Ánh xạ Gauss và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN DOÃN THỊ LÝ VÂN ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.s. Trần Văn Nghị HÀ NỘI-2014 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện thuận lợi em đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nghiên túc để hoàn thành khóa luận. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực của bản thân mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, gia đình và các bạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ em. Đặc biệt là thầy Trần Văn Nghị thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp. Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 201Ậ Sinh viên Doãn Thị Lý Văn LỜI CAM ĐOAN Khóa luận này được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân em và sự hướng dẫn tận tình của Thạc sĩ Trần Văn Nghị. Trong khóa luận, em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Em xin cam đoan khóa luận này không sao chép từ bất kì khóa luận nào và em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan của mình. Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 20ỈẬ Sinh viên Doãn Thị Lý Văn Mục lục LỜT NÓT DẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các măt chính quy và tao ảnh của các giá tri chính quy 1.2 Hàm khả vi trên măt 1.3 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân của một ánh xạ . . 1.4 Dang cơ bản thứ nhất và diên tích 2 ÁNH XA GAUSS VÀ ỨNG DUNG 2.1 Ánh xa Gauss và môt số tính chất cơ bản 2.2 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương 2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương 2.2.2 Tính chất, 2.2.3 Kết luận 2.3 Các trường vectơ 2.3.1 Các trường vectơ 2.3.2 Trường các hướng 2.4 Các măt kẻ và măt cưc tiểu 2.4.1 Các măt kẻ 2.4.2 Các măt cưc tiểu KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 4 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học Xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô Hình học Vi phân là ngành hình học ứng dựng phép tính vi phân vào giải quyết các bài toán hình học. ở đó, các định nghĩa và các tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss là một trong những công cụ then chốt để nghiên cứu các tính chất địa phương của mặt. Ánh xạ Gauss là công cụ để định nghĩa các khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính quy Với các mặt đối một chiều, mặt trong E 3 và siêu phẳng trong E n , ánh xạ Gauss đã chứng tỏ là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phương của chúng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài này để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của khóa luận này là hệ thống các khái niệm, định nghĩa, các định lí và một số tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss trong E 3 . Tìm hiểu ánh xạ Gauss trong hệ tọa độ địạ phương và tìm hiểu các trường vectơ trong các mặt kẻ, các mặt cực tiểu, 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là ánh xạ Gauss và các tính chất cơ bản của nó. b. Phạm vi nghiêm cứu Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết về ánh xạ Gauss. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu là làm rõ các định nghĩa của ánh xạ Gauss và các tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss, tìm hiểu về ánh xạ Gauss trong hệ tọa độ địa phương, tìm hiểu các trường vectơ trong các mặt kẻ, các mặt cực tiểu, 5. Phương pháp nghiên cứu Phân tích và tổng hợp kiến thức. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm 2 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ánh xạ Gauss và ứng dụng. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các mặt chính quy và tạo ảnh của các giá trị chính quy Định nghĩa 1.1 Một tập con s c R 3 ỉà một mặt chính quy nếu với mọi p £ X tồn tại một lân cận V c R 3 và ánh xạ X : u -> V n s từ một tập mở u c R 2 đến V n s c K 3 sao cho: i) X là ánh xạ khả vi. Diều đó có nghĩa là X (ti, v) = (x(u, v),y(u, V), z(u, v)), (ti, v) e u với các hàm x(u, v), y(u, v), z(u, v) có đạo hàm riêngliên tục mọi cấp trong u. ii) X ỉàmột đồng phôi vì X là liên tục theo điều kiện i ) nên điều này có nghĩa là X có ánh xạ ngược X - 1 : V n s -» u liên tục. Nói cách khác, X - 1 là hạn chế của một ánh xạ liên tục F :W c R 3 -> i 3 xác định trên một tập mở w chứa V n s. iii) (Điều kiện chính quy) Với mỗi q € u, vi phân dXq : R 2 ->■ R 2 là đơn ánh. Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa hay một hệ tọa độ (địa phương) trong (một ỉẫn cận) của p. Lân cận l^ns của p trong s được gọi ỉà một lân cận tọa độ. Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ khả vi F : u c R n —> K m xác định một tập mở u của R" ta thấy rằng p e u là một điểm tới hạn của F nếu vi phân dFp : R" ->■ R m không ỉà toàn ánh. Ánh F(p ) e R m của một điểm tới hạn được gọi là giá trị tới hạn của F. Một điểm của R m mà không phải giá trị tới hạn được gọi là giá trị chính quy của F. Mệnh đề 1.1 Nếu / : u c R 3 -» R là một hàm khả vi và a € f(U) là một giá trị chính quy của / thì f~ 1 (a) là một mặt chính quy trong R 3 . 6 Mệnh đề 1.2 Cho s С R 3 là một mặt chính quy và p e s. Khi đó tồn tại một lân cận V của p trong s sao cho V là đồ thị của một hàm khả vi có một trong ba dạng sau: z = f ( x , y ) , y = g ( x , z ) , X = h ( y , z ) . Mệnh đề 1.3 Cho s mặt chính quy và ánh xạ X : и с R 2 -» R 3 , X (и) с s. Nếu X là đơn ánh thoả mãn Điều kiện ì) và ỉii) trong định nghĩa 1.1 thì x~ l là liên tục, có nghĩa là X thoả mãn điều kiện ii) và do đó X là một tham số hoá. 1.2 Hàm khả vi trên mặt Định nghĩa 1.3 Cho Ị : V с s -» R ỉà một hàm xác định trên một tập mở V của một mặt chính quy s. Hàm Ị được gọi là khả vi tại p e V nếu với tham số hóa X : и с R 2 ->■ s với p £ x(u) с V, thì hàm hợp X : и с R 2 -» R là khả vi tại Hàm f được gọi là khả vi trên V nếu nó khả vi tại mọi điểm của V. 1.3 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong và vi phân của một ánh xạ Định nghĩa 1.4 Một vectơ tiếp xúc của mặt chính quy s tại một điểm p e s ỉà một vectơ tiếp xúc của cung tham số khả vi có vết nằm trên s với a(0) = p. Tập tất cả vectơ tiếp xúc của s tại p gọi là mặt phẳng tiếp xúc của s tại p, kí hiệu là TpS. Mệnh đề sau cho thấy mỗi không gian tiếp xúc TpS là một không gian vectơ hai chiều. Mệnh đề 1.4 Giả sử X : и с К 2 -> s là một tham số hóa của mặt chính quy s với q e u. Khi đó không gian vectơ hai chiều dX q (R 2 ) с M 3 chính là không gian tiếp xúc với s tại x(q). Mệnh đề 1.5 Ánh xạ dipp : Tp(5i) -» Ty^S-ỉ) xác định bởi dip p (w ) = /3'(0) là tuyến tính. Theo trên ta có: 7 nghĩa là ánh xạ tuyến tính từ Tp(S i) vào mà ma trận đối với cặp cơ sở {X U ,X V } của Tp(Si) và {Xũ,Xỹ} của T v (p)(S 2 ) chính là Ánh xạ tuyến tính dif p xác định bởi Mệnh đề 1.2 được gọi là vi phân của ip tại p € s 1- Tương tự ta xác định vi phân một hàm / :{7c5-»Rtạipẽ(7 cũng là ánh xạ tuyến tính dfp : Tp(S) —> R. Mệnh đề 1.6 Nếu s 1 và S 2 là các mặt chính quy và (p : u c Si -> £2 là một ánh xạ khả vi của tập mở u c 5i sao cho vi phân d<fp của <p tại p e u là phép đẳng cấu khi đó ip được gọi là vi phôi địa phương tại p. Cho một điểm p trong mặt chính quy s, có hai vectơ đơn vị của R 3 là trực giao của mặt phẳng tiếp xúc Tp(S ) được gọi là một vectơ pháp tuyến đơn vị tại p. Đường thẳng đi qua p và chứa một vectơ pháp tuyến đơn vị tại p được gọi là đường trực giao tại p. Góc của hai mặt phẳng cắt nhau tại điểm p là góc của mặt phẳng tiếp xúc của nó tại p. 1.4 Dạng cơ bản thứ nhất và diện tích Ta thấy rằng, tích vô hướng của R 3 D s cảm sinh trên từng mặt phẳng tiếp xúc Tp(S) của một mặt chính quy s. Một tích vô hướng được kí hiệu là (wi,w 2) p . Nếu WI,W 2 Ễ T p (S) c R 3 . Khi ấy {wi,W 2) p bằng tích vô hướng của lUi và W 2 như vectơ trong R 3 . Tích vô hướng này mà có song tuyến đối xứng tính dạng ({wi,W 2), {iV 2,wi) và (WI,W 2) là tuyến tính trong cả hai w 1 và 1^2) có tương ứng một dạng toàn phương Ip : Tp(S) -» R cho bởi Ip(w) = (w,w) = \w\ 2 > 0. Định nghĩa 1.5 Dạng toàn phương Ip trên Tp(S) xác định bới biểu thức (1.1) được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của mặt chính quy s c K 3 tại p e s. Định nghĩa 1.6 Cho R c s là một miền bị chặn của một mặt chính quy chứa trong lân cận tọa độ của tham số hóa X : u c K 2 -> s. số dương: JJ \ x u A x v \ dudv = A ( R ) , Q = X ~ 1 ( R )] Q được gọi ỉà diện tích của R. 8 du dv (1.1) Chương 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Ánh xạ Gauss và một số tính chất cơ bản Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong с tại một điểm dẫn ta đến một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vectơ trùng pháp, ta có khái niệm độ xoắn, là bất biến hình học quan trọng thứ hai của đường cong. Hai bất biến này phản ánh hình dạng địa phương tại từng điểm của độ cong. Một cách hoàn toàn tương tự, ta sẽ xét tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm p của một mặt chính quy hay một cách tương đương là tốc độ của trường vectơ pháp tuyến đơn vị trong lân cận đó. Tốc độ biến thiên này không được đặc trưng bởi một con số mà được đặc trưng bởi một tự đồng cấu tuyến tính tự liên hợp của TpS. Nhiều tính chất địa phương đáng ngạc nhiên được tìm thấy từ sự nghiên cứu ánh xạ tuyến tính này. Như ta đã biết, một tham số hóa X : и с R 2 -> s của một mặt chính quy s tại một điểm p e s, khi đó, ta có thể chọn một vectơ pháp tuyến đơn vị tại mỗi điểm của X(u ) bởi công thức X u Л X v e x m - Do đó, ta có một ánh xạ khả vi N : X(u ) -» R 3 mà cho tương ứng với mỗi q e X(U) một vectơ pháp tuyến đơn vị N(q). Nói chung, với V С s là một tập mở trong s và N : V -> R 3 là một ánh xạ khả vi mà nó tương ứng với mỗi q € V một vectơ pháp tuyến đơn vị tại q. Khi đó, ta nói rằng N là một trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi trên V. Ví dụ, trên mặt Mobius của hình 2.1 nó không thể được xác định như một trường. 9 Điều này có thể được thấy một cách trực quan bằng cách đi xung quanh một lần dọc theo theo đường chính giữa mặt, sau khi quay lại một lần nữa thì trường vectơ sẽ trở thành —N, mâu thuẫn với tính liên tục của N. Ta dễ thấy rằng vectơ pháp tuyến sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng một vòng. Ta nói rằng, một mặt chính quy là định hướng được nếu nó nhận một trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi xác định trên toàn bộ mặt; việc chọn một trường N như vậy được gọi là một định hướng của s. Ví dụ, mặt Mobius nói trên không phải là một mặt định hướng được. Tất nhiên, mọi mặt được phủ bởi một hệ tọa độ đơn (ví dụ các mặt được trình bày bởi các đồ thị của các hàm khả vi) là định hướng được một cách tầm thường. Vì vậy, mọi mặt là định hướng được một cách địa phương và định hướng là một tính chất toàn cục theo nghĩa là trên toàn bộ mặt. Một định hướng N trên s cảm sinh với một định hướng trên mỗi không gian vectơ tiếp xúc Tp(S),p € s . Một cơ sở € Tp(S) được xác định dương nếu tích vô hướng {v A U,N) là dương. Dễ dàng thấy rằng, hợp của tất cả các cơ sở dương của Tp(S) là một định hướng cho Tp(S). Xuyên suốt chương này, s sẽ được kí hiệu là một mặt chính quy định hướng được trong một định hướng của nó (nghĩa là một trường khả vi của các vectơ pháp tuyến đơn vị N) đã cho trước; để đơn giản ta gọi là một mặt s với một định hướng N. Định nghĩa 2.1 Cho s c K 3 là một mặt với một định hướng N. Ánh xạ N : s -> R 3 ỉấy các giá trị trong mặt cầu đơn vị s 2 = {(x , y , z ) € R 3 |z 2 + y 2 + z 2 = ĩ} . Ánh xạ N : s s 2 , được xác định như trên, được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng s (Hình 2.2). Hình 2.1: Mặt Mobius. [...]... phõn ca ỏnh x Gauss nh thc ca d N (p) l cong Gauss K ca s tip Na i lng õm ca vt dNp c gi cong trung bỡnh H ca s ti p Ta cú th vit k\ 1 ko K = hk 2 , H = JL^nh ngha 2.7 Mt im p ca mt s c gi l: 1 im Elliptic nu det(dNp) > 0; 2 im Hyperbolic nu det(dNp) < 0; 3 im Parabolic nu det(dNp) = 0, vi dNp 0; im phng nu dNp = 0; S phõn loi ny khụng ph thuc vo vic chn nh hng Ti cỏc im elliptic, cong Gauss l dng...Hinh 2.2: Anh xa Gauss Hinh 2.3: Mat phlng :di\T p = 0 Ro rang, anh xa Gauss la kha vi Khi do, vi phan dNp cua N tai p e S la mot anh xa tuyen tinh tit T P (S) den T N ^(S 2 ) Khi do, T P (S) va la cac phang song song, dNp co the dtfdc coi nhii... ky 2 ,k > 0 (Xem vớ d 2.5), cng l mt im elliptic Ti cỏc im hyperbolic, cong Gauss l õm nờn cỏc cong chớnh khỏc du, v do ú, tn ti cỏc ng cong i qua p m cú cỏc vect phỏp tuyn ch v c hai phớa ca mt phng tip xỳc ti p im (0,0,0) ca paraboloid hyperbolic z = y 2 X 1 (Xem vớ d 2.4) l mt im hyperbolic Ti cỏc im parabolic, cong Gauss l 0, nờn cú mt cong chớnh bng 0 v mt cong chớnh khỏc khỏc 0 Cỏc im ca... im khụng phi l im phng, thỡ ti im ny cú hai phng tim cn trc giao 8 Mụ t min ca mt cu n v c ph bi nh ca ỏnh x Gauss trong cỏc mt sau: a Parabolic trũn xoay z = X 2 + y 2 b Hyperbolic mt tng trũn xoay X 2 + y 2 1 - z2 = c Mt catenoit X 2 + y 2 = cosh 2 z 9 Chng minh rng a nh N o a cho bi ỏnh x Gauss N : s -ằ s 2 ca mt ng cong chớnh quy tham s húa a : I -> s m khụng cha mt im phng hoc mt im parabolic... mi h ú i qua mi im p u v nu ba mt m i qua p l ụi mt trc giao S dng phn c ca bi 19 chng minh nh lớ Dupin: Cỏc mt ca mt h b ba trc giao luụn luụn ct nhau trong cỏc ng chớnh 2.2 nh x Gauss trong h to a phng 2.2.1 nh x Gauss trong h to a phng Cho ( S,N ) l mt mt chớnh quy nh hng Gi s tham s hoỏ X : u c R 2 -> s l tng thớch vi hng N ca 5; tc l trong X(U), A Xv \ x u A Xv I Ly X (, V ) l tham s hoỏ a... phng liờn hp r' ca r trong cỏc phn ca ch Dupin 13 (nh lớ Beltrami-Enneper) Chng minh rng giỏ tr tuyt i ca xon T ti mt im ca mt ng cong tim cn, m cong luụn bng 0, c cho bi T = Vk, trong ú K l cong Gauss ca mt ti im ó cho 14 Nu mt Si ct mt s% dc theo theo ng cong chớnh quy c, thỡ cong k ca c ti p c c cho bi k 2 sin 2 6 = x + x - 2AiA 2 cos, trong ú Ai v 2 l cỏc cong phỏp tuyn ti p, dc theo... ca s 1Chng minh rng 6(p) l hng s khi v ch khi c l mt ng chớnh ca S 2 16 Chng minh rng cỏc kinh tuyn ca mt mt xuyn l cỏc ng chớnh 17 Chng minh rng nu H = 0 trờn s v s khụng cú cỏc ng phng no, thỡ ỏnh x Gauss N : s -> s 2 cú tớnh cht sau: {dNp(w 1 ),dN p (w 2 )) = -K(p){w 1 ,w 2 ) vi Vp e s v VW 1,W 2 e Tp(S) Chng minh rng iu kin trờn cú ngha l gúc ca hai ng cong ct nhau trờn s 2 v gúc ca cỏc nh cu ca... v trc y l cỏc vect riờng ca dNp , ng vi cỏc giỏ tr riờng ln lt l 2 v 2; (gi s N l mt trng vect phỏp tuyn hng ra ngoi t min gii hn bi paraboloid) Tớnh cht 2.1 Vi phõn dNp : T p (S) -> T p (S) ca ỏnh x Gauss mt ỏnh x tuyn tớnh t iờn hp Chng minh Vỡ dNp l tuyn tớnh, chng t rng (dNp(u>i), ĩJ 2) (wi,dNp(w 2)) l mt c s {wi, W 2} ca Tp(S) Gi s X (, V ) l mt tham s húa ca 1 4 s ti p v {x u ,x v } l mt... li nh sau ( A v , w ) = ( , V , w ) vi(u, V , w ) e 3 bt kỡ õy l nh thc cp ba ca ma trn 3x3 m cỏc ct (hay cỏc dũng) ca nú l thnh phn ca cỏc vect u,v,w trong c s chớnh tc ca K 3 Vớ d 2.8 Tớnh cong Gauss ca nhng im nm trờn mt xuyn c ph bi tham s hoỏ sau: X ( , V ) = ((a + r cos ) cos V , ( a + r COS ỳ ) sin V , r sin ), vi < < 2-K, < V < 2 Gii tớnh cỏc h s e,f, g ta cn bit N,x u u ,x u v v... cos u(a + r cos X v v ) r(a + r ) COS ) F2 v cỏc giỏ trong e = Vỡ K = %--, nờn ta cú EG - F 2 COS u K = r(a + r COS ti) 07r Ta d dng nhn thy cỏc im thuc vo cỏc ng song song u = v 7T tớ = cú cong Gauss K = 0, cỏc im thuc cỏc ng song song nh vy 2 l cỏc im parabolic Trong min < u < , K õm (vi r > 0 v a > r); 22 cỏc im thuc min ny l cỏc im hyperbolic Trong min 0 < u < hoc < u < 2i r, cong dng . của mặt cong và vi phân của một ánh xạ . . 1.4 Dang cơ bản thứ nhất và diên tích 2 ÁNH XA GAUSS VÀ ỨNG DUNG 2.1 Ánh xa Gauss và môt số tính chất cơ bản 2.2 Ánh xạ Gauss trong. ) , Q = X ~ 1 ( R )] Q được gọi ỉà diện tích của R. 8 du dv (1.1) Chương 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Ánh xạ Gauss và một số tính chất cơ bản Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của. nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu là làm rõ các định nghĩa của ánh xạ Gauss và các tính chất cơ bản của ánh xạ Gauss, tìm hiểu về ánh xạ Gauss trong hệ tọa độ địa phương, tìm hiểu các trường vectơ trong