Luận văn sư phạm Ánh xạ Gauss và ứng dụng

L I NịI U Khóa lu n nƠy trình bƠy v v n đ ánh x Gauss vƠ ng d ng c a ng d ng c a ánh x nƠy đ nghiên c u v đ cong c a đa t p hai chi u E3 nh đ cong chính, đ cong trung bình, đ cong Gauss, đ cong c a đ ng đ c bi t đa t p hai chi u N i dung c a khóa lu n g m: Ch ng 1: Ki n th c chu n b Không gian Euclit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a a t p đ nh h Ch ng không gian En ng II: Ánh x Gauss vƠ ng d ng Ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss Các v n đ liên quan đ n ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss M t s đ ng đ c bi t m t M t k vƠ m t c c ti u E3 K t lu n Em xin đ c bƠy t lòng bi t n cơng lao d y d c a th y cô giáo, đ c bi t lƠ s h ng d n t n tình c a Th y giáo- Phó giáo s - Ti n s Nguy n N ng Tơm giúp em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy HƠ N i, ngƠy tháng Sinh viên th c hi n HoƠng Th Thanh H ng n m M CL C N i dung Ch Trang ng KI N TH C CHU N B 1 Không gian clit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 1.2 H t a đ tr c chu n không gian En 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m khơng kì d 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En 2.5 H ng đa t p hai chi u En 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 2.2 Tính ch t Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3 3.1 cong chính, ph ng c a đa t p hai chi u S t i p 3.2 cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S 3.3.Các đ nh ngh a 3.4.Ví d 3.5 nh ngh a 3.6 D ng c b n th hai đa t p hai chi u E3 3.7 nh lí 10 3.8 cong pháp d ng vƠ công th c le, công th c Meusnier 10 M t s đ ng đ c bi t m t 12 4.1 ng khúc 12 4.2 ng ti m c n 13 4.3 Cung tr c đ a 4.4.Liên h gi a đ 14 ng đ c bi t c a đa t p hai chi u 16 Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 16 5.1 M t k 16 5.2 M t c c ti u 18 K t lu n 19 TƠi li u tham kh o 20 CH KI N TH C CHU N B NG Tr ph i n m đ c tìm hi u v ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó, c n c m t s ki n th c c b n Ch ng nƠy nh c l i m t s ki n th c c b n Không gian clit n chi u En vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 Không gian clit n chi u En lƠ không gian afin liên k t v i không gian  vect clit n chi u n 1.2 H t a đ tr c chu n không gian clit En      Trong E n ,tích vơ h ng gi a hai ph n t x, y  n kí hi u lƠ x.y    n   ho c  x, y Chu n c a ph n t x  E đ c tính theo cơng th c x = x.x Trong không gian E , ch n m O b t kì Trong khơng gian n  n , ch n       0 i  j h vect tr c chu n {e1 , e2 , ,en } t c lƠ ei e j   ei =1 v i 1 i=j    i=1,n Khi đó, t p { , e1 ,e , ,e n } g i lƠ h t a đ tr c chu n En c bi t, n =2, n=3 t a đ nƠy g i lƠ h t a đ đ vng góc c vi t lƠ Oxy ho c Oxyz 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En    Trong En, cho h t a đ tr c chu n { , e1 ,e , ,e n }  n 1.3.1 V i x  , t n t i b s (x1, x2,ầ,xn) (x i  ฀ , i=1,n) cho  n  x   x i ei , b s (x1, x2,ầ,xn) đ  c g i lƠ t a đ c a x h t a i=1   đ tr c chu n ch n Vi t lƠ x=(x1 , x , ,x n ) ho c x(x1 , x , ,x n )  n ,  Trong h t a đ tr c chu n c a En 1.3.2 V i   =(x1 , x , ,x n ) Khi nƠy, ta g i b s (x1, x2,ầ,xn) lƠ t a đ ch n gi s n c a m P, vi t lƠ P(x1, x2,ầ,xn) ho c P=(x1, x2,ầ,xn) V i  ,  n ,  (x1 ,x , ,yn ), (y1 , y2 , ,yn ) , t a đ c a MN  =(y1  x1 , y  x , , y n  x n )   n  (y i  x i )2 i=1 a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u E3 Trong En, cho t p S   T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u En (đ n gi n có th g i lƠ m t) n u v i m i p  S có lơn c n m V c a p En cho V  S lƠ m t m nh hình h c M i tham s hoá c a m nh hình h c nƠy đ c g i lƠ tham s hóa đ a ph ng c a S 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.2.1 Trong E3, cho h t a đ afin (x1, x2,ầ,xn), t p S   T p S lƠ đa t p hai chi u En vƠ ch v i m i p  S có lơn c n V c a p E3 vƠ m t hƠm s kh vi :V  R, (x1 ,x ,x )  (x1 ,x ,x ) cho x  V     (x1 , x , x )  b ng vƠ n u đ t h ng  (x1 , x , x ); (x1 , x , x ); y z  x  (p) = a V  S = 1 (a) i m p  S , p(x1, x2, x3) làm cho    (x1 , x , x )= (x1 , x , x )  (x1 , x , x )  đ x y z c g i lƠ m kì d c a S 2.2.2 Trong E3, cho t p S   , t a đ afin (x1, x2, x3) T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u E3 vƠ ch v i m i p  S có lơn c n m c a S lƠ m t m nh hình h c v i tham s hóa ki u đ th , n u c n có th đ i ch s t a đ afin đ tham s hóa có d ng (x1 ,x )  r(x1 ,x )= (x1 ,x , (x1 ,x ), , n (x1 ,x )) 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m không kì d Trong E3, cho đa t p hai chi u S T i p  S , ch n tham s hóa đ a ph ng   c a S lƠ r: U  S, (u,v)  r(u,v) Khi đó, t n t i ru' , rv' chúng đ c l p n tính Ti p di n c a đa t p S t i p=r(u,v) lƠ 2-ph ng qua r(u,v) có   không gian vect ch ph ng lƠ  ru' ,rv'  c bi t, E3 ti p di n nƠy lƠ m t ph ng ti p xúc; đ qua r(u,v) vƠ vng góc v i m t ph ng ti p xúc t i r(u, v) đ ng th ng c g i lƠ pháp n c a S t i p 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En    Trong En cho đa t p hai chi u S, t i p  S đ t Tp E n  {(p, );  n } g i lƠ không gian vect ti p xúc c a En t i p   V i m i p  S , đ t TpS  {(p, );  không gian vect ch ph di n c a S t i p}, TpS đ x ng c a ti p c g i lƠ không gian vect ti p xúc c a S t i p Ánh : S  Tp En , p  X(p)  TpS đ c g i lƠ tr ng vect ti p xúc c a S t i p Khi X  p   TpS ta g i ánh x X lƠ tr ng vect pháp n c a S, lúc nƠy  n u (p)  X đ c g i lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S c bi t E3, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ    ' r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p, ) |  ru (u, v), rv' (u, v)} , vect pháp n đ n v S t ng thích v i tham s hóa r t i p đ  xác đ nh lƠ n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);       ru' ×rv'   (u, v)  Lúc nƠy ta nh n đ  ru' ×rv'   c c ánh x kh vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta g i ánh x nƠy lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S 2.5 H ng đa t p hai chi u En Cho đa t p hai chi u S En Gi s m i không gian vect ti p xúc TpS c a S có th l y m t c s (ap, bp) cho t n t i m t tham s hóa đ a ng r: U  S t i p th a mãn: v