Liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh và ứng dụng trong loại toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định

1 Mục lục Trang Lời nói đầu ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh Liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) ứng dụng liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh vào giải toán 22 tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Kết luận Tài liệu tham khảo 33 34 Lời nói đầu Hình học xạ ảnh vấn đề nghiên cứu hình học xạ ảnh đợc nghiên cứu nhiều từ trớc tới Trên sở lý thuyết hình học xạ ảnh đặc biệt liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R), nghiên cứu vận dụng liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Khoá luận đợc trình bày với mục chính: ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh Mục đa số kiến thức phục vụ cho Liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) Mục đa khái niệm, định lý, số đối ngẫu định lý, hệ số đối ngẫu hệ quả, tính chất có liên quan đến liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực ứng dụng liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Mục đa toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định dùng tính chất, hệ quả, định lý để giải Khoá luận đợc thực hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn bảo nhiệt tình thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp xin đợc tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy Đồng thời cảm ơn thầy, cô giáo khoa trờng giúp hoàn thành khoá luận Do hạn chế thời gian nh lực, nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong đợc đánh giá, phê bình góp ý thây, cô giáo Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, ngày 15 tháng 04 năm 2006 Sinh viên Phạm Thị Tố Loan ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh 1.1 ánh xạ xạ ảnh 1.1.1 Định nghĩa Cho K không gian xạ ảnh (P, p, V) (P, p, V) Một ánh xạ f : P P đợc gọi ánh xạ xạ ảnh có ánh xạ tuyến tính : V V , ( x x cho véctơ V đại diện điểm X P vectơ ) V đại diện cho điểm (X) P Khi ta nói ánh xạ tuyến tính đại diện ánh xạ xạ ảnh 1.1.2 Định lý xác định phép ánh xạ xạ ảnh Định lý Cho hai K không gian xạ ảnh P P có số chiều lần lợt n m (n m) Trong P cho mục tiêu xạ ảnh {S0 ,S1,, Sn; E} P cho n+2 điểm phụ thuộc S0 ,S1,, Sn ; E, cho n+1 điểm số độc lập Khi đó, có ánh xạ xạ ảnh : P P cho (Si)=Si, i= 0,1,2,n (E)=E Chứng minh Gọi Vn+1 Vm+1 không gian vectơ lần lợt liên kết với P P Trong V n+1 lấy sở Trong Vm+1 lấy n+1 vectơ e n i =0 ' i (e , e , ., e ) n liên kết với mục tiêu {Si ; E} e độc lập tuyến tính cho e ' ' i i đại diện cho Si đại diện cho E Khi có đơn cấu tuyến tính: : Vn+1 Vm+1 cho (e ) = e ' i i , i =0,1,.,n Rõ ràng đại diện cho : P P ánh xạ xạ ảnh thoả mãn yêu cầu định lý 1.1.3 Định lý ánh xạ xạ ảnh biến hệ điểm độc lập (phụ thuộc) thành hệ điểm độc lập (phụ thuộc) Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh : Pn Pn cảm sinh đẳng cấu tuyến tính : Vn+1 V n+1 Nếu hệ {Ai} (i=1,2,,n) hệ điểm độc lập hệ a đại diện cho Ai hệ vectơ độc lập tuyến tính Do đẳng cấu tuyến tính nên {( a )}, ( i=1,2,,m) độc lập tuyến tính, nhng ( a ) đại diện cho (Ai) Vậy {(Ai)} (i=1,2,,n) độc lập vectơ { a i }(i=1,2,.,n) i i i Trờng hợp hệ điểm phụ thuộc {Ai} (i=1,2,,m) chứng minh tơng tự 1.1.4 Hệ ánh xạ xạ ảnh biến mặt phẳng thành mặt phẳng Nói riêng, ánh xạ xạ ảnh biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng Chứng minh Giả sử mặt phẳng Pm đợc xác định m+1 điểm độc lập {A1, A2, ., Am+1} Theo định lý (1.1.3) ta có hệ điểm {(Ai)} (i=1,2,, m+1) độc lập Nên dễ thấy (Pm) m- phẳng qua hệ điểm {f(Ai)} (i=1,2, ,m+1) Ta chứng minh (Pm) = P m cách lấy điểm Y thuộc (Pm) Y=(X), X Pm Hệ điểm {A1, A2, ., Am+1, X} hệ phụ thuộc Do đó, hệ điểm {A1, A2, ., Am+1, Y} phụ thuộc Suy Y Pm Vậy (Pm) Pm Chứng minh hoàn toàn tơng tự, ta có Pm (Pm) 1.1.5 Biểu thức toạ độ (hay phơng trình) ánh xạ xạ ảnh Cho không gian xạ ảnh (Pn, P, Vn+1) (Pn, P, Vn+1) Giả sử ánh xạ xạ ảnh Pn Pn cảm sinh : Vn+1 Vn+1 Trong Pn cho mục tiêu {Ai; E} (i=1,2,, n+1) có sở đại diện { a i } (i=1,2,, n+1) Với X Pn gọi X = (X) Giả sử x véctơ đại diện cho điểm X ( x ) véctơ đại diện cho điểm X Ký hiệu [ x ] ma trận toạ độ véctơ x sở { a i }, [ ( x )] ma trận toạ độ cột vectơ ( x ) sở { a i } Biểu thức toạ độ [ ( x )] = A [ x ], det A Do x , ( x ) tơng ứng vectơ đại diện cho điểm X, X nên toạ độ [X] điểm X mục tiêu {Ai; E} thoả mãn phơng trình [ x ]= k1 [X], toạ độ [X] điểm X mục tiêu {Ai; E} thoả mãn phơng trình [ ( x )]= k2[X] với k1 k2 Từ ta có: k[X]= A[X], k 0, (*) (det A 0) Biểu thức (*) đợc gọi biểu thức toạ độ ( hay phơng trình ) ánh xạ xạ ảnh cặp mục tiêu {Ai; E} {Ai; E} Ma trận A đợc gọi ma trận ánh xạ xạ ảnh f cặp mục tiêu Từ ta dễ thấy hai ma trận A B ma trận ánh xạ xạ ảnh f cặp mục tiêu {Ai; E} {Ai; E} A=kB, k 1.1.6 Định lý Tỷ số kép điểm thẳng hàng không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f có biểu thức toạ độ k[X]= A[X] cặp mục tiêu {Ai; E} {Ai; E} Kí hiệu [M], [N], [P], [Q] lần lợt ma trận toạ độ cột điểm M, N, P, Q mục tiêu {Ai ; E} Giả sử : [P]=1 [M] +à1 [N] [Q]=2 [M]+à2 [N] Khi đó, tỉ số kép (MNPQ)= à:à 2 Gọi M, N, P, Q, lần lợt ảnh M, N, P, Q qua phép ánh xạ xạ ảnh f Khi đó, ma trận toạ độ cột [M], [N], [P], [Q] mục tiêu{Ai; E} thoả mãn phơng trình: k[P] = A[P]= A[M] +à1A [N] =1 k1[M] +à1k2 [N] k[Q] = A[Q]= A[M] +à2A [N] =2 k1[M] +à2k2 [N] Vậy (MNPQ)= à:à 2 = (MNPQ) Hay tỷ số kép điểm M,N,P,Q không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh f 1.2 Biến đổi xạ ảnh 1.2.1 Định nghĩa Một ánh xạ xạ ảnh : Pn Pm song ánh đợc gọi đẳng cấu xạ ảnh Ta có, ánh xạ : Pn Pm đẳng cấu dimPn=dim Pm Đẳng cấu xạ ảnh : Pn Pn đợc gọi biến đổi xạ ảnh 1.2.2 Phơng trình phép biến đổi xạ ảnh Trong không gian xạ ảnh Pn cho mục tiêu xạ ảnh { Ai; E}, : Pn Pn phép biến đổi xạ ảnh Pn Hai cặp điểm tơng ứng X, X có toạ độ mục tiêu X(x1:.:xn+1), X(x1:.:xn+1), đợc liên hệ với công thức: kxi = n +1 aij xj, i=1,.,n+1 A=(aij) ma trận phép biến đổi j =1 1.3 Định lý Mác-Lôranh(Mac-Laurin) 1.3.1 Định lý Tập hợp siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến siêu mặt lớp hai không suy biến Ngợc lại, siêu mặt lớp hai không suy biến gồm tất siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến Chứng minh Cho siêu mặt lớp hai (S) có phơng trình xt Ax= 0, không suy biến nên det A Giả sử siêu phẳng U tiếp xúc với (S) điểm Y=(y0;y1: :yn) thuộc (S) Khi đó, toạ độ U (U)=Ay Vì điểm Y(S) nên ytAy=0, từ ta có: ytAA-1Ay = 0, hay (U)tA-1(U)= Điều chứng tỏ tập hợp siêu tiếp diện U (S) siêu diện lớp hai (S*) có ma trận A-1 Ngợc lại, cho siêu diện lớp hai không suy biến (S*) có phơng trình: utAu= (det A 0) Ta gọi (S) siêu mặt bậc hai có phơng trình xt A-1x= Khi đó, chứng minh tơng tự nh siêu phẳng U (S*) siêu phẳng tiếp xúc của(S) 1.3.2 Hệ Đối ngẫu khái niệm điểm thuộc siêu mặt bậc hai không suy biến khái niệm siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) 2.1 ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm P2(R) Trong P2(R),tập hợp điểm thuộc đờng thẳng d đợc gọi hàng điểm ký hiệu {d},đờng thẳng d đợc gọi giá hàng điểm Giả sử d d hai đờng thẳng P2(R), đờng thẳng không gian xạ ảnh chiều nên có ánh xạ xạ ảnh từ d lên d 2.1.1.Định nghĩa ánh xạ xạ ảnh từ đờng thẳng d lên đờng thẳng d ( ký hiệu :dd) đợc gọi ánh xạ xạ ảnh từ hàng điểm d lên hàng điểm d Phép chiếu xuyên tâm :dd với O tâm chiếu đợc gọi phép phối cảnh tâm O hai hàng điểm d d 2.1.2 Định lý ánh xạ f : d d ánh xạ xạ ảnh f bảo tồn tỷ số kép điểm Chứng minh Nếu f ánh xạ xạ ảnh, theo tính chất ánh xạ xạ ảnh tỷ số kép điểm đợc bảo tồn Ngợc lại, f ánh xạ hai hàng điểm d d có tính chất bảo tồn tỷ số kép điểm Lấy ba điểm A,B,C phân biệt thuộc d ảnh chúng qua f A=f(A), B=f(B), C=f(C) điểm phân biệt thuộc d Khi đó, hệ điểm {A,B,C} {A,B,C} tơng ứng mục tiêu d va d nên ánh xạ xạ ảnh g: dd cho g(A) =A, g(B)=B, g(C) =C Lấy điểm M thuộc d, (ABCM) =(ABCg(M)) Nhng (ABCM)=(ABCg(M)), từ suy ra: g(M)=f(M),Md, hay f=g, tức f ánh xạ xạ ảnh Từ định lý này,ta suy hệ sau: 2.1.3 Hệ Cho hai hàng điểm d d ánh xạ f: d d ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tỷ số kép điểm 2.1.4 Định lý ánh xạ xạ ảnh f: d d phép phối cảnh giao diểm hai đờng thẳng d d điểm tự ứng (tức O=f(O)) Chứng minh S M d B A O A d B M Giả sử f: d d ánh xạ xạ ảnh O= d d tự ứng, tức O=f(O) Cần chứng minh f phép phối cảnh, tức chứng minh đờng thẳng nối cặp điểm ảnh tạo ảnh đồng quy Lấy điểm A, B, O thuộc d, ảnh chúng qua f A=f(A), B=f(B) O=f(O) Đặt S= AA BB, lấy điểm M thuộc d, đặt M=f(M) Ta chứng minh M,M,S thẳng hàng Vì f ánh xạ xạ ảnh nên (OABM)=(OABM) (1) Đặt M1=d SM, theo định lý quan hệ tỷ số kép điểm thuộc hàng siêu phẳng thuộc chùm, ta có: (OABM) =(SO, SA, SB, SM)=(OABM1) Kết hợp với (1), suy (OABM)=(OABM1) Suy ra, M M1 tức M, M, S thẳng hàng Ngợc lại, giả sử ánh xạ xạ ảnh f:dd phép phối cảnh tâm S, dễ thấy giao điểm hai đờng thẳng d d O biến thành nó, tức S f(O) = O d d O 2.2 ánh xạ xạ ảnh hai chùm đờng thẳng P2(R) Trong P2(R), tập hợp tất đờng thẳng qua điểm S đợc gọi chùm đờng thẳng tâm S Ký hiệu {S} Ký hiệu chùm đờng thẳng tâm S {S} f {S} 2.2.1 Định nghĩa a) Trong P2(R), cho hai chùm đờng thẳng {S} {S} (S S) ánh xạ f: {S} {S} biến đờng thẳng thuộc {S} thành đờng thẳng thuộc {S} đợc gọi ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tỷ số kép đờng thẳng b) Trong P2(R), cho hai chùm đờng thẳng {S} {S} (S S) đờng thẳng d không qua điểm chúng ánh xạ f: {S} {S} đợc xác định nh sau: Với đờng thẳng m {S} ảnh f(m)= m {S} qua giao điểm m d, đợc gọi phép phối cảnh (hay phép chiếu xuyên trục ) đờng thẳng d đợc gọi trục phối cảnh Ký hiệu : {S} f {S} 2.2.2 Định lý 1) Trong P2(R), cho hai chùm{S} {S} (S S) Khi tồn phép ánh xạ f: {S} {S} cho với đờng thẳng a, b, c thuộc {S} có ảnh đờng thẳng a, b, c thuộc {S} 2) ánh xạ xạ ảnh f: {S} {S} (S S) phép phối cảnh đờng thẳng SS tự ứng (tức f(SS)=SS) 10 Nhận xét: 1) Là đối ngẫu định lý 2.1.2 2) Là đối ngẫu định lý 2.1.4 2.2.3 Định lý Steine a) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai chùm {S1} {S2} (S1 S2), ánh xạ f: {S1} {S2} mà f(S1S2) S1S2 (tức f không phối cảnh ) quỹ tích giao điểm cặp đờng thẳng ảnh tạo ảnh tơng ứng đờng cônic qua S1 S2 Cônic tiếp xúc với đờng thẳng f(S1S2) S2 tiếp xúc với đờng thẳng f(S1S2) S1 b) Đảo laị, S1 S2 hai điểm phân biệt cố định cônic (C) M điểm thay đổi (C) ánh xạ f: {S1} {S2} xác định f(S1M) = S2M ánh xạ xạ ảnh không phối cảnh (Khi M S1, coi S1M tiếp tuyến (C) S1 M S2, coi S2M tiếp tuyến (C) S2 ) Chứng minh d2 S1 d S3 m M2 E1 d E2 E M M1 d3 S2 d1 m a) Gọi d3 đờng thẳng qua S1S2 , gọi d2, d1 tơng ứng tạo ảnh d3: f(d2) =d3 , f(d3) =d1 Do f phép phối cảnh nên theo định lý 2.2.2 đờng thẳng d3 không tự ứng, d3 d1, d3 d2 Suy d1 d2 (vì d1 d2 S1 S2 = d3 ) Do d1, d2, d3 đờng phân biệt Goị S3 giao điểm d1 d2 S1, S2, S3 điểm phân biệt Lấy d đờng thẳng thuộc chùm {S1} tuỳ ý khác d2, d3 d ảnh đờng thẳng d (tức 21 Chú ý khái niệm tiếp tuyến đòng cônic đối ngẫu với khái niệm điểm thuộc cônic.Vì hệ sau suy từ phép đối ngẫu khái niệm 2.5 Hệ Cho tiếp tuyến phân biệt a, b, c, d cônic (S) mà m tiếp tuyến (S) thay đổi cắt a, b, c,d lần lợt A,B,C,D Tỷ số kép (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí m ký hiệu (ABCD)(S) Ký hiệu (S*) tập hợp tất tiếp tuyến cônic (S) Một ánh xạ F:(S*) (S*) đợc gọi ánh xạ xạ ảnh (S*) bảo tồn tỷ số kép đờng thẳng thuộc (S*) Sau định lý đối ngẫu định lý Frêgiê a)Định lý thuận Nếu ánh xạ xạ ảnh F:(S*) (S*) đối hợp (nghĩa F2 =Id(S*) ) giao điểm đờng thẳng (ảnh taọ ảnh ) tơng ứng nằm đờng thẳng cố định (gọi đờng thẳng Frêgiê F) b) Định lý đảo Cho đờng thẳng cố định d không thuộc (S*) Với đờng thẳng a tiếp với (S) cho tơng ứng đờng thẳng F(a) tiếp với (S) cho a F(a) cắt d ta đợc ánh xạ F:(S*) (S*) la phép ánh xạ đối hợp 2.7 Định lý Đơdác thứ hai Định lý Trong P2 cho hình đỉnh ABCD đờng thẳng l không qua A, B, C, D Cho đờng bậc hai (G) biến thiên qua A,B,C,D cắt l taị hai điểm M, N Khi ánh xạ f: { l}{ l}, M N biến đổi xạ ảnh đối hợp , mà ba cặp điểm (l AB, l CD), (l AC, l BD), (l BC, l AD), ba cặp phần tử tơng ứng f A M D B 2 C N 22 Hệ Cho hình đỉnh ABC điểm A, B, C lần lợt thuộc cạnh BC, CA, AB mà đỉnh Điều kiện cần đủ để ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng quy có đờng thẳng l cắt ba cặp đờng thẳng (AA, BC), (BB,CA), (CC,AB) thành ba cặp điểm tơng ứng biến đổi xạ ảnh đối hợp hàng điểm { l} A C B B A C Định lý đối ngẫu Trong P2 cho hình đỉnh ABCD điểm E không nằm cạnh nó.Đặt P =AB CD, Q =BC DA.Một đờng bậc hai (G) biến thiên luôn tiếp xúc với AB,BC,CD,DA Giả sử m, n hai đờng thẳng biến thiên qua E tiếp xúc với (G) ánh xạ f: { E}{ E}, f(m)=n biến đổi xạ ảnh đối hợp chùm { E} mà ba cặp đờng thẳng (EA,EC), (EB,ED), (EP,EQ) ba cặp phần tử tơng ứng f A Q Hệ đối ngẫu Cho hình ba đỉnh ABC điểm m A,B,C lần lợt nằm P BC, CA, AB mà làE đỉnh Điều kiện cần đủ để điểm A,B,C thẳng hàng có điểm E cho cặp đờng thẳng (EA,EA), (EB,EB), (EC,EC) cặp phần tử tơngDứng biến đổi xạ ảnh đối hợp chùm { B E } A C B A C C B 23 E ứng dụng liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Qua vấn đề đợc trình bày phần trớc ánh xạ xạ ảnh ,và vấn đề liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh Đờng cônic P2(R) Nhận thấy biết vận dụng khéo léo tính chất, định lý có liên quan đến vấn đề nêu trên, ta giải đợc nhiều toán có liên quan đến tìm tập hợp điểm ,tìm điểm cố định.Sau số toán điển hình Bài Trong P2(R) cho cônic (S), hai điểm A,B cố định (S) điểm cố định P không nằm (S).Qua P vẽ đờng thẳng (thay đổi) cắt (S) M, N.Tìm quỹ tích điểm I =AM BN, K =AN BM Giải Q A A R B I N M d Gọi A giao điểm cônic (S) với PA, A A Q giao điểm AN với AM P 24 R giao điểm AM với AN Do (S), A, P cố định (giả thiết ) nên suy QR đờng thẳng cố định Đặt QR = d, lúc d đờng thẳng cố định Theo định lý Steine đảo ta có : chùm { A,AR} f chùm { A,AR} : chùm { A,AM} f chùm { A,AN} : chùm { A,AN} g chùm { B,BN} Suy : chùm { A,AM} f chùm { B,BN}, chia làm hai tròng hợp: Tròng hợp Khi AB không tự ứng (A, P, A không thẳng hàng ) Theo định lý Steine thuận quỹ tích điểm I cônic chứa hai điểm Avà B Tròng hợp A A, AB tự ứng (tức P,A,B thẳng hàng ) ánh xạ f phép phối cảnh quỹ tích điểm I đờng thẳng cố định (tức đờng thẳng d) Chú ý: ánh xạ f:chùm { A,AR} chùm { A,AR} AR f(AB) =AR ánh xạ g:chùm { A,AN} chùm { B,BN} AN g(AN) =BN Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm A, B, C, P, Q cố định nằm cônic (S),và M điểm biến thiên (S).Ký hiệu E =AB PM, F =AC QM Chứng minh đờng thẳng EF qua điểm cố định Giải Xét côníc (S ) hìnhQ6 cạnh ABQMPC.Ba giao điểm ba cặp P I=BQ PC, F=QM CA cạnh đối diện hình cạnh E=AB MP, A E hàng Theo định lý Paxcan E, I, F thẳng I F Vậy đờng thẳng EF qua điểm cố định I B M Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm A1, A2, A3, A4 cố định C A2A3, N1= OA1 A3A4, điểm O biến thiên Ký hiệu M1= OA1 25 M2=OA3 A2A1, N2=OA3 A1A4, Q=M1N2 N1M2 Chứng minh điểm Q nằm đơng thẳng cố định Giải A3 A2 O M2 N2 Q A4 A1 M1 N1 áp dụng định lý Pappuýt cho hai ba điểm thẳng hàng A3, M2, N2 A1, M1, N1 ta suy ba điểm A2, A4, Q thẳng hàng Vậy điểm Q nằm đờng thẳng A2A4 cố định Bài Chứng minh mệnh đề sau đây: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho ba đòng thẳng p, q, r đồng quy điểm O; điểm cố định A p; điểm cố định B q; điểm biến thiên C r (trong A 0, B 0) M giao điểm AC với q, N giao điểm BC với p Khi đờng thẳng MN qua điểm cố định Giải O M A N I C B D p q r Gọi D giao điểm r AB I giao điểm AB MN Do tính chất hình cạnh toàn phần ta có (ABID) =-1.Vì A, B,D cố định (ABID) =-1 nên I điểm cố định Vậy đòng thẳng MN qua điểm I cố định 26 Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho đòng thẳng hai đòng thẳng p, q khác nhng cắt điểm S Trên p cho hai điểm A1 A2 Trên q cho hai điểm B1 B2 Gọi a1, b1, a2, b2 đờng thẳng biến thiên, tong ứng qua điểm A1,B1,A2,B2 cho a1 b1 , a2 b2 , nhng giao điểm a1 a2 không nằm , ký hiệu M = a1 a1, N = b1 b2 Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định Giải C1 A1 S C2 B1 a2 b2 p M b1 q A2 a1 B2 N Gọi C1= a1 b1, C2 = a2 b2 Hai tam giác A1B1C1 A2B2C2 có A2A1, B2B1, C2C1 đồng quy điểm S Do ,theo định lý Đơ dác, giao điểm M,N,I cặp cạnh tong ứng hai tam giác thẳng hàng Mặt khác I = A1B1 A2B2 cố định Vậy đờng thẳng MN qua điểm cố định Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm A,B,C,D điểm thẳng hàng (S) cônic biến thiên qua điểm Tiếp tuyến (S) B cắt AC tai điểm B, tiếp tuyến (S) C cắt BD C Chứng minh đờng thẳng BC qua điểm cố định Giải A D B C B D I B C A C B C 27 Gọi I giao điểm hai cạnh AD BC xét cônic (S) hình cạnh ADBBCC Theo định lý Paxcan ta gọi C giao điểm BD CC , B giao điểm BB CA, mà I giao điểm AD BC Ta suy I, C, B thẳng hàng Hay BC qua I cố định (Do I =AD BC mà AD, BC cố định I điểm cố định ) Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) cho đờng thẳng d ABC (d không chứa điểm A,B,C ) cố định cônic (S) biến thiên tiếp xúc với d D (với D biến thiên ), đồng thời (S) tiếp xúc với BC, AC, AB lần lợt A,B,C Chứng minh BC qua điểm cố định Giải F D C B K E A d B C Gọi A E giao điểm đờng thẳng d với cạnh AC, F giao điểm đờng thẳng d với cạnh AB Khi xét hình đỉnh BCBEFC ngoại tiếp cônic (S) Theo định lý Briăng sông suy BE, CF, BC đồng quy Gọi K giao điểm CF BE Khi BC qua K cố định (Vì ABC cố định , d cố định) Bài Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic (S) điểm A, B, C cố định (S), K điểm cố định không nằm (S) Các đờng thẳng KA, KB, 28 KC tơng ứng cắt (S) điểm thứ hai A, B, C, P điểm biến thiên (S), đờng thẳng PA, PB , PC tơng ứng cắt BC, CA, AB A, B, C Chứng minh ba điểm A,B,C nằm đờng thẳng đờng thẳng qua điểm cố định Giải C áp dụng định lý Paxcan cônic (S) hình cạnh PBBCAA suy B ra: K, A, B thẳng hàngA(1) A áp dung định lý Paxcan cônic P (S) hình cạnh PCCABB suy ra: K,C, B thẳng hàng A (2) B C áp dụng định lý Paxcan cônic (S) hình cạnh PAABCC suy B ra: K, C, A thẳng hàng(3) C Từ (1), (2) (3) ta kết luận A,B,C nằm đờng thẳng K qua điểm cố định K Bài Trong P2 chứng minh hai đơn hình ABC, ABC có đỉnh nằm đờng bậc hai không suy biến (G) tồn đờng bậc hai không suy biến tiếp xúc với tất cạnh hai đơn hình Giải A Xét hình điểm ACFDEB có đỉnh (G) nên theo định lý Paxcan, F E điểm P =AC DE,Q = CF EB, R = FDR ABP thẳng hàng Nh hình đỉnh (G)định lý Brianchon, BCPEFR có ba cặp đỉnh đối diện đồng quy Q Theo Q đờng thẳng BC, CP, PE, EF, FR tiếp xúc với đờng bậc hai không suy biến C b đờng thẳng cạnh hai đơn hình ABC, ABC M B D D đờng thẳng a qua A đờng Bài 10 Trong P2 cho hình đỉnh ABCD, A N Q thiênR(G) qua A, B, C, D cắt lại a M thẳng b qua B Đờng bậc hai biến P cắt lại b M Tìm quỹ tính đờng thẳng MM B N Giải C M a 29 Đặt P =a b, Q =AC BD, R = DM CM, N= a BD, N= b AC áp dụng định lý Paxcan vào hình đỉnh AMDBMC (G) ta có P, Q, R thẳng hàng Do đó, áp dụng định lý Desargues thứ vào hai đơn hình MND MNC Suy MM qua điểm cố định I =NN DC Vậy quỹ tích đờng thẳng MM chùm đờng thẳng tâm I Bài 11 Trong P2 cho hình đỉnh ABCD, đờng bậc hai không suy biến (G) thay đổi nhng luôn qua A, B, C, D Tìm quỹ tích giao điểm M hai tiếp tuyến (G) A, B Giải D A Q (G) M P B C Giả sử (G) đờng bậc hai không suy biến qua A,B, C, D áp dụng định lý Paxcan thuận vào hình đỉnh ABCD tiếp tuyến A,B Suy M thẳng hàng với hai điểm P=AC BD, Q=BC DA Vậy M thuộc vào đờng thẳng cố định PQ 30 Ngợc lại, cho điểm PQ không trùng với P, Q tồn đờng bậc hai không suy biến (G) qua A, B, C, D tiếp xúc với AM A P, Q, M thẳng hàng, nên (G) tiếp xúc với BM B Vậy quỹ tích M đờng thẳng PQ trừ hai điểm P, Q Bài 12 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic (S) đờng thẳng d cắt (S) hai điểm I1, I2; I1O, I2O tiếp tuyến (S), A C hai điểm thuộc (S) Ký hiệu B =AI1 CI2, D =AI2 CI1 Tiếp tuyến (S) điểm A cắt I1O A1 cắt I2O A2 Tiếp tuyến (S) điểm C cắt I1O C1 cắt I2O C2 Hai tiếp tuyến cắt điểm H Chứng minh đờng thẳng A1C2, A2 C1 qua hai điểm B, D Giải A1` C1 Xét cônic (S) hình d cạnh AAI1CCI2 theo định lý Paxcan ta có H, B, D thẳng hàng I1 C Tơng tự xét cônic (S) hình cạnh I1I1BAI2I2CHta có O,DB, D thẳng hàng O O, H, B, D thẳng hàng Vậy A I2 A2 C2hình đỉnh OI1A1HCC2, ta có áp dụng định lý Briăngsông đối với(S) A1C2, I1C, OH đồng quy điểm D, nghĩa A1C2 qua D áp dụng định lý Briăngsông (S) hình đỉnh OI1C1HAA2 ta có OH, I1A, C1A2 đồng quy điểm B, nghĩa C1A2 qua B Bài 13 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic (S ) ba điểm A, B, C phân biệt (S) Các tiếp tuyến với (S ) B C cắt D Một đờng thẳng biến thiên nhng qua D Ký hiệu P = AB, Q= AC, M= PC BQ Chứng minh quỹ tích M cônic S Giải 31 B C P A M D Q 32 Chùm { B, BM}chùm { B,BQ} chùm {D,DQ} chùm {D,DP} chùm { C,CP} chùm{C,CM} Nh chùm { B, BM} liên hệ xạ ảnh với chùm {C,CM} liên hệ xạ ảnh f Khi M tiến tới C BM trùng với BC, CM tiếp tuyến C, nghĩa f(BC) = CD Điều chứng tỏ liên hệ xạ ảnh f phối cảnh Do đó, theo định lý Steiner quỹ tích M cônic (S) qua B C Nếu A,B,F không thẳng hàng f(AB) BA nên F không phép chiếu xuyên trục Quỹ tích Q đờng bậc hai không suy biến qua A,B Vì M, N có vai trò nên quỹ tích Q quỹ tích R trùng Bài 14 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đờng thẳng d1,d2 cắt taị P ; A B hai điểm theo thứ tự thuộc d1 & d2; C điểm không thuộc d1 d2 cho điểm A,B,C không thẳng hàng Q điểm biến thiên đờng thẳng AC, R giao điểm hai đờng thẳng PQ BC Chứng minh : Quỹ tích giao điểm D AR BQ cônic qua C tiếp xúc với d1,d2 tong ứng A,B Giải d1 A R D Q C d2s P B Chùm { B, BD} chùm { B, BQ} chùm {P, PQ} chùm {P,PR} chùm {A,AR}chùm{A,AD} Nh chùm {B, BD} liên hệ xa ảnh với chùm {A,AD}Cũng dễ kiểm tra thấy đờng thẳng d1 chùm thứ {A,AD} ứng với đòng thẳng BA 33 chùm thứ hai {B, BD} đờng thẳng AB chùm thứ {A,AD} ứng với đờng thẳng d2 chùm thứ hai {B, BD} Vậy theo định lý Steine, quỹ tích điểm D cônic qua C tiếp xúc với d1 d2 theo thứ tự A B Bài 15 Trong P2 cho hai điểm (có thể trùng ) A,B ánh xạ xạ ảnh f: ch{A} ch{B} , m m, n nMột đờng bậc hai không suy biến (G) qua A, B cắt m, n taị M, N; cắt m, n tài M, N Chứng minh giao điểm MN MN nằm đờng thẳng cố định d Giải P Q M N R d P M Q N R Trớc hết lấy đờng thẳng phân biệt p, q, r ch{A} ảnh chúng p ,q,r thuộc ch{B}.Giả sử p, q, r, p, q, r lần lựot cắt lại (G) taị P,Q,R, P,Q, R áp dụng định lý Pascal vào hình đỉnh PQRPQR ta đợc điểm PQPQ, QR QR, PR PR thẳng hàng đờng thẳng d Vì f ánh xạ xạ ảnh nên [p q r m] =[p q r m], [PP, PQ, PR, PM] =[PP, PQ, PR, PM] Suy PM PM phải thẳng hàng với PQ PQ, RP RP tức PM PM d.Cho N đóng vai trò M ta đợc PN PN d lại áp dụng định lý Pascal vào hình đỉnh PMNPMN ta đợc PM PM, MN MN, NPNP thẳng hàng đờng thẳng nối PM PM, NP NP tức đờng thẳng d Vậy MN MN nằm đờng thẳng d cố định 34 Kết luận Qua vấn đề trình bàyta thấy kết khoá luận thu đợc là: Đa định nghĩa, định lý, số đối ngẫu định lý, hệ số đối ngẫu hệ quả,và chứng minh định lý, định lý đối ngẫu, hệ hệ đối ngẫu liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R), mục 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, Đa đợc toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định giải toán cách sử dụng tính chất, hệ quả, định lý liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) ( chẳng hạn: bài1 có sử dụng định lý Steine đảo thuận, sử dụng định lý Paxcan, sử dụng định lý Pappuyt, sử dụng định lý Đơdac, sử dụng định lý Briăngsông, để giải) 35 Tài liệu tham khảo [1] Khu Quốc Anh Phạm Bình Đô- Tạ Mân, Bài tập hình học cao cấp tập 2, NXB Giáo Dục, Hà Nội, 1984 [2] Văn Nh Cơng Kiều Huy Luân, Hình học cao cấp, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1976 [3] Văn Nh Cơng, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999 [4] Phạm Bình Đô, Bài tập hình học xạ ảnh, NXB Đại học s phạm, Hà nội, 2003 [5] Nguyễn Hữu Quang Trơng Đức Hinh, Bài tập hình học xạ ảnh, Trờng Đại Học Vinh, 2000 [...]... xạ xạ ảnh ,và các vấn đề về liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh Đờng cônic trong P2(R) Nhận thấy nếu biết vận dụng khéo léo các tính chất, các định lý có liên quan đến các vấn đề nêu trên, ta sẽ giải quyết đợc rất nhiều bài toán có liên quan đến tìm tập hợp điểm ,tìm điểm cố định. Sau đây là một số bài toán điển hình Bài 1 Trong P2(R) cho cônic (S), hai điểm A,B cố định trên (S) và một điểm cố định. .. 2.2, 2.3, 2.4, 2 Đa ra đợc các bài toán về tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định và giải các bài toán đó bằng cách sử dụng các tính chất, hệ quả, định lý của liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) ( chẳng hạn: bài1 có sử dụng định lý Steine đảo và thuận, bài 2 sử dụng định lý Paxcan, bài 3 sử dụng định lý Pappuyt, bài 5 sử dụng định lý Đơdac, bài 9 sử dụng định lý Briăngsông, để giải) 35 Tài liệu... hình ba đỉnh ABC và 3 điểm m A,B,C lần lợt nằm P trên BC, CA, AB mà không phải làE đỉnh Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là có một điểm E sao cho 3 cặp đờng thẳng (EA,EA), (EB,EB), (EC,EC) là 3 cặp phần tử tơngDứng của một biến đổi xạ ảnh đối hợp của chùm { B E } A C B A C C B 23 E 3 ứng dụng liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Qua những... giao điểm của hai cạnh AD và BC khi đó xét cônic (S) và hình 6 cạnh ADBBCC Theo định lý Paxcan ta gọi C là giao điểm của BD và CC , B là giao điểm của BB và CA, mà I là giao điểm của AD và BC Ta suy ra I, C, B thẳng hàng Hay BC luôn đi qua I cố định (Do I =AD BC mà AD, BC cố định I là điểm cố định ) Bài 7 Trong mặt phẳng xạ ảnh P2(R) cho đờng thẳng d và ABC (d không chứa 3 điểm A,B,C ) cố định và. .. d cố định 34 Kết luận Qua những vấn đề đã trình bàyta thấy các kết quả chính của khoá luận đã thu đợc là: 1 Đa ra các định nghĩa, định lý, một số đối ngẫu của định lý, hệ quả và một số đối ngẫu của hệ quả ,và chứng minh các định lý, định lý đối ngẫu, hệ quả và hệ quả đối ngẫu của liên hệ xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R), đó là các mục 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2 Đa ra đợc các bài toán. .. Vậy điểm Q nằm trên đờng thẳng A2A4 cố định Bài 4 Chứng minh rằng mệnh đề sau đây: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho ba đòng thẳng p, q, r đồng quy tại điểm O; một điểm cố định A p; một điểm cố định B q; một điểm biến thiên C r (trong đó A 0, B 0) M là giao điểm của AC với q, N là giao điểm của BC với p Khi đó đờng thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định Giải O M A N I C B D p q r Gọi D là giao điểm. .. Gọi D là giao điểm của r và AB I là giao điểm của AB và MN Do tính chất của hình 4 cạnh toàn phần ta có (ABID) =-1.Vì A, B,D cố định và (ABID) =-1 nên I cũng là điểm cố định Vậy đòng thẳng MN luôn đi qua điểm I cố định 26 Bài 5 Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 cho đòng thẳng và hai đòng thẳng p, q khác nhng cắt nhau tại điểm S Trên p cho hai điểm A1 và A2 Trên q cho hai điểm B1 và B2 Gọi a1, b1, a2, b2... với a và A 2.3.1.2 Hệ quả 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng, đờng thẳng a đi qua A nhng không đi qua B và C, đờng thẳng b đi qua B nhng không đi qua A và C Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua C tiếp xúc với a và b lần lợt tại A và B Các định lý sau là đối ngẫu của định lý 2.3.1 và hai hệ quả trên 2.3.2 Định lý 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 5 đờng thẳng a, b, c, d, e trong đó... luôn đi qua điểm cố định I B M Bài 3 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A1, A2, A3, A4 cố định và một C A2A3, N1= OA1 A3A4, điểm O biến thiên Ký hiệu M1= OA1 25 M2=OA3 A2A1, N2=OA3 A1A4, Q=M1N2 N1M2 Chứng minh rằng điểm Q luôn nằm trên một đơng thẳng cố định Giải A3 A2 O M2 N2 Q A4 A1 M1 N1 áp dụng định lý Pappuýt cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A3, M2, N2 và A1, M1, N1 ta suy ra rằng ba điểm A2,... cạnh tong ứng của hai tam giác đó thẳng hàng Mặt khác I = A1B1 A2B2 cố định Vậy đờng thẳng MN đi qua điểm cố định Bài 6 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A,B,C,D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng (S) là một cônic biến thiên luôn đi qua 4 điểm đó Tiếp tuyến của (S) tại B cắt AC tai điểm B, tiếp tuyến của (S) tại C cắt BD tại C Chứng minh rằng đờng thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định Giải ... ứng dụng liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Mục đa toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định dùng tính chất, hệ quả, định lý để giải Khoá luận... phẳng xạ ảnh vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Qua vấn đề đợc trình bày phần trớc ánh xạ xạ ảnh ,và vấn đề liên hệ xạ ảnh mặt phẳng xạ ảnh Đờng cônic P2(R) Nhận thấy biết vận dụng. .. ảnh mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) vào giải toán tìm tập hợp điểm, tìm điểm cố định Khoá luận đợc trình bày với mục chính: ánh xạ xạ ảnh biến đổi xạ ảnh Mục đa số kiến thức phục vụ cho Liên hệ xạ