Ánh xạ Gauss và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU Khóa luận này trình bày về vấn đề ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó.Ứng dụng của ánh xạ này để nghiên cứu về độ cong của đa tạp hai chiều trong E3 như độ cong chính, độ cong tr

LỜI NÓI ĐẦU

Khóa luận này trình bày về vấn đề ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó.Ứng dụng của ánh xạ này để nghiên cứu về độ cong của đa tạp hai chiều trong

E3 như độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong của cácđường đặc biệt trên đa tạp hai chiều

Nội dung của khóa luận gồm:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1 Không gian Euclit n chiều và một số định nghĩa

2 Đa tạp định hướng trong không gian En

Chương II: Ánh xạ Gauss và ứng dụng

1 Ánh xạ Gauss

2 Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss

3 Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss

4 Một số đường đặc biệt trên mặt

5 Mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3

Kết luận

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ của các thầy cô giáo, đặcbiệt là sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm đã giúp em hoàn thành khóa luận này

Sinh viên thực hiện

Hoàng Thị Thanh Hằng

MỤC LỤC

1 Không gian Ơclit n chiều và một số định nghĩa 11.1 Định nghĩa 11.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian En 11.3 Tọa độ của vectơ, của điểm đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong E n 1

2 Đa tạp hai chiều định hướng trong không gian E3 2

2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E 3 22.3 Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị 22.4 Trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong En 3

2.7 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong E n 4

1.Ánh xạ Gauss 51.1 Định nghĩa 51.2 Ảnh của một số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss 5

2.Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 52.1 Định nghĩa 5

3 Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phương

3.1.Độ cong chính, phương chính của đa tạp hai chiều S tại p 6

3.2.Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S 6

3.8.Độ cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier 10

4.4.Liên hệ giữa các đường đặc biệt trên của đa tạp hai chiều 16

5 Giới thiệu mặt kẻ và mặt cực tiểu trong E3 16

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi tìm hiểu về ánh xạ Gauss và ứng dụng của nó, chúng ta cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó

1. Không gian Ơclit n chiều E n và một số định nghĩa

1.1. Định nghĩa

Không gian Ơclit n chiều En là không gian afin liên kết với không gian



vectơ Ơclit n chiều Εn

1.2. Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian Ơclit E n

Trong En ,tích vô hướng giữa hai phần tử x, y  

độ trực chuẩn đã chọn Viết là 

x=(x1 , x2 , ,xn)

hoặc x(x 1 , x2 , ,xn )

2. Đa tạp hai chiều định hướng trong không gian E 3

2.1. Đa tạp hai chiều trong E 3

Trong En, cho tập S   Tập S được gọi là đa tạp hai chiều trong En (đơn

giản có thể gọi là mặt) nếu với mỗi

cho V S là một mảnh hình học Mỗi tham số hoá của mảnh hình họcnày được gọi là tham số hóa địa phương của S

2.2. Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều trong E 3

2.2.1 Trong E3, cho hệ tọa độ afin (x1, x2,…,xn), tập S   Tập

S là đa tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi với mỗi pS có lân cận V của p trong E3

đa tạp hai chiều trong E3 khi và chỉ khi với mỗi

trong S là một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, nếu cần có thể đổi

chỉ số các tọa độ afin để tham số hóa đó có dạng

(x1 , x2 )  r(x1, x2 )= (x1, x2 ,φ3 (x1 , x2 ), ,φn (x1 , x2 ))

2.3. Tiếp diện và pháp tuyến của đa tạp hai chiều tại điểm không kì dị

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S Tại pS , chọn tham số hóa địa phương

2.4. Trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp hai chiều trong E n

Với mỗi pS

, đặt TpS {(p, α); αkhông gian vectơ chỉ phương

của tiếpdiện của S tại p}, TpS được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p Ánh

xạ Χ: S T En , p X(p) T Sđược gọi là trường vectơ tiếpxúc của S tại p

Khi Xp

TpS



thì ta gọi ánh xạ X là trường vectơ pháp tuyến của S, lúc này

nếu Χ(p) 1 thì X được gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S.Đặc biệt khi trong E3, S có tham số hóa địa phương là

r(u,v) , p = r(u, v), T S {(p,α) | αr'

(u, v), r' (u, v)},

thì vectơ pháp tuyến đơn vị trên S tương thích với tham số hóa r tại p được

ánh xạ khả vi n: S T En

, p  n(p), ta gọi ánh xạ này là trường vectơ pháp

tuyến đơn vị của S

2.5. Hướng trên đa tạp hai chiều trong E n

Cho đa tạp hai chiều S trong En Giả sử trên mỗi không gian vectơ tiếp xúc TpS của S có thể lấy một cơ sở (ap, bp) sao cho tồn tại một tham số hóa địaphương r: U

S tại p thỏa mãn: với mọi u,vV, p =

r(u, v)

hai cơ sở

{r' , r' } và {a , b } cùng hướng Khi đó ta nói S định hướng được Kí hiệu Dp

là hướng của TpS xác định bởi cơ sở (ap, bp) Khi S định hướng được ta gọi

họ D={Dp} là một hướng của S Tham số hóa địa phương của S ở trên r: U

S gọi là tham số hóa tương thích với hướng D

2.7. Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp hai chiều trong E n

2.7.1 Định nghĩa

Trong En, cho hai đa tạp hai chiều S1 và S2 và ánh xạ h: S S

Ánh xạ hkhả vi nếu h liên tục và với mọi tham số hóa địa phương

1 2

p



-Với ánh xạ khả vi h được cho ở trên, tại pS1 , mỗi

phương

αTpS1 đều

tồn tại cung tham số của S1 là ρ : J

S1, t  ρ(t) sao choρ(t0 )= p , ρ'(t0 )=α Khi đó h  ρ(t) : J

không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ

Khi đó ánh xạ tiếp xúc với h là Tp h : TpS1

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG

Chương 2 này chúng ta làm quen với định nghĩa ánh xạ Gauss và sẽ xét ứng dụng của nó trong vấn đề tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc tại lân cận một điểm trên đa tạp hai chiều trong E3, một cách tương đương là tốc độ biến thiên của trường vectơ pháp tuyến đơn vị trong lân cận của điểm đó

1. Ánh xạ Gauss

1.1 Định nghĩa

Trong E3, cho đa tạp hai chiều (có thể gọi là mặt) S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, lúc này xác định một ánh xạ từ S vào mặt cầu đơn vị S2 (mặt cầu tâm O, bán kính 1) là

g: S S2

, p  g(p) = n(p) Ánh xạ này được gọi là ánh xạ Gausscủa mặt định hướng S

Rõ ràng theo định nghĩa thì ánh xạ Gauss là một ánh xạ khả vi

1.2 Ảnh của một số đa tạp hai chiều trong E 3 qua ánh xạ Gauss

Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz và mặt cầu đơn vị S2 tâm O, bán kính 1

1.2.1 Tìm ảnh của mặt trụ tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz quaánh xạ Gauss

Trong hệ tọa độ đã chọn, giả sử tham số hóa địa phương của S là

r: U S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u) r(u,v)

u v

z=0 của mặt cầu đơn vị S2 tức là đường tròn trong E3 có phương trình là

x2

+y2 = 1



z = 0

1.2.2 Tìm ảnh của mặt xuyến S qua ánh xạ Gauss

Trong E3, cho tham số hóa địa phương của S là

r : U S, (u,v)  ((a b.cosu).cosv, (a 

r(u,v) ((a b.cosu).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu)

r' (u,v) (b.sinu.cosv, b.sinu.sinv,b.cosu)

Hơn nữa nhận thấy rằng

(u,v)U , p1 r(u,v) ((ab.cosu).cosv, (a

b.cosu).sinv,bsinu)S và

(π u,v)U, p2 ((ab.cosu).cosv, (ab.cosu).sinv, b.sinu)S thì n(p1)

= n(p2) = (cosu.cosv, cosu.sinv,sinu) Nghĩa là mặt xuyến

có phương trình tham số đang xét có ảnh là mặt cầu đơn vị được lấy hai lần

1.2.3 Tìm ảnh của mặt paraboloit elliptic S qua ánh xạ Gauss

Giả sử trong hệ trục tọa độ đã chọn, S có tham số hóa địa phương là

1.2.4 Tìm ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss.

Trong hệ tọa độ đã chọn của E3, giả sử tham số hóa địa phương của S là(u,v)  r(u,v) (a.ch u.cosv, a.ch u.sinv, u)

r' (u,v) (sh cosv, sh sinv,1) , r' (u,v)

ngặt và có giá trị trong khoảng (-1, 1) và không có giá trị hữu hạn nào của

u để z(u)=1, z(u) 1 Như vậy, ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực (0, 0, 1) và (0, 0, -1)

1.2.5 Tìm ảnh của mặt đinh ốc đứng trong E3 qua ánh xạ Gauss

Trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt đinh ốc đứng tham số hóa địa phương là (u,v)  r(u,v) (u.cosv, u.sinv, av) (a 0) , theo đó

r' (u,v) (cosv, sinv, 0) và

r' (u,v) (u.sinv, u.cosv, a) Khi đó trường vectơ pháp tuyến đơn vị được

a2 

u2

.cosv,

u)

a2 u2

Nếu trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, g(p) = (x, y, z) thì nhận xét thấy rằng hàm x(u, v) và y(u, v) không đồng thời bằng 0 với mọi giá trị của (u,v) Như vậy ảnh của mặt đinh ốc đứng là mặt cầu đơn vị không kể hai điểm cực Hơnnữa, với mỗi đường đinh ốc tròn u=u0 thì các điểm

pk = (u0.cos(v+k2π), u0 (sinv+k2π), a(v+k2π)) (k



acos(v+k2π), o 

mặt đinh ốc đứng là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực được lấy vô số lần

Sau đây, chúng ta đi tìm hiểu một ứng dụng của ánh xạ Gauss, đó là ánh xạ tiếp xúc của nó Ánh xạ này chính là ánh xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss trong lân cận của một điểm trên đa tạp hai chiều, đây chính là đặc trưng cho tốc độ

biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm trên đa tạp hai chiều trong E3

2. Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss

2.1 Định nghĩa

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss của S là g Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạGauss là ánh xạ T g : T S T S2

, được định nghĩa theo quy tắc sau: mỗi

phương αTpS, chọn cung tham số ρ:J

Quy tắc trên xác định với mọi α TpS Thật vậy, tại p chọn tham

sốhóa địa phương của S là r : U

S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u0,v0), u0 , v0

U Trong TpS, chọn cơ sở là {r' (u , v ), r' (u , v )}

b

sao cho α = (a.r'

+b.r' )(u , v ) Lấy cung ρ:J U, t

 ρ (t) = (at, bt)

với

(at0=u0 và bt0=v0.Đặt ρ = r  ρ: J S, khi đó

ρ'(t)= (r.ρ)'(t)= r' (at)'+r' (bt)' = a.r' +b.r' Từ đó suy ra

ρ'(t ) = a.r' (u , v )+b.r' (u , v )=α và ρ(t ) = r(u , v ) như vậy quy tắc này

xác định với mọi α TpS.

Quy tắc này không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ ở trên Chẳng hạn, có hai cung ρ, γ: J S mà ρ(t0 )= γ(t0 )= p, ρ'(t0 ) = γ '(t0 ) = α ,với cung

ρ: J S , tồn tại duy nhất cung ρ :

J U, t  ρ (t)

ρ (t) = (u(t); v(t)); u(t0 ) = u0 ; v(t0 ) = v0 Khi đó

sao cho ρ= r  ρ Đặt

(n  ρ)'(t0 )=(n  r  ρ )'(t0 )=(n  r)' u (u0 , v0 ).u'(t0 )+(n  r)' v (u0 , v0 ).v'(t0 ) (1)

Với cung γ: J S, tồn tại duy nhất

Như vậy ta khẳng định quy tắc xác định ở trên là ánh xạ

Nếu đặt D

αn = (n  ρ)'(t 0)

p = r(u , v ) Trong TpS, chọn cơ sở là {r' (u , v ), r' (u , v )} Với phương

αTpS, lấy cung ρ:

J S mà ρ'(tnhất 0 ) = α (t0 J) , theo đó tồn tại duy

cung tham số ρ: J U, t  ρ (t) = (u(t); v(t)) sao cho ρ = r  ρ Như vậy,

α = ρ'(t0 ) = (r  ρ )'(t0 ) = ru (u0 , v0 ).u'(t0 ) + rv (u0 , v0

).v'(t0 )

từ đây ta thấy rằng

(u’(t0), v’(t0)) là tọa độ của α trong TpS

Lại theo định nghĩa ánh xạ Weingarten, ta có:

hp (α)= (n  ρ)'(t0 )= (n  r  ρ )'(t0 )

Từ (n  r)(u , v ).r' (u ,v ) = 0 , lấy đạo hàm hai vế theo u ta được

(n  r)' (u , v ).r' (u ,v )+(n  r)(u , v ).r'' (u ,v ) = 0 , từ đây suy ra

vectơ pháp tuyến đơn vị n Tại pS , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp.

3.1 Độ cong chính, phương chính của đa tạp hai chiều S tại p

Độ cong chính của đa tạp hai chiều S là giá trị riêng của hp, phương chính

của S tại p là vectơ riêng của hp

3.2 Độ cong Gauss và độ cong trung bình của đa tạp hai chiều S tại p

Chú ý : khi đổi hướng đa tạp hai chiều S thì trường vec tơ pháp tuyến

đơn vị n thay bằng –n do đó ma trận A thay bằng –A Vì A là ma trận vuôngcấp hai nên A = -A và vết (A)=-vết (-A) Do đó độ cong Gauss không đổi,

độ cong trung bình đổi dấu

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơpháp tuyến đơn vị n Tại pS , S có độ cong

α,βTpS ta

có

hp (α).hp (β) 2.H(p).hp (α).β+K(p).α.β=0Thật vậy, trong không gian TpS, ta chọn cơ sở trực chuẩn {e1,e2} và gọi

k, k là hai độ cong chính của S tại p Từ đây suy ra hp (e1 )=k.e và

hp (e2 )=k2.e2

Với

α, βTpS, tồn tại a, b, c, d sao cho

α=a.e1 +b.e2 ,β=c.e1 +d.e2

Khi này hp (α)=hp (a.e1 +b.e2 )=a.ke1 +b.k2e2

hp (β)=hp (c.e1 +d.e2 )= c.ke +d.k e

Mặt khác có K(p)=k.k



k +k

và H(p)= 1 2

2 , thay vào công thức ta có

VT=(a.ke +bk e )(cke +dk e ) (k +k )(a.ke +bk e )(ce +de)+

+k.k (ae +be )(ce +de )

=ack +bdk (k +k )(ack +bdk )+(ac+bd)k.k

3.4 Ví dụ

3.4.1 Trong E3, cho mặt cầu S tâm O bán kính R>0 Mặt cầu này là đa tạphai chiều trong E3, giả sử S được định hướng bởi trường vec tơ pháp tuyến

đơn vị hướng ra ngoài, tức là với

PS, n(P)=(P;



OP ) Goị ánh xạR

Weingarten của S tại P là hp Lấy αTpS , xét đường tròn lớn của mặt cầu đi qua P và tiếp xúc với phương α Tham số hóa cung tròn lớn của

0  0

αTheo công thức

hp (α)= (n  ρ)'(t0)=

đều là điểm cầu

3.4.2 Trong En, cho S là mặt phẳng, khi đó n là trường vectơ song song nên hp=0 với mọi pS Như vậy, mọi điểm thuộc S đều là điểm dẹt, K =

r(u,v)=(a.cosu, a.sinu, v) Theo đó r(u,v) = (a.cosu,a.sin u,

Khi này h (r' )= (n  r) ' =( sinu, cosu,0)=1 .r'

là phương của vectơ

r' , đó là phương tiếp xúc của cung tọa độ u = u0 (cung kinh tuyến)

3.5 Định nghĩa

Ánh xạ f: S1



S2

giữa các đa tạp định hướng trên đa tạp hai chiều trong

E3 được gọi là ánh xạ bảo giác nếu có hàm số dương φ: S1  sao

cho vớimọi α, βTpS1

ta có

Tpf(α).Tpf(β) = φ(p).α.β (với mọi

pS1 )

3.6 Dạng cơ bản thứ hai trên đa tạp hai chiều trong E 3

Trong E3, cho đa tạp hai chiều S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Tại pS , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp

3.6.1 Định nghĩa dạng cơ bản I và II của mặt S tại pS

Dạng song tuyến tính đối xứng trên TpS Ip: TpS×TpS  ,

(α,β)  α.β ,

IIp: TpS×TpS  , (α,

β)  hp (α).β lần lượt được gọi là dạng cơ bản thứ I và

II của đa tạp hai chiều S tại p Kí hiệu Ip (α,α) = Ip

(α),

IIp (α,α) = IIp (α) Khi

P thay đổi trên S ta có thể dùng kí hiệu I và II

3.6.2 Biểu thức tọa độ của dạng cơ bản thứ I và II trong tham số hóa địa

phương của S tại p

Tại pS , chọn tham số hóa địa phương của S là r: U S,(u,v)  r(u,v) mà

p=r(u0, v0), (u0 , v0 ) U Các hàm số trên U

 ' '  ' '  ' '

E = (ru .rv )(u, v), F = (ru .rv )(u,v), G = (rv.rv )(u,

v)

biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I

được gọi là các hệ số của

Với X, YT S, X=φ1

.r' +φ2.r' ; Y=ψ1r' +ψ2r'

thì

I(X,Y)=(E.r-1)φ1ψ1 +(F.r-1)(φ1.ψ2 +φ2ψ1)+(G.r-1)φ2ψ2

II(X,Y)=(L.r-1)φ1ψ1 +(M.r-1)(φ1.ψ2 +φ2ψ1)+(N.r-1)φ2ψ2

Đây lần lượt được gọi là biểu thức tọa độ của dạng cơ bản I và II trong tham

số hóa địa phương đã chọn của S

  

r' ×r'Khi r tương thích với hướng của S thì (n 

r)= 

u

v

r' ×r'3.6.3 Công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình theo các hệ sốcủa dạng cơ bản I và II

Trong TpS, lấy cơ sở {α,β} và giả sử hp (α)=a.α+bβ; hp (β)=cα+dβ

thì K(p) ad

(a+d) Khi đó

2

hp (α) β+α.hp (β)=2.H(p)αβ Lấy

vv v v

u v

II(α,β)II(β,β)I(α,β)I(β,β)

tích vô hướng của các vế của đẳng thức này với α

hp (α).α

p (β).βββααβα

αα

hp (β).α αβββ

αβ

hp (β).β+

, như vậy điểm ứng với (x, y) là điểm

elliptic, hypeboloit hay paraboloit của mặt tùy theo

(f

''

.f ' ' f ''2

)(x,y) dương,

âm hay bằng

0

xx yy xy

x y

b) Đa tạp hai chiều liên thông cung trong E3 mà mọi điểm là điểm rốnthì có độ cong Gauss hằng (không âm).

Chứng minh

Trong E3 cho S là đa tap hai chiều với tham số hóa địa phương là

(u, v)  r( u, v) Gọi n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt và với mọi điểm p=r(u, v) trên S đều là điểm rốn tức là α TpS đều là phương chính

của S tại p, gọi độ cong chính của S tại p là k Suy

 (nr)vu =ku .rv +k.rvuTrừ vế với vế hai đẳng thức này ta được k' .r' +k' .r'

=0 Do {r'

, r' } độc lậptuyến tính nên

Vậy chỉ có thể có hai trường hợp sau:

+ K= 0: mọi điểm của S là điểm dẹt , khi đó S là một bộ phận liên thông của mặt phẳng Thực vậy, trên mỗi tập mở liên thông của S mà có trường vectơ pháp tuyến đơn vị n thì có Dn=0 nên n là trường vectơ song song trên tập đó Vậy do S liên thông, nó định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị song song n dọc S Lấy pS , với mọi điểm q S , lấy cung tham số

+ K=

R2

(R>0) , với mọi điểm của S là điểm cầu , khi đó S là một bộ phậnliên thông của mặt cầu bán kính R Thực vậy, trên mỗi tập mở liên thông của

S mà có trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, có thể coi h (α)

Oρ(t) = R.(n(ρ(t)) =R nên với ρ(t) thuộc mặt cầu tâm O bán kính R Lấy

pS , với mọi q S, lấy cung tham số ρ1 : [0,1] S,

p = ρ1(0); q = ρ1(1)

thì

có thể chia nhỏ đoạn [0, 1] thành một số hữu hạn đoạn con để thu hẹp của ρ1trên mỗi đoạn con có ảnh nằm trên một tập mở liên thông của S trên đó cótrường vectơ pháp tuyến đơn vị như nói trên Từ đó, dễ thấy các điểm O cho mỗi đoạn con đó là trùng nhau, vậy với mọi t [0,1], ρ1 (t) thuộc mặt cầu tâm O, bán kính R, do đó q thuộc mặt cầu đó

Hệ quả trực tiếp được rút ra là : S là một đa tạp hai chiều compắc liên thôngtrong E3 mà mọi điểm là điểm cầu phải là toàn bộ một mặt cầu