1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn sư phạm Ánh xạ Gauss và ứng dụng

50 41 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 50
Dung lượng 857,62 KB

Nội dung

L I NịI U Khóa lu n nƠy trình bƠy v v n đ ánh x Gauss vƠ ng d ng c a ng d ng c a ánh x nƠy đ nghiên c u v đ cong c a đa t p hai chi u E3 nh đ cong chính, đ cong trung bình, đ cong Gauss, đ cong c a đ ng đ c bi t đa t p hai chi u N i dung c a khóa lu n g m: Ch ng 1: Ki n th c chu n b Không gian Euclit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a a t p đ nh h Ch ng không gian En ng II: Ánh x Gauss vƠ ng d ng Ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss Các v n đ liên quan đ n ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss M t s đ ng đ c bi t m t M t k vƠ m t c c ti u E3 K t lu n Em xin đ c bƠy t lòng bi t n cơng lao d y d c a th y cô giáo, đ c bi t lƠ s h ng d n t n tình c a Th y giáo- Phó giáo s - Ti n s Nguy n N ng Tơm giúp em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy HƠ N i, ngƠy tháng Sinh viên th c hi n HoƠng Th Thanh H ng n m M CL C N i dung Ch Trang ng KI N TH C CHU N B 1 Không gian clit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 1.2 H t a đ tr c chu n không gian En 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m khơng kì d 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En 2.5 H ng đa t p hai chi u En 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 2.2 Tính ch t Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3 3.1 cong chính, ph ng c a đa t p hai chi u S t i p 3.2 cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S 3.3.Các đ nh ngh a 3.4.Ví d 3.5 nh ngh a 3.6 D ng c b n th hai đa t p hai chi u E3 3.7 nh lí 10 3.8 cong pháp d ng vƠ công th c le, công th c Meusnier 10 M t s đ ng đ c bi t m t 12 4.1 ng khúc 12 4.2 ng ti m c n 13 4.3 Cung tr c đ a 4.4.Liên h gi a đ 14 ng đ c bi t c a đa t p hai chi u 16 Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 16 5.1 M t k 16 5.2 M t c c ti u 18 K t lu n 19 TƠi li u tham kh o 20 CH KI N TH C CHU N B NG Tr ph i n m đ c tìm hi u v ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó, c n c m t s ki n th c c b n Ch ng nƠy nh c l i m t s ki n th c c b n Không gian clit n chi u En vƠ m t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 Không gian clit n chi u En lƠ không gian afin liên k t v i không gian  vect clit n chi u n 1.2 H t a đ tr c chu n không gian clit En      Trong E n ,tích vơ h ng gi a hai ph n t x, y  n kí hi u lƠ x.y    n   ho c  x, y Chu n c a ph n t x  E đ c tính theo cơng th c x = x.x Trong không gian E , ch n m O b t kì Trong khơng gian n  n , ch n       0 i  j h vect tr c chu n {e1 , e2 , ,en } t c lƠ ei e j   ei =1 v i 1 i=j    i=1,n Khi đó, t p { , e1 ,e , ,e n } g i lƠ h t a đ tr c chu n En c bi t, n =2, n=3 t a đ nƠy g i lƠ h t a đ đ vng góc c vi t lƠ Oxy ho c Oxyz 1.3 T a đ c a vect , c a m đ i v i h t a đ tr c chu n En    Trong En, cho h t a đ tr c chu n { , e1 ,e , ,e n }  n 1.3.1 V i x  , t n t i b s (x1, x2,ầ,xn) (x i  ฀ , i=1,n) cho  n  x   x i ei , b s (x1, x2,ầ,xn) đ  c g i lƠ t a đ c a x h t a i=1   đ tr c chu n ch n Vi t lƠ x=(x1 , x , ,x n ) ho c x(x1 , x , ,x n )  n ,  Trong h t a đ tr c chu n c a En 1.3.2 V i   =(x1 , x , ,x n ) Khi nƠy, ta g i b s (x1, x2,ầ,xn) lƠ t a đ ch n gi s n c a m P, vi t lƠ P(x1, x2,ầ,xn) ho c P=(x1, x2,ầ,xn) V i  ,  n ,  (x1 ,x , ,yn ), (y1 , y2 , ,yn ) , t a đ c a MN  =(y1  x1 , y  x , , y n  x n )   n  (y i  x i )2 i=1 a t p hai chi u đ nh h ng không gian E3 2.1 a t p hai chi u E3 Trong En, cho t p S   T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u En (đ n gi n có th g i lƠ m t) n u v i m i p  S có lơn c n m V c a p En cho V  S lƠ m t m nh hình h c M i tham s hoá c a m nh hình h c nƠy đ c g i lƠ tham s hóa đ a ph ng c a S 2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u E3 2.2.1 Trong E3, cho h t a đ afin (x1, x2,ầ,xn), t p S   T p S lƠ đa t p hai chi u En vƠ ch v i m i p  S có lơn c n V c a p E3 vƠ m t hƠm s kh vi :V  R, (x1 ,x ,x )  (x1 ,x ,x ) cho x  V     (x1 , x , x )  b ng vƠ n u đ t h ng  (x1 , x , x ); (x1 , x , x ); y z  x  (p) = a V  S = 1 (a) i m p  S , p(x1, x2, x3) làm cho    (x1 , x , x )= (x1 , x , x )  (x1 , x , x )  đ x y z c g i lƠ m kì d c a S 2.2.2 Trong E3, cho t p S   , t a đ afin (x1, x2, x3) T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u E3 vƠ ch v i m i p  S có lơn c n m c a S lƠ m t m nh hình h c v i tham s hóa ki u đ th , n u c n có th đ i ch s t a đ afin đ tham s hóa có d ng (x1 ,x )  r(x1 ,x )= (x1 ,x , (x1 ,x ), , n (x1 ,x )) 2.3 Ti p di n vƠ pháp n c a đa t p hai chi u t i m không kì d Trong E3, cho đa t p hai chi u S T i p  S , ch n tham s hóa đ a ph ng   c a S lƠ r: U  S, (u,v)  r(u,v) Khi đó, t n t i ru' , rv' chúng đ c l p n tính Ti p di n c a đa t p S t i p=r(u,v) lƠ 2-ph ng qua r(u,v) có   không gian vect ch ph ng lƠ  ru' ,rv'  c bi t, E3 ti p di n nƠy lƠ m t ph ng ti p xúc; đ qua r(u,v) vƠ vng góc v i m t ph ng ti p xúc t i r(u, v) đ ng th ng c g i lƠ pháp n c a S t i p 2.4 Tr ng vect ti p xúc đa t p hai chi u En    Trong En cho đa t p hai chi u S, t i p  S đ t Tp E n  {(p, );  n } g i lƠ không gian vect ti p xúc c a En t i p   V i m i p  S , đ t TpS  {(p, );  không gian vect ch ph di n c a S t i p}, TpS đ x ng c a ti p c g i lƠ không gian vect ti p xúc c a S t i p Ánh : S  Tp En , p  X(p)  TpS đ c g i lƠ tr ng vect ti p xúc c a S t i p Khi X  p   TpS ta g i ánh x X lƠ tr ng vect pháp n c a S, lúc nƠy  n u (p)  X đ c g i lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S c bi t E3, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ    ' r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p, ) |  ru (u, v), rv' (u, v)} , vect pháp n đ n v S t ng thích v i tham s hóa r t i p đ  xác đ nh lƠ n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);       ru' ×rv'   (u, v)  Lúc nƠy ta nh n đ  ru' ×rv'   c c ánh x kh vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta g i ánh x nƠy lƠ tr ng vect pháp n đ n v c a S 2.5 H ng đa t p hai chi u En Cho đa t p hai chi u S En Gi s m i không gian vect ti p xúc TpS c a S có th l y m t c s (ap, bp) cho t n t i m t tham s hóa đ a ng