i m i  u,v   V, p = r (u,v) hai c s ph {ru' , rv' } {a p , bp } h lƠ h ng Khi ta nói S đ nh h ng đ ng c a TpS xác đ nh b i c s (ap, bp) Khi S đ nh h D={Dp} lƠ m t h ng c a S Tham s hóa đ a ph g i lƠ tham s hóa t ng thích v i h 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ ng đ ng c a S c ta g i h r: U  S ng D c 2.6.1 Trong En, đa t p hai chi u đ nh h tham s hóa đ a ph c Kí hi u Dp ng đ c S vƠ ch có h ng { ri : Ui  S } c a S cho S   r(Ui ) vƠ n u i ri (Ui )  rj (U j )   t i nh ng m chung c a giao hai tham s hóa đ a ph ng ri rj t ng đ ng b o t n h ng 2.6.2 a t p hai chi u S E3 đ nh h ng đ c vƠ ch S có    m t tr ng vect pháp n n : S  E n liên t c vƠ n(p)  t i m i p thu c S 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En 2.7.1 nh ngh a Trong En, cho hai đa t p hai chi u S1 S2 vƠ ánh x h: S1  S2 Ánh x h kh vi n u h liên t c vƠ v i m i tham s hóa đ a ph ng r1 : U1  S1 r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) ánh x r2-1  h  r1: U1  U2 kh vi 2.7.2 Ánh x ti p xúc c a ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u V i ánh x kh vi h đ c cho trên, t i p  S1 , m i ph ng  TpS1 đ u t n t i cung tham s c a S1 : J  S1 , t  (t) cho (t )= p , '(t )= Khi h  (t) : J  S2 lƠ m t cung tham s c a S2 qua q = h( (t ))  phép l y đ o hƠm (h  )'(t ) không ph thu c vƠo cách ch n cung Khi ánh x ti p xúc v i h lƠ Tp h : TpS1  Th(p)S2 đ  Tp h( ) = (h  )'(t )=((h  (t ); (h  )'(t )) Trên đơy lƠ nh ng ki n th c c n n m đ Gauss vƠ ng d ng c a c tr c đ nh ngh a c nghiên c u ánh x CH Ch ÁNH X GAUSS VẨ NG NG D NG ng nƠy lƠm quen v i đ nh ngh a ánh x Gauss vƠ s xét ng d ng c a v n đ t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc t i lơn c n m t m đa t p hai chi u E3, m t cách t thiên c a tr ng đ ng lƠ t c đ bi n ng vect pháp n đ n v lơn c n c a m Ánh x Gauss nh ngh a 1.1 Trong E3, cho đa t p hai chi u (có th g i lƠ m t) S đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v kh vi n, lúc xác đ nh m t ánh x t S vƠo m t c u đ n v S2 (m t c u tơm O, bán kính 1) g: S  S2 , p  g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz vƠ m t c u đ n v S2 tâm O, bán kính 1.2.1 Tìm nh c a m t tr tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh x Gauss Trong h t a đ ch n, gi s tham s hóa đ a ph ng c a S  r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , t   đơy suy ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vect nƠy đ c l p n tính Khi nƠy, xác đ nh m t tr ng vect pháp n đ n v đ nh    ru' ×rv' h ng S lƠ (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) Trong E3, g i ru' ×rv' t a đ c a g(p)=(x, y, z) nh c a m t S lƠ đ ng tròn l n m t ph ng z=0 c a m t c u đ n v S2 t c lƠ đ ng tròn E3 có ph ng trình lƠ  x +y =  z = 1.2.2 Tìm nh c a m t xuy n S qua ánh x Gauss Trong E3, cho tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) v i (a >b > 0)  T r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)  rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) Khi nƠy tr ng vect pháp n đ n v đ c xác đ nh b i ru'  rv' n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) ru  rv H n n a nh n th y r ng (u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S (  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S n(p1) = n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) Ngh a lƠ m t xuy n có ph trình tham s xét có nh lƠ m t c u đ n v đ ng c l y hai l n 1.2.3 Tìm nh c a m t paraboloit elliptic S qua ánh x Gauss Gi s h tr c t a đ ch n, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ    x y2  x y2  r : U  S, (x, y)   x, y,   r (x, y)   x, y,   2p 2q  2p 2q       x   y rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  Khi nƠy tr p q   v đ c xác đ nh b i 10 ng vect pháp n đ n Trong E3, cho đa t p hai chi u S có h ng xác đ nh b i tr pháp n đ n v n, cho S tham s hóa đ a ph r: U  S,(u, v)  r(u, v) , p=r(u,v) Tr = a.ru' +b.rv' , ph d ng c a S theo ph ng lƠ ph ng thích v i n lƠ ng vect ti p xúc c a S t i p lƠ TpS Trong TpS l y c s lƠ {ru' , rv' } Khi v i ph cho ng t ng vect ng  TpS t n t i a, b ng ti m c n vƠ ch đ cong pháp  ) =  II( ) = hay ng b ng hay k( h p ( ) =  (a.h p (ru' )+b.h p (rv' )).(a.ru' +b.rv' ) =  a (nr)'u ru' +2ab.(nr)'u rv' +b2 (nr)'v rv' =  a L+2ab.M+b N = N u đ t a=du, b=dv ph Ph ng trình t ng trình nƠy g i lƠ ph s L, M, N đ ng đ ng v i Ldu +2M.du.dv+b N = ng trình xác đ nh ph ng ti m c n c a S t i p, c tính t i p 4.2.4 Ví d a) Trong E3, cho đ ng cong quy G i S lƠ m t k t o b i pháp n c a Ch ng minh r ng lƠ đ ng ti m c n c a S Ch ng minh Gi s đ ng cong quy có tham s hóa đ a ph ng lƠ : J  E3 , s  (s) Vect pháp n c a lƠ N(s) Khi m t k S  có tham s hóa đ a ph ng lƠ r (s, t) = (s)+ t N(s) Theo ,     '     r(s, t) = (s)+t.N(s) r s (s, t)= '(s)+t.Ns' (s) = T+v.(  k.T+ B) hay    rs' (s,t) = (1  vk).T + v B ( đơy k vƠ l n l t lƠ đ cong vƠ đ xo n c a , {T, N, B} lƠ tr ng m c tiêu Frener d c theo cung ) Ta có       ' rt (s, t) = N(s) t ta tính đ c rs'  rt' = (1  kv)B  v.T 36   rs' ×rt' = (1  kv)2 + v2 , đ nh h ng S b i tr ng vect pháp n đ n v     ' '  r ×r (1  kv)B  vT (n  r)(s, t) = s t (s, t) = (1  kv) + v2 rs' ×rt'       M t khác (n  )(s) = (n  r)(s,0) = B(s) , v y (n  )'(s) = B'(s) =  N(s) T đơy suy đ cong pháp d ng theo ph ng ti p n c a h(T).T   k(T) = =  (n )'(s).T = N.T = , đ ng th c k(T) = ch ng t r ng T.T lƠ đ ng ti m c n c a S b) Cho m t đ ng song quy E3 v i tr ng m c tiêu Frênê {T, N, B} d c theo Gi s lƠ m t đ S  E đ nh h ng vect pháp n đ n v n c a S G i ng đ c b i m t tr ng ti m c n c a m t m t lƠ đ xo n c a Ch ng minh r ng h(T) = ± N K(p) =  (p) (p  ) Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên đ a ph ng c a s  (s) Vì lƠ đ ng ti m c n c a S nên theo công th c Meusnier ta có  '(s)) K(s).N(s).(n  )(s) = k( ( v i k(s) lƠ đ cong c a Vì t i p= (s))  '(s)) = Do cung song quy nên k(s)  k( N(s).(n  )(s) = t c lƠ (n  )(s)  N(s) M t khác (n  )(s)  T(s) Suy (n  )(s) ฀ (N(s)×T(s))=B(s) Vì n vƠ B lƠ hai vect đ n v vƠ ph ng nên (n  )(s) = ±B(s) Ta có h(T(s)) =  (n  )'(s) =  B'(s)=  (s).N(s) V y h(T) =  N 37 tính K(p), ta tính ma tr n c a hp đ i v i m t c s c a TpS Trong ph n ta ch ng minh N(s)  (n  )(s) , l i có T(s)  (n  )(s) , T(s), N(s) TpS vƠ {T(s), N(s)} lƠ m t c s c a TpS Nh v y có th khai tri n h p (N(s)) = a.T(s) + b.N(s) Khi h p (N(s)).T(s) =  a.T(s)+b.N(s) .T(s) = a  h p (N(s)).T(s) = N(s).h p (T(s) = N(s). ± (s).N(s)  = ± (s) T suy a = ± (s) K(p) = ± ± hay K(p) =  b (p) 4.3 Cung tr c đ a 4.3.1 a) cong tr c đ a vƠ đ ng ti n tr c đ a cong tr c đ a Trong E3 cho đa t p hai chi u đ nh h n đ n v kh vi n vƠ cung đ nh h ng đ c b i tr ng vect pháp ng quy có tham s hóa lƠ    : J  S, t  (t) HƠm s t   ( '(t)× ''(t)).(n  )(t) không ph '(t) thu c vƠo tham s hóa ch n c a cung quy Th t v y, v i tham s hóa t ng đ ng v i ( phép đ i tham s , ' > ) ta có ( )' = '( ); ( )" = '2 ( " )+ "( ' ) nên       ( )'×( )" (n   )= '3 ( '× ").(n  ) , t đơy suy u ph i ch ng   minh HƠm s d c cung đ nh h ng quy đ c g i lƠ đ cong tr c đ a c a cung , kí hi u hƠm s nƠy lƠ kg v y    k g (t)   ( '(t)× ''(t)).(n  )(t) '(t) 38  Chú ý r ng đ i h ng c a cung ' đ i d u, đ i h ng c a    m t n đ i d u, đ i h ng c a E3 tích có h ng '× '' đ i d u, y đ cong tr c đ a đ i d u T i m khơng song quy ( m kì d ) c a cung ' ฀ '' , v y k g (t)=0 Khi m t S lƠ m t b ph n c a m t ph ng E3 (có th coi lƠ E2) Khi ', '' n m S N u cung ph ng, ta ch n h song quy ', " khơng ng c a S cho ( ', '',n) lƠ m t b ba thu n Khi k g (t)=k(t) t c lƠ đ cong tr c đ a b ng đ cong đ i s c a cung ph ng ng ti n tr c đ a c a đa t p hai chi u S E3 b) nh ngh a  Trong E3 cho đa t p hai chi u S đ nh h m tđ ng đ c g i lƠ đ m c a cung hay đ ng đ c Trên S, m t cung hay ng ti n tr c đ a c a S n u đ cong tr c đ a t i m i ng đ u b ng Ví d : m i cung th ng S  E đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a đ cong c a cung th ng b ng nên đ cong tr c đ a c a b ng  Tính ch t Cung song quy m t ph ng đ nh h đ a vƠ ch vect pháp n N c a đ n v (n  ) đ nh h ng S ph ng S c a E3 lƠ ti n tr c vƠ vect pháp n ng v i 4.3.2 Cung tr c đ a a) nh ngh a Trong E3 cho đa t p hai chi u S có h pháp n đ n v n Cung tham s đ a n u " ph ng xác đ nh b i tr : J  S, t  (t) đ ng v i (n  ) 39 ng vect c g i lƠ cung tr c Chú ý : khái ni m cung tr c đ a ph thu c vƠo cách tham s hóa cung b) Tính ch t  M i tham s hóa c a m t cung th ng đa t p hai chi u S thu c E3 đ u lƠ cung tr c đ a  M i cung tr c đ a m t S đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a vƠ '' = const Ch ng minh Vì lƠ cung tr c đ a nên '' ฀ n ( v i n lƠ tr c a đa t p hai chi u S) Do v y , kg=0 ng vect pháp n đ n v lƠ đ ng ti n tr c đ a L i " ฀ n, '  n  ' ฀ " v y ' "=0 nên (  '2 )'  suy '(t) = const t  ' = const  M i tham s hóa t nhiên c a cung ti n tr c đ a song quy đ u lƠ cung tr c đ a Ch ng minh Cho cung song quy ti n tr c đ a gi s đa t p đ nh h : s  (s) lƠ m t tham s hóa t nhiên c a "(s) = T'(s) = k(s).N( (s)) v i k(s) lƠ đ cong c a cung tr ng S E3, N( (s)) ng vect pháp n đ n v c a Theo tính ch t c a đ tr c đ a N( (s)) ฀ (n  )(s) , "(s) ฀ (n  )(s) t c lƠ ng ti n : s  (s) tham s hóa c a cung tr c đ a c) Ví d Trong E3, cho m t ph ng P đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n song song Các cung tham s quy tr c đ a P cung th ng 40 M t c u S bán kính R>0, đ đ nv h c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n ng ngoƠi Các cung quy S có tham s hóa t nhiên lƠ cung tr c đ a lƠ t t c cung tròn l n c a S ( cung tròn l n n m đ ng tròn l n c a m t c u S) M t tr tròn xoay bán kính R>0 tr c quay Oz, đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v lƠ n Các cung quy có tham s hóa lƠ cung tr c đ a có nh n m v n, ho c kinh n ho c cung đinh c tròn 4.4 Liên h gi a đ ng đ c bi t c a đa t p hai chi u Trong E3, cho m t S đ nh h d c theo S vƠ m t đ a) v a lƠ đ ng b i tr ng song quy ng khúc v a lƠ đ ng vect pháp n đ n v n S Khi đó: ng ti m c n c a S vƠ ch n m ti p di n c a S d c theo b) v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch n m m t ph ng tr c giao v i S d c c) v a lƠ đ ng ti m c n v a lƠ đ n m m t đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch ng th ng Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên c a a) Gi s lƠ đ :J  S,s  (s) ng khúc vƠ lƠ đ ng ti m c n, h( '(s)) ฀ '(s)  '(s))=0 Theo cơng th c tính đ cong pháp d ng k(  '(s)) = k(  h( '(s)) '(s) = i u nƠy k t h p v i h( '(s)) ฀ '(s) nên h( '(s))=0 T (n )'(s) =  (n  ) = const t i lơn c n c a m p= (s) Theo công th c  '(s)) = k(s).N(s).(n  )(s) = Vì cung Meusnier ta có k( cung song quy nên k(s)  N(s).(n  )(s)=0  N(s)  (n  )(s) 41 Ta l i có (n  )(s)  T(s) , v y (n  )(s) ph vect nƠy đ u lƠ tr tr ng v i B(s), hai ng vect đ n v nên (n  )(s) = ±B(s) hay B(s) c ng lƠ ng vect song song B’(s)=0 v i m i s hay  (s).N(s)=0  (s)=0 đ xo n c a cung b ng lƠ cung ph ng vƠ thu c vƠo ti p di n c a S t i p Ng c l i, n u cung n m trêm m t ph ng ti p xúc v i S d c  '(s))=0 (n  )(s)=const  (n  )'(s)=0  h( '(s))=0 hay h( '(s)) ฀ '(s) k( Nói cách khác b) Gi s v a lƠ đ v a lƠ đ h( '(s)) ฀ '(s) ng khúc v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ kg(s)=0 T ng đ ng ng ti m c n ng ti n tr c đ a, v i (n  )' ฀ T(s) (T(s)×N(s))(n  )(s)=0 suy B(s)  (n  )(s) L i có T(s)  (n  )(s) Do (n  )(s) ph ng v i N(s)=B(s)×T(s) Vì n vƠ N lƠ hai vect đ n v nên (n  )(s)=N(s) (1) , (n  )'(s) ฀ T(s) nên N'(s) ฀ T(s) hay (  k.T+ B)(s) ฀ T(s) , u nƠy ch ng t g i P lƠ m t ph ng ch a ph =0 hay cung lƠ cung ph ng N u ng c a N(s) n m ph ph ng P, l i (1) nên (n  )(s) n m ph ng c a m t ng c a m t ph ng P, m t ph ng P tr c giao v i S d c Ng c l i, n u n m m t ph ng tr c giao v i S d c cung ph ng đ xo n c a b ng 0, hay =0 , (n  )(s) n m P nên (n  )(s) ph ng v i N(s ) Do chúng đ u lƠ vect đ n v nên ta có (n  )(s) = ±N(s) , t đơy suy (n  )(s).B(s) = L y đ o hƠm c hai v c a đ ng th c nƠy ta có (n  )'(s).B(s)+(n  )(s).B'(s) = T ng đ (n  )'(s).B(s)  (n  )(s) (s).N(s)= K t h p v i (s)=0  (n  )'(s).B(s) = hay (n  )'(s)  B(s) (*) 42 ng v i M t khác l i (n  )(s) =1  (n  )(s)(n  )'(s)=0  (n  )(s)  (n  )'(s)  N(s)  (n  )'(s) (**) T (*) vƠ (**) ta có (n  )'(s) ฀ T(s) hay (n  )'(s) ฀ '(s) hay h( '(s)) ฀ '(s) nên lƠ đ ng khúc Ta l i có đ cong tr c đ a k g (s) = (T×N)(n  )(s) = (do (n  )(s) ฀ N(s)) nên lƠ đ ng ti n tr c đ a c) Gi s v a lƠ đ ng ti m c n, v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S  '(s))=0 k (s)=0  h( '(s)) '(s) = (1) Khi k( g (T(s)×N(s))(n  )(s)=0 (2) T (2) suy B(s)  (n  )(s) , v y (n  )(s) T(s), N(s) Khi nƠy t n t i a,b฀ * cho (n  )(s) = a.T(s)+b.N(s) (n  )'(s) = a.T'(s)+b.(  k(s).T(s)+ (s).B(s)) = a.T'(s)  b.k(s).T(s)+b (s).B(s) (3) T (1) suy (n  )'(s)  T(s) Nhơn hai v c a (3) v i T(s) ta có –b.k(s)=0 Do b  nên k(s) =0 Cung song quy E3 có đ cong b ng lƠ cung th ng Có th nói r ng n m m t đ ng th ng Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 5.1 M t k 5.1.1 nh ngh a Trong E3, xét cung quy xác đ nh b i tham s hóa lƠ      : J  E3 , u  (u) ,hƠm vect A : J  E , u  A(u) (A(u)  u  J) 43 Xét t p m U  ฀ U={(u, v); u  J} vƠ v i m i u  J t p {v ฀ , (u, v)  U} lƠ m t kho ng ฀  M nh E3 xác đ nh b i r: U  E3 , r(u, v) = (u)+v.A(u) đ m nh m t k E3 Cung đ đ ng t a đ u = u0 (không đ i ) đ c g i lƠ đ c g i lƠ ng chu n c a m t k Các c g i lƠ đ ng th ng sinh c a m t k 5.1.2 Ví d M t ph ng lƠ m t k    ng h p coi A(u) =  v i m i u  J  Lúc nƠy, m t tr có ph ng trình tham s lƠ r(u, v) = (u)+ v , m kì d   c a m nh m t tr lƠ m r(u, v) mƠ '(u) có ph ng c a M t tr lƠ m t k tr M t nón đ nh O lƠ m nh m t k tr ng h p đ ng th ng sinh   c a qua m O c đ nh, O  (J) , lúc ta coi A(u) = O (u) M t ti p n c a c a cung lƠ m t k đ ng th ng sinh lƠ   ti p n c a đ ng chu n, hay A(u) = '(u) , ph ng trình tham s c a  m t ti p n lƠ r(u, v) = (u)+v '(u) Các m (u, v) mƠ v =0 lƠ m kì d c a m t ti p n r M t đinh c đ ng lƠ m t k có tham s hóa h t a đ tr c chu n c a E3 r: R  E3 , (u,v)  (v.cosu, v.sin u, bu) (b  0) Các đ v=v0 v0  lƠ đ 5.1.3 a) ng đinh c tròn c a m t đinh c đ ng ng th t c a m t k nh ngh a 44 ng t a đ Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s lƠ   r: U  E , r(u, v) = (u)+v.A(u) A  Khi đó, cung    '(u).A'(u) (u) = (u)  (u).A(u) (u) =  đ A (u) c a m t k M i m đ c g i lƠ đ ng th t c g i lƠ m trung tơm c a m t k b) Tính ch t + ng th t n m m t k       + '.A' = (u) Th t v y : ta có '(u)= '(u)  '(u).A(u)  (u).A'(u)              '.A' '.A' = '.A'  '.A.A'  A'.A'  A.A'=0 (u) = 2 A + ng th t khơng ph thu c vƠo đ +Các m kì d c a m t k n m đ ng chu n ng th t +T i m quy, đ cong Gauss K  p   K(p)=0 d c theo đ ng sinh qua m kì d c a đ cong Gauss ng th t 5.1.4 M t kh tri n Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s  r: U  E , r(u, v) = (u)+v.A(u) M t k nƠy đ c g i lƠ m t kh tri n n u    det (A, A', ') = nói cách khác m t k lƠ m t kh tri n n u ti p di n c a m t t i m i m c a m t đ ng th ng sinh tùy ý c a S luôn trùng T i m quy c a m t kh tri n đ cong Gauss K(p)=0, u nƠy lƠ t i m quy tr ng vect pháp n lƠ h ng nên ánh x Weingarten t i m i m quy đ u b ng 0, K(p)=0 5.2 M t c c ti u 5.2.1 nh ngh a 45 Trong E3, cho đa t p hai chi u đ nh h ng đ c (m t ) S M t S đ cg i lƠ m t c c ti u đ cong trung bình t i m i m b ng 5.2.2 Ví d a) M t c c ti u Enneper Trong E3 v i h t a đ ph vng góc, m t c c ti u Enneper có ng trình tham s lƠ :   u3 v3 r(u,v) =  u  + uv ; v  + u v; u  v  3    Theo ta tính đ c đ i l ng ru' (u,v)=(1  u + v ; 2uv; 2u)  rv' (u,v) = ( 2uv,  v +u ;  2v) , hai vect nƠy đ c l p n tính v i m i (u,v) nh h ng m t nƠy b i tr ng vect pháp n đ n v lƠ    ru' ×rv' n =   T ta tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II lƠ ru' ×rv'  E = (u +v2 +1)2 ; F = 0; G = E ruu" (u, v) = (  2u, 2v, 2) ,   ruv" (u, v) = (2v, 2u, 0) , rvv" (u, v) = (2u,  2v,  2) t ta có 4(u +v )(u +v +1)+2.(1  (u +v ) ) L= , ms M = 0, N  L v i ms= (u +v2 +1)2 (4u +4v2 )+[1  (u +v2 )2 ]2 Nh v y tính đ c đ cong trung bình H(p) v i m i p = r(u,v) S d a vƠo công th c H(p) = EN+GL  2.FM ( u, v) = (EG  F2 ) b) M t c c ti u Scherk Trong E3, ch n h t a đ ph vng góc Oxyz, m t xác đ nh b i ng trình n ez cosx = cosy (cosx.cosy>0) lƠ m t c c ti u Scherk 46 Ch ng minh Trên t p cosx.cosy>0 m t xác đ nh b i ph ng trình n lƠ đa t p hai chi u Th t v y, đ t (x,y,z) = ez cosx  cosy Khi xét     z z  x ; y ; z   (e sinx; sin y; e cos x) Do u ki n cosx cosy >0 nên       v i m i (x, y, z) thu c t p nƠy rank  ; ;  =1 Nh v y, t i m i  x y z  m (x, y, z)  x, y, z  {(x, y,x)| cosx.cosy>0} đ u có lơn c n lƠ m nh hình h c Do v y S lƠ đa t p hai chi u E3 a t p hai chi u nƠy có đ cong trung bình t i m i m b ng Th t v y, t p {(x, y, x)| cosx.cosy>0} t ez cosx  cosy=0 ta suy e z = z xác đ nh vƠ b ng z = ln cosy hay cosx cosy Khi m t s nh n tham s hóa ki u đ th cosx  cosy cosy ) Khi r(x,y) = (x, y, ln ) cosx cosx   ' rx (x, y) = (1; 0; tanx) ry' (x, y) = (0; 1;  tany) Tr ng vect r(x, y) = (x, y, ln pháp n đ n v đ nh h ng m t Scherk nh sau :    rx' ×ry' (n  r)(x, y)=    ( t anx; tan y; 1) 2 ' '  tan x  tan y rx ×ry Ta tính đ c    rxx'' (x,y) = (0;0;1+tan x), ryy'' (x, y) = (0;0;0) ,rxy'' (x, y)= (0;0;  (1+tan y)) T tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II nh sau : E= 1+ tan x, F=  tanx.tany, G=1+ tan y 47 L= 1+tan x 1+tan x+tan y , M= 0, N= (1+tan y) 1+tan x+tan y T d dƠng ki m ch ng r ng đ cong trung bình c a m t S b ng t i m i m 48 K T LU N Khóa lu n trình bƠy ng d ng c a ánh x Gauss vi c nghiên c u đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3, tìm hi u m i liên h gi a đ cong đ a ph ng vƠ đ ng đ c bi t đa t p hai chi u E3 ơy lƠ nh ng c g ng tìm hi u c a b n thơn em d a vi c tìm hi u m t s sách tham kh o đ cs h c bi t, hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy, em ng d n t n tình c a th y giáo- phó giáo s - ti n s Nguy n N ng Tâm Em xin chơn thƠnh c m n ! 49 TẨI LI U THAM KH O [1] Ph m Bình ô (2010), Hình H c Vi Phân, NXB i h c S Ph m [2] oƠn Qu nh (2000), Hình H c Vi Phân, NXB GD, HƠ N i [3] oƠn Qu nh (ch biên), Tr n ình Vi n, Tr ng Quang (1993), Bài t p hình h c vi phân, NXB GD 50 c Hinh, Nguy n H u ... ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh... u E3 Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 12 Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n, ánh x Gauss c a S lƠ g Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss lƠ ánh x... , p  g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho