Sự hội tụ của dãy lặp ba bước đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị

Bài viết Sự hội tụ của dãy lặp ba bước đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị giới thiệu một dãy lặp ba bước mới cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach với đồ thị. Tiếp theo đó, chúng tôi chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ của dãy lặp này đến điểm bất động chung của ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.

110 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP BA BƯỚC ĐẾN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA BA ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ CONVERGENCE OF A THREE-STEP ITERATION PROCESS TO COMMON FIXED POINTS OF THREE ASYMPTOTICALLY G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN BANACH SPACES WITH GRAPHS Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú Trường Đại học Đồng Tháp; ngtrunghieu@dthu.edu.vn, caophamcamtu98@gmail.com Tóm tắt - Trong báo này, chúng tơi giới thiệu dãy lặp ba bước cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị Tiếp theo đó, chúng tơi ch ứng minh số kết hội tụ yếu hội tụ dãy lặp đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Các kết mở rộng số kết tài liệu tham khảo [1, 2] Đồng thời, chúng tơi đưa ví dụ để minh họa cho hội tụ dãy giới thiệu chứng tỏ dãy lặp giới thiệu hội tụ đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh dãy lặp nghiên cứu báo [1, 2] Abstract - In this paper, we introduce a new three step iteration scheme for three asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs We also prove some weak convergence and strong convergence results to common fixed points of three asymptotically G-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces with graphs These results are the extensions of some results in existing results in the literature [1, 2] In addition, we give an example to illustrate the convergence of the introduced iteration process and also show that the convergence of the introduced iteration process to common fixed points of three asymptotically Gnonexpansive mappings is faster than the iteration processes in [1, 2] Từ khóa - ánh xạ G-khơng giãn tiệm cận; điểm bất động chung; không gian Banach với đồ thị Key words - asymptotically G-nonexpansive mapping; common fixed point; Banach spaces with graph Giới thiệu thiết lập Đến đây, vấn đề tự nhiên đặt tiếp tục xây dựng dãy lặp hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp có Do đó, báo này, từ dãy lặp (1.1), nhóm tác giả đề xuất dãy lặp ba bước cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận chứng minh số kết hội tụ dãy lặp đề xuất đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Ánh xạ không giãn tiệm cận Goebel Kirk giới thiệu năm 1972 mở rộng ánh xạ không giãn Lớp ánh xạ không giãn tiệm cận nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo hướng thiết lập điều kiện tồn điểm bất động chứng minh hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động Bên cạnh đó, số tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn tiệm cận theo nhiều cách tiếp cận khác Năm 2018, sử dụng ý tưởng trình bày Jachymski báo [3] kết hợp lí thuyết điểm bất động lí thuyết đồ thị, Sangago cộng [4] giới thiệu lớp ánh xạ Gkhông giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị, đồng thời số tính chất điểm bất động kết hội tụ cho lớp ánh xạ thiết lập Kể từ đó, việc thiết lập hội tụ dãy lặp khác đến điểm bất động chung ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị số tác giả quan tâm Năm 2018, sử dụng dãy lặp Ishikawa, Wattanataweekul [1] giới thiệu dãy lặp hai bước chứng minh hội tụ dãy lặp đến điểm bất động chung hai ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị Năm 2019, sử dụng ý tưởng dãy SP-lặp, Wattanataweekul [2] giới thiệu dãy lặp ba bước cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận sau: wn u1 với n C , un cn )un cn H un bnS nwn (1 (1 , {an },{bn },{cn } an )vn anT nvn Cho C tập khác rỗng không gian Banach thực X Kí hiệu G (V (G), E(G)) đồ thị định hướng với V (G ) tập hợp đỉnh đồ thị G cho V (G ) trùng với C, E(G ) tập hợp cạnh đồ thị G mà (u, u) E(G ) với u C G khơng có cạnh song song Định nghĩa 2.1 [5, Definition 4] Cho G (V (G), E(G)) đồ thị định hướng Khi đó, G gọi có tính bắc cầu với u, v, w V (G ) cho (u, v),(v, w) E(G) (u, w) (1.1) [0,1], C tập lồi không gian Banach X H ,T , S : C C ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận, đồng thời số kết hội tụ dãy lặp (1.1) E(G ) Định nghĩa 2.2 [4, Definition 3.1] Cho X không gian Banach thực C tập khác rỗng X, G (V (G),E(G)) đồ thị định hướng cho V (G) C Khi đó, ánh xạ T :C n (1 bn )wn Một số khái niệm kết sử dụng báo C gọi G-không giãn tiệm cận nếu: (1) T bảo toàn cạnh G, tức với (u, v) E(G ) ta có (Tu,Tv) E(G) (2) Tồn dãy { n }, || T nu T nv || n || u v || n với lim n n với (u,v) E(G) n cho ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 5.1, 2020 Định nghĩa 2.3 [4, Definition 1.3] Cho X không gian định chuẩn, C tập khác rỗng X, G (V (G), E(G)) đồ thị định hướng cho V (G) C Khi đó, C gọi có tính chất G với {un } dãy C cho (un , un 1) * E(G) với n {un } hội tụ yếu đến u C tồn dãy {un(k )} {un } cho (un(k ), u) E(G ) * với k Định nghĩa 2.4 [5, Definition 6] Cho X không gian Banach Khi X gọi thỏa mãn điều kiện Opial với {un } dãy X {un } hội tụ yếu đến u ta có lim sup || un u || lim sup|| un n n v || với v X, u v { n} ( cho n 1) n , {un } dãy hội tụ đến u E(G) lim || Tun (un , un 1) n un || Khi Tu C, (2) {un } dãy X cho nlim || un v || tồn với u, v u || X (3) {un(k )} {vn(k )} dãy {un } cho {un(k )} hội tụ yếu đến u, {vn(k )} hội tụ yếu đến v Khi u v Định nghĩa 2.7 [3, Definition 2.3] Cho ánh xạ T : X X Khi T gọi G-liên tục {un } dãy C với (un , un 1) E(G) lim || Tun n Bổ đề 2.11 [8, Lemma 2.4] Cho X không gian Banach lồi r Khi đó, tồn hàm lồi, tăng ngặt liên tục :[0, ) [0, ) cho (0) t )v ||2 (1 Định nghĩa 2.9 [6, Definition 3.1] Cho X không gian vectơ G (V (G), E(G)) đồ thị định hướng cho E(G ) X X Khi E (G ) gọi lồi theo tọa độ (1 t )(p, v) E(G) t(u, p) (1 t )(v, p) E(G ) Từ Định nghĩa 2.9 ta nhận thấy, E(G ) tập lồi E (G ) tập lồi theo tọa độ Đồng thời, [6], tác