r: U  S t i p th a mãn: v i m i  u,v   V, p = r (u,v) hai c s ph {ru' , rv' } {a p , bp } h lƠ h ng Khi ta nói S đ nh h ng đ ng c a TpS xác đ nh b i c s (ap, bp) Khi S đ nh h D={Dp} lƠ m t h ng c a S Tham s hóa đ a ph g i lƠ tham s hóa t ng thích v i h 2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ ng đ ng c a S c ta g i h r: U  S ng D c 2.6.1 Trong En, đa t p hai chi u đ nh h tham s hóa đ a ph c Kí hi u Dp ng đ c S vƠ ch có h ng { ri : Ui  S } c a S cho S   r(Ui ) vƠ n u i ri (Ui )  rj (U j )   t i nh ng m chung c a giao hai tham s hóa đ a ph ng ri rj t ng đ ng b o t n h ng 2.6.2 a t p hai chi u S E3 đ nh h ng đ c vƠ ch S có    m t tr ng vect pháp n n : S  E n liên t c vƠ n(p)  t i m i p thu c S 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En 2.7.1 nh ngh a Trong En, cho hai đa t p hai chi u S1 S2 vƠ ánh x h: S1  S2 Ánh x h kh vi n u h liên t c vƠ v i m i tham s hóa đ a ph ng r1 : U1  S1 r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) ánh x r2-1  h  r1: U1  U2 kh vi 2.7.2 Ánh x ti p xúc c a ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u V i ánh x kh vi h đ c cho trên, t i p  S1 , m i ph ng  TpS1 đ u t n t i cung tham s c a S1 : J  S1 , t  (t) cho (t )= p , '(t )= Khi h  (t) : J  S2 lƠ m t cung tham s c a S2 qua q = h( (t ))  phép l y đ o hƠm (h  )'(t ) không ph thu c vƠo cách ch n cung Khi ánh x ti p xúc v i h lƠ Tp h : TpS1  Th(p)S2 đ  Tp h( ) = (h  )'(t )=((h  (t ); (h  )'(t )) Trên đơy lƠ nh ng ki n th c c n n m đ Gauss vƠ ng d ng c a c tr c đ nh ngh a c nghiên c u ánh x CH Ch ÁNH X GAUSS VẨ NG NG D NG ng nƠy lƠm quen v i đ nh ngh a ánh x Gauss vƠ s xét ng d ng c a v n đ t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc t i lơn c n m t m đa t p hai chi u E3, m t cách t thiên c a tr ng đ ng lƠ t c đ bi n ng vect pháp n đ n v lơn c n c a m Ánh x Gauss nh ngh a 1.1 Trong E3, cho đa t p hai chi u (có th g i lƠ m t) S đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v kh vi n, lúc xác đ nh m t ánh x t S vƠo m t c u đ n v S2 (m t c u tơm O, bán kính 1) g: S  S2 , p  g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz vƠ m t c u đ n v S2 tâm O, bán kính 1.2.1 Tìm nh c a m t tr tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh x Gauss Trong h t a đ ch n, gi s tham s hóa đ a ph ng c a S  r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , t   đơy suy ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vect nƠy đ c l p n tính Khi nƠy, xác đ nh m t tr ng vect pháp n đ n v đ nh    ru' ×rv' h ng S lƠ (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) Trong E3, g i ru' ×rv' t a đ c a g(p)=(x, y, z) nh c a m t S lƠ đ ng tròn l n m t ph ng z=0 c a m t c u đ n v S2 t c lƠ đ ng tròn E3 có ph ng trình lƠ  x +y =  z = 1.2.2 Tìm nh c a m t xuy n S qua ánh x Gauss Trong E3, cho tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) v i (a >b > 0)  T r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)  rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) Khi nƠy tr ng vect pháp n đ n v đ c xác đ nh b i ru'  rv' n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) ru  rv H n n a nh n th y r ng (u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S (  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S n(p1) = n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) Ngh a lƠ m t xuy n có ph trình tham s xét có nh lƠ m t c u đ n v đ ng c l y hai l n 1.2.3 Tìm nh c a m t paraboloit elliptic S qua ánh x Gauss Gi s h tr c t a đ ch n, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ    x y2  x y2  r : U  S, (x, y)   x, y,   r (x, y)   x, y,   2p 2q  2p 2q       x   y rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  Khi nƠy tr p q   v đ c xác đ nh b i 10 ng vect pháp n đ n Trong E3, cho đa t p hai chi u S có h ng xác đ nh b i tr pháp n đ n v n, cho S tham s hóa đ a ph r: U  S,(u, v)  r(u, v) , p=r(u,v) Tr = a.ru' +b.rv' , ph d ng c a S theo ph ng lƠ ph ng thích v i n lƠ ng vect ti p xúc c a S t i p lƠ TpS Trong TpS l y c s lƠ {ru' , rv' } Khi v i ph cho ng t ng vect ng  TpS t n t i a, b ng ti m c n vƠ ch đ cong pháp  ) =  II( ) = hay ng b ng hay k( h p ( ) =  (a.h p (ru' )+b.h p (rv' )).(a.ru' +b.rv' ) =  a (nr)'u ru' +2ab.(nr)'u rv' +b2 (nr)'v rv' =  a L+2ab.M+b N = N u đ t a=du, b=dv ph Ph ng trình t ng trình nƠy g i lƠ ph s L, M, N đ ng đ ng v i Ldu +2M.du.dv+b N = ng trình xác đ nh ph ng ti m c n c a S t i p, c tính t i p 4.2.4 Ví d a) Trong E3, cho đ ng cong quy G i S lƠ m t k t o b i pháp n c a Ch ng minh r ng lƠ đ ng ti m c n c a S Ch ng minh Gi s đ ng cong quy có tham s hóa đ a ph ng lƠ : J  E3 , s  (s) Vect pháp n c a lƠ N(s) Khi m t k S  có tham s hóa đ a ph ng lƠ r (s, t) = (s)+ t N(s) Theo ,     '     r(s, t) = (s)+t.N(s) r s (s, t)= '(s)+t.Ns' (s) = T+v.(  k.T+ B) hay    rs' (s,t) = (1  vk).T + v B ( đơy k vƠ l n l t lƠ đ cong vƠ đ xo n c a , {T, N, B} lƠ tr ng m c tiêu Frener d c theo cung ) Ta có       ' rt (s, t) = N(s) t ta tính đ c rs'  rt' = (1  kv)B  v.T 36   rs' ×rt' = (1  kv)2 + v2 , đ nh h ng S b i tr ng vect pháp n đ n v     ' '  r ×r (1  kv)B  vT (n  r)(s, t) = s t (s, t) = (1  kv) + v2 rs' ×rt'       M t khác (n  )(s) = (n  r)(s,0) = B(s) , v y (n  )'(s) = B'(s) =  N(s) T đơy suy đ cong pháp d ng theo ph ng ti p n c a h(T).T   k(T) = =  (n )'(s).T = N.T = , đ ng th c k(T) = ch ng t r ng T.T lƠ đ ng ti m c n c a S b) Cho m t đ ng song quy E3 v i tr ng m c tiêu Frênê {T, N, B} d c theo Gi s lƠ m t đ S  E đ nh h ng vect pháp n đ n v n c a S G i ng đ c b i m t tr ng ti m c n c a m t m t lƠ đ xo n c a Ch ng minh r ng h(T) = ± N K(p) =  (p) (p  ) Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên đ a ph ng c a s  (s) Vì lƠ đ ng ti m c n c a S nên theo công th c Meusnier ta có  '(s)) K(s).N(s).(n  )(s) = k( ( v i k(s) lƠ đ cong c a Vì t i p= (s))  '(s)) = Do cung song quy nên k(s)  k( N(s).(n  )(s) = t c lƠ (n  )(s)  N(s) M t khác (n  )(s)  T(s) Suy (n  )(s) ฀ (N(s)×T(s))=B(s) Vì n vƠ B lƠ hai vect đ n v vƠ ph ng nên (n  )(s) = ±B(s) Ta có h(T(s)) =  (n  )'(s) =  B'(s)=  (s).N(s) V y h(T) =  N 37 tính K(p), ta tính ma tr n c a hp đ i v i m t c s c a TpS Trong ph n ta ch ng minh N(s)  (n  )(s) , l i có T(s)  (n  )(s) , T(s), N(s) TpS vƠ {T(s), N(s)} lƠ m t c s c a TpS Nh v y có th khai tri n h p (N(s)) = a.T(s) + b.N(s) Khi h p (N(s)).T(s) =  a.T(s)+b.N(s) .T(s) = a  h p (N(s)).T(s) = N(s).h p (T(s) = N(s). ± (s).N(s)  = ± (s) T suy a = ± (s) K(p) = ± ± hay K(p) =  b (p) 4.3 Cung tr c đ a 4.3.1 a) cong tr c đ a vƠ đ ng ti n tr c đ a cong tr c đ a Trong E3 cho đa t p hai chi u đ nh h n đ n v kh vi n vƠ cung đ nh h ng đ c b i tr ng vect pháp ng quy có tham s hóa lƠ    : J  S, t  (t) HƠm s t   ( '(t)× ''(t)).(n  )(t) không ph '(t) thu c vƠo tham s hóa ch n c a cung quy Th t v y, v i tham s hóa t ng đ ng v i ( phép đ i tham s , ' > ) ta có ( )' = '( ); ( )" = '2 ( " )+ "( ' ) nên       ( )'×( )" (n   )= '3 ( '× ").(n  ) , t đơy suy u ph i ch ng   minh HƠm s d c cung đ nh h ng quy đ c g i lƠ đ cong tr c đ a c a cung , kí hi u hƠm s nƠy lƠ kg v y    k g (t)   ( '(t)× ''(t)).(n  )(t) '(t) 38  Chú ý r ng đ i h ng c a cung ' đ i d u, đ i h ng c a    m t n đ i d u, đ i h ng c a E3 tích có h ng '× '' đ i d u, y đ cong tr c đ a đ i d u T i m khơng song quy ( m kì d ) c a cung ' ฀ '' , v y k g (t)=0 Khi m t S lƠ m t b ph n c a m t ph ng E3 (có th coi lƠ E2) Khi ', '' n m S N u cung ph ng, ta ch n h song quy ', " khơng ng c a S cho ( ', '',n) lƠ m t b ba thu n Khi k g (t)=k(t) t c lƠ đ cong tr c đ a b ng đ cong đ i s c a cung ph ng ng ti n tr c đ a c a đa t p hai chi u S E3 b) nh ngh a  Trong E3 cho đa t p hai chi u S đ nh h m tđ ng đ c g i lƠ đ m c a cung hay đ ng đ c Trên S, m t cung hay ng ti n tr c đ a c a S n u đ cong tr c đ a t i m i ng đ u b ng Ví d : m i cung th ng S  E đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a đ cong c a cung th ng b ng nên đ cong tr c đ a c a b ng  Tính ch t Cung song quy m t ph ng đ nh h đ a vƠ ch vect pháp n N c a đ n v (n  ) đ nh h ng S ph ng S c a E3 lƠ ti n tr c vƠ vect pháp n ng v i 4.3.2 Cung tr c đ a a) nh ngh a Trong E3 cho đa t p hai chi u S có h pháp n đ n v n Cung tham s đ a n u " ph ng xác đ nh b i tr : J  S, t  (t) đ ng v i (n  ) 39 ng vect c g i lƠ cung tr c Chú ý : khái ni m cung tr c đ a ph thu c vƠo cách tham s hóa cung b) Tính ch t  M i tham s hóa c a m t cung th ng đa t p hai chi u S thu c E3 đ u lƠ cung tr c đ a  M i cung tr c đ a m t S đ u lƠ đ ng ti n tr c đ a vƠ '' = const Ch ng minh Vì lƠ cung tr c đ a nên '' ฀ n ( v i n lƠ tr c a đa t p hai chi u S) Do v y , kg=0 ng vect pháp n đ n v lƠ đ ng ti n tr c đ a L i " ฀ n, '  n  ' ฀ " v y ' "=0 nên (  '2 )'  suy '(t) = const t  ' = const  M i tham s hóa t nhiên c a cung ti n tr c đ a song quy đ u lƠ cung tr c đ a Ch ng minh Cho cung song quy ti n tr c đ a gi s đa t p đ nh h : s  (s) lƠ m t tham s hóa t nhiên c a "(s) = T'(s) = k(s).N( (s)) v i k(s) lƠ đ cong c a cung tr ng S E3, N( (s)) ng vect pháp n đ n v c a Theo tính ch t c a đ tr c đ a N( (s)) ฀ (n  )(s) , "(s) ฀ (n  )(s) t c lƠ ng ti n : s  (s) tham s hóa c a cung tr c đ a c) Ví d Trong E3, cho m t ph ng P đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n song song Các cung tham s quy tr c đ a P cung th ng 40 M t c u S bán kính R>0, đ đ nv h c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n ng ngoƠi Các cung quy S có tham s hóa t nhiên lƠ cung tr c đ a lƠ t t c cung tròn l n c a S ( cung tròn l n n m đ ng tròn l n c a m t c u S) M t tr tròn xoay bán kính R>0 tr c quay Oz, đ tr c đ nh h ng b i ng vect pháp n đ n v lƠ n Các cung quy có tham s hóa lƠ cung tr c đ a có nh n m v n, ho c kinh n ho c cung đinh c tròn 4.4 Liên h gi a đ ng đ c bi t c a đa t p hai chi u Trong E3, cho m t S đ nh h d c theo S vƠ m t đ a) v a lƠ đ ng b i tr ng song quy ng khúc v a lƠ đ ng vect pháp n đ n v n S Khi đó: ng ti m c n c a S vƠ ch n m ti p di n c a S d c theo b) v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch n m m t ph ng tr c giao v i S d c c) v a lƠ đ ng ti m c n v a lƠ đ n m m t đ ng ti n tr c đ a c a S vƠ ch ng th ng Ch ng minh L y m t tham s hóa t nhiên c a a) Gi s lƠ đ :J  S,s  (s) ng khúc vƠ lƠ đ ng ti m c n, h( '(s)) ฀ '(s)  '(s))=0 Theo cơng th c tính đ cong pháp d ng k(  '(s)) = k(  h( '(s)) '(s) = i u nƠy k t h p v i h( '(s)) ฀ '(s) nên h( '(s))=0 T (n )'(s) =  (n  ) = const t i lơn c n c a m p= (s) Theo công th c  '(s)) = k(s).N(s).(n  )(s) = Vì cung Meusnier ta có k( cung song quy nên k(s)  N(s).(n  )(s)=0  N(s)  (n  )(s) 41 Ta l i có (n  )(s)  T(s) , v y (n  )(s) ph vect nƠy đ u lƠ tr tr ng v i B(s), hai ng vect đ n v nên (n  )(s) = ±B(s) hay B(s) c ng lƠ ng vect song song B’(s)=0 v i m i s hay  (s).N(s)=0  (s)=0 đ xo n c a cung b ng lƠ cung ph ng vƠ thu c vƠo ti p di n c a S t i p Ng c l i, n u cung n m trêm m t ph ng ti p xúc v i S d c  '(s))=0 (n  )(s)=const  (n  )'(s)=0  h( '(s))=0 hay h( '(s)) ฀ '(s) k( Nói cách khác b) Gi s v a lƠ đ v a lƠ đ h( '(s)) ฀ '(s) ng khúc v a lƠ đ ng khúc v a lƠ đ kg(s)=0 T ng đ ng ng ti m c n ng ti n tr c đ a, v i (n  )' ฀ T(s) (T(s)×N(s))(n  )(s)=0 suy B(s)  (n  )(s) L i có T(s)  (n  )(s) Do (n  )(s) ph ng v i N(s)=B(s)×T(s) Vì n vƠ N lƠ hai vect đ n v nên (n  )(s)=N(s) (1) , (n  )'(s) ฀ T(s) nên N'(s) ฀ T(s) hay (  k.T+ B)(s) ฀ T(s) , u nƠy ch ng t g i P lƠ m t ph ng ch a ph =0 hay cung lƠ cung ph ng N u ng c a N(s) n m ph ph ng P, l i (1) nên (n  )(s) n m ph ng c a m t ng c a m t ph ng P, m t ph ng P tr c giao v i S d c Ng c l i, n u n m m t ph ng tr c giao v i S d c cung ph ng đ xo n c a b ng 0, hay =0 , (n  )(s) n m P nên (n  )(s) ph ng v i N(s ) Do chúng đ u lƠ vect đ n v nên ta có (n  )(s) = ±N(s) , t đơy suy (n  )(s).B(s) = L y đ o hƠm c hai v c a đ ng th c nƠy ta có (n  )'(s).B(s)+(n  )(s).B'(s) = T ng đ (n  )'(s).B(s)  (n  )(s) (s).N(s)= K t h p v i (s)=0  (n  )'(s).B(s) = hay (n  )'(s)  B(s) (*) 42 ng v i M t khác l i (n  )(s) =1  (n  )(s)(n  )'(s)=0  (n  )(s)  (n  )'(s)  N(s)  (n  )'(s) (**) T (*) vƠ (**) ta có (n  )'(s) ฀ T(s) hay (n  )'(s) ฀ '(s) hay h( '(s)) ฀ '(s) nên lƠ đ ng khúc Ta l i có đ cong tr c đ a k g (s) = (T×N)(n  )(s) = (do (n  )(s) ฀ N(s)) nên lƠ đ ng ti n tr c đ a c) Gi s v a lƠ đ ng ti m c n, v a lƠ đ ng ti n tr c đ a c a S  '(s))=0 k (s)=0  h( '(s)) '(s) = (1) Khi k( g (T(s)×N(s))(n  )(s)=0 (2) T (2) suy B(s)  (n  )(s) , v y (n  )(s) T(s), N(s) Khi nƠy t n t i a,b฀ * cho (n  )(s) = a.T(s)+b.N(s) (n  )'(s) = a.T'(s)+b.(  k(s).T(s)+ (s).B(s)) = a.T'(s)  b.k(s).T(s)+b (s).B(s) (3) T (1) suy (n  )'(s)  T(s) Nhơn hai v c a (3) v i T(s) ta có –b.k(s)=0 Do b  nên k(s) =0 Cung song quy E3 có đ cong b ng lƠ cung th ng Có th nói r ng n m m t đ ng th ng Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u E3 5.1 M t k 5.1.1 nh ngh a Trong E3, xét cung quy xác đ nh b i tham s hóa lƠ      : J  E3 , u  (u) ,hƠm vect A : J  E , u  A(u) (A(u)  u  J) 43 Xét t p m U  ฀ U={(u, v); u  J} vƠ v i m i u  J t p {v ฀ , (u, v)  U} lƠ m t kho ng ฀  M nh E3 xác đ nh b i r: U  E3 , r(u, v) = (u)+v.A(u) đ m nh m t k E3 Cung đ đ ng t a đ u = u0 (không đ i ) đ c g i lƠ đ c g i lƠ ng chu n c a m t k Các c g i lƠ đ ng th ng sinh c a m t k 5.1.2 Ví d M t ph ng lƠ m t k    ng h p coi A(u) =  v i m i u  J  Lúc nƠy, m t tr có ph ng trình tham s lƠ r(u, v) = (u)+ v , m kì d   c a m nh m t tr lƠ m r(u, v) mƠ '(u) có ph ng c a M t tr lƠ m t k tr M t nón đ nh O lƠ m nh m t k tr ng h p đ ng th ng sinh   c a qua m O c đ nh, O  (J) , lúc ta coi A(u) = O (u) M t ti p n c a c a cung lƠ m t k đ ng th ng sinh lƠ   ti p n c a đ ng chu n, hay A(u) = '(u) , ph ng trình tham s c a  m t ti p n lƠ r(u, v) = (u)+v '(u) Các m (u, v) mƠ v =0 lƠ m kì d c a m t ti p n r M t đinh c đ ng lƠ m t k có tham s hóa h t a đ tr c chu n c a E3 r: R  E3 , (u,v)  (v.cosu, v.sin u, bu) (b  0) Các đ v=v0 v0  lƠ đ 5.1.3 a) ng đinh c tròn c a m t đinh c đ ng ng th t c a m t k nh ngh a 44 ng t a đ Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s lƠ   r: U  E , r(u, v) = (u)+v.A(u) A  Khi đó, cung    '(u).A'(u) (u) = (u)  (u).A(u) (u) =  đ A (u) c a m t k M i m đ c g i lƠ đ ng th t c g i lƠ m trung tơm c a m t k b) Tính ch t + ng th t n m m t k       + '.A' = (u) Th t v y : ta có '(u)= '(u)  '(u).A(u)  (u).A'(u)              '.A' '.A' = '.A'  '.A.A'  A'.A'  A.A'=0 (u) = 2 A + ng th t khơng ph thu c vƠo đ +Các m kì d c a m t k n m đ ng chu n ng th t +T i m quy, đ cong Gauss K  p   K(p)=0 d c theo đ ng sinh qua m kì d c a đ cong Gauss ng th t 5.1.4 M t kh tri n Trong E3, cho m t k có ph ng trình tham s  r: U  E , r(u, v) = (u)+v.A(u) M t k nƠy đ c g i lƠ m t kh tri n n u    det (A, A', ') = nói cách khác m t k lƠ m t kh tri n n u ti p di n c a m t t i m i m c a m t đ ng th ng sinh tùy ý c a S luôn trùng T i m quy c a m t kh tri n đ cong Gauss K(p)=0, u nƠy lƠ t i m quy tr ng vect pháp n lƠ h ng nên ánh x Weingarten t i m i m quy đ u b ng 0, K(p)=0 5.2 M t c c ti u 5.2.1 nh ngh a 45 Trong E3, cho đa t p hai chi u đ nh h ng đ c (m t ) S M t S đ cg i lƠ m t c c ti u đ cong trung bình t i m i m b ng 5.2.2 Ví d a) M t c c ti u Enneper Trong E3 v i h t a đ ph vng góc, m t c c ti u Enneper có ng trình tham s lƠ :   u3 v3 r(u,v) =  u  + uv ; v  + u v; u  v  3    Theo ta tính đ c đ i l ng ru' (u,v)=(1  u + v ; 2uv; 2u)  rv' (u,v) = ( 2uv,  v +u ;  2v) , hai vect nƠy đ c l p n tính v i m i (u,v) nh h ng m t nƠy b i tr ng vect pháp n đ n v lƠ    ru' ×rv' n =   T ta tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II lƠ ru' ×rv'  E = (u +v2 +1)2 ; F = 0; G = E ruu" (u, v) = (  2u, 2v, 2) ,   ruv" (u, v) = (2v, 2u, 0) , rvv" (u, v) = (2u,  2v,  2) t ta có 4(u +v )(u +v +1)+2.(1  (u +v ) ) L= , ms M = 0, N  L v i ms= (u +v2 +1)2 (4u +4v2 )+[1  (u +v2 )2 ]2 Nh v y tính đ c đ cong trung bình H(p) v i m i p = r(u,v) S d a vƠo công th c H(p) = EN+GL  2.FM ( u, v) = (EG  F2 ) b) M t c c ti u Scherk Trong E3, ch n h t a đ ph vng góc Oxyz, m t xác đ nh b i ng trình n ez cosx = cosy (cosx.cosy>0) lƠ m t c c ti u Scherk 46 Ch ng minh Trên t p cosx.cosy>0 m t xác đ nh b i ph ng trình n lƠ đa t p hai chi u Th t v y, đ t (x,y,z) = ez cosx  cosy Khi xét     z z  x ; y ; z   (e sinx; sin y; e cos x) Do u ki n cosx cosy >0 nên       v i m i (x, y, z) thu c t p nƠy rank  ; ;  =1 Nh v y, t i m i  x y z  m (x, y, z)  x, y, z  {(x, y,x)| cosx.cosy>0} đ u có lơn c n lƠ m nh hình h c Do v y S lƠ đa t p hai chi u E3 a t p hai chi u nƠy có đ cong trung bình t i m i m b ng Th t v y, t p {(x, y, x)| cosx.cosy>0} t ez cosx  cosy=0 ta suy e z = z xác đ nh vƠ b ng z = ln cosy hay cosx cosy Khi m t s nh n tham s hóa ki u đ th cosx  cosy cosy ) Khi r(x,y) = (x, y, ln ) cosx cosx   ' rx (x, y) = (1; 0; tanx) ry' (x, y) = (0; 1;  tany) Tr ng vect r(x, y) = (x, y, ln pháp n đ n v đ nh h ng m t Scherk nh sau :    rx' ×ry' (n  r)(x, y)=    ( t anx; tan y; 1) 2 ' '  tan x  tan y rx ×ry Ta tính đ c    rxx'' (x,y) = (0;0;1+tan x), ryy'' (x, y) = (0;0;0) ,rxy'' (x, y)= (0;0;  (1+tan y)) T tính đ c h s c a d ng c b n I vƠ II nh sau : E= 1+ tan x, F=  tanx.tany, G=1+ tan y 47 L= 1+tan x 1+tan x+tan y , M= 0, N= (1+tan y) 1+tan x+tan y T d dƠng ki m ch ng r ng đ cong trung bình c a m t S b ng t i m i m 48 K T LU N Khóa lu n trình bƠy ng d ng c a ánh x Gauss vi c nghiên c u đ cong đ a ph ng c a đa t p hai chi u E3, tìm hi u m i liên h gi a đ cong đ a ph ng vƠ đ ng đ c bi t đa t p hai chi u E3 ơy lƠ nh ng c g ng tìm hi u c a b n thơn em d a vi c tìm hi u m t s sách tham kh o đ cs h c bi t, hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy, em ng d n t n tình c a th y giáo- phó giáo s - ti n s Nguy n N ng Tâm Em xin chơn thƠnh c m n ! 49 TẨI LI U THAM KH O [1] Ph m Bình ô (2010), Hình H c Vi Phân, NXB i h c S Ph m [2] oƠn Qu nh (2000), Hình H c Vi Phân, NXB GD, HƠ N i [3] oƠn Qu nh (ch biên), Tr n ình Vi n, Tr ng Quang (1993), Bài t p hình h c vi phân, NXB GD 50 c Hinh, Nguy n H u ... ng đ c 2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u En Ch ng ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG Ánh x Gauss 1.1 nh ngh a 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh... u E3 Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss 2.1 nh ngh a 12 Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp n đ n v n, ánh x Gauss c a S lƠ g Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss lƠ ánh x... , p  g(p) = n(p) Ánh x nƠy đ đ nh h c g i lƠ ánh x Gauss c a m t ng S Rõ rƠng theo đ nh ngh a ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi 1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u E3 qua ánh x Gauss Trong E3 cho

Ngày đăng: 28/06/2020, 14:36

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN