k > m i n ( | f c i | , | &2| ) ,
trong đó ki và &2 là các độ cong chính của s tại p .
4.Giả sử một mặt chính quy s có tính chất |&i| < 1, Ifal < 1 tại mọi điểm. Điều này có đúng không khi độ cong k của đường cong trên mặt s thỏa mãn |fc| < 1?
5. Chứng minh rằng độ cong trung bình H của mặt s tại mỗi điểm p e s được cho bởi
7r
H = ị / kn{6)d6, TT J
0
trong đó k n (6) là độ cong pháp tuyến tại p dọc theo một hướng tạo thành một góc 0 với một hướng cố định.
6. Chứng minh rằng tổng của các độ cong pháp tuyến theo hai hướng trực giao tại một điểm p e s, là hằng số.
7. Trên một mặt chính quy, chứng minh rằng, nếu độ cong trung bình bằng 0 tại một điểm không phải là điểm phẳng, thì tại điểm này có hai phương tiệm cận trực giao.
8. Mô tả miền của mặt cầu đơn vị được phủ bởi ảnh của ánh xạ Gauss trong các mặt sau:
a. Parabolic tròn xoay z = X 2 + y 2 .
b. Hyperbolic một tầng tròn xoay X2 + y 2 - z 2 = 1. c. Mặt catenoit X 2 + y 2 = cosh2 z.
9. Chứng minh rằng
a. Ảnh N o a cho bởi ánh xạ Gauss N : s -» s 2 của một đường cong chính quy tham số hóa a : I -> s mà không chứa một điểm phẳng hoặc một điểm parabolic nào là một đường tham số chính quy trên mặt cầu s 2 (được gọi là ảnh cầu của a ).
b. Nếu c = a(t)là một đường chính khúc và k là độ cong của nó tại p,thì
k = l^n^iv I:
trong đó k n là độ cong pháp tuyến tại p dọc theo đường tiếp tuyến của c và k N
là độ cong của ảnh cầu N(C ) c s 2 tại N(p).
10. Giả sử rằng mặt phẳng mật tiếp của đường cong c c s, mà nó luôn tiếp xúc với một phương tiệm cận, tạo thành một góc không đổi với mặt phẳng tiếp xúc của
s dọc theo c. Chứng minh rằng c là một đường phẳng.
11. Cho p là điểm elliptic của một mặt s, và lấy r và r' là các phương liên hợp tại
p. Lấy r thay đổi trong Tp(S) và chứng minh rằng góc nhỏ nhất của r với r' được tạo ra tại một cặp phương của mặt cầu trong Tp(S) là đối xứng với các phương chính.
12. Lấy p là một điểm hyperbolic của mặt s, và lấy r là một phương trong Tp(S). Hãy trình bày và chứng minh một cấu trúc hình học để tìm ra các phương liên hợp r' của r trong các phần của chỉ đồ Dupin.
13.(Định lí Beltrami-Enneper). Chứng minh rằng giá trị tuyệt đối của độ
xoắn T tại một điểm của một đường cong tiệm cận, mà độ cong luôn bằng 0, được cho
bởi
T = V— k ,
14. Nếu mặt Si cắt mặt s% dọc theo theo đường cong chính quy c, thì độ cong k
của c tại p € c được cho bởi
k2 sin26 = x Ị + x ị - 2AiA2 cosớ,
trong đó Ai và Ằ 2 là các độ cong pháp tuyến tại p, dọc theo đường tiếp tuyến tới
c , lần lượt của Si và S 2 và 9 là góc tạo bởi các vectơ pháp tuyến của Si và s2 tại
p.
15. (Định lí Joachimstahí). Giả sử s 1 và S 2 cắt nhau dọc theo đường cong chính quy c và tạo ra một góc ỡ(p),p e c. Giả sử rằng c là một đường chính của s 1- Chứng minh rằng 6(p) là hằng số khi và chỉ khi c là một đường chính của S 2.
16. Chứng minh rằng các kinh tuyến của một mặt xuyến là các đường chính.
17. Chứng minh rằng nếu H = 0 trên s và s không có các đường phẳng nào, thì ánh xạ Gauss N : s -> s 2 có tính chất sau:
{dNp(w1),dNp(w2)) = -K(p){w1,w2)
với Vp e s và VW1,W2 e Tp(S).
Chứng minh rằng điều kiện trên có nghĩa là góc của hai đường cong cắt nhau trên
s 2 và góc của các ảnh cầu của chúng là bằng nhau khi cùng dấu.
18. Lấy là các độ cong pháp tuyến tại p e s dọc theo các phương tạo thành các góc 0, —,..., (m — 1)— với một phương chính. Chứng minh
m m
rằng
Ai + • • • + Am =
rriH, trong đó H là độ cong trung bình tại p.
19. Lấy c c s là một đường cong chính quy trong s. Lấy p e c và a(s) là một tham số hóa của c theo độ dài trong p sao cho a(0) = p. Chọn trong Tp(S ) một cơ sở trực chuẩn dương {t,h}, với t — a(0). Mặt xuyến geodesic Tg của c c s tại
p được xác định bởi
/ d N , ^ ,
Ts=\lỉĩm'h
Chứng minh rằng:
a. Tg = (&1 — cos ip sin (p, với tp là góc tạo bởi ei và t.
b. Nếu T là một mặt xuyến của c, n là vectơ pháp tuyến (chính) của c và
COS 6 = ( N , n ) , thì
de
T ~ = T - T9 -
c. Các đường chính của s đặc trưng bởi có mặt xuyến geodeic — 0.
20. (Định lí Dupin). Ba họ mặt được gọi là một hệ bộ ba trực giao trong một tập mở u c R3 nếu một mặt duy nhất của mỗi họ đó đi qua mỗi điểm p € u và nếu ba mặt mà đi qua p là đôi một trực giao. Sử dụng phần c của bài 19 để chứng minh Định lí Dupin: Các mặt cửa một hệ bộ ba trực giao luôn luôn cắt nhau trong các đường chính.
2.2 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương 2.2.1 Ánh xạ Gauss trong hệ toạ độ địa phương
Cho (S,N ) là một mặt chính quy định hướng. Giả sử tham số hoá X : u c R2 ->■ s là tương thích với hướng N của 5; tức là trong X(U),
A Xv \ xu
Lấy X (и, V ) là tham số hoá địa phương của mặt s tại điểm p e s và lấy a(t ) =
x(u(t), v(t)) là một đường tham số trên s, với a(0) = p. Khi đó, vectơ tiếp xúc với a{t) tại p là
ã = Xuũ + xvv' và dN{a') = N’(u(t), v(t)) = Nuũ + Nvv.