Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 50 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
50
Dung lượng
857,62 KB
Nội dung
L I NịI U Khóa lu n nƠy trình bƠy v v n đ ánh x Gauss vƠ ng d ng c a ng d ng c a ánh x nƠy đ nghiên c u v đ cong c a đa t p hai chi u E3 nh đ cong chính, đ cong trung bình, đ cong Gauss, đ cong c a đ ng đ c bi t đa t p hai chi u N i dung c a khóa lu n g m: Ch ng 1: Ki n th c chu n b Không gian Euclit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a a t p đ nh h Ch ng không gian En ng II: Ánh x Gauss vƠ ng d ng Ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss Các v n đ liên quan đ n ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss M t s đ ng đ c bi t m t M t k vƠ m t c c ti u E3 K t lu n Em xin đ c bƠy t lòng bi t n cơng lao d y d c a th y cô giáo, đ c bi t lƠ s h ng d n t n tình c a Th y giáo- Phó giáo s - Ti n s Nguy n N ng Tơm giúp em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy HƠ N i, ngƠy tháng Sinh viên th c hi n HoƠng Th Thanh H ng n m M CL C N i dung Ch Trang ng KI N TH C CHU N B 1 Không gian clit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 1.2 H t a đ tr c chu n không gian En 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m khơng kì d 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En 2.5 H ng đa t p hai chi u En 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 2.2 Tính ch t Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3 3.1 cong chính, ph ng c a đa t p hai chi u S t i p 3.2 cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S 3.3.Các đ nh ngh a 3.4.Ví d 3.5 nh ngh a 3.6 D ng c b n th hai đa t p hai chi u E3 3.7 nh lí 10 3.8 cong pháp d ng vƠ công th c le, công th c Meusnier 10 M t s đ ng đ c bi t m t 12 4.1 ng khúc 12 4.2 ng ti m c n 13 4.3 Cung tr c đ a 4.4.Liên h gi a đ 14 ng đ c bi t c a đa t p hai chi u 16 Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 16 5.1 M t k 16 5.2 M t c c ti u 18 K t lu n 19 TƠi li u tham kh o 20 CH KI N TH C CHU N B NG Tr ph i n m đ c tìm hi u v ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó, c n c m t s ki n th c c b n Ch ng nƠy nh c l i m t s ki n th c c b n Không gian clit n chi u En vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 Không gian clit n chi u En lƠ không gian afin liên k t v i không gian vect clit n chi u n 1.2 H t a đ tr c chu n không gian clit En Trong E n ,tích vơ h ng gi a hai ph n t x, y n kí hi u lƠ x.y n ho c x, y Chu n c a ph n t x E đ c tính theo cơng th c x = x.x Trong không gian E , ch n m O b t kì Trong khơng gian n n , ch n 0 i j h vect tr c chu n {e1 , e2 , ,en } t c lƠ ei e j ei =1 v i 1 i=j i=1,n Khi đó, t p { , e1 ,e , ,e n } g i lƠ h t a đ tr c chu n En c bi t, n =2, n=3 t a đ nƠy g i lƠ h t a đ đ vng góc c vi t lƠ Oxy ho c Oxyz 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En Trong En, cho h t a đ tr c chu n { , e1 ,e , ,e n } n 1.3.1 V i x , t n t i b s (x1, x2,ầ,xn) (x i , i=1,n) cho n x x i ei , b s (x1, x2,ầ,xn) đ c g i lƠ t a đ c a x h t a i=1 đ tr c chu n ch n Vi t lƠ x=(x1 , x , ,x n ) ho c x(x1 , x , ,x n ) n , Trong h t a đ tr c chu n c a En 1.3.2 V i =(x1 , x , ,x n ) Khi nƠy, ta g i b s (x1, x2,ầ,xn) lƠ t a đ ch n gi s n c a m P, vi t lƠ P(x1, x2,ầ,xn) ho c P=(x1, x2,ầ,xn) V i , n , (x1 ,x , ,yn ), (y1 , y2 , ,yn ) , t a đ c a MN =(y1 x1 , y x , , y n x n ) n (y i x i )2 i=1 a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u E3 Trong En, cho t p S T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u En (đ n gi n có th g i lƠ m t) n u v i m i p S có lơn c n m V c a p En cho V S lƠ m t m nh hình h c M i tham s hoá c a m nh hình h c nƠy đ c g i lƠ tham s hóa đ a ph ng c a S 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.2.1 Trong E3, cho h t a đ afin (x1, x2,ầ,xn), t p S T p S lƠ đa t p hai chi u En vƠ ch v i m i p S có lơn c n V c a p E3 vƠ m t hƠm s kh vi :V R, (x1 ,x ,x ) (x1 ,x ,x ) cho x V (x1 , x , x ) b ng vƠ n u đ t h ng (x1 , x , x ); (x1 , x , x ); y z x (p) = a V S = 1 (a) i m p S , p(x1, x2, x3) làm cho (x1 , x , x )= (x1 , x , x ) (x1 , x , x ) đ x y z c g i lƠ m kì d c a S 2.2.2 Trong E3, cho t p S , t a đ afin (x1, x2, x3) T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u E3 vƠ ch v i m i p S có lơn c n m c a S lƠ m t m nh hình h c v i tham s hóa ki u đ th , n u c n có th đ i ch s t a đ afin đ tham s hóa có d ng (x1 ,x ) r(x1 ,x )= (x1 ,x , (x1 ,x ), , n (x1 ,x )) 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m không kì d Trong E3, cho đa t p hai chi u S T i p S , ch n tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ r: U S, (u,v) r(u,v) Khi đó, t n t i ru' , rv' chúng đ c l p n tính Ti p di n c a đa t p S t i p=r(u,v) lƠ 2-ph ng qua r(u,v) có không gian vect ch ph ng lƠ ru' ,rv' c bi t, E3 ti p di n nƠy lƠ m t ph ng ti p xúc; đ qua r(u,v) vƠ vng góc v i m t ph ng ti p xúc t i r(u, v) đ ng th ng c g i lƠ pháp n c a S t i p 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En Trong En cho đa t p hai chi u S, t i p S đ t Tp E n {(p, ); n } g i lƠ không gian vect ti p xúc c a En t i p V i m i p S , đ t TpS {(p, ); không gian vect ch ph di n c a S t i p}, TpS đ x ng c a ti p c g i lƠ không gian vect ti p xúc c a S t i p Ánh : S Tp En , p X(p) TpS đ c g i lƠ tr ng vect ti p xúc c a S t i p Khi X p TpS ta g i ánh x X lƠ tr ng vect pháp n c a S, lúc nƠy n u (p) X đ c g i lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S c bi t E3, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ ' r: U S, (u,v) r(u,v) , p = r(u, v), TpS {(p, ) | ru (u, v), rv' (u, v)} , vect pháp n đ n v S t ng thích v i tham s hóa r t i p đ xác đ nh lƠ n(p) = (n r)(u, v) r(u, v); ru' ×rv' (u, v) Lúc nƠy ta nh n đ ru' ×rv' c c ánh x kh vi n: S Tp E n , p n(p) , ta g i ánh x nƠy lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S 2.5 H ng đa t p hai chi u En Cho đa t p hai chi u S En Gi s m i không gian vect ti p xúc TpS c a S có th l y m t c s (ap, bp) cho t n t i m t tham s hóa đ a ng r: U S t i