Ánh xạ gauss và ứng dụng (KL06085)

Cho một điểm p trong mặt chính quy S, có hai vectơ đơn vị của R3 là trựcgiao của mặt phẳng tiếp xúc TpS được gọi là một vectơ pháp tuyến đơn vị tại p.. Tích vô hướng này mà có song tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em Đặcbiệt là thầy Trần Văn Nghị thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt khóaluận tốt nghiệp về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thựchiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Doãn Thị Lý Vân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu củabản thân em và sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Nghị

Trong khóa luận, em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoahọc trong và ngoài nước Em xin cam đoan khóa luận này không sao chép từ bất

kì khóa luận nào và em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Doãn Thị Lý Vân

Mục lục

1.1 Các mặt chính quy và tạo ảnh của các giá trị chính quy 4

1.2 Hàm khả vi trên mặt 5

1.3 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân của một ánh xạ 5

1.4 Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích 6

2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG 7 2.1 Ánh xạ Gauss và một số tính chất cơ bản 7

2.2 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương 26

2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương 26

2.2.2 Tính chất 30

2.2.3 Kết luận 38

2.3 Các trường vectơ 48

2.3.1 Các trường vectơ 48

2.3.2 Trường các hướng 51

2.4 Các mặt kẻ và mặt cực tiểu 61

2.4.1 Các mặt kẻ 61

2.4.2 Các mặt cực tiểu 69

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và địnhlượng của các hình Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà cónhững ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hìnhhọc Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô Hình học Vi phân

là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán hìnhhọc Ở đó, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss là một trongnhững công cụ then chốt để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt.Ánh xạ Gauss là công cụ để định nghĩa các khái niệm độ cong bao gồm:

độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính quy Với các mặt đối mộtchiều, mặt trong E3 và siêu phẳng trong En, ánh xạ Gauss đã chứng tỏ là mộtcông cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự địnhhướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày trongkhóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống các khái niệm, định nghĩa, cácđịnh lí và một số tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss trong E3 Tìm hiểu ánh xạGauss trong hệ tọa độ địạ phương và tìm hiểu các trường vectơ trong các mặt

kẻ, các mặt cực tiểu,

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là ánh xạ Gauss và các tính chất cơ bản của nó

b Phạm vi nghiêm cứu

Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết về ánh xạ Gauss

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là làm rõ các định nghĩa của ánh xạ Gauss và các tínhchất cơ bản của ánh xạ Gauss, tìm hiểu về ánh xạ Gauss trong hệ tọa độ địa

phương, tìm hiểu các trường vectơ trong các mặt kẻ, các mặt cực tiểu, .

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Ánh xạ Gauss và ứng dụng

i) X là ánh xạ khả vi Điều đó có nghĩa là

với các hàm x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêng liên tục mọi cấp trong U.

nghĩa là X có ánh xạ ngược X−1 : V ∩ S → U liên tục Nói cách khác, X−1 làhạn chế của một ánh xạ liên tục F : W ⊂R3→R3 xác định trên một tập mở W

iii) (Điều kiện chính quy) Với mỗi q ∈ U, vi phân dXq :R2 →R2 là đơn ánh.Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay một hệ tọa độ (địa phương) trong(một lân cận) của p Lân cận V ∩ S của p trong S được gọi là một lân cận tọađộ

Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ khả vi F : U ⊂Rn →Rm xác định một tập mở U

của Rn ta thấy rằng p ∈ U là một điểm tới hạn của F nếu vi phân dFp :Rn →Rm

không là toàn ánh Ảnh F (p) ∈ Rm của một điểm tới hạn được gọi là giá trị tớihạn của F Một điểm của Rm mà không phải giá trị tới hạn được gọi là giá trịchính quy của F

Mệnh đề 1.1 Nếu f : U ⊂R3 → R là một hàm khả vi và a ∈ f (U ) là một giátrị chính quy của f thì f−1(a) là một mặt chính quy trong R3.

Mệnh đề 1.2 Cho S ⊂R3 là một mặt chính quy và p ∈ S Khi đó tồn tại mộtlân cận V của p trong S sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong

ba dạng sau: z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(y, z)

Mệnh đề 1.3 Cho S mặt chính quy và ánh xạ X : U ⊂ R2 → R3, X(u) ⊂ S.Nếu X là đơn ánh thoả mãn Điều kiện i) và iii)trong định nghĩa 1.1 thì X−1 làliên tục, có nghĩa là X thoả mãn điều kiện ii) và do đó X là một tham số hoá

1.2 Hàm khả vi trên mặt

Định nghĩa 1.3 Cho f : V ⊂ S → R là một hàm xác định trên một tập mở V

của một mặt chính quy S Hàm f được gọi là khả vi tại p ∈ V nếu với tham số

tại X−1(p) Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V.

1.3 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân

Mệnh đề 1.4 Giả sử X : U ⊂R2 → S là một tham số hóa của mặt chính quy S

tiếp xúc với S tại X(q)

Mệnh đề 1.5 Ánh xạ dϕp : Tp(S1) → Tϕ(p)(S2) xác định bởi dϕp(w) = β0(0) làtuyến tính

nghĩa là ánh xạ tuyến tính từ Tp(S1) vào Tϕ(p)(S2)mà ma trận đối với cặp cơ sở

Ánh xạ tuyến tính dϕp xác định bởi Mệnh đề 1.2 được gọi là vi phân của ϕ

là ánh xạ tuyến tính dfp: Tp(S) → R.

Mệnh đề 1.6 Nếu S1 và S2 là các mặt chính quy và ϕ : U ⊂ S1 → S2 là mộtánh xạ khả vi của tập mở U ⊂ S1 sao cho vi phân dϕp của ϕ tại p ∈ U là phépđẳng cấu khi đó ϕ được gọi là vi phôi địa phương tại p

Cho một điểm p trong mặt chính quy S, có hai vectơ đơn vị của R3 là trựcgiao của mặt phẳng tiếp xúc Tp(S) được gọi là một vectơ pháp tuyến đơn vị tại

p Đường thẳng đi qua p và chứa một vectơ pháp tuyến đơn vị tại p được gọi làđường trực giao tại p Góc của hai mặt phẳng cắt nhau tại điểm p là góc củamặt phẳng tiếp xúc của nó tại p

1.4 Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích

Ta thấy rằng, tích vô hướng của R3 ⊃ S cảm sinh trên từng mặt phẳng tiếpxúcTp(S) của một mặt chính quyS Một tích vô hướng được kí hiệu làhw1, w2ip.

như vectơ trong R3 Tích vô hướng này mà có song tuyến đối xứng tính dạng

một dạng toàn phương Ip : Tp(S) →R cho bởi

Định nghĩa 1.5 Dạng toàn phương Ip trên Tp(S) xác định bới biểu thức (1.1)

được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của mặt chính quy S ⊂R3 tại p ∈ S

Định nghĩa 1.6 Cho R ⊂ S là một miền bị chặn của một mặt chính quy chứatrong lân cận tọa độ của tham số hóa X : U ⊂R2 → S Số dương:

Như ta đã biết, một tham số hóa X : U ⊂R2→ S của một mặt chính quy S

tại một điểm p ∈ S, khi đó, ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến đơn vị tại mỗiđiểm của X(U ) bởi công thức

Do đó, ta có một ánh xạ khả vi N : X(U ) → R3 mà cho tương ứng với mỗi

Nói chung, với V ⊂ S là một tập mở trong S và N : V → R3 là một ánh xạkhả vi mà nó tương ứng với mỗi q ∈ V một vectơ pháp tuyến đơn vị tại q Khi

đó, ta nói rằng N là một trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi trên V

Ví dụ, trên mặt Mobius của hình 2.1 nó không thể được xác định như mộttrường

Hình 2.1: Mặt Mobius.

Điều này có thể được thấy một cách trực quan bằng cách đi xung quanhmột lần dọc theo theo đường chính giữa mặt, sau khi quay lại một lần nữa thìtrường vectơ sẽ trở thành −N, mâu thuẫn với tính liên tục của N Ta dễ thấyrằng vectơ pháp tuyến sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặtđúng một vòng

Ta nói rằng, một mặt chính quy là định hướng được nếu nó nhận một trườngvectơ pháp tuyến đơn vị khả vi xác định trên toàn bộ mặt; việc chọn một trường

N như vậy được gọi là một định hướng của S Ví dụ, mặt Mobius nói trên khôngphải là một mặt định hướng được Tất nhiên, mọi mặt được phủ bởi một hệtọa độ đơn (ví dụ các mặt được trình bày bởi các đồ thị của các hàm khả vi)

là định hướng được một cách tầm thường Vì vậy, mọi mặt là định hướng đượcmột cách địa phương và định hướng là một tính chất toàn cục theo nghĩa là trêntoàn bộ mặt

Một định hướng N trên S cảm sinh với một định hướng trên mỗi không gianvectơ tiếp xúc Tp(S), p ∈ S Một cơ sở {v, ω} ∈ Tp(S) được xác định dương nếutích vô hướng hv ∧ ω, N i là dương Dễ dàng thấy rằng, hợp của tất cả các cơ sởdương của Tp(S) là một định hướng choTp(S)

Xuyên suốt chương này, S sẽ được kí hiệu là một mặt chính quy định hướngđược trong một định hướng của nó (nghĩa là một trường khả vi của các vectơpháp tuyến đơn vị N) đã cho trước; để đơn giản ta gọi là một mặt S với mộtđịnh hướng N

Định nghĩa 2.1 Cho S ⊂ R3 là một mặt với một định hướng N Ánh xạ N :

S →R3 lấy các giá trị trong mặt cầu đơn vị

Ánh xạ N : S → S2, được xác định như trên, được gọi là ánh xạ Gauss củamặt định hướng S (Hình 2.2)

Hình 2.2: Ánh xạ Gauss

Rõ ràng, ánh xạ Gauss là khả vi Khi đó, vi phân dN p của N tại p ∈ S làmột ánh xạ tuyến tính từ Tp(S) đến TN (p)(S2) Khi đó, Tp(S)và TN (p)(S2) là cácphẳng song song,dN p có thể được coi như một tự đồng cấu tuyến tính của TpS.Ánh xạ tuyến tính dN p : TP(S) → Tp(S) có tính chất dưới đây Với mỗi đườngtham số hóa α(t) trong S với α(0) = p, ta xét đường tham số N ◦ α(t) = N (t)

trong mặt cầuS2; điều này đã hạn chế vectơ pháp tuyếnN bởi đường congα(t).Vectơ tiếp xúc N0(0) = dN p(α0(0)) là một vectơ trong Tp(S)) (Hình 2.3) Nó đotốc độ biến thiên của vectơ pháp tuyếnN, được giới hạn bởi đường cong α(t) tại

p Trong trường hợp các đường cong là độ cong, độ đo này được cho bởi một số,

số đó được gọi là độ cong Trong trường hợp của các mặt, độ đo này được biểudiễn bởi một ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 2.1 Với mặt phẳngP được cho bởiax + by + cz + d = 0, vectơ pháp tuyến

là trường vectơ pháp tuyến hướng vào tâm của mặt cầu.

Hạn chế lên đường cong α(t), vectơ pháp tuyến

Ví dụ 2.3 Xét mặt trụ {(x, y, z) ∈ R3 ; x2+ y2= 1} Tương tự như ví dụ trước,

ta thấy rằng N = (x, y, 0) và N = (−x, −y, 0) là hai trường vectơ pháp tuyếnđơn vị tại(x, y, z) Dễ thấyN = (−x, −y, 0) là trường vectơ pháp tuyến hướng rangoài còn N = (x, y, 0) là trường vectơ pháp tuyến hướng vào trục của mặt trụ

Hình 2.5: Mặt cầu đơn vị :

Xét một đường cong (x(t), y(t), z(t))chứa trong mặt trụ, nghĩa là với(x(t))2+

Nếu ω là vectơ tiếp xúc với mặt trụ và cùng phương với mặt phẳng xy, thì

với các giá trị riêng lần lượt là 0 và -1

Ví dụ 2.4 Xét điểm p = (0, 0, 0) trên mặt paraboloid hyperbolic z = y2− x2.Với một tham số hóa X(u, v) cho bởi

và tính vectơ pháp tuyến N (u, v) Ta có

Chú ý tại p = (0, 0, 0), Xu và Xv là các vectơ tiếp xúc các đường tọa độ u và

v Do đó, vectơ tiếp xúc tại p đến đường cong α(t) = X(u(t), v(t)), với α(0) = b,trong R3, có các tọa độ (u0(0), v0(0), 0) (Hình 2.7)

Hạn chế N (u, v) lên đường cong này và tính N0(0), ta có

Chứng minh VìdNplà tuyến tính, đủ để chứng tỏ rằnghdNp(ω1), ω2i = hw1, dNp(w2)i

là một cơ sở{ω1, ω2} củaTp(S) Giả sử X(u, v)là một tham số hóa của S tại pvà

{Xu, Xv} là một cơ sở liên hợp của Tp(S) Nếu α(t) = X(u(t), v(t)) là một đườngtham số trên S, với α(0) = p, thì ta có

Định nghĩa 2.3 Cho C là một đường cong chính quy trong S đi qua p ∈ S Gọi

k là độ cong của C tại p, và, cosθ = hn, N i, trong đó n là vectơ pháp tuyến (đơnvị) của C và N là vectơ pháp tuyến (đơn vị) của S tại p Khi đó, số k n = k cos θ

được gọi là độ cong pháp tuyến của C ⊂ S tại p

Ngoài ra, kn chính là độ dài hình chiếu của vectơ kn lên pháp tuyến của mặttại p, với dấu phụ thuộc vào hướng N của S tại p (Hình 2.8)

Chú ý: Độ cong chuẩn củaC không phụ thuộc vào sự định hướng củaC nhưng

sẽ thay đổi dấu

Xét một đường cong chính quy C ⊂ S được tham số hóa bởi α(s), trong đó

Ngoài ra, giá trị của dạng cơ bản thứ hai II p đối với vectơ đơn vị v ∈ T p (S)

chính là độ cong pháp tuyến của một đường chính quy đi qua p và có vectơ tiếpxúc là v

Tính chất 2.2 (Meunier) Tất cả các đường cong nằm trên một mặt S cùng

đi qua một điểm p ∈ S cho trước có các tiếp tuyến tại điểm này trùng nhau có

độ cong pháp tuyến tại điểm này giống nhau

Tính chất trên chứng tỏ rằng độ cong pháp tuyến dọc theo một hướng chotrước tại p Cho một vectơ đơn vị v ∈ T p (S), giao của S với mặt chứa v và N (p)

được gọi là lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo v (Hình 2.9) Trong một lâncận của p, lát cắt chuẩn tắc của S tại p là một đường cong chính quy trên S cóvectơ pháp tuyến n tại p là ±N (p) hoặc là vectơ không; do đó độ cong của nó

là bằng với giá trị tuyệt đối của độ cong pháp tuyến dọc theo v tại p Nhờ tínhchất trên ta nói rằng giá trị tuyệt đối của độ cong pháp tuyến tại p của mộtđường cong α(s) là bằng với độ cong của lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo

α0(0)

Hình 2.9: Định lí Meunier: C và Cn có cùng độ cong pháp tuyến dọc theo v

Ví dụ 2.6 Xét mặt tròn xoay thu được bởi đường congz = y4 quay quanh trục

z (Hình 2.10) Ta sẽ chỉ ra rằng, tại p = (0, 0, 0), vi phân dNp = 0 Rõ ràng, độcong của đường cong z = y4 tại p là bằng 0 Hơn nữa, vì mặt phẳng xy là mặtphẳng tiếp xúc với mặt tại p, nên vectơ pháp tuyến N (p) là cùng phương vớitrục z Do đó, bất kỳ lát cắt chuẩn tắc nào tạip thu được từ đường cong z = y4

bởi phép quay; thì, có độ cong bằng 0 Vì vậy, tất cả các độ cong pháp tuyếnđều bằng 0 tại p, và do đó dNp = 0

Hình 2.10:

Ví dụ 2.7 Trong mặt phẳng của ví dụ 2.1, tất cả các lát cắt chuẩn tắc củamặt đều là đường thẳng có độ cong bằng 0, nên độ cong pháp tuyến của mặttại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0 Do đó, dạng cơ bản thứ hai là hoàntoàn bằng 0 tại mọi điểm Điều này khẳng định rằng dN ≡ 0.

Trong mặt cầu S2 của ví dụ 2.2, vớiN là định hướng, các lát cắt chuẩn tắc điqua một điểm p ∈ S2 là các đường tròn lớn với bán kính bằng 1(Hình 2.11) Do

đó, mọi độ cong pháp tuyến của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng

1, và dạng cơ bản thứ hai là II p (v) = 1 với mọi p ∈ S2 và mọi v ∈ T p (S)

Trong mặt trụ của ví dụ 2.3, các lát cắt chuẩn tắc tại một điểm pkéo từ mộtđường tròn vuông góc với trục của mặt trụ là một đường thẳng cùng phươngvới trục của mặt trụ, đi qua một họ các ellip (Hình 2.12) Vì vậy, các độ congpháp tuyến lấy các giá trị từ 1 đến 0 Không khó để thấy rằng 1 là giá trị lớnnhất và 0 là giá trị nhỏ nhất của độ cong pháp tuyến tại p

Hình 2.11: Các lát cắt chuẩn tắc

Hình 2.12: Các lát cắt chuẩn tắc trên một mặt trụ.

Thực tế, như ta đã biết trong ví dụ 2.3, các vectơ w và v (lần lượt tương ứngvới các hướng của các độ cong pháp tuyến1 và 0) là các vectơ riêng của dNp lầnlượt với các giá trị riêng là −1 và 0 Vì vậy, dạng cơ bản thứ hai nhận các giátrị cực trị của nó trong các vectơ này Chú ý rằng phương pháp này cho phép

ta kiểm tra được rằng các giá trị cực trị như vậy là 1 và 0

Phân tích các tiết diện pháp tuyến tại điểm p = (0, 0, 0) của paraboloidhyperbolic của ví dụ 2.4

Quay trở lại với ánh xạ tuyến tính dN p Với mỗi p ∈ S tồn tại một cơ sở

trực chuẩn {e1, e2} của Tp(S) sao cho dNp(e1) = −k1e1, dNp(e2) = −k2e2 Nói cáchkhác, k1 và k2, (k1 ≥ k2) lần lượt là các giá trị cực đại và cực tiểu của dạng cơbản thứ hai IIp bị hạn chế bởi đường tròn đơn vị trong Tp(S); nghĩa là, chúng

là các giá trị cực trị của độ cong pháp tuyến tại p

Định nghĩa 2.4 Độ cong pháp tuyến cực đạik1 và độ cong pháp tuyến cực tiểu

k2 được gọi là các độ cong chính tại p; tương ứng với các phương, nghĩa là, cácphương được cho bởi các vectơ riêng e1, e2, được gọi là các phương chính tại p

Ví dụ, trong mặt phẳng tất cả các phương tại mọi điểm là các phương chính.Điều này cũng đúng với một mặt cầu Trong cả hai trường hợp, rõ ràng dạng cơbản thứ hai tại mỗi điểm là một hằng số; do đó, mọi phương là cực trị của độcong pháp tuyến

Trong mặt trụ ở ví dụ 2.3, các vectơ v và ω đưa ra các phương chính tại p,lần lượt tương ứng với các độ cong chính là 0 và 1 Trong paraboloid hyperbolic

ở ví dụ 2.4, các trục x và y dọc theo các phương chính với các độ cong chính lầnlượt là −2 và 2

Định nghĩa 2.5 Nếu một đường cong liên thông chính quyC trên mặt S đi quamọi điểm p ∈ C là một phương chính tại p, thì C được gọi là một độ cong pháptuyến của C

Tính chất 2.3 (Olinde Rodrigues) Điều kiện cần và đủ để một đường congliên thông chính quy C trên S là có một đường cong của S sao cho

Điều ngược lại là hiển nhiên

Kiến thức của các độ cong chính quy tại p cho phép ta dễ dàng tính được độcong pháp tuyến dọc theo một phương cho trước của Tp(S) Lấy v ∈ Tp(s) với

trong đó, θ là góc từ e1 đếnv trong định hướng của Tp(S) Độ cong pháp tuyến

kn dọc v được cho bởi

Định nghĩa 2.6 Lấy p ∈ S và cho dNp : Tp(S) → Tp(S) là vi phân của ánh xạGauss Định thức của dN(p) là độ cong Gauss K của S tại p Nửa đại lượng âmcủa vết dN p được gọi là độ cong trung bình H của S tại p

Ta có thể viết

Định nghĩa 2.7 Một điểm p của mặt S được gọi là:

1 Điểm Elliptic nếu det(dNp) > 0;

2 Điểm Hyperbolic nếu det(dN p ) < 0;

3 Điểm Parabolic nếu det(dNp) = 0, với dNp 6= 0;

4 Điểm phẳng nếu dNp = 0;

Sự phân loại này không phụ thuộc vào việc chọn định hướng

Tại các điểm elliptic, độ cong Gauss là dương nên các độ cong chính cùngdấu, và do đó, mọi đường cong đi qua điểm này có các vectơ pháp tuyến chỉ về

cùng một phía đối với mặt phẳng tiếp xúc Các điểm của một mặt cầu là cácđiểm elliptic Điểm (0, 0, 0) của paraboloid z = x2+ ky2, k > 0 (Xem ví dụ 2.5),cũng là một điểm elliptic.

Tại các điểm hyperbolic, độ cong Gauss là âm nên các độ cong chính khácdấu, và do đó, tồn tại các đường cong đi qua p mà có các vectơ pháp tuyếnchỉ về cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc tại p Điểm (0, 0, 0) của paraboloidhyperbolic z = y2− x2 (Xem ví dụ 2.4) là một điểm hyperbolic

Tại các điểm parabolic, độ cong Gauss là 0, nên có một độ cong chính bằng 0

và một độ cong chính khác khác 0 Các điểm của một mặt trụ (Xem ví dụ 2.3)

là các điểm parabolic

Cuối cùng, tại các điểm phẳng, cả hai độ cong chính đều bằng 0 Các điểmcủa một mặt phẳng thỏa mãn điều kiện này một cách tầm thường Một ví dụkhông tầm thường của một điểm phẳng được cho trong ví dụ 2.6

Định nghĩa 2.8 Nếu tại p ∈ S, k1 = k2, thì p được gọi là một điểm rốn của S;trong trường hợp đặc biệt, các điểm phẳng (k1= k2 = 0) là các điểm rốn

Tất cả các điểm của một mặt cầu và một mặt phẳng là các điểm rốn Sửdụng phương pháp ở ví dụ 2.6, dễ thấy điểm (0, 0, 0) của paraboloid z = x2+ y2

Lấy vi phân phương trình thứ nhất theo v và phương trình thứ hai theo uvàtrừ vế với vế của các phương trình, ta được

và mọi điểm X(u, v) của V nằm trên một mặt phẳng

+, Nếu λ 6= 0, thì điểm X(u, v) − 1

Như vậy, ta mới chỉ chứng minh định lý tại địa phương của từng điểm; nghĩa

là, với một lân cận của một điểm p ∈ S Để hoàn chỉnh sự chứng minh ta cầnđến tính chất liên thông của mặt Với mỗi p ∈ S và r ∈ S, do S liên thông, nêntồn tại một đường cong liên tụcα : [0, 1] → S nốipvà r vớiα(0) = p, α(1) = r Vớimỗi điểm α(t) ∈ S thuộc đường cong này, tồn tại một lân cận Vt trong S chứatrong một mặt cầu hoặc một mặt phẳng và sao cho α−1(Vt) là một khoảng mở

nên tồn tại hữu hạn các đường sinh của tập hợpα−1(V t ) (Định lý Feine-Borel)

Vì vậy, α[0, 1] được phủ hữu hạn bởi các đường sinh của các lân cậnV t

Nếu các điểm của một trong những lân cận này thuộc một mặt phẳng, thìtất cả các điểm khác đều thuộc mặt phẳng đó Vì r là tùy ý, nên mọi điểm của

S thuộc mặt phẳng này

Nếu các điểm của một trong những lân cận này thuộc một mặt cầu, thì mọiđiểm trên S thuộc mặt cầu đó, và điều này hoàn toàn được chứng minh 

Định nghĩa 2.9 Cho S là một mặt chính quy định hướng và p là một điểmthuộc S Một phương tiệm cận của S tại p là một phương của Tp(S) mà độ congpháp tuyến là 0 Một đường tiệm cận C trên mặt S là một đường cong chínhquy liên thông C ⊂ S sao cho với mọi p ∈ C vectơ tiếp xúc của C tại p là mộtvectơ chỉ phương tiệm cận Phương xác định bởi vectơ chỉ phương tiệm cận gọi

là phương tiệm cận

Từ định nghĩa ta thấy rằng tại điểm elliptic không có phương tiệm cận nào.Một giải tích hình học hữu ích của các phương tiệm cận được cho bởi ý nghĩacủa chỉ đồ Dupin, mà ta sẽ xét dưới đây

Lấy p là một điểm trong S Chỉ đồ Dupin của mặt S tại p là tập hợp tất cảcác vectơ ω của T p (S) sao cho II p (w) = ±1

Để viết các phương trình của chỉ đồ Dupin, lấy (ξ, η) là tọa độ cartesian của

Tp(S) trong cơ sở trực chuẩn {e1, e2}, trong đó e1 và e2 là các vectơ riêng của

dNp Choω ∈ Tp(S), lấy ρ và θ là “hệ tọa độ cực” xác định bởi ω = pv, với |v| = 1

Do đó, chỉ đồ Dupin là hợp của các đường bậc hai trong Tp(S) Chú ý rằng

độ cong pháp tuyến dọc theo phương xác định bởi w là kn(v) = IIp(v) = ± 1

ρ 2.Tại các điểm elliptic, chỉ đồ Dupin là một ellipse (do k1 và k2 cùng dấu) Khi

Hình 2.13: Chỉ đồ Dupin

một đường tròn Dễ thấy tại các điểm elliptic này không có phương tiệm cậnnào và do đó không có đường tiệm cận đi qua các điểm elliptic.

Tại các điểm hyperbolic, do k1 và k2 trái dấu Do đó, chỉ đồ Dupin là haihyperbolas liên hợp có chung các đường tiệm cận (Hình 2.13) Theo các phươngtiệm cận này, độ cong pháp tuyến tại p bằng không Điều này giải thích tại sao

có tên gọi là "phương tiệm cận" Dễ thấy tại các điểm hyperbolic có đúng haiphương tiệm cận trực giao

Tại các điểm parabolic, một trong các độ cong chính bằng 0, do đó chỉ đồDupin suy biến thành hai đường thẳng song song Phương của hai đường thẳngnày chính là phương tiệm cận duy nhất tại điểm đã cho

Liên quan chặt chẽ với khái niệm của phương tiệm cận là khái niệm củaphương liên hợp, mà bây giờ ta sẽ xét

Định nghĩa 2.10 Cho plà một điểm trên mặtS Hai vectơ khác không w1, w2 ∈

Tp(S) là liên hợp nếu hdNp(w1), w2i = hw1, dNp(w2)i = 0 Hai vectơ liên hợp xácđịnh hai phương r1, r2 tại p gọi là hai phương liên hợp nếu cặp vectơ w1, w2 kháckhông lần lượt cùng phương với r1 và r2, và liên hợp Hai đường thẳng nằm trongmặt phẳng T p S đi qua p gọi là hai đường thẳng liên hợp nếu các vectơ chỉ phươngcủa chúng là các vectơ liên hợp

Do đó, hai phương liên hợp và hai đường thẳng liên hợp không phụ thuộcvào việc chọn các vectơ w1 và w2 hoặc r1 và r2

Điều này chứng tỏ rằng hai phương chính là hai phương liên hợp và phươngtiệm cận là liên hợp với chính nó Hơn nữa, tại một điểm rốn không phẳng, bất

kỳ hai phương trực giao nào đều liên hợp với nhau, và tại một điểm rốn phẳng,mỗi phương liên hợp với mọi phương

Giả sử rằng p ∈ S không phải là điểm rốn, và gọi {e1, e2} là cơ sở trực chuẩncủaTp(S) được xác định bởi dNp(e1) = −k1e1, dNp(e2) = −k2e2 Lấy θ và ϕ là cácgóc mà các phương r1 và r2 tạo với e1 Khi đó, r1 và r2 là liên hợp nếu và chỉnếu

Thực tế, r1 và r2 là liên hợp nếu và chỉ nếu các vectơ

là liên hợp Vì vậy,

Do đó, điều kiện (2.2) được thỏa mãn.

Khi cả k1 và k2 khác 0 (nghĩa là, p hoặc là một điểm elliptic hoặc là mộtđiểm hyperbolic), điều kiện (2.2) đưa ra một phép dựng hình hình học của cácphương liên hợp trong các số liệu của chỉ đồ Dupin tại p Ta sẽ mô tả xây dựng

Hình 2.14: Cấu trúc của các phương liên hợp

này tại một điểm elliptic, bài toán tại một điểm hyperbolic là tương tự Lấy r

là một đường thẳng đi qua gốc của Tp(S) và xét các giao điểm q1, q2 của r vớichỉ đồ Dupin (Hình 2.14) Các đường tiếp xúc của chỉ đồ Dupin tại q1 và q2 làcùng phương, và phương chung r0 của chúng là liên hợp với r

3 Cho C ⊂ Slà một đường cong chính quy trên một mặtS với độ cong Gauss

trong đó k1 và k2 là các độ cong chính của S tại p

4 Giả sử một mặt chính quy S có tính chất |k1| ≤ 1, |k2| ≤ 1 tại mọi điểm.Điều này có đúng không khi độ cong k của đường cong trên mặt S thỏa

5 Chứng minh rằng độ cong trung bình H của mặt S tại mỗi điểm p ∈ S

được cho bởi

7 Trên một mặt chính quy, chứng minh rằng, nếu độ cong trung bình bằng

0 tại một điểm không phải là điểm phẳng, thì tại điểm này có hai phươngtiệm cận trực giao

8 Mô tả miền của mặt cầu đơn vị được phủ bởi ảnh của ánh xạ Gauss trongcác mặt sau:

(được gọi là ảnh cầu của α)

b Nếu C = α(t) là một đường chính khúc và k là độ cong của nó tại p, thì

trong đó k n là độ cong pháp tuyến tại p dọc theo đường tiếp tuyến của

C và kN là độ cong của ảnh cầu N (C) ⊂ S2 tại N (p)

10 Giả sử rằng mặt phẳng mật tiếp của đường cong C ⊂ S, mà nó luôn tiếpxúc với một phương tiệm cận, tạo thành một góc không đổi với mặt phẳngtiếp xúc của S dọc theo C Chứng minh rằng C là một đường phẳng

11 Chop là điểm elliptic của một mặt S, và lấyr và r0 là các phương liên hợptại p Lấy r thay đổi trong Tp(S) và chứng minh rằng góc nhỏ nhất của r

với r0 được tạo ra tại một cặp phương của mặt cầu trong Tp(S) là đối xứngvới các phương chính

12 Lấy p là một điểm hyperbolic của mặt S, và lấy r là một phương trong

Tp(S) Hãy trình bày và chứng minh một cấu trúc hình học để tìm ra cácphương liên hợp r0 của r trong các phần của chỉ đồ Dupin

13 (Định lí Beltrami-Enneper) Chứng minh rằng giá trị tuyệt đối của độ xoắn

τ tại một điểm của một đường cong tiệm cận, mà độ cong luôn bằng 0,được cho bởi

−k,

trong đó K là độ cong Gauss của mặt tại điểm đã cho

14 Nếu mặtS 1 cắt mặtS 2 dọc theo theo đường cong chính quy C, thì độ cong

trong đó λ1 và λ2 là các độ cong pháp tuyến tại p, dọc theo đường tiếptuyến tớiC, lần lượt củaS1 và S2 và θ là góc tạo bởi các vectơ pháp tuyếncủa S1 và S2 tại p

15 (Định lí Joachimstahl) Giả sửS1vàS2 cắt nhau dọc theo đường cong chínhquyC và tạo ra một góc θ(p), p ∈ C Giả sử rằng C là một đường chính của

S 1 Chứng minh rằng θ(p) là hằng số khi và chỉ khi C là một đường chínhcủa S 2

16 Chứng minh rằng các kinh tuyến của một mặt xuyến là các đường chính

17 Chứng minh rằng nếu H ≡ 0 trên S và S không có các đường phẳng nào,thì ánh xạ Gauss N : S → S2 có tính chất sau:

Chứng minh rằng điều kiện trên có nghĩa là góc của hai đường cong cắtnhau trênS2 và góc của các ảnh cầu của chúng là bằng nhau khi cùng dấu

18 Lấy λ1, , λm là các độ cong pháp tuyến tại p ∈ S dọc theo các phươngtạo thành các góc 0,2π

trong đó H là độ cong trung bình tại p

19 LấyC ⊂ S là một đường cong chính quy trongS Lấy p ∈ C và α(s) là mộttham số hóa của C theo độ dài trong p sao choα(0) = p Chọn trong Tp(S)

một cơ sở trực chuẩn dương {t, h}, với t − α(0) Mặt xuyến geodesic τg của

b Nếuτ là một mặt xuyến của C, n là vectơ pháp tuyến (chính) của C và

dθ

c Các đường chính của S đặc trưng bởi có mặt xuyến geodeic = 0

20 (Định lí Dupin) Ba họ mặt được gọi là một hệ bộ ba trực giao trong mộttập mở U ⊂ R3 nếu một mặt duy nhất của mỗi họ đó đi qua mỗi điểm

bài 19 để chứng minh Định lí Dupin: Các mặt cửa một hệ bộ ba trực giaoluôn luôn cắt nhau trong các đường chính

2.2 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương

2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương

R2→ S là tương thích với hướng N của S; tức là trong X(U ),

Lấy X(u, v) là tham số hoá địa phương của mặt S tại điểm p ∈ S và lấy

Khi đó, vectơ tiếp xúc với α(t) tại p là

Mặt khác, biểu thức của dạng cơ bản thứ hai trong cơ sở {Xu, Xv} được chobởi

trong đó I là ánh xạ đồng nhất Điều đó, chứng tỏ rằng ánh xạ tuyến tính

eG − 2f F + gE

Suy ra:

và do đó,

Từ hệ thức này, ta thấy rằng nếu ta chọn k1(q) ≥ k2(q), q ∈ S, thì các hàm

k1 và k2 là liên tục trong S Hơn nữa, k1 và k2 là khả vi trong S, ngoại trừ cácđiểm rốn (H2 = K) củaS

Để thuận tiện ta viết lại như sau

Đây là định thức cấp ba của ma trận 3 × 3 mà các cột (hay các dòng) của nó làthành phần của các vectơ u, v, w trong cơ sở chính tắc của R3

Ví dụ 2.8 Tính độ cong Gauss của những điểm nằm trên mặt xuyến được phủbởi tham số hoá sau:

X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u) ,

với < u < 2π, 0 < v < 2π

Giải

Để tính các hệ số e, f, g ta cần biết N, Xuu, Xuv và Xvv Ta có

2 có độ cong Gauss K = 0, các điểm thuộc các đường song song như vậy

là các điểm parabolic Trong miền π

2 < u <

3π

2 , K âm (với r > 0 và a > r);các điểm thuộc miền này là các điểm hyperbolic Trong miền 0 < u < π

Chứng minh Lấy X(u, v) là một tham số hoá trong p, với X(0, 0) = p Khoảngcách d từ điểm q = X(u, v) đến mặt phẳng tiếp xúc Tp(S) được cho bởi: (Hình2.16)

d = hX(u, v) − X(0, 0), N (p)i.

Vì X(u, v) là khả vi, ta có công thức Taylor

Cho một điểm elliptic p, IIp(w) có dấu cố định Do đó, với ∀(u, v)đủ gần p, d

có cùng dấu vớiIIp(w); tức là, mọi(u, v)như vậy thuộc cùng một phía với Tp(S).Cho một điểm hyperbolic p, trong mỗi lân cận của p tồn tại các điểm (u, v)

Chú ý: Tính chất 1 có thể áp dụng cho lân cận của một điểm parobolic hoặcmột điểm phẳng Khi đó các điểm parabolic và điểm phẳng của mặt nằm trênmột phía của mặt phẳng tiếp xúc và có thể có một đường chung với mặt phẳngnày.

Ví dụ 2.9 Mặt ”M onkeysaddle” (Xem hình 2.17) được cho bởi

Tính trực tiếp, tại điểm(0, 0)các hệ số của dạng cơ bản thứ hai làe = f = g = 0;

do đó, điểm (0, 0) là một điểm phẳng Tuy nhiên, trong một lân cận bất kì củađiểm này, có các điểm nằm trên cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc của nó

Ví dụ 2.10 Xét mặt tròn xoay thu được bởi đường cong z = y3, −1 < z < 1,với đườngz = 1 (Xem hình 2.18) Rõ ràng các điểm được sinh bởi sự quay quanhgốc O là các điểm parabolic

Ta sẽ chứng minh một cách ngắn gọn rằng các đường song song và các đườngkinh tuyến của một mặt tròn xoay là các đường chính; (các đường cong có dạng

các phương tiệm cận.

hoá này

Ta nhắc lại rằng, một đường cong chính quy C liên thông được trong hệ toạ

độ lân cận của X là một đường cong tiệm cận nếu và chỉ nếu tham số hoá bất

và chỉ nếu

Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của các đường cong tiệmcận Từ phương trình (2.9) ta có kết luận sau: Điều kiện cần và đủ cho mộttham hoá trong một lân cận của một điểm hyperbolic (giả sử, −f 2 < 0) là cácđường cong toạ độ của tham số hoá này là các đường cong tiệm cận e = g = 0.Tức là, nếu cả hai đường cong u = const, v = v(t) và u = u(t), u = const thoảmãn phương trình (2.9), ta cóe = g = 0 Ngược lại, nếu điều kiện cuối thoả mãn

Bây giờ ta xét các phương chính

Một đường cong chính quy C liên thông được trong hệ tọa độ lân cận của

r là đường chính nếu và chỉ nếu với tham số hoá bất kì α(t) = X(u(t), v(t)) của

(v0)2 −u0v0 (u0)2

... điểm

bài 19 để chứng minh Định lí Dupin: Các mặt cửa hệ ba trực giaoluôn cắt đường

2.2 Ánh xạ Gauss hệ toạ độ địa phương

2.2.1 Ánh xạ Gauss hệ toạ độ địa phương... 2

16 Chứng minh kinh tuyến mặt xuyến đường

17 Chứng minh H ≡ 0 S S khơng có đường phẳng nào,thì ánh xạ Gauss N : S → S2... 31

trong I ánh xạ đồng Điều đó, chứng tỏ ánh xạ tuyến tính

eG − 2f F + gE

Suy ra: