Ánh xạ gauss và ứng dụng

LỜI NÓI ĐẦU Khóa luận trình bày vấn đề ánh xạ Gauss ứng dụng Ứng dụng ánh xạ để nghiên cứu độ cong đa tạp hai chiều E3 độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong đường đặc biệt đa tạp hai chiều Nội dung khóa luận gồm: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Không gian Euclit n chiều số định nghĩa Đa tạp định hướng không gian En Chương II: Ánh xạ Gauss ứng dụng Ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss Một số đường đặc biệt mặt Mặt kẻ mặt cực tiểu E3 Kết luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn công lao dạy dỗ thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày tháng Sinh viên thực Hoàng Thị Thanh Hằng năm MỤC LỤC Nội dung Trang Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Không gian Ơclit n chiều số định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian En 1.3 Tọa độ vectơ, điểm hệ tọa độ trực chuẩn En Đa tạp hai chiều định hướng không gian E3 2.1 Đa tạp hai chiều 2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E3 2.3 Tiếp diện pháp tuyến đa tạp hai chiều điểm không kì dị 2.4 Trường vectơ tiếp xúc đa tạp hai chiều En 2.5 Hướng đa tạp hai chiều En 2.6 Tiêu chuẩn định hướng 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều En Chương ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Ánh xạ Gauss 1.1 Định nghĩa 1.2 Ảnh số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss vấn đề độ cong địa phương đa tạp hai chiều E3 3.1.Độ cong chính, phương đa tạp hai chiều S p 3.2.Độ cong Gauss độ cong trung bình đa tạp hai chiều S 3.3.Các định nghĩa 3.4.Ví dụ 3.5 Định nghĩa 3.6 Dạng thứ hai đa tạp hai chiều E3 3.7 Định lí 10 3.8.Độ cong pháp dạng công thức Ơle, công thức Meusnier 10 Một số đường đặc biệt mặt 12 4.1 Đường khúc 12 4.2 Đường tiệm cận 13 4.3 Cung trắc địa 14 4.4.Liên hệ đường đặc biệt đa tạp hai chiều 16 Giới thiệu mặt kẻ mặt cực tiểu E3 16 5.1 Mặt kẻ 16 5.2 Mặt cực tiểu 18 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước tìm hiểu ánh xạ Gauss ứng dụng nó, cần phải nắm số kiến thức Chương nhắc lại số kiến thức Không gian Ơclit n chiều En số định nghĩa 1.1 Định nghĩa Không gian Ơclit n chiều En không gian afin liên kết với không gian  vectơ Ơclit n chiều Ε n 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian Ơclit En      Trong E n ,tích vô hướng hai phần tử x, y Ε n kí hiệu x.y    n    x, y Chuẩn phần tử x  E tính theo công thức x = x.x  Trong không gian E , chọn điểm O Trong không gian Ε n , chọn n       0 i  j hệ vectơ trực chuẩn {e1 , e2 , ,en } tức ei e j   ei =1 với 1 i=j    i=1,n Khi đó, tập {Ο, e1 ,e , ,e n } gọi hệ tọa độ trực chuẩn En Đặc biệt, n =2, n=3 tọa độ gọi hệ tọa độ Đềcác vuông góc viết Oxy Oxyz 1.3 Tọa độ vectơ, điểm hệ tọa độ trực chuẩn En    Trong En, cho hệ tọa độ trực chuẩn {Ο, e1 ,e , ,e n }  n 1.3.1 Với x  Ε , tồn số (x1, x2,…,xn) (x i   , i=1,n) cho  n   x   x i ei , số (x1, x2,…,xn) gọi tọa độ x hệ tọa i=1   độ trực chuẩn chọn Viết x=(x1 , x , ,x n ) x(x1 , x , ,x n )  n 1.3.2 Với Ρ  Ε , ΟΡ  Ε Trong hệ tọa độ trực chuẩn En  chọn giả sử ΟΡ=(x1 , x , ,x n ) Khi này, ta gọi số (x1, x2,…,xn) tọa độ n điểm P, viết P(x1, x2,…,xn) P=(x1, x2,…,xn)  Với Μ,Ν  Εn , Μ(x1 ,x , ,yn ), Ν(y1 , y2 , ,yn ) , tọa độ MN   ΜΝ=(y1  x1 , y  x , , y n  x n )   n  (y i  x i )2 i=1 Đa tạp hai chiều định hƣớng không gian E3 2.1 Đa tạp hai chiều E3 Trong En, cho tập S   Tập S gọi đa tạp hai chiều En (đơn giản gọi mặt) với p  S có lân cận mở V p En cho V  S mảnh hình học Mỗi tham số hoá mảnh hình học gọi tham số hóa địa phương S 2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E3 2.2.1 Trong E3, cho hệ tọa độ afin (x1, x2,…,xn), tập S   Tập S đa tạp hai chiều En với p  S có lân cận V p E3 hàm số khả vi φ :V  R, (x1 ,x ,x )  φ(x1 ,x ,x ) cho x  V  φ φ φ  (x , x , x )  đặt hạng  (x1 , x , x ); (x1 , x , x ); y z  x  φ(p) = a V  S = φ1 (a) Điểm p  S , p(x1, x2, x3) làm cho φ φ φ (x , x , x )= (x , x , x )  (x , x , x )  gọi điểm kì dị x y z S 2.2.2 Trong E3, cho tập S   , tọa độ afin (x1, x2, x3) Tập S gọi đa tạp hai chiều E3 với p  S có lân cận mở S mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, cần đổi số tọa độ afin để tham số hóa có dạng (x1 ,x )  r(x1 ,x )= (x1 ,x ,φ3 (x1 ,x ), ,φn (x1 ,x )) 2.3 Tiếp diện pháp tuyến đa tạp hai chiều điểm không kì dị Trong E3, cho đa tạp hai chiều S Tại p  S , chọn tham số hóa địa phương   S r: U  S, (u,v)  r(u,v) Khi đó, tồn ru' , rv' chúng độc lập tuyến tính Tiếp diện đa tạp S p=r(u,v) 2-phẳng qua r(u,v) có   không gian vectơ phương  ru' ,rv'  Đặc biệt, E3 tiếp diện mặt phẳng tiếp xúc; đường thẳng qua r(u,v) vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc r(u, v) gọi pháp tuyến S p 2.4 Trƣờng vectơ tiếp xúc đa tạp hai chiều En    Trong En cho đa tạp hai chiều S, p  S đặt Tp E n  {(p,α); α  Ε n } gọi không gian vectơ tiếp xúc En p   Với p  S , đặt TpS  {(p, α); α  không gian vectơ phương tiếp diện S p}, TpS gọi không gian vectơ tiếp xúc S p Ánh xạ Χ: S  Tp En , p  X(p)  TpS gọi trường vectơ tiếp xúc S p Khi X  p   TpS ta gọi ánh xạ X trường vectơ pháp tuyến S, lúc  Χ(p)  X gọi trường vectơ pháp tuyến đơn vị S Đặc biệt E3, S có tham số hóa địa phương    ' r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p,α) | α  ru (u, v), rv' (u, v)} , vectơ pháp tuyến đơn vị S tương thích với tham số hóa r p  xác định n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);       ru' ×rv'   (u, v)  Lúc ta nhận  ru' ×rv'   ánh xạ khả vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta gọi ánh xạ trường vectơ pháp tuyến đơn vị S 2.5 Hƣớng đa tạp hai chiều En Cho đa tạp hai chiều S En Giả sử không gian vectơ tiếp xúc TpS S lấy sở (ap, bp) cho tồn tham số hóa địa phương r: U  S p thỏa mãn: với  u,v   V, p = r (u,v) hai sở {ru' , rv' } {a p , bp } hướng Khi ta nói S định hướng Kí hiệu Dp hướng TpS xác định sở (ap, bp) Khi S định hướng ta gọi họ D={Dp} hướng S Tham số hóa địa phương S r: U  S gọi tham số hóa tương thích với hướng D 2.6 Tiêu chuẩn định hƣớng đƣợc 2.6.1 Trong En, đa tạp hai chiều định hướng S có họ tham số hóa địa phương { ri : Ui  S } S cho S   r(Ui ) i ri (Ui )  rj (U j )   điểm chung giao hai tham số hóa địa phương ri rj tương đương bảo tồn hướng 2.6.2 Đa tạp hai chiều S E3 định hướng S có    trường vectơ pháp tuyến n : S  E n liên tục n(p)  p thuộc S 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều En 2.7.1 Định nghĩa Trong En, cho hai đa tạp hai chiều S1 S2 ánh xạ h: S1  S2 Ánh xạ h khả vi h liên tục với tham số hóa địa phương r1 : U1  S1 r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) ánh xạ r2-1  h  r1: U1  U2 khả vi 2.7.2 Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều Với ánh xạ khả vi h cho trên, p  S1 , phương α  TpS1 tồn cung tham số S1 ρ : J  S1 , t  ρ(t) cho ρ(t )= p , ρ'(t )=α Khi h  ρ(t) : J  S2 cung tham số S2 qua q = h(ρ(t ))  phép lấy đạo hàm (h  ρ)'(t ) không phụ thuộc vào cách chọn cung ρ Khi ánh xạ tiếp xúc với h Tp h : TpS1  Th(p)S2 định nghĩa  Tp h(α) = (h  ρ)'(t )=((h  ρ(t ); (h  ρ)'(t )) Trên kiến thức cần nắm trước nghiên cứu ánh xạ Gauss ứng dụng CHƢƠNG ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Chương làm quen với định nghĩa ánh xạ Gauss xét ứng dụng vấn đề tốc độ biến thiên mặt phẳng tiếp xúc lân cận điểm đa tạp hai chiều E3, cách tương đương tốc độ biến thiên trường vectơ pháp tuyến đơn vị lân cận điểm Ánh xạ Gauss 1.1 Định nghĩa Trong E3, cho đa tạp hai chiều (có thể gọi mặt) S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n, lúc xác định ánh xạ từ S vào mặt cầu đơn vị S2 (mặt cầu tâm O, bán kính 1) g: S  S2 , p  g(p) = n(p) Ánh xạ gọi ánh xạ Gauss mặt định hướng S Rõ ràng theo định nghĩa ánh xạ Gauss ánh xạ khả vi 1.2 Ảnh số đa tạp hai chiều E3 qua ánh xạ Gauss Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz mặt cầu đơn vị S2 tâm O, bán kính 1.2.1 Tìm ảnh mặt trụ tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh xạ Gauss Trong hệ tọa độ chọn, giả sử tham số hóa địa phương S  r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , từ   suy ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vectơ độc lập tuyến tính Khi này, xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị định    ru' ×rv' hướng S (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) Trong E3, gọi ru' ×rv' tọa độ g(p)=(x, y, z) ảnh mặt S đường tròn lớn mặt phẳng z=0 mặt cầu đơn vị S2 tức đường tròn E3 có phương trình  x +y =  z = 1.2.2 Tìm ảnh mặt xuyến S qua ánh xạ Gauss Trong E3, cho tham số hóa địa phương S r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) với (a >b > 0)  Từ r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)  rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) Khi trường vectơ pháp tuyến đơn vị xác định ru'  rv' n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) ru  rv Hơn nhận thấy (u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S (π  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S n(p1) = n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) Nghĩa mặt xuyến có phương trình tham số xét có ảnh mặt cầu đơn vị lấy hai lần 1.2.3 Tìm ảnh mặt paraboloit elliptic S qua ánh xạ Gauss Giả sử hệ trục tọa độ chọn, S có tham số hóa địa phương    x y2  x y2  r : U  S, (x, y)   x, y,   r (x, y)   x, y,   2p 2q 2p 2q        x   y rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  Khi trường vectơ pháp tuyến đơn p q   vị xác định 10 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S có hướng xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, cho S tham số hóa địa phương tương thích với n r: U  S,(u, v)  r(u, v) , p=r(u,v) Trường vectơ tiếp xúc S p TpS Trong TpS lấy sở {ru' , rv' } Khi với phương α  TpS tồn a, b cho α = a.ru' +b.rv' , phương α phương tiệm cận độ cong pháp  =  II(α) = hay dạng S theo phương hay k(α) h p (α).α =  (a.h p (ru' )+b.h p (rv' )).(a.ru' +b.rv' ) =  a (nr)'u ru' +2ab.(nr)'u rv' +b2 (nr)'v rv' =  a L+2ab.M+b N = Nếu đặt a=du, b=dv phương trình tương đương với Ldu +2M.du.dv+b N = Phương trình gọi phương trình xác định phương tiệm cận S p, số L, M, N tính p 4.2.4 Ví dụ a) Trong E3, cho đường cong quy γ Gọi S mặt kẻ tạo pháp tuyến γ Chứng minh γ đường tiệm cận S Chứng minh Giả sử đường cong quy γ có tham số hóa địa phương ρ: J  E3 , s  ρ(s) Vectơ pháp tuyến ρ N(s) Khi mặt kẻ S  có tham số hóa địa phương r (s, t) = ρ(s)+ t N(s) Theo ,     '     r(s, t) = ρ(s)+t.N(s) r s (s, t)=ρ'(s)+t.Ns' (s) = T+v.(  k.T+τ.B) hay    rs' (s,t) = (1  vk).T + v.τB (ở k τ độ cong độ xoắn ρ , {T, N, B} trường mục tiêu Frener dọc theo cung ρ ) Ta có       ' rt (s, t) = N(s) từ ta tính rs'  rt' = (1  kv)B  τ.v.T 36   rs' ×rt' = (1  kv)2 +τ v2 , định hướng S trường vectơ pháp tuyến đơn vị     ' '  r ×r (1  kv)B  τ.vT (n  r)(s, t) = s t (s, t) = (1  kv) +τ v2 rs' ×rt'       Mặt khác (n  ρ)(s) = (n  r)(s,0) = B(s) , (n  ρ)'(s) = B'(s) =  τ.N(s) Từ suy độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến γ h(T).T   k(T) = =  (nρ)'(s).T = τ.N.T = , đẳng thức k(T) = chứng tỏ T.T γ đường tiệm cận S b) Cho đường song quy γ E3 với trường mục tiêu Frênê {T, N, B} dọc theo γ Giả sử γ đường tiệm cận mặt S  E định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n S Gọi τ độ xoắn γ Chứng minh h(T) = ±τ.N K(p) =  τ2 (p) (p  γ) Chứng minh Lấy tham số hóa tự nhiên địa phương γ s  ρ(s) Vì γ đường tiệm cận S nên theo công thức Meusnier ta có  K(s).N(s).(n  ρ)(s) = k(ρ'(s)) ( với k(s) độ cong ρ p= ρ (s))  = Do Vì ρ cung song quy nên k(s)  k(ρ'(s)) N(s).(n  ρ)(s) = tức (n  ρ)(s)  N(s) Mặt khác (n  ρ)(s)  T(s) Suy (n  ρ)(s)  (N(s)×T(s))=B(s) Vì n B hai vectơ đơn vị phương nên (n  ρ)(s) = ±B(s) Ta có h(T(s)) =  (n  ρ)'(s) =  B'(s)=  τ(s).N(s) Vậy h(T) =  τ.N 37 Để tính K(p), ta tính ma trận hp sở TpS Trong phần ta chứng minh N(s)  (n  ρ)(s) , lại có T(s)  (n  ρ)(s) , T(s), N(s) TpS {T(s), N(s)} sở TpS Như khai triển h p (N(s)) = a.T(s) + b.N(s) Khi h p (N(s)).T(s) =  a.T(s)+b.N(s) .T(s) = a  h p (N(s)).T(s) = N(s).h p (T(s) = N(s). ±τ(s).N(s)  = ±τ(s) Từ suy a = ±τ(s) K(p) = ±τ hay K(p) =  τ2 (p) ±τ b 4.3 Cung trắc địa 4.3.1 Độ cong trắc địa đường tiền trắc địa a) Độ cong trắc địa Trong E3 cho đa tạp hai chiều định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n cung γ định hướng quy có tham số hóa    ρ: J  S, t  ρ(t) Hàm số t   (ρ'(t)×ρ''(t)).(n  ρ)(t) không phụ ρ'(t) thuộc vào tham số hóa chọn cung quy γ Thật vậy, với tham số hóa tương đương với ρ λ.ρ ( λ phép đổi tham số , λ' > ) ta có (ρ.λ)' = λ'(ρ.λ); (ρ.λ)" = λ'2 (ρ".λ)+λ"(ρ'.λ) nên       (ρ.λ)'×(ρ.λ)" (n  ρ  λ)=λ'3 (ρ'×ρ").(n  ρ) , từ suy điều phải chứng   minh Hàm số dọc cung định hướng quy γ gọi độ cong trắc địa cung γ , kí hiệu hàm số kg    k g (t)   (ρ'(t)×ρ''(t)).(n  ρ)(t) ρ'(t) 38  Chú ý đổi hướng cung γ ρ' đổi dấu, đổi hướng    mặt n đổi dấu, đổi hướng E3 tích có hướng ρ'×ρ'' đổi dấu, độ cong trắc địa đổi dấu Tại điểm không song quy ( điểm kì dị ) cung ρ'  ρ'' , k g (t)=0 Khi mặt S phận mặt phẳng E3 (có thể coi E2) Khi ρ', ρ'' nằm S Nếu cung ρ song quy ρ', ρ" không phương, ta chọn hướng S cho (ρ', ρ'',n) ba thuận Khi k g (t)=k(t) tức độ cong trắc địa độ cong đại số cung phẳng γ b) Đường tiền trắc địa đa tạp hai chiều S E3  Định nghĩa Trong E3 cho đa tạp hai chiều S định hướng Trên S, cung hay đường gọi đường tiền trắc địa S độ cong trắc địa điểm cung hay đường Ví dụ : cung thẳng S  E đường tiền trắc địa độ cong cung thẳng nên độ cong trắc địa  Tính chất Cung song quy ρ mặt phẳng định hướng S E3 tiền trắc địa vectơ pháp tuyến N ρ vectơ pháp tuyến đơn vị (n  ρ) định hướng S phương với 4.3.2 Cung trắc địa a) Định nghĩa Trong E3 cho đa tạp hai chiều S có hướng xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cung tham số ρ: J  S, t  ρ(t) gọi cung trắc địa ρ" phương với (n  ρ) 39 Chú ý : khái niệm cung trắc địa phụ thuộc vào cách tham số hóa cung b) Tính chất  Mỗi tham số hóa cung thẳng đa tạp hai chiều S thuộc E3 cung trắc địa  Mọi cung trắc địa ρ mặt S đường tiền trắc địa ρ'' = const Chứng minh Vì ρ cung trắc địa nên ρ'' n ( với n trường vectơ pháp tuyến đơn vị đa tạp hai chiều S) Do , kg=0 ρ đường tiền trắc địa Lại từ ρ"  n, ρ'  n  ρ'  ρ" ρ'.ρ"=0 nên (  '2 )'  suy ρ'(t) = const  ρ' = const  Mọi tham số hóa tự nhiên cung tiền trắc địa song quy cung trắc địa Chứng minh Cho cung song quy tiền trắc địa γ đa tạp định hướng S E3, giả sử ρ: s  ρ(s) tham số hóa tự nhiên ρ ρ"(s) = T'(s) = k(s).N(ρ(s)) với k(s) độ cong cung γ N(ρ(s)) trường vectơ pháp tuyến đơn vị γ Theo tính chất đường tiền trắc địa N(ρ(s))  (n  ρ)(s) , ρ"(s)  (n  ρ)(s) tức ρ: s  ρ(s) tham số hóa cung trắc địa c) Ví dụ Trong E3, cho mặt phẳng P định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n song song Các cung tham số quy trắc địa P cung thẳng 40 Mặt cầu S bán kính R>0, định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng Các cung quy S có tham số hóa tự nhiên cung trắc địa tất cung tròn lớn S ( cung tròn lớn nằm đường tròn lớn mặt cầu S) Mặt trụ tròn xoay bán kính R>0 trục quay Oz, định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Các cung quy có tham số hóa cung trắc địa có ảnh nằm vĩ tuyến, kinh tuyến cung đinh ốc tròn 4.4 Liên hệ đƣờng đặc biệt đa tạp hai chiều Trong E3, cho mặt S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n dọc theo S đường song quy ρ S Khi đó: a) ρ vừa đường khúc vừa đường tiệm cận S ρ nằm tiếp diện S dọc theo ρ b) ρ vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa S ρ nằm mặt phẳng trực giao với S dọc ρ c) ρ vừa đường tiệm cận vừa đường tiền trắc địa S ρ nằm đường thẳng Chứng minh Lấy tham số hóa tự nhiên ρ :J  S,s  ρ(s) a) Giả sử ρ đường khúc đường tiệm cận, h(ρ'(s))  ρ'(s)   =0 k(ρ'(s))=0 Theo công thức tính độ cong pháp dạng k(ρ'(s))  h(ρ'(s)).ρ'(s) = Điều kết hợp với h(ρ'(s))  ρ'(s) nên h(ρ'(s))=0 Từ (nρ)'(s) =  (n  ρ) = const lân cận điểm p=ρ(s) Theo công thức  = k(s).N(s).(n  ρ)(s) = Vì cung ρ cung song Meusnier ta có k(ρ'(s)) quy nên k(s)  N(s).(n  ρ)(s)=0  N(s)  (n  ρ)(s) 41 Ta lại có (n  ρ)(s)  T(s) , (n  ρ)(s) phương với B(s), hai vectơ trường vectơ đơn vị nên (n  ρ)(s) = ±B(s) hay B(s) trường vectơ song song B’(s)=0 với s hay  τ(s).N(s)=0  τ(s)=0 độ xoắn cung ρ cung phẳng thuộc vào tiếp diện S p Ngược lại, cung ρ nằm trêm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc ρ  (n  ρ)(s)=const  (n  ρ)'(s)=0  h(ρ'(s))=0 hay h(ρ'(s))  ρ'(s) k(ρ'(s))=0 Nói cách khác ρ vừa đường khúc vừa đường tiệm cận b) Giả sử ρ vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa, h(ρ'(s))  ρ'(s) kg(s)=0 Tương đương với (n  ρ)'  T(s) (T(s)×N(s))(n  ρ)(s)=0 suy B(s)  (n  ρ)(s) Lại có T(s)  (n  ρ)(s) Do (n  ρ)(s) phương với N(s)=B(s)×T(s) Vì n N hai vectơ đơn vị nên (n  ρ)(s)=N(s) (1) , (n  ρ)'(s)  T(s) nên N'(s)  T(s) hay (  k.T+ τB)(s)  T(s) , điều chứng tỏ τ=0 hay cung ρ cung phẳng Nếu gọi P mặt phẳng chứa ρ phương N(s) nằm phương mặt phẳng P, lại (1) nên (n  ρ)(s) nằm phương mặt phẳng P, mặt phẳng P trực giao với S dọc ρ Ngược lại, ρ nằm mặt phẳng trực giao với S dọc ρ ρ cung phẳng độ xoắn 0, hay τ=0 , (n  ρ)(s) nằm P nên (n  ρ)(s) phương với N(s ) Do chúng vectơ đơn vị nên ta có (n  ρ)(s) = ±N(s) , từ suy (n  ρ)(s).B(s) = Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức ta có (n  ρ)'(s).B(s)+(n  ρ)(s).B'(s) = Tương đương với (n  ρ)'(s).B(s)  (n  ρ)(s).τ(s).N(s)= Kết hợp với τ(s)=0  (n  ρ)'(s).B(s) = hay (n  ρ)'(s)  B(s) (*) 42 Mặt khác lại (n  ρ)(s) =1  (n  ρ)(s)(n  ρ)'(s)=0  (n  ρ)(s)  (n  ρ)'(s)  N(s)  (n  ρ)'(s) (**) Từ (*) (**) ta có (n  ρ)'(s)  T(s) hay (n  ρ)'(s)  ρ'(s) hay h(ρ'(s))  ρ'(s) nên ρ đường khúc Ta lại có độ cong trắc địa k g (s) = (T×N)(n  ρ)(s) = (do (n  ρ)(s)  N(s)) nên ρ đường tiền trắc địa c) Giả sử ρ vừa đường tiệm cận, vừa đường tiền trắc địa S  Khi k(ρ'(s))=0 k g (s)=0  h(ρ'(s)).ρ'(s) = (1) (T(s)×N(s))(n  ρ)(s)=0 (2) Từ (2) suy B(s)  (n  ρ)(s) , (n  ρ)(s) T(s), N(s) Khi tồn a,b * cho (n  ρ)(s) = a.T(s)+b.N(s) (n  ρ)'(s) = a.T'(s)+b.(  k(s).T(s)+τ(s).B(s)) = a.T'(s)  b.k(s).T(s)+b.τ(s).B(s) (3) Từ (1) suy (n  ρ)'(s)  T(s) Nhân hai vế (3) với T(s) ta có –b.k(s)=0 Do b  nên k(s) =0 Cung song quy E3 có độ cong cung thẳng Có thể nói ρ nằm đường thẳng Giới thiệu mặt kẻ mặt cực tiểu E3 5.1 Mặt kẻ 5.1.1 Định nghĩa Trong E3, xét cung quy γ xác định tham số hóa      ρ: J  E3 , u  ρ(u) ,hàm vectơ A : J  E , u  A(u) (A(u)  u  J) 43 Xét tập mở U   U={(u, v); u  J} với u  J tập {v  , (u, v)  U} khoảng   Mảnh E3 xác định r: U  E3 , r(u, v) = ρ(u)+v.A(u) gọi mảnh mặt kẻ E3 Cung ρ gọi đường chuẩn mặt kẻ Các đường tọa độ u = u0 (không đổi ) gọi đường thẳng sinh mặt kẻ 5.1.2 Ví dụ Mặt phẳng mặt kẻ    Mặt trụ mặt kẻ trường hợp coi A(u) = α  với u  J  Lúc này, mặt trụ có phương trình tham số r(u, v) = ρ(u)+ v.α , điểm kì dị   mảnh mặt trụ điểm r(u, v) mà ρ'(u) có phương α Mặt nón đỉnh O mảnh mặt kẻ trường hợp đường thẳng sinh   qua điểm O cố định, O  ρ(J) , lúc ta coi A(u) = Oρ(u) Mặt tiếp tuyến của cung ρ mặt kẻ đường thẳng sinh   tiếp tuyến đường chuẩn, hay A(u) = ρ'(u) , phương trình tham số  mặt tiếp tuyến r(u, v) = ρ(u)+v.ρ'(u) Các điểm (u, v) mà v =0 điểm kì dị mặt tiếp tuyến r Mặt đinh ốc đứng mặt kẻ có tham số hóa hệ tọa độ trực chuẩn E3 r: R  E3 , (u,v)  (v.cosu, v.sin u, bu) (b  0) Các đường tọa độ v=v0 v0  đường đinh ốc tròn mặt đinh ốc đứng 5.1.3 Đường thắt mặt kẻ a) Định nghĩa 44 Trong E3, cho mặt kẻ có phương trình tham số   r: U  E , r(u, v) = ρ(u)+v.A(u) A  Khi đó, cung    ρ'(u).A'(u) β(u) = ρ(u)  φ(u).A(u) φ(u) =  gọi đường thắt A (u) mặt kẻ Mỗi điểm β gọi điểm trung tâm mặt kẻ b) Tính chất + Đường thắt β nằm mặt kẻ       + β'.A' = (u) Thật : ta có β'(u)=ρ'(u)  φ'(u).A(u)  φ(u).A'(u)              ρ'.A' β'.A' = ρ'.A'  φ'.A.A'  φ.A'.A'  A.A'=0 φ(u) = 2 A +Đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn +Các điểm kì dị mặt kẻ nằm đường thắt +Tại điểm quy, độ cong Gauss K  p   Độ cong Gauss K(p)=0 dọc theo đường sinh qua điểm kì dị đường thắt 5.1.4 Mặt khả triển Trong E3, cho mặt kẻ có phương trình tham số  r: U  E , r(u, v) = ρ(u)+v.A(u) Mặt kẻ gọi mặt khả triển    det (A, A', ρ') = nói cách khác mặt kẻ mặt khả triển tiếp diện mặt điểm đường thẳng sinh tùy ý S luôn trùng Tại điểm quy mặt khả triển độ cong Gauss K(p)=0, điều điểm quy trường vectơ pháp tuyến nên ánh xạ Weingarten điểm quy 0, K(p)=0 5.2 Mặt cực tiểu 5.2.1 Định nghĩa 45 Trong E3, cho đa tạp hai chiều định hướng (mặt ) S Mặt S gọi mặt cực tiểu độ cong trung bình điểm 5.2.2 Ví dụ a) Mặt cực tiểu Enneper Trong E3 với hệ tọa độ Đề vuông góc, mặt cực tiểu Enneper có phương trình tham số :   u3 v3 r(u,v) =  u  + uv ; v  + u v; u  v  3    Theo ta tính đại lượng ru' (u,v)=(1  u + v ; 2uv; 2u)  rv' (u,v) = ( 2uv,  v +u ;  2v) , hai vectơ độc lập tuyến tính với (u,v) Định hướng mặt trường vectơ pháp tuyến đơn vị    ru' ×rv' n =   Từ ta tính hệ số dạng I II ru' ×rv'  E = (u +v2 +1)2 ; F = 0; G = E ruu" (u, v) = (  2u, 2v, 2) ,   ruv" (u, v) = (2v, 2u, 0) , rvv" (u, v) = (2u,  2v,  2) từ ta có 4(u +v )(u +v +1)+2.(1  (u +v ) ) L= , ms M = 0, N  L với ms= (u +v2 +1)2 (4u +4v2 )+[1  (u +v2 )2 ]2 Như tính độ cong trung bình H(p) với p = r(u,v) S dựa vào công thức H(p) = EN+GL  2.FM ( u, v) = (EG  F2 ) b) Mặt cực tiểu Scherk Trong E3, chọn hệ tọa độ Đề vuông góc Oxyz, mặt xác định phương trình ẩn ez cosx = cosy (cosx.cosy>0) mặt cực tiểu Scherk 46 Chứng minh Trên tập cosx.cosy>0 mặt xác định phương trình ẩn đa tạp hai chiều Thật vậy, đặt φ(x,y,z) = ez cosx  cosy Khi xét  φ φ φ  z z  x ; y ; z   (e sinx; sin y; e cos x) Do điều kiện cosx cosy >0 nên    φ φ φ  với (x, y, z) thuộc tập rank  ; ;  =1 Như vậy,  x y z  điểm (x, y, z)  x, y, z  {(x, y,x)| cosx.cosy>0} có lân cận mảnh hình học Do S đa tạp hai chiều E3 Đa tạp hai chiều có độ cong trung bình điểm Thật vậy, tập {(x, y, x)| cosx.cosy>0} từ ez cosx  cosy=0 ta suy e z = z xác định z = ln cosy hay cosx cosy Khi mặt nhận tham số hóa kiểu đồ thị cosx  cosy cosy ) Khi r(x,y) = (x, y, ln ) cosx cosx   ' rx (x, y) = (1; 0; tanx) ry' (x, y) = (0; 1;  tany) Trường vectơ pháp tuyến r(x, y) = (x, y, ln đơn vị định hướng mặt Scherk sau :    rx' ×ry' (n  r)(x, y)=    ( t anx; tan y; 1) 2 ' '  tan x  tan y rx ×ry Ta tính    rxx'' (x,y) = (0;0;1+tan x), ryy'' (x, y) = (0;0;0) ,rxy'' (x, y)= (0;0;  (1+tan y)) Từ tính hệ số dạng I II sau : E= 1+ tan x, F=  tanx.tany, G=1+ tan y 47 L= 1+tan x 1+tan x+tan y , M= 0, N= (1+tan y) 1+tan x+tan y Từ dễ dàng kiểm chứng độ cong trung bình mặt S điểm 48 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày ứng dụng ánh xạ Gauss việc nghiên cứu độ cong địa phương đa tạp hai chiều E3, tìm hiểu mối liên hệ độ cong địa phương đường đặc biệt đa tạp hai chiều E3 Đây cố gắng tìm hiểu thân em dựa việc tìm hiểu số sách tham khảo Đặc biệt, hoàn thành khóa luận này, em hướng dẫn tận tình thầy giáo- phó giáo sư- tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm Em xin chân thành cảm ơn ! 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Bình Đô (2010), Hình Học Vi Phân, NXB Đại học Sư Phạm [2] Đoàn Quỳnh (2000), Hình Học Vi Phân, NXB GD, Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB GD 50 [...]... vô số lần Sau đây, chúng ta đi tìm hiểu một ứng dụng của ánh xạ Gauss, đó là ánh xạ tiếp xúc của nó Ánh xạ này chính là ánh xạ đạo hàm của ánh xạ Gauss trong lân cận của một điểm trên đa tạp hai chiều, đây chính là đặc trưng cho tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm trên đa tạp hai chiều trong E3 2 Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa 12 Trong E3, cho đa tạp... hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss của S là g Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss là ánh xạ Tpg : TpS  Tg(p)S2 , được định nghĩa theo quy tắc sau: mỗi phương α  TpS , chọn cung tham số ρ:J  S, t  ρ(t) sao cho  ρ(t 0 ) = p; ρ'(t 0 ) = α Khi đó Tp g(α) = (g  ρ)'(t 0 ) = ((g  ρ)(t 0 ); (g  ρ)'(t 0 )) Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ Gauss thì n(p)=g(p) tương đương ... kết hợp với (1) và (2), ta suy ra rằng (n  ρ)'(t 0 ) = (n  γ)'(t 0 ) Như vậy ta khẳng định quy tắc xác định ở trên là ánh xạ Nếu đặt Dα n = (n  ρ)'(t 0 ) và h p (α) =  Dα n =  Tp g(α) thì gọi ánh xạ hp này là ánh xạ Weingarten 2.2 Tính chất cơ bản Trong E3, cho đa tạp hai chiều S định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Tại p  S , ánh xạ Weingarten của S tại p là hp Ánh xạ hp là tự đồng... thì hàm z(u)  th u là hàm tăng nghiêm a ngặt và có giá trị trong khoảng (-1, 1) và không có giá trị hữu hạn nào của u để z(u)=1, z(u)  1 Như vậy, ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss là mặt cầu S2 không kể hai điểm cực (0, 0, 1) và (0, 0, -1) 1.2.5 Tìm ảnh của mặt đinh ốc ứng trong E3 qua ánh xạ Gauss Trong hệ tọa độ trực chuẩn đã chọn, cho mặt đinh ốc ứng tham số hóa địa phương là (u,v)  r(u,v)... thì + 2p 2q f x' (x, y) = x , p f y' (x, y) = y 1 1 và f xx'' (x, y) = , f xy'' (x, y) = 0,f yy'' (x, y) = Áp q p q dụng kết quả ta có độ cong Gauss tại mỗi điểm p= r( x, y) là : 24 K  r(x, y) = 1  x 2 y2  pq 1+ 2 + 2   q p  2 3.7 Định lí Khi đó nếu f là ánh xạ Gauss từ mặt liên thông S1 vào mặt cầu đơn vị S2 thì f là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi S1 nằm trên mặt cầu hay một mặt cực tiểu (mặt... (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) (4) Kết hợp (1), (2), (3), (4) và điều kiện r khả vi đến cấp cần thiết ta có h p (ru' ).rv' = ru' h p (rv' ) Với α, β  TpS thì đều biểu diễn được qua cơ sở {ru' (u 0 , v0 ); rv' (u 0 , v0 )} , dễ dàng kiểm chứng tính chất đối xứng của hp 3 Ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ Gauss và vấn đề độ cong địa phƣơng của đa tạp hai chiều trong E3 Trong E3, cho đa tạp... bằng 0) Chứng minh Trong E3 cho hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, với O là tâm mặt cầu S2 Vì f : S1  S2 là ánh xạ Gauss nên với p  S1 thì f(p)  S2 thỏa mãn     Of (p) = n(p) Khi đó ta đã chỉ ra có thể đồng nhất TpS1 và Tf(p)S2 Ta có với     mọi α  TpS1 thì Tpf (α) = Dα n Do vậy, Tpf =  h p Ta đã chứng minh được ánh xạ Weingarten là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của... theo ánh xạ Gauss, g(p)=n(p) và trong hệ tọa độ đã chọn giả sử g(p)= x , y,z đó thì z  0 với mọi x, y tức là ảnh của mặt S được xác định bởi nửa mặt cầu đơn vị có tọa độ z > 0 1.2.4 Tìm ảnh của mặt Catenoid qua ánh xạ Gauss Trong hệ tọa độ đã chọn của E3, giả sử tham số hóa địa phương của S là u u (u,v)  r(u,v)  (a.ch cosv, a.ch sinv, u) a a  u u Theo đó r(u,v)  (a.ch cosv, a.ch sinv, u) và a... cong Gauss và độ cong trung bình của mặt xuyến là LN  M2 cosu K(p) = (u, v)  2 EG  F b.(a+b.cosu) H(p) = EN+GL  2FM (a+2b.cosu)  (EG  F2 ) b.(a+b.cosu) π 3π Từ đây dễ dàng nhận thấy rằng các điểm ứng với đường tròn u= , u= có 2 2 độ cong Gauss bằng 0, các điểm tương ứng với miền π 3π < u< có độ cong 2 2 Gauss nhỏ hơn 0, các điểm tương ứng với miền 0 < u < π hoặc miền 2 3π < u < 2π có độ cong Gauss. .. TpS1 thì Tpf (α) = Dα n Do vậy, Tpf =  h p Ta đã chứng minh được ánh xạ Weingarten là tự đồng cấu tuyến tính đối xứng của không gian hai  chiều TpS Nếu ánh xạ f là ánh xạ bảo giác thì Tp f là ánh xạ tuyến tính đồng dạng, tức hp là ánh xạ tuyến tính đồng dạng Nếu đồng dạng này có hệ số đồng dạng là λ (λ  0) thì mọi giá trị riêng của nó là λ hoặc  λ Vậy hai độ cong chính của S1 tại mọi p hoặc ... hướng 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều En Chương ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Ánh xạ Gauss 1.1 Định nghĩa 1.2 Ảnh số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định... 2  a +u  uo mặt đinh ốc ứng mặt cầu S2 không kể hai điểm cực lấy vô số lần Sau đây, tìm hiểu ứng dụng ánh xạ Gauss, ánh xạ tiếp xúc Ánh xạ ánh xạ đạo hàm ánh xạ Gauss lân cận điểm đa tạp hai... chiều E3 Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa 12 Trong E3, cho đa tạp hai chiều S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss S g Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss ánh xạ Tpg