p th a mãn: v i m i u,v V, p = r (u,v) hai c s ph {ru' , rv' } {a p , bp } h lƠ h ng Khi ta nói S đ nh h ng đ ng c a TpS xác đ nh b i c s (ap, bp) Khi S đ nh h D={Dp} lƠ m t h ng c a S Tham s hóa đ a ph g i lƠ tham s hóa t ng thích v i h 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ ng đ ng c a S c ta g i h r: U S ng D c 2.6.1 Trong En, đa t p hai chi u đ nh h tham s hóa đ a ph c Kí hi u Dp ng đ c S vƠ ch có h ng { ri : Ui S } c a S cho S r(Ui ) vƠ n u i ri (Ui ) rj (U j ) t i nh ng m chung c a giao hai tham s hóa đ a ph ng ri rj t ng đ ng b o t n h ng 2.6.2 a t p hai chi u S E3 đ nh h ng đ c vƠ ch S có m t tr ng vect pháp n n : S E n liên t c vƠ n(p) t i m i p thu c S 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En 2.7.1 nh ngh a Trong En, cho hai đa t p hai chi u S1 S2 vƠ ánh x h: S1 S2 Ánh x h kh vi n u h liên t c vƠ v i m i tham s hóa đ a ph ng r1 : U1 S1 r2 : U2 S2 mà h(r1 (U1 )) r2 (U2 ) ánh x r2-1 h r1: U1 U2 kh vi 2.7.2 Ánh x ti p xúc c a ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u V i ánh x kh vi h đ c cho trên, t i p S1 , m i ph ng TpS1 đ u t n t i cung tham s c a S1 : J S1 , t (t) cho (t )= p , '(t )= Khi h (t) : J S2 lƠ m t cung tham s c a S2 qua q = h( (t )) phép l y đ o hƠm (h )'(t ) không ph thu c vƠo cách ch n cung Khi ánh x ti p xúc v i h lƠ Tp h : TpS1 Th(p)S2 đ Tp h( ) = (h )'(t )=((h (t ); (h )'(t )) Trên đơy lƠ nh ng ki n th c c n n m đ Gauss vƠ ng d ng c a c tr c đ nh ngh a c nghiên c u ánh x CH Ch ÁNH X GAUSS VẨ NG NG D NG ng nƠy lƠm quen v i đ nh ngh a ánh x Gauss vƠ s xét ng d ng c a v n đ t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc t i lơn c n m t m đa t p hai chi u E3, m t cách t thiên c a tr ng đ ng lƠ t c đ bi n ng vect pháp n đ n v lơn c n c a m Ánh x Gauss nh ngh a 1.1 Trong E3, cho đa t p hai chi u (có th g i lƠ m t) S đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v kh vi n, lúc xác đ nh m t ánh x t S vƠo m t c u đ n v S2 (m t c u tơm O, bán kính 1) g: S S2 , p g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz vƠ m t c u đ n v S2 tâm O, bán kính 1.2.1 Tìm nh c a m t tr tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh x Gauss Trong h t a đ ch n, gi s tham s hóa đ a ph ng c a S r: U S, (u,v) r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u) r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , t đơy suy ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = ( a.sinv,a.cosv,0) , hai vect nƠy đ c l p n tính Khi nƠy, xác đ nh m t tr ng vect pháp n đ n v đ nh ru' ×rv' h ng S lƠ (n r)(u,v) (u, v) ( cosv, sinv, 0) Trong E3, g i ru' ×rv' t a đ c a g(p)=(x, y, z) nh c a m t S lƠ đ ng tròn l n m t ph ng z=0 c a m t c u đ n v S2 t c lƠ đ ng tròn E3 có ph ng trình lƠ x +y = z = 1.2.2 Tìm nh c a m t xuy n S qua ánh x Gauss Trong E3, cho tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ r : U S, (u,v) ((a b.cosu).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu) v i (a >b > 0) T r(u,v) ((a b.cosu ).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu) ru' (u,v) (b.sin u.cosv, b.sinu.sinv,b.cosu) rv' (u,v) ((a b.cosu ).sin v, (a b.cosu).cosv,0) Khi nƠy tr ng vect pháp n đ n v đ c xác đ nh b i ru' rv' n(p) (n r)(u,v) ' ' (u,v) ( cosu.cosv, cosu.sinv, sinu) ru rv H n n a nh n th y r ng (u,v) U , p1 r(u,v) ((a b.cosu).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu) S ( u,v) U, p2 ((a b.cosu).cosv, (a b.cosu).sinv, b.sinu) S n(p1) = n(p2) = ( cosu.cosv, cosu.sinv, sinu) Ngh a lƠ m t xuy n có ph trình tham s xét có nh lƠ m t c u đ n v đ ng c l y hai l n 1.2.3 Tìm nh c a m t paraboloit elliptic S qua ánh x Gauss Gi s h tr c t a đ ch n, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ x y2 x y2 r : U S, (x, y) x, y, r (x, y) x, y, 2p 2q 2p 2q x y rx' (x,y) 1, 0, , ry' (x,y) 0, 1, Khi nƠy tr p q v đ c xác đ nh b i 10 ng vect pháp n đ n Trong E3, cho đa t p hai chi u S có h ng xác đ nh b i tr pháp n đ n v n, cho S tham s hóa đ a ph r: U S,(u, v) r(u, v) , p=r(u,v) Tr = a.ru' +b.rv' , ph d ng c a S theo ph ng lƠ ph ng thích v i n lƠ ng vect ti p xúc c a S t i p lƠ TpS Trong TpS l y c s lƠ {ru' , rv' } Khi v i ph cho ng t ng vect ng TpS t n t i a, b ng ti m c n vƠ ch đ cong pháp ) = II( ) = hay ng b ng hay k( h p ( ) = (a.h p (ru' )+b.h p (rv' )).(a.ru' +b.rv' ) = a (nr)'u ru' +2ab.(nr)'u rv' +b2 (nr)'v rv' = a L+2ab.M+b N = N u đ t a=du, b=dv ph Ph ng trình t ng trình nƠy g i lƠ ph s L, M, N đ ng đ ng v i Ldu +2M.du.dv+b N = ng trình xác đ nh ph ng ti m c n c a S t i p, c tính t i p 4.2.4 Ví d a) Trong E3, cho đ ng cong quy G i S lƠ m t k t o b i pháp n c a Ch ng minh r ng lƠ đ ng ti m c n c a S Ch ng minh Gi s đ ng cong quy có tham s hóa đ a ph ng lƠ : J E3 , s (s) Vect pháp n c a lƠ N(s) Khi m t k S có tham s hóa đ a ph ng lƠ r (s, t) = (s)+ t N(s) Theo , ' r(s, t) = (s)+t.N(s) r s (s, t)= '(s)+t.Ns' (s) = T+v.( k.T+ B) hay rs' (s,t) = (1 vk).T + v B ( đơy k vƠ l n l t lƠ đ cong vƠ đ xo n c a , {T, N, B} lƠ tr ng m c tiêu Frener d c theo cung ) Ta có ' rt (s, t) = N(s) t ta tính đ c rs' rt' = (1 kv)B v.T 36 rs' ×rt' = (1 kv)2 + v2 , đ nh h ng S b i tr ng vect pháp n đ n v ' ' r ×r (1 kv)B vT (n r)(s, t) = s t (s, t) = (1 kv) + v2 rs' ×rt' M t khác (n )(s) = (n r)(s,0) = B(s) , v y (n )'(s) = B'(s) = N(s) T đơy suy đ cong pháp d ng theo ph ng ti p n c a h(T).T k(T) = = (n )'(s).T = N.T = , đ ng th c k(T) = ch ng t r ng T.T lƠ đ ng ti m c n c a S b) Cho m t đ ng song quy E3 v i tr ng m c tiêu Frênê {T, N, B} d c theo Gi s lƠ m t đ S E đ nh h ng vect pháp n đ n v n c a S G i ng đ c b i m t tr ng ti m c n c a m t m t lƠ đ xo n c a Ch ng minh r ng h(T) = ± N K(p) = (p) (p ) Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên đ a ph ng c a s (s) Vì lƠ đ ng ti m c n c a S nên theo công th c Meusnier ta có '(s)) K(s).N(s).(n )(s) = k( ( v i k(s) lƠ đ cong c a Vì t i p= (s)) '(s)) = Do cung song quy nên k(s) k( N(s).(n )(s) = t c lƠ (n )(s) N(s) M t khác (n )(s) T(s) Suy (n )(s) (N(s)×T(s))=B(s) Vì n vƠ B lƠ hai vect đ n v vƠ ph ng nên (n )(s) = ±B(s) Ta có h(T(s)) = (n )'(s) = B'(s)= (s).N(s) V y h(T) = N 37 tính K(p), ta tính ma tr n c a hp đ i v i m t c s c a TpS Trong ph n ta ch ng minh N(s) (n )(s) , l i có T(s) (n )(s) , T(s), N(s) TpS vƠ {T(s), N(s)} lƠ m t c s c a TpS Nh v y có th khai tri n h p (N(s)) = a.T(s) + b.N(s) Khi h p (N(s)).T(s) = a.T(s)+b.N(s) .T(s) = a h p (N(s)).T(s) = N(s).h p (T(s) = N(s). ± (s).N(s) = ± (s) T suy a = ± (s) K(p) = ± ± hay K(p) = b (p) 4.3 Cung tr c đ a 4.3.1 a) cong tr c đ a vƠ đ ng ti n tr c đ a cong tr c đ a Trong E3 cho đa t p hai chi u đ nh h n đ n v kh vi n vƠ cung đ nh h ng đ c b i tr ng vect pháp ng quy có tham s hóa lƠ : J S, t (t) HƠm s t ( '(t)× ''(t)).(n )(t) không ph '(t) thu c vƠo tham s hóa ch n c a cung quy Th t v y, v i tham s hóa t ng đ ng v i ( phép đ i tham s , ' > ) ta có ( )' = '( ); ( )" = '2 ( " )+ "( ' ) nên ( )'×( )" (n )= '3 ( '× ").(n ) , t đơy suy u ph i ch ng minh HƠm s d c cung đ nh h ng quy đ c g i lƠ đ cong tr c đ a c a cung , kí hi u hƠm s nƠy lƠ kg v y k g (t) ( '(t)× ''(t)).(n )(t) '(t) 38 Chú ý r ng đ i h ng c a cung ' đ i d u, đ i h ng c a m t n đ i d u, đ i h ng c a E3 tích có h ng '× '' đ i d u, y đ cong tr c đ a đ i d u T i m khơng song quy ( m kì d ) c a cung ' '' , v y k g (t)=0 Khi m t S lƠ m t b ph n c a m t ph ng E3 (có th coi lƠ E2) Khi ', '' n m S N u cung ph ng, ta ch n h song quy ', " khơng ng c a S cho ( ', '',n) lƠ m t b ba thu n Khi k g (t)=k(t) t c lƠ đ cong tr c đ a b ng đ cong đ i s c a cung ph ng ng ti n tr c đ a c a đa t p hai chi u S E3 b) nh ngh a Trong E3 cho đa t p hai chi u S đ nh h m tđ ng đ c g i lƠ đ m c a cung hay đ ng đ c Trên S, m t cung hay ng ti n tr c đ a c a S n u đ cong tr c đ a t i m i ng đ u b ng Ví d : m i cung th ng S E đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a đ cong c a cung th ng b ng nên đ cong tr c đ a c a b ng Tính ch t Cung song quy m t ph ng đ nh h đ a vƠ ch vect pháp n N c a đ n v (n ) đ nh h ng S ph ng S c a E3 lƠ ti n tr c vƠ vect pháp n ng v i 4.3.2 Cung tr c đ a a) nh ngh a Trong E3 cho đa t p hai chi u S có h pháp n đ n v n Cung tham s đ a n u " ph ng xác đ nh b i tr : J S, t (t) đ ng v i (n ) 39 ng vect c g i lƠ cung tr c Chú ý : khái ni m cung tr c đ a ph thu c vƠo cách tham s hóa cung b) Tính ch t M i tham s hóa c a m t cung th ng đa t p hai chi u S thu c E3 đ u lƠ cung tr c đ a M i cung tr c đ a m t S đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a vƠ '' = const Ch ng minh Vì lƠ cung tr c đ a nên '' n ( v i n lƠ tr c a đa t p hai chi u S) Do v y , kg=0 ng vect pháp n đ n v lƠ đ ng ti n tr c đ a L i " n, ' n ' " v y ' "=0 nên ( '2 )' suy '(t) = const t ' = const M i tham s hóa t nhiên c a cung ti n tr c đ a song quy đ u lƠ cung tr c đ a Ch ng minh Cho cung song quy ti n tr c đ a gi s đa t p đ nh h : s (s) lƠ m t tham s hóa t nhiên c a "(s) = T'(s) = k(s).N( (s)) v i k(s) lƠ đ cong c a cung tr ng S E3, N( (s)) ng vect pháp n đ n v c a Theo tính ch t c a đ tr c đ a N( (s)) (n )(s) , "(s) (n )(s) t c lƠ ng ti n : s (s) tham s hóa c a cung tr c đ a c) Ví d Trong E3, cho m t ph ng P đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n song song Các cung tham s quy tr c đ a P cung th ng 40 M t c u S bán kính R>0, đ đ nv h c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n ng ngoƠi Các cung quy S có tham s hóa t nhiên lƠ cung tr c đ a lƠ t t c cung tròn l n c a S ( cung tròn l n n m đ ng tròn l n c a m t c u S) M t tr tròn xoay bán kính R>0 tr c quay Oz, đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v lƠ n Các cung quy có tham s hóa lƠ cung tr c đ a có nh n m v n, ho c kinh n ho c cung đinh c tròn 4.4 Liên h gi a đ ng đ c bi t c a đa t p hai chi u Trong E3, cho m t S đ nh h d c theo S vƠ m t đ a) v a lƠ đ ng b i tr ng song quy ng khúc v a lƠ đ ng vect pháp n đ n v n S Khi đó: ng ti m c n c a S vƠ ch n m ti p di n c a S d c theo b) v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch n m m t ph ng tr c giao v i S d c c) v a lƠ đ ng ti m c n v a lƠ đ n m m t đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch ng th ng Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên c a a) Gi s lƠ đ :J S,s (s) ng khúc vƠ lƠ đ ng ti m c n, h( '(s)) '(s) '(s))=0 Theo cơng th c tính đ cong pháp d ng k( '(s)) = k( h( '(s)) '(s) = i u nƠy k t h p v i h( '(s)) '(s) nên h( '(s))=0 T (n )'(s) = (n ) = const t i lơn c n c a m p= (s) Theo công th c '(s)) = k(s).N(s).(n )(s) = Vì cung Meusnier ta có k( cung song quy nên k(s) N(s).(n )(s)=0 N(s) (n )(s) 41 Ta l i có (n )(s) T(s) , v y (n )(s) ph vect nƠy đ u lƠ tr tr ng v i B(s), hai ng vect đ n v nên (n )(s) = ±B(s) hay B(s) c ng lƠ ng vect song song B’(s)=0 v i m i s hay (s).N(s)=0 (s)=0 đ xo n c a cung b ng lƠ cung ph ng vƠ thu c vƠo ti p di n c a S t i p Ng c l i, n u cung n m trêm m t ph ng ti p xúc v i S d c '(s))=0 (n )(s)=const (n )'(s)=0 h( '(s))=0 hay h( '(s)) '(s) k( Nói cách khác b) Gi s v a lƠ đ v a lƠ đ h( '(s)) '(s) ng khúc v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ kg(s)=0 T ng đ ng ng ti m c n ng ti n tr c đ a, v i (n )' T(s) (T(s)×N(s))(n )(s)=0 suy B(s) (n )(s) L i có T(s) (n )(s) Do (n )(s) ph ng v i N(s)=B(s)×T(s) Vì n vƠ N lƠ hai vect đ n v nên (n )(s)=N(s) (1) , (n )'(s) T(s) nên N'(s) T(s) hay ( k.T+ B)(s) T(s) , u nƠy ch ng t g i P lƠ m t ph ng ch a ph =0 hay cung lƠ cung ph ng N u ng c a N(s) n m ph ph ng P, l i (1) nên (n )(s) n m ph ng c a m t ng c a m t ph ng P, m t ph ng P tr c giao v i S d c Ng c l i, n u n m m t ph ng tr c giao v i S d c cung ph ng đ xo n c a b ng 0, hay =0 , (n )(s) n m P nên (n )(s) ph ng v i N(s ) Do chúng đ u lƠ vect đ n v nên ta có (n )(s) = ±N(s) , t đơy suy (n )(s).B(s) = L y đ o hƠm c hai v c a đ ng th c nƠy ta có (n )'(s).B(s)+(n )(s).B'(s) = T ng đ (n )'(s).B(s) (n )(s) (s).N(s)= K t h p v i (s)=0 (n )'(s).B(s) = hay (n )'(s) B(s) (*) 42 ng v i M t khác l i (n )(s) =1 (n )(s)(n )'(s)=0 (n )(s) (n )'(s) N(s) (n )'(s) (**) T (*) vƠ (**) ta có (n )'(s) T(s) hay (n )'(s) '(s) hay h( '(s)) '(s) nên lƠ đ ng khúc Ta l i có đ cong tr c đ a k g (s) = (T×N)(n )(s) = (do (n )(s) N(s)) nên lƠ đ ng ti n tr c đ a c) Gi s v a lƠ đ ng ti m c n, v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S '(s))=0 k (s)=0 h( '(s)) '(s) = (1) Khi k( g (T(s)×N(s))(n )(s)=0 (2) T (2) suy B(s) (n )(s) , v y (n )(s) T(s), N(s) Khi nƠy t n t i a,b * cho (n )(s) = a.T(s)+b.N(s) (n )'(s) = a.T'(s)+b.( k(s).T(s)+ (s).B(s)) = a.T'(s) b.k(s).T(s)+b (s).B(s) (3) T (1) suy (n )'(s) T(s) Nhơn hai v c a (3) v i T(s) ta có –b.k(s)=0 Do b nên k(s) =0 Cung song quy E3 có đ cong b ng lƠ cung th ng Có th nói r ng n m m t đ ng th ng Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 5.1 M t k 5.1.1 nh ngh a Trong E3, xét cung quy xác đ nh b i tham s hóa lƠ : J E3 , u (u) ,hƠm vect A : J E , u A(u) (A(u) u J) 43 Xét t p m U U={(u, v); u J} vƠ v i m i u J t p {v , (u, v) U} lƠ m t kho ng M nh E3 xác đ nh b i r: U E3 , r(u, v) = (u)+v.A(u) đ m nh m t k E3 Cung đ đ ng t a đ u = u0 (không đ i ) đ c g i lƠ đ c g i lƠ ng chu n c a m t k Các c g i lƠ đ ng th ng sinh c a m t k 5.1.2 Ví d M t ph ng lƠ m t k ng h p coi A(u) = v i m i u J Lúc nƠy, m t tr có ph ng trình tham s lƠ r(u, v) = (u)+ v , m kì d c a m nh m t tr lƠ m r(u, v) mƠ '(u) có ph ng c a M t tr lƠ m t k tr M t nón đ nh O lƠ m nh m t k tr ng h p đ ng th ng sinh c a qua m O c đ nh, O (J) , lúc ta coi A(u) = O (u) M t ti p n c a c a cung lƠ m t k đ ng th ng sinh lƠ ti p n c a đ ng chu n, hay A(u) = '(u) , ph ng trình tham s c a m t ti p n lƠ r(u, v) = (u)+v '(u) Các m (u, v) mƠ v =0 lƠ m kì d c a m t ti p n r M t đinh c đ ng lƠ m t k có tham s hóa h t a đ tr c chu n c a E3 r: R E3 , (u,v) (v.cosu, v.sin u, bu) (b 0) Các đ v=v0 v0 lƠ đ 5.1.3 a) ng đinh c tròn c a m t đinh c đ ng ng th t c a m t k nh ngh a 44 ng t a đ Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s lƠ r: U E , r(u, v) = (u)+v.A(u) A Khi đó, cung '(u).A'(u) (u) = (u) (u).A(u) (u) = đ A (u) c a m t k M i m đ c g i lƠ đ ng th t c g i lƠ m trung tơm c a m t k b) Tính ch t + ng th t n m m t k + '.A' = (u) Th t v y : ta có '(u)= '(u) '(u).A(u) (u).A'(u) '.A' '.A' = '.A' '.A.A' A'.A' A.A'=0 (u) = 2 A + ng th t khơng ph thu c vƠo đ +Các m kì d c a m t k n m đ ng chu n ng th t +T i m quy, đ cong Gauss K p K(p)=0 d c theo đ ng sinh qua m kì d c a đ cong Gauss ng th t 5.1.4 M t kh tri n Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s r: U E , r(u, v) = (u)+v.A(u) M t k nƠy đ c g i lƠ m t kh tri n n u det (A, A', ') = nói cách khác m t k lƠ m t kh tri n n u ti p di n c a m t t i m i m c a m t đ ng th ng sinh tùy ý c a S luôn trùng T i m quy c a m t kh tri n đ cong Gauss K(p)=0, u nƠy lƠ t i m quy tr ng vect pháp n lƠ h ng nên ánh x Weingarten t i m i m quy đ u b ng 0, K(p)=0 5.2 M t c c ti u 5.2.1 nh ngh a 45 Trong E3, cho đa t p hai chi u đ nh h ng đ c (m t ) S M t S đ cg i lƠ m t c c ti u đ cong trung bình t i m i m b ng 5.2.2 Ví d a) M t c c ti u Enneper Trong E3 v i h t a đ ph vng góc, m t c c ti u Enneper có ng trình tham s lƠ : u3 v3 r(u,v) = u + uv ; v + u v; u v 3 Theo ta tính đ c đ i l ng ru' (u,v)=(1 u + v ; 2uv; 2u) rv' (u,v) = ( 2uv, v +u ; 2v) , hai vect nƠy đ c l p n tính v i m i (u,v) nh h ng m t nƠy b i tr ng vect pháp n đ n v lƠ ru' ×rv' n = T ta tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II lƠ ru' ×rv' E = (u +v2 +1)2 ; F = 0; G = E ruu" (u, v) = ( 2u, 2v, 2) , ruv" (u, v) = (2v, 2u, 0) , rvv" (u, v) = (2u, 2v, 2) t ta có 4(u +v )(u +v +1)+2.(1 (u +v ) ) L= , ms M = 0, N L v i ms= (u +v2 +1)2 (4u +4v2 )+[1 (u +v2 )2 ]2 Nh v y tính đ c đ cong trung bình H(p) v i m i p = r(u,v) S d a vƠo công th c H(p) = EN+GL 2.FM ( u, v) = (EG F2 ) b) M t c c ti u Scherk Trong E3, ch n h t a đ ph vng góc Oxyz, m t xác đ nh b i ng trình n ez cosx = cosy (cosx.cosy>0) lƠ m t c c ti u Scherk 46 Ch ng minh Trên t p cosx.cosy>0 m t xác đ nh b i ph ng trình n lƠ đa t p hai chi u Th t v y, đ t (x,y,z) = ez cosx cosy Khi xét z z x ; y ; z (e sinx; sin y; e cos x) Do u ki n cosx cosy >0 nên v i m i (x, y, z) thu c t p nƠy rank ; ; =1 Nh v y, t i m i x y z m (x, y, z) x, y, z {(x, y,x)| cosx.cosy>0} đ u có lơn c n lƠ m nh hình h c Do v y S lƠ đa t p hai chi u E3 a t p hai chi u nƠy có đ cong trung bình t i m i m b ng Th t v y, t p {(x, y, x)| cosx.cosy>0} t ez cosx cosy=0 ta suy e z = z xác đ nh vƠ b ng z = ln cosy hay cosx cosy Khi m t s nh n tham s hóa ki u đ th cosx cosy cosy ) Khi r(x,y) = (x, y, ln ) cosx cosx ' rx (x, y) = (1; 0; tanx) ry' (x, y) = (0; 1; tany) Tr ng vect r(x, y) = (x, y, ln pháp n đ n v đ nh h ng m t Scherk nh sau : rx' ×ry' (n r)(x, y)= ( t anx; tan y; 1) 2 ' ' tan x tan y rx ×ry Ta tính đ c rxx'' (x,y) = (0;0;1+tan x), ryy'' (x, y) = (0;0;0) ,rxy'' (x, y)= (0;0; (1+tan y)) T tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II nh sau : E= 1+ tan x, F= tanx.tany, G=1+ tan y 47 L= 1+tan x 1+tan x+tan y , M= 0, N= (1+tan y) 1+tan x+tan y T d dƠng ki m ch ng r ng đ cong trung bình c a m t S b ng t i m i m 48 K T LU N Khóa lu n trình bƠy ng d ng c a ánh x Gauss vi c nghiên c u đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3, tìm hi u m i liên h gi a đ cong đ a ph ng vƠ đ ng đ c bi t đa t p hai chi u E3 ơy lƠ nh ng c g ng tìm hi u c a b n thơn em d a vi c tìm hi u m t s sách tham kh o đ cs h c bi t, hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy, em ng d n t n tình c a th y giáo- phó giáo s - ti n s Nguy n N ng Tâm Em xin chơn thƠnh c m n ! 49 TẨI LI U THAM KH O [1] Ph m Bình ô (2010), Hình H c Vi Phân, NXB i h c S Ph m [2] oƠn Qu nh (2000), Hình H c Vi Phân, NXB GD, HƠ N i [3] oƠn Qu nh (ch biên), Tr n ình Vi n, Tr ng Quang (1993), Bài t p hình h c vi phân, NXB GD 50 c Hinh, Nguy n H u ... ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh... u E3 Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 12 Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n, ánh x Gauss c a S lƠ g Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss lƠ ánh x... , p g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho