Cong pháp dạng và công thức Ơle, công thức Meusnier

3.8.1 Độ cong pháp dạng của đa tạp hai chiều trong E3

Trong E3 cho đa tạp hai chiều S có hướng. Tại pS, lấy α T S, p α 0 . Số k(α)= II(α)

I(α) được gọi là độ cong pháp dạng của S tại p theo phương α.

Vì với λ.α (λ 0) thì  II(λα) h (λα).λαp h (α).αp II(α)

k(λα)= = = =

I(λα) λα.λα α.α I(α) nên ta nói rằng k(α) là độ cong pháp dạng theo phương xác định bởi α.

3.8.2 Công thức Meusnier

Trong E3, cho đa tạp hai chiều định hướng được S. Trên S, cho cung song chính quy  có tham số hóa tự nhiên là ρ:JS,sρ(s). Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc theo ρ, k(s) là độ cong của cung  , N là trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị của  thì T(s) = ρ'(s), k(s)= T'(s)

'

T (s) = k(s).N(s) .

Do ρ'(s) T S p nên ρ'(s).(n ρ)(s)=0 hay T'(s).(n ρ)(s)=0 . Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức này theo s ta có T'(s).(n ρ)(s)+T(s)(n ρ)'(s)= 0  , từ đây suy ra

T'(s).(n ρ)(s)= T(s)(n ρ)'(s) T'(s).(n ρ)(s)= T(s).h(T)= II(T)

Lại có I(T) = 1. Từ đó k(T(s))=T'(s).(n ρ)(s)  . Nếu T=0 thì k(Τ(s))=0 . Nếu T0 thì từ T'(s) = k(s).N(s) ta có k(T(s))=k(s).N(s).(n ρ)(s)  từ đó



0 0 0 0

k(ρ'(s ))=k(s ).N(s ).(n ρ)(s ) . Công thức này gọi là công thức Meusnier. Nhận xét rằng nếu gọi θ là góc giữa N và n thì N.n = cos θ . Do đó từ công thức Meusnier ta có k(ρ'(s )) = k(s ).cosθ 0 0 . Nếu γ có ảnh là giao tuyến của S với mặt phẳng P đi qua p và chứa n tại p thì N n , do đó θ = 0,θ = π. Từ đó suy ra cosθ = ±1 và k(ρ'(s )) 0  k(s )0 . Khi này độ cong pháp dạng



0

k(ρ'(s )) còn được gọi là độ cong tiết diện theo mặt phẳng tiết diện P. 3.8.3 Công thức Euler

Trong E3 với đa tạp hai chiều định hướng S, tại pS, mỗi vectơ riêng e của hp, ta có 

p

phương chính e là k(e)= II(e)=k.e.e =k

I(e) e.e . Từ đó nếu lấy một cơ sở trực chuẩn (e1, e2) của TpS gồm những vectơ riêng là những phương chính của S tại p thì

   

1 1 2 2

k(e )=k , k(e )=k là những độ cong chính của S tại p. Với phương α T S p và α = cosφ.e + sinφ.e thì 1 2



p

k(α) = II(α) = h (α).α =  

1 1 2 2 1 2

= (k .e .cosφ+k e .sinφ).(e .cosφ+e .sinφ) cùng với điều kiện e1, e2 trực chuẩn ta có   2  2

1 2

k(α) = k .cos φ + k .sin φ. Công thức này được gọi là công thức Euler.

Từ công thức Euler chứng tỏ rằng các độ cong chính của S tại p chính là các cực trị của độ cong pháp dạng k(α) khi α thay đổi trong TpS \ {0}. Nếu các độ cong chính của S là k , k 1 2 cùng dấu thì độ cong pháp dạng



k(α)cũng có dấu đó với mọi α T S \ {0} p , nếu các độ cong chính k , k 1 2 trái dấu thì tồn tại α T S \ {0} p để k(α)=0 .

3.8.4 Liên hệ giữa độ cong trung bình và độ cong pháp dạng

a) Trong E3, cho đa tạp hai chiều định hướng được S bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n. H(p) là độ cong trung bình của S tại điểm p thuộc nó. Hai phương {α, β} T S p là cơ sở trực chuẩn của TpS.

Khi đó H(p) = k(α)+k(β)  . Chứng minh

Gọi {α, β} T S p là một cơ sở trực chuẩn của TpS, hệ {e1, e2} cũng là hệ tọa độ trực chuẩn của TpS là các phương chính của S tại p. Khi đó

  

1 1 1 1 1 1

k(e ) = II(e ) = k .e .e =k , tương tự với k(e ) = k 2 2.

1 2 1 2

π π

α = cosφ.e +sinφ.e ; β = cos(φ ).e +sin(φ+ ).e

2 2

 Khi đó k(α) = k(cosφ.e +sinφ.e )  1 2

 

p 1 2 1 2

2 2

1 2

= h (cosφ.e +sinφ.e ).(cosφ.e +sinφ.e ) = k .cos φ+k .sin φ Tương tự ta có   2  2 1 2 k(β) = k .cos φ+k .sin φ Khi đó ta có k(α)+k(β) = k +k   1 2

Như vậy, k(α)+k(β) = k +k =2.H(p)   1 2 suy ra điều phải chứng minh.

b) Cho đa tạp hai chiều S được định hướng có các độ cong chính và độ cong trung bình tại pS lần lượt là  

1 2

k , k và H(p). Khi có m vectơ thuộc TpS là α ,α ,...,α mà phép quay góc 1 2 m 2π

m (trong TpS có hướng ) biến α thành i i+1 α (i=1, 2,…,m-1) và α biến thành m α thì 0    1 2 m 1 H(p) = (k(α )+k(α )+...+k(α )) m . Chứng minh

Tương tự như trên nếu lấy (e1,e2) là cơ sở trực chuẩn của TpS gồm những vectơ riêng của hp thì    

1 1 2 2

k(e )=k , k(e )=k là các độ cong chính của S tại p, khi đó thì theo công thức tính độ cong trung bình thì k +k 1 2

H(p) =

2 . Gọi φ là góc giữa e1 và vectơ đơn vị α T S p thì   2  2

1 2

Gọi φ là góc giữa ei và i α thì i m  m  2  2 i 1 i 2 i i=1 i=1 k(α ) = (k .cos φ +k .sin φ )   . Giả sử   1 2 k > k thì đẳng thức này có thể viết thành     m m 2 i 1 2 i 2 i=1 i=1 k(α ) = (k k ) cos φ +m.k   . Đặt φ = i 2π = x m thì φ = 2x,2 φ = 3x, 3 m

..,φ = mx . Do đó đặt P = cos x + cos 2x +...+ cos mx2 2 2 thì 2Pcos2x 1 cos4x 1+...+cos2mx 1    tức là

(2Pm).2sinx= 2.cos2x.sinx+ 2.cos4x.sinx +...+ 2.cos2mx.sinx= =sin3xsinx + sin5xsin3x +...+ sin(2m+1)xsin(2m-1)x=

sinx+ sin (2m+1)x   . Nhưng x = 2π m nên (2m+1)x = 4π + x. Do đó (2Pm).2sinx = 0 tức là P = m 2 . Vậy:       m i 1 2 2 1 2 i=1 m m k(α ) = (k k ). + mk = (k +k )= m.H(p) 2 2 

 . Từ đây suy ra điều phải

chứng minh. 3.8.5 Ví dụ

Trong E3, cho mặt S được định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, điểm pS, mặt phẳng α đi qua p và không phải là tiếp diện của S tại p. Chứng minh rằng mọi cung song chính quy trên S đi qua p, có tiếp tuyến chung l tại p, nhận α làm mặt phẳng mật tiếp tại p đều có độ cong bằng nhau tại p.

Chứng minh

Giả sử ρ là một cung nói trong giả thiết có tham số hóa tự nhiên là ρ:sρ(s) và p = ρ(s ) . Gọi v là một vectơ tiếp xúc của l, khi đó áp dụng 0 công thức Meusnier: k(v) = k(ρ'(s )) = k(s ).N(s ).n(p)  0 0 0 . Ta có N(s ) α0  . Vì

α không tiếp xúc với S tại p nên N(s0) không vuông góc với n(p). Do đó 0 0 N(s ).n(s )0. Suy ra  0 0 0 0 k(v) k(s )= k(s ) = =const N(s ).n(s ) . 4. Một số đƣờng đặc biệt trên mặt 4.1 Đƣờng chính khúc 4.1.1 Định nghĩa

Cho mặt định hướng S trong E3. Một đường γ trên S được gọi là đường chính khúc nếu phương tiếp tuyến tại mọi điểm của γ đều là phương chính của S.

4.1.2 Tính chất

Trong E3 cho đa tạp hai chiều S định hướng được

a) Nếu mọi điểm trên S đều là điểm rốn thì mọi đường trên S là đường chính khúc (vì mọi phương tiếp xúc tại mọi điểm của S đều là phương chính của S).

b) Nếu cho S tham số hóa địa phương tương thích với trường vectơ pháp tuyến đơn vị n của S là r: US, lúc này

' 'u v u v ' ' u v r ×r (n r)(u, v) = (u, v) r ×r  .

Nếu có hệ số F của dạng cơ bản I của S tại mọi điểm trên S bằng 0 thì các đường tọa độ của S là đường chính khúc của S khi và chỉ khi hệ số M của dạng cơ bản II bằng 0.

Chứng minh Điều kiện cần

Giả sử trên S, các đường tọa độ u = u0, v = v0 là các đường chính khúc. Vectơ chỉ phương tiếp tuyến của các đường tọa độ đó tương ứng là ' '

v u r , r . Theo định nghĩa các đường chính khúc thì ' '

u v

r , r chỉ hai phương chính tại p= r(u, v) thuộc S. Đặt ánh xạ Weingarten tại p là hp, khi đó

 

' ' ' '

p u 1 u p v 2 v

h (r ) = k .r , h (r ) = k .r với  

1 2

k , k là độ cong chính của S tại p. Kết hợp với giả thiết ' '

u v F = r .r 0từ đây suy ra  ' ' 1 u v k .r .r = 0 hay h (r ).r = 0 tức là p u' v' M=0 với mọi pS. Điều kiện đủ

Giả sử trên đa tạp hai chiều S ở trên có F = 0 và M=0. Cần chứng minh u=u0, v=v0 là các đường chính khúc của S. Tại mọi điểm p = r (u, v) của S ta có F = r .r = 0, M = h (r ).r . Từ đây suy ra u' v' p u' v' ru' rv' và h (r )p u' rv' . Lại có ba vectơ ' ' '