z = fxx 2x vỉxy y ỉy y)’ ()
2.3 Các trường vectơ 1Các trường vectơ
Định nghĩa 2.11 Một trường vectơ trong một tập mở u c R 2 ỉà một ấnh xạ mà gắn với mỗi q e u một vectơ w(q) G R 2 . Trường vectơ w được gọi ỉầ khả vi nếu viết q = (x,y) và w(q) = (a(xìy),b(x,y)), các hầm số a và b khả vi trong u.
Trong các phần sau, ta chỉ xét các trường hợp vectơ khả vi.
Định nghĩa này tương ứng vối việc gán mỗi điểm (x,y) e u một vectơ với tọa độ a(x,y) và 6(x,ị/) mà biến đổi khả vi với (aj,y) (Hình 2.24).
y
0
Hình 2.24:
Định nghĩa trên được mô tả bởi Hình 2.25.
Cho một trường vectơ w, một câu hỏi đặt ra là
liệu có tồn tại quỹ đạo X
nào thuộc trường này không, tức là, liệu có tồn tại một đường tham số khả vi a(t ) =
(x(t),y(t)),t e I nào không,để a'{t ) =
Ví dụ 2.13. Một quỹ đạo đi qua điểm (xo,yo) của trường vectơ w ( x , y) = ( x , y ) là đường thẳng a(t) — (xoe t ,yoe t ),t € R, và một quỹ đạo của w(x,y) — (y,—x) đi qua (zo,2/o)5 là đường tròn /3(í) = (r sin t,r cost),t e R , r2 = X o2 + 2/02 - Trường vectơ w xác định hệ
phương trình vi phân sau,
ịĩi- t \
— = a(x, y).
dt y ĩ U h
— = Kx>y)- dt y y >
Khi đó, quỹ đạo của w là một nghiệm của phương trình (2.15).
Định lý 2.1 (Sự tồn tại và đơn trị). Cho w là một trường vectơ trong môt
tập mở u c R 2 . Cho p e u, tồn tại một quỹ đạo a : I -> u của w (tức ỉà, a (í) =
w(a{t)),t e I ) với a(0) = p. Quỹ đạo này là duy nhất theo nghĩa là: bất kì quỹ đạo nào khác Ị3 : J -» u với /3(0) = p cùng với a trong I n J. Với I và J kí
hiệu các khoảng mở của đường R, chứa gốc Oel.
Định lý 2.2 Cho w là một trường vectơ trong một tập mở u c R2. Vôi mỗi p e u tồn tại một lân cận V c u của p, một khoảng I, và một ánh xạ a : V XI u sao cho
i)
Với một điểm cố định q e V, đường cong a(q,t),t e I, là một quỹ đạo của w đi qua p; nghĩa là,
«(9,0) = q,
^(g,í) =w(a(q,t)).
ii) a là khả vi.
Dễ thấy rằng, các quỹ đạo phụ thuộc vào p một cách khả vi (Hình 2.26). Khi đó, ánh xạ a
được gọi là dòng (địa phương) của w tại p.
Bổ đề 2.1 Cho w ỉà một trường vectơ trong một tập mở u c R2 và lấy p e u sao cho w(p) Ỷ 0- Khi đó, tồn tại một lăn cận w c u của p và một hàm khả vi / :W
-»
R sao cho / là hằng số dọc theo mỗi quỹ đạo của w và dfq ± 0 với mọi
qew.
Hình 2.27:
Chứng minh. Chọn một hệ tọa độ Descartes trong K2 sao cho p(0,0) và w(p) cùng phương với trục X. Lấy a : VX I -ỳ ulà dòng địa phương tại p, Vc u, t€ /, và lấy ã là giới hạn của a bỏi hình chữ nhật
ị y X I ) n {(a;,2/,í) e Rs; x = o} .
(Xem hình 2.27). Nhờ định nghĩa của dòng địa phương, dã p ánh xạ từ vectơ đơn vị của trục t vào w và ánh xạ từ vectơ đơn vị của trục y vào chính nó. Do đó, dãpkhông suy biến. Điều đó, chứng tỏ rằng tồn tai một lân cận wc ucủa p, trong đó ã-1 được xác định và khả vi. Hình chiếu của ã~ l (x,y) lên trục y là một hàm khả vi £ = f(x,y), mà có cùng giá trị £ với mọi điểm thuộc quỹ đạo đi qua
(0,£). Vì dãp không suy biến,Ịy có thể lấy đủ nhỏ để dfq Ỷ 0 với Vq € w. Vậy, ta có điều phải chứng minh. ■ Hàm / của bố đề trên được gọi là tích phân đầu (địa phương) của w trong một lân cận của p.
Ví dụ 2.14. Nếu w(x,y) = (—y,x) được xác định trong R2 , có tích phân đầu / : R2 \ {(0, 0)}