bin phõn chun tc ca X(D) Kớ hiu E t , F t , Gt l cỏc h s ca dng c bn th nht ca X t , ta cú E t = E + th ( Xu , Nu + Xu , Nu ) + t2 h2 Nu , Nu + t2 hu hu , F t = F + th ( Xu , Nv + Xv , Nu ) + t2 h2 Nu , Nv + t2 hu hv , Gt = G + th ( Xv , Nu + Xv , Nv ) + t2 h2 Nv , Nv + t2 hv hv Thay Xu , Nu Xu , Nv + Xv , Nu Xv , Nv = e, = 2f, = g v cong trung bỡnh H l H= Eg 2f E + Ge , EG F 70 nờn ta c E t Gt (F t ) = EG F 2th(Eg 2F f + Ge) + R = (EG F )(1 4thH) + R, ú, lim t0 R t = Nu nh, thỡ X t l mt mt tham s húa chớnh quy Hn na, tớch phõn A(t) ca X t (D) l E t Gt (F t )2 dudv A(t) = D = 4thH + R EG F dudv, D R EG F Nu nh, thỡ A l mt hm kh vi v o hm ca nú ti t = l vi R = A (0) = 2hH EG F dudv (2.30) D Tớnh cht 2.7 Gi s X : U R3 l mt mt tham s húa chớnh quy v ly D U l mt gii hn U Khi ú, mt tham s X l cc tiu v ch A (0) = vi mi b chn D v mi bin phõn chun tc ca X(D) Chng minh Nu X l cc tiu, H 0, v ú A (0) = Ngc li, gi s A (0) = v tn ti im q D cho H(q) = Khụng gim tớnh tng quỏt ta gi s H(q) > Chn h : D R cho h(q) = H(q) v h ngoi mt lõn cn nh ca q Khi ú A (0) < 0, mõu thun vi gi thit Chng t, H = Vỡ vy, gii hn bt kỡ X(D) ca mt mt cc tiu X l mt im ti hn cho hm tớch phõn ca bin phõn chun tc bt kỡ ca X(D) Chỳ ý im ti hn ny cú th khụng l im cc tiu Mt mt tham s húa chớnh quy X = X(u, v) c gi l trc giao nu Xu , Xu = Xv , Xv v Xu , Xv = Tớnh cht 2.8 Ly X = X(u, v) l mt mt tham s húa chớnh quy v gi s X l trc giao Khi ú Xuu + Xvv = 22 H, ú = Xu , Xu = Xv , Xv 71 Chng minh Vỡ X l trc giao, nờn Xu , Xu = Xv , Xv = Xv , Xv v Xu , Xv = Ly vi phõn, ta c Xuu , Xu = Xvu , Xv = Xu , Xuv Do ú, Xuu + Xvv , Xu = Tng t, cú Xuu + Xvv , Xv = Suy ra, Xuu + Xvv song song vi N Vỡ X l trc giao, H= g+e ã Vỡ vy, 22 H = g + e = N, Xuu + Xvv ; Do ú, Xuu + Xvv = 22 H nh ngha 2.16 Toỏn t Laplace f ca hm kh vi f : U R2 R c xỏc nh bi f = 2f 2f + , u2 v (u, v) U Ta núi, f l hm iu hũa U nu f = H qu 2.5 Ly X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) l mt tham s húa v gi s X l trc giao Khi ú X cc tiu v ch cỏc hm ta x, y, z l hm iu hũa Vớ d 2.25 Mt catenoit, cho bi X(u, v) = (a cosh v cos u, a cosh v sin u, av), vi < u < 2, < v < z õy l mt sinh bi sinh bi s quay quanh dõy chuyn y = a cosh vi a trc z (Hỡnh 2.39) D dng ta kim tra c E = G = a2 cosh2 v, F = v Xuu + Xvv = Do ú, mt Catenoit l mt mt cc tiu Xột ng cong y = f (x) cho, ng cong ny quay quanh trc x to mt mt cc tiu Vỡ cỏc ng song song v cỏc kinh tuyn ca mt mt 72 Hỡnh 2.39: trũn xoay l cỏc ng cong ca mt, nờn phi cú cong ca ng cong y = f (x) cong phỏp tuyn ca ng trũn sinh bi im f (x) õm Vỡ cong ca y = f (x) l y (1 + (y )2 ) v cong phỏp tuyn ca ng trũn l hỡnh chiu ca cong thng ca nú = y t phỏp tuyn N xung mt (Hỡnh 2.40), ta cú y = cos y (1 + (y )2 ) Do cos = cos v tan = y nờn y (1 + (y )2 ) = 1 ã y (1 + (y )2 ) 21 l phng trỡnh tha ng cong y = f (x) Khi ú,tn ti im x m f (x) = Nhõn c hai v ca phng trỡnh trờn vi 2y , ta c: 2y y 2y = + (y )2 y t + (y )2 = z 2y y = z , suy z 2y = z y Ly tớch phõn, ta c log z = log y + log k = log(yk)2 , k = const 73 Hỡnh 2.40: hay + (y )2 = z = (yk)2 Do ú, kdy (yk)2 = kdx, Ly tớch phõn ln na ta c cosh1 (yk) = kx + C, C = const hay cosh(kx + C) k Vỡ vy, lõn cn ca mt im m f = 0, ng cong y = f (x) l mt dõy chuyn Nhng y = ti x = 0, v nu mt k c liờn thụng thỡ ng y= cong ny l mt mt catenoit Vớ d 2.26 (Mt inh c) Cho mt tham s húa xỏc nh bi X(u, v) = (a sinh v cos u, a sinh v sin u, au) D dng, cú E = G = a2 cosh2 v, F = v Xuu + Xvv = Vỡ vy, mt inh c l mt cc tiu Vớ d 2.27 (Mt cc tiu Enneper) Mt Enneper l mt tham s húa X(u, v) = u v3 u3 + uv , v + vu2 , u2 v 3 õy l mt cc tiu 74 , vi (u, v) R2 , Chỳ ý: Khi thay (u, v) bng (v, u), mt, thỡ (x, y, z) thay bng (y, x, z) Vỡ vy, nu ta thc hin mt phộp quay theo chiu dng ca vi trc z v nú i xng mt phng xy thỡ mt bt bin Mt tớnh cht thỳ v ca mt Enneper l nú t ct iu ny cú th c ch bng cỏch t u = cos , v = sin , ta vit X(r, ) = ( cos 3 cos 3, sin + sin 3, cos 2) 3 Do ú, nu X(1 , ) = X(2 , ), thỡ ta c 61 241 cos + cos 21 3 x2 + y = 21 + = = + cos 22 2 Khi ú, vỡ 21 cos 21 = 22 cos 22 , ta cú + 31 = + , 3 Suy = Khi ú cos 21 = cos 22 Vớ d, nu = v = , t y(1 , ) = y(2 , ) ta c y = y Do ú y = 0; ngha l, cỏc im (1 , ) v (2 , ) thuc ng cong sin + sin = Rừ rng, vi mi im (, ) thuc ng cong ny thỡ im (, ) cựng thuc nú, v x(, ) = x(, ), z(, ) = z(, ) Vỡ vy, s tng giao ca mt vi mt phng y = l mt ng cong dc theo mt ct chớnh nú Tng t, s tng giao ca mt vi mt phng x = cng l mt ng cong ca s t ct (tng ng vi trng hp = , = ) 75 * Xột cỏc mt cc tiu trờn mt phng phc Kớ hiu C l mt phng phc t = u + iv; C, (u, v) R2 Ta gi hm f : U C C l hm gii tớch, vit f () = f1 (u, v) + if2 (u, v), Cỏc hm thc f1 v f2 cú cỏc o hm riờng bc nht liờn tc m tha l cỏc phng trỡnh Cauchy-Riemann: f1 f2 f1 f2 = ; = u v v u Ly X : U R2 R3 l mt mt tham s húa chớnh quy v xỏc nh cỏc hm phc , , x x i , u v y y () = i , u v z z () = i , u v () = ú x, y, z l cỏc hm thnh phn ca X B 2.2 X l trc giao v ch 21 + 22 + 23 Nu iu kin cui tha thỡ X l cc tiu nu v ch nu , v l cỏc hm gii tớch Chng minh Ta cú 21 + 22 + 23 = E G + 2iF , Hn na, Xuu + Xvv = v ch u x u = v x v , u y u = v y v , u z u = v z v õy l cỏc phng trỡnh Cauchy-Riemann cho , iu ngc li hon ton ỳng Do ú, ta c Xuu + Xvv = v ch , , l cỏc hm gii tớch Vớ d 2.28 (Mt cc tiu Scherk) Mt ny c cho bi : X(u, v) = arg +i +1 + , arg , log j 76 , = 1, = i, ú, = u + iv v arg l gúc m trc thc to vi D dng ta cú arg +i 2u = tan1 , i u + v2 arg +1 2v = tan1 , u + v2 log + = (u2 v + 1) + 4u2 v log ; (u v 1)2 + 4u2 v Do ú, x x i = , u v + 2i , = = = Vỡ 21 + 22 + 23 v , , l gii tớch, X l tham s húa trc giao ca mt mt cc tiu, nờn biu thc liờn h gia x, y, z l z = log cos y cos x nh lý 2.4 (Osserman) Ly S R3 l mt mt chớnh quy, úng, cc tiu R3 m khụng l mt mt phng Khi ú, nh ca ỏnh x Gauss N : S S l trự mt mt cu S (ngha l, úng vi bt kỡ im no ca S cú im N (S) S ) Bi Chng minh rng mt inh c l mt mt k, ng tht ca nú l trc z , v tham s phõn phi ca nú khụng i Chng minh rng trờn phộp quay hyperboloid x2 + y z = 1, ng song song vi bỏn kớnh nh nht l ng tht, cỏc ng sinh gp di mt gúc khụng i Ly : I S R3 l mt ng cong trờn mt mt chớnh quy S v xột mt k sinh bi h {(t), N (t)}, ú N (t) l phỏp tuyn ca mt ti (t) Chng minh rng (I) S l mt ng cong S nu v ch nu mt k ny l mt bao 77 Gi s mt mt k khụng tr X(t, v) = (t) + vw(t), |w| = 1, l chớnh quy Ly w(t1 ), w(t2 ) l cỏc phng ca hai ng sinh ca X v ly X(t1 , v1 ), X(t2 , v2 ) l chõn ng vuụng gúc chung vi hai ng sinh ny Vỡ t2 t1 , nờn cỏc im ny xoay v mt im X(t1 , v) xỏc nh (t1 , v) Chng minh rng: a Vect n v ca ng vuụng gúc chung hi t ti mt vect n v tip xỳc vi mt ti (t1 , v) Chng minh, ti (t1 , v), w w, N = b v = ( , w | w , w ) Do ú, (t1 , v) l im trung tõm ca ng sinh qua t1 , v a s din gii khỏc ca ng tht (gi s khụng suy bin) Mt conoit thng l mt mt k m cỏc ng sinh ca nú luụn ct vuụng gúc vi ti trc r c nh m khụng gp ng chun : I R3 a Tỡm mt tham s húa cho conoit thng v xỏc nh mt iu kin nú khụng l mt tr b Cho mt cenoit thng khụng tr, tỡm ng trc v tham s phõn phi Ly X(t, v) = (t) + vw(t) l mt mt bao Chng minh rng ti mt im chớnh quy ta cú Nv , Xv = Nv , Xt = Chng minh rng mt phng tip xỳc ca mt bao l khụng i dc theo mt ng sinh c nh (cỏc ng chớnh quy) Cho S l mt mt chớnh quy v ly C S l mt ng cong chớnh quy trờn S , luụn tip xỳc vi mt phng tim cn Xột mt bao ca h cỏc mt phng tip xỳc ca S dc theo C Chng minh rng phng ca ng sinh m i qua mt im p C l liờn hp vi phng tip xỳc ca C ti p 78 Chng minh rng nu C S l mt ng song song ca mt mt cu n v S , thỡ mt bao ca cỏc mt phng tip xỳc ca S dc theo C hoc l mt mt tr, nu C l mt xớch o, hoc l mt mt nún, nu C khụng l mt xớch o (Cỏc mt tiờu) Ly S l mt chớnh quy m khụng cú cỏc im parabolic hoc im rn Ly X : U S l mt tham s húa ca S cho cỏc ng cong ta l cỏc ng chớnh (nu U nh, iu ny khụng xy ra) Cỏc mt tham s húa Y (u, v) = X(u, v) + N (u, v), Z(u, v) = X(u, v) + N (u, v) 1 , = , c gi l cỏc mt tiờu ca X( U ) (hoc cỏc mt k1 k2 trung tõm ca X(U )) Chng minh rng: ú = a Nu (k1 )u v (k2 )v l khỏc khụng, thỡ Y v Z l cỏc mt tham s húa chớnh quy b Ti cỏc im chớnh quy, cỏc phng trờn mt mt tiờu tng ng vi cỏc phng chớnh trờn X(U ) l liờn hp Ngha l, vớ d, Yu v Yv l cỏc vect liờn hp Y (U ) vi (u, v) U c Mt mt tiờu Y cú th c xõy dng nh sau: Xột ng chớnh X(u, const) trờn X(u), v xõy dng mt bao sinh bi cỏc phỏp tuyn ca X(U ) dc theo ng cong X(u, const) ng tht ca mt mt bao nh vy nm trờn Y (U ), v vỡ X(u, const) biu din X(U ), ng ny biu din Y (U ) 10 H mt tham s kh vi ca cỏc mt phng {(t), N (t)} l mt tng ng m gỏn vi mi t I mt im (t) R3 v mt vect n v N (t) R3 cho c v N u l cỏc ỏnh x kh vi Mt h {(t), N (t)}, t I , c gi l mt h cỏc mt phng tip xỳc nu (t) = 0, N (t) = 0, v (t), N (t) = vi t I a Chng minh rng mt tham s húa kh vi ca mt h cỏc mt phng tip xỳc {(t), N (t)} xỏc nh h mt tham s húa kh vi ca cỏc ng X(t, v) = (t) + v N N ) |N | Mt (*) c gi l mt bao ca h {(t), N (t)} 79 (*) b Chng minh rng nu (t) (N (t) N (t)) = vi t I , thỡ mt bao (*) l chớnh quy mt lõn cn ca v = 0, v vect phỏp tuyn n v ca X ti (t, 0) l N (t) c Ly = (s) l mt ng cong R3 tham s húa bi di Gi s cong k(s) v xon (s) ca l khỏc khụng Chng minh rng h cỏc mt phng mt tip {(s), (s)} l h mt tham s húa kh vi ca cỏc mt phng tip xỳc v mt bao ca h ny l mt tip xỳc vi (s) 11 Ly X = X(u, v) l mt tham s húa chớnh quy Mt mt song song vi X l mt mt tham s húa Y (u, v) = X(u, v) + aN (u, v), ú a l hng s a Chng minh rng Yu Yv = (1 2Ha + ka2 )(Xu Xv ), ú K v H ln lt l cỏc cong Gauss v cỏc cong trung bỡnh ca X b Chng minh rng ti cỏc im chớnh quy, cong Gauss ca Y l K 2Ha + Ka2 v cong trung bỡnh ca Y l H Ka 2Ha + Ka2 c Ly mt mt X cú cong trung bỡnh khụng i bng vi c = v xột mt song song vi X ti mt khong cỏch 2c Chng minh rng mt song song ny cú cong Gauss khụng i bng 4c2 12 Chng minh rng khụng cú mt cc tiu compact no (tc l, b gii hn v kớn R3 ) 13 a Cho S l mt chớnh quy m khụng phi cỏc im rn Chng minh rng S l mt cc tiu nu v ch nu ỏnh x Gauss N : S S tha món, vi p S v w1 , w2 Tp (S), dNp (w1 ), dNp (w2 ) N(p) = (p) w1 , w2 p, ú (p) = l mt s m khụng ch ph thuc vo p 80 b Ly X : U S l tham s húa ca mt cu n v S bi (, y) U , ú l phộp chiu ni Xột mt lõn cn V ca mt im p ca mt cc tiu S cho N : S S gii hn vi V l phộp vi ng phụi (K(p) = det(dN p) = 0, tn ti mt V nh vy nh lớ hm ngc) Chng minh rng tham s húa Y = N X : U S l trc giao 14 Khi cú hai hm kh vi f, g : U R2 R tha cỏc phng trỡnh Cauchy-Riemann f g = , u v f g = , v u chỳng l cỏc hm iu hũa; bi toỏn ny, f v g c gi l liờn hp iu hũa Ly X v Y l cỏc tham s húa trc giao ca cỏc mt cc tiu cho hm thnh phn ca chỳng l ụi mt liờn hp iu hũa; thỡ X v Y c gi l cỏc mt cc tiu liờn hp Chng minh rng a Mt inh c v mt cateroit l cỏc mt cc tiu liờn hp b Cho hai mt cc tiu liờn hp X v Y , mt Z = (cos t)X + (sin t)Y (*) l cc tiu mt ln na vi t R c Mi mt ca h mt tham s húa (*) cú cựng dng c bn: E = Xu , Xu = Yv , Yv , F = 0, G = Xv , Xv = Yv , Yv Do ú bt kỡ hai mt cc tiu liờn hp no cú th c liờn kt qua mt h tham s húa ca mt cc tiu, v dng c bn th nht ca h ny l c lp vi t 81 KT LUN Phn ni dung chớnh ca khúa lun ny l trỡnh by cỏc nh ngha ca ỏnh x Gauss v cỏc tớnh cht c bn ca nú, ỏnh x Gauss h ta a phng v cỏc trng vect ca cỏc mt k v cỏc mt cc tiu Sau quỏ trỡnh nghiờn cu, em ó tỡm hiu thờm c nhiu kin thc mi, cng c cho mỡnh thờm nhiu kin thc v hỡnh hc Mc dự ó cú nhiu c gng song iu kin khỏch quan cng nh ch quan, khúa lun khụng trỏnh nhng thiu sút, em mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn Mt ln na em xin chõn thnh cm n tt c cỏc quý thy cụ giỏo cựng cỏc bn ó giỳp em sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khúa lun ny 82 Ti liu tham kho [1] on Qunh, Hỡnh hc vi phõn, NXB GD (2009) [2] on Qunh, Trn ỡnh Vit, Trng c Hinh, Nguyn Hu Quang, Bi hỡnh hc vi phõn, NXBGD (1993) [3] Phm Bỡnh ụ, Hỡnh hc vi phõn, NXB HSP (2010) [4] M.P.do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall (1976) 83 [...]... hướng N Ánh xạ N : S → R3 lấy các giá trị trong mặt cầu đơn vị S 2 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = 1 Ánh xạ N : S → S 2 , được xác định như trên, được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S (Hình 2.2) 8 Hình 2.2: Ánh xạ Gauss Hình 2.3: Mặt phẳng:dNp = 0 Rõ ràng, ánh xạ Gauss là khả vi Khi đó, vi phân dN p của N tại p ∈ S là một ánh xạ tuyến tính từ Tp (S) đến TN (p) (S 2 ) Khi đó, Tp (S) và TN... chính quy C và tạo ra một góc θ(p), p ∈ C Giả sử rằng C là một đường chính của S1 Chứng minh rằng θ(p) là hằng số khi và chỉ khi C là một đường chính của S2 16 Chứng minh rằng các kinh tuyến của một mặt xuyến là các đường chính 17 Chứng minh rằng nếu H ≡ 0 trên S và S không có các đường phẳng nào, thì ánh xạ Gauss N : S → S 2 có tính chất sau: dNp (w1 ), dNp (w2 ) = −K(p) w1 , w2 với ∀p ∈ S và ∀w1 ,... (0); Từ đây, ta có dNp (Xu ) = Nu và dNp (Xv ) = Nv Vì vậy, để chứng minh dNp là tự liên hợp, ta phải chỉ ra rằng Nu , Xv = Xu , Nv Để làm rõ điều này, ta lấy các đạo hàm của N, Xu = 0 và N, Xv = 0, lần lượt tương ứng với v và u, và thu được Nv , Xu + N, Xuv = 0, Nu , Xv + N, Xvu = 0 Vì vậy, Nu , Xv = − N, Xuv = Nv , Xu Chứng tỏ rằng dNp : Tp (S) → Tp S là một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp với một... giao trong một tập mở U ⊂ R3 nếu một mặt duy nhất của mỗi họ đó đi qua mỗi điểm p ∈ U và nếu ba mặt mà đi qua p là đôi một trực giao Sử dụng phần c của bài 19 để chứng minh Định lí Dupin: Các mặt cửa một hệ bộ ba trực giao luôn luôn cắt nhau trong các đường chính 2.2 2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương Cho (S, N ) là một mặt chính quy định hướng Giả sử... với nhau, và tại một điểm rốn phẳng, mỗi phương liên hợp với mọi phương Giả sử rằng p ∈ S không phải là điểm rốn, và gọi {e1 , e2 } là cơ sở trực chuẩn của Tp (S) được xác định bởi dNp (e1 ) = −k1 e1 , dNp (e2 ) = −k2 e2 Lấy θ và ϕ là các góc mà các phương r1 và r2 tạo với e1 Khi đó, r1 và r2 là liên hợp nếu và chỉ nếu k1 cos θ cos ϕ = −k2 sin θ sin ϕ (2.2) Thực tế, r1 và r2 là liên hợp nếu và chỉ nếu... hướng ra ngoài từ miền giới hạn bởi paraboloid) Tính chất 2.1 Vi phân dNp : Tp (S) → Tp (S) của ánh xạ Gauss là một ánh xạ tuyến tính tự liên hợp 12 Chứng minh Vì dNp là tuyến tính, đủ để chứng tỏ rằng dNp (ω1 ), ω2 = w1 , dNp (w2 ) là một cơ sở {ω1 , ω2 } của Tp (S) Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p và {Xu , Xv } là một cơ sở liên hợp của Tp (S) Nếu α(t) = X(u(t), v(t)) là một đường tham số... không lần lượt cùng phương với r1 và r2 , và liên hợp Hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng Tp S đi qua p gọi là hai đường thẳng liên hợp nếu các vectơ chỉ phương của chúng là các vectơ liên hợp Do đó, hai phương liên hợp và hai đường thẳng liên hợp không phụ thuộc vào việc chọn các vectơ w1 và w2 hoặc r1 và r2 Điều này chứng tỏ rằng hai phương chính là hai phương liên hợp và phương tiệm cận là liên hợp... độ cong trung bình, ta gọi −k1 và −k2 là các giá trị riêng của dN Do đó, k1 và k2 thỏa mãn phương trình dN (v) = −kv = −kIv, với v ∈ Tp (S), v = 0, trong đó I là ánh xạ đồng nhất Điều đó, chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính dN + kI là không khả nghịch; do đó, định thức của nó bằng 0 Vì vậy, det a11 + k a12 a21 a22 + k =0 hay k 2 + k(a11 + a22 ) + a11 a22 − a21 a12 = 0 Vì k1 và k2 là các nghiệm của phương... bản thứ hai trong cơ sở {e1 , e2 } Cho một ánh xạ tuyến tính A : V → V của một không gian vectơ 2 chiều và cho một cơ sở {v1 , v2 } của V , ta gọi định thức của A = a11 a22 − a12 − a21 , vết của A = a11 + a12 , trong đó, (aij ) là ma trận của A trong cơ sở {v1 , v2 } Các số này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở {v1 , v2 } và do đó, nó được liên kết với ánh xạ tuyến tính A Trong trường hợp này, định... là độ cong Gauss của mặt tại điểm đã cho 14 Nếu mặt S1 cắt mặt S2 dọc theo theo đường cong chính quy C , thì độ cong k của C tại p ∈ C được cho bởi k 2 sin2 θ = λ21 + λ22 − 2λ1 λ2 cos θ, trong đó λ1 và λ2 là các độ cong pháp tuyến tại p, dọc theo đường tiếp tuyến tới C , lần lượt của S1 và S2 và θ là góc tạo bởi các vectơ pháp tuyến của S1 và S2 tại p 15 (Định lí Joachimstahl) Giả sử S1 và S2 cắt nhau ... cong vi phân ánh xạ 1.4 Dạng thứ diện tích 4 5 7 26 26 30 38 48 48 51 61 61 69 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Ánh xạ Gauss số tính chất 2.2 Ánh xạ Gauss hệ toạ... cứu Phạm vi nghiên cứu lý thuyết ánh xạ Gauss Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu làm rõ định nghĩa ánh xạ Gauss tính chất ánh xạ Gauss, tìm hiểu ánh xạ Gauss hệ tọa độ địa phương, tìm hiểu... hướng N Ánh xạ N : S → R3 lấy giá trị mặt cầu đơn vị S = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y + z = Ánh xạ N : S → S , xác định trên, gọi ánh xạ Gauss mặt định hướng S (Hình 2.2) Hình 2.2: Ánh xạ Gauss Hình