t ) || v ||2 (1 {u t(1 t ) (|| u v ||) X : || u || r } Bổ đề 2.12 [9, Lemma 1] Cho {an },{bn } { n } dãy số thực không âm thỏa mãn an n (1 n n n )an bn n Khi lim an tồn bn n Kết Trong mục này, ta ln xét G (V (G), E(G)) đồ thị định hướng, có tính chất bắc cầu với V (G ) C , E(G ) tập lồi theo tọa độ giả sử T , S , H : C C ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận với ba dãy hệ số tiệm cận { n },{ n },{ n } cho F(T ) F(S ) F (H ) , tập điểm bất động ba ánh F (T ), F (S ), F (H ) xạ T , S , H Đặt n max { n , n , n } Giả sử ( n 1) Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.1), nhóm tác giả giới thiệu dãy lặp {un } cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach với đồ thị sau: wn u1 n C , un cn H nun (1 cn )un (1 bn )H wn n (1 an )S bnS nwn n * (3.1) anT nvn , đó, {an },{bn },{cn } [0,1] Trước hết, nhóm tác giả chứng minh số tính chất dãy lặp (3.1) Mệnh đề 3.1 Giả sử (1) X không gian định chuẩn (2) C tập lồi, khác rỗng X (3) Với p F (T ) F (S ) F (H ), {un } dãy xác định (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ) Khi với n với (p, u),(p, v),(u, p),(v, p) E(G) t [0,1] t(p, u) t || u ||2 với t [0,1] u, v Br Tu Lưu ý rằng, kết [1, 2], tác giả xét đồ thị G (V (G), E(G)) cho (u, u) E(G ) với u C E(G ) tập lồi, tức t(x, y) (1 t )(u, v) E(G ) với (x, y),(u, v) E(G ) t [0,1] Tuy nhiên, tập E (G ) ([1], Example 4.5]) ([2], Example 4.5]) không thỏa mãn điều kiện (u, u) E(G ) với u C C k n Mệnh đề 2.8 [1, Proposition 3.2] Giả sử (1) X không gian Banach với đồ thị định hướng G, C có tính chất G (2) T : C C ánh xạ G-không giãn tiệm cận Khi T G-liên tục Khi un || tồn dãy {un(k )} {un } cho {un(k )} hội tụ đến q X cho un hội tụ đến u (un , un 1) E(G) Tun C T gọi G-nửa compact với {un } dãy với (1) X không gian Banach thỏa mãn điều kiện Opial lim || un Định nghĩa 2.10 [7, tr.534] Cho ánh xạ T : C u Bổ đề 2.6 [5, Lemma 3] Giả sử n giả tồn tập E(G ) lồi theo tọa độ khơng tập lồi (xem Ví dụ 3.5 Mục 3) || tu Bổ đề 2.5 [4, Definition 1.4] Cho X không gian Banach, C tập khác rỗng X, C có tính chất G, T : C C ánh xạ G-không giãn tiệm cận với dãy hệ số 111 * , ta có (un , p),(vn , p),(wn , p),(p, un ),  (p, ), (p, wn ),(vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G) Chứng minh Bằng phương pháp quy nạp ta chứng * minh (un , p) E (G ) với n (3.2) 112 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú Theo giả thiết, ta có (u1, p) E (G ) Suy (3.2) với n Giả sử (3.2) với n k 1, tức (uk , p) E (G ) Ta cần chứng minh (uk 1, p) E(G) (3) Với p F (T ) F (S ) F (H ), {un } dãy xác định (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ), lim inf an n lim inf cn (1) lim || un (3.3) (3) nlim || S nwn H nwn || Do (uk , p),(H kuk , p) E(G) E(G ) lồi theo tọa độ nên từ (3.3), ta có (wk , p) E (G ) Kết hợp H k , S k bảo toàn cạnh (4) nlim || H nun un || ckH kuk , p) ck (H kuk , p) (1 ck )(uk , p) với (wk , p) E (G ), ta (H kwk , p), (S kwk , p) E(G) Ta có ((1 bk )H kwk (vk , p) bkS kwk , p) (1 bk )(H kwk , p) bk (S kwk , p) (uk 1, p) ((1 ak )S kvk akT kvk , p) (1 ak )(S kvk , p) ak (T kvk , p) un || lim || Sun n n * H n (un , p),(vn , p),(wn , p), (vn , un ),(wn , un ), (un , un 1) E(G) (H nun , p) với u C Khi un , , wn p ||2 ||(1 cn )(un || wn (1 cn ) || un ((1 cn )un ta n cnH un , p) cn (H un , p) (3.6) Kết hợp (3.6) với (un , p),(H nun , p) E(G) E(G ) lồi theo tọa độ, ta có (wn , p) E (G ) với n * Do H n , S n bảo toàn n n p ||2 (1 cn ) || un || wn [1 cn ( n 1)]|| un ((1 bn )H wn p ||2 || (1 bn )(H wn , p) bn (S nwn , p) p ||2 cn || H nun p ||2 cn E (G ) với n n * n Do (vn , p),(p, un ),(wn , p),(p, un ),(un , p),(p, un 1) E(G) (vn , un ),(wn , un ),(un , un 1) E(G) với n * p ||2 bn Mệnh đề 3.2 Giả sử (1) X không gian Banach lồi (2) C tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X n p ||2 || un un ||) (3.9) || wn [1 cn ( p ||2 n || wn p ||2 bn (1 bn ) (|| S nwn n 1)]|| un bn (1 bn ) (|| S nwn p ||2 H nwn ||) H nwn ||) p ||2 cn n2(1 cn ) (|| H nun G có tính chất bắc cầu nên (3.8) H nwn ||) bn (1 bn ) (|| S nwn Lập luận tương tự trên, ta chứng minh (p, un ),(p, ),(p, wn ) un ||) p ||2 bn || S nwn (1 bn ) n2 || wn (3.7) * p ||2 un ||) bn (1 bn ) (|| S nwn Khi đó, từ (3.7), (H nwn , p),(S nwn , p) E(G) E(G ) lồi theo tọa độ, ta suy (vn , p) E (G ) với n p) ||2 p ||2 cn (1 cn ) (|| H nun (1 bn ) || H nwn n bnS wn , p) n r } Lập luận tương tự trên, theo Bổ đề 2.11 H , S ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (3.9), ta có cạnh (wn , p) E (G ) nên (H wn , p), (S wn , p) E(G) Ta có: n C : || u || Do S G-không giãn tiệm cận nên từ (3.8) ta có Tiếp theo, sử dụng kết n {u p) cn (H nun cn (1 cn ) (|| H nun (1 cn )(un , p) (vn , p) Br cn (1 cn ) (|| H nun E(G) Ta có: (wn , p) cho || u || r Vì C tập bị chặn nên tồn r (3.5) bảo toàn cạnh (un , p) E (G ), un || n Chứng minh (1) Với p F (T ) F (S ) F (H ), theo Mệnh đề 3.1, ta có Vì (S kvk , p),(T kvk , p) E(G) E(G ) lồi theo tọa độ nên từ (3.5), ta có (uk 1, p) E(G) Do đó, theo ngun lí quy nạp, ta có (un , p) E (G ) với n un || lim || Hun Do đó, theo Bổ đề 2.11, tồn hàm lồi, tăng ngặt, liên tục : [0, ) [0, ) cho (0) bảo toàn cạnh, ta (S vk , p), (T vk , p) E(G) Ta có k k (5) lim || Tun (3.4) Khi đó, từ (3.4), (H kwk , p),(S kwk , p) E(G) E(G ) lồi theo tọa độ, ta có (vk , p) E (G ) Kết hợp điều với S k ,T k p || tồn n S nvn || ((1 ck )uk n n (2) nlim || T nvn (wk , p) lim sup bn n Khi Kết hợp H k bảo toàn cạnh (uk , p) E (G ), ta (H kuk , p) E(G) Ta lại có lim inf bn 1, n lim sup cn n Vì T , S , H bảo tồn cạnh nên T k , S k , H k bảo toàn cạnh lim sup an un ||) H nwn ||) (3.10) Tương tự, theo Bổ đề 2.11 S ,T ánh xạ G-không giãn tiệm cận, kết hợp với (3.10), với lưu ý n 1, ta có || un p ||2 (1 an ) || S nvn p ||2 an (1 an ) (|| T nvn an || T nvn S nvn ||) p ||2 ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 5.1, 2020 (1 an ) n2 || p ||2 an an (1 an ) (|| T nvn n n n [1 cn ( n 1)( n c (1 cn ) (|| H un n 1)( n cn (1 cn ) (|| H nun H nwn ||) S nvn ||) n n lim (|| S nwn H nwn ||) S ||) n n c )||un cho ( (3.11), ta || un p || p || || un p || M( n n( 1) với n ( n p ||2 n M( ( (3.12) n lim || un p || || un || un lim || H nun p || M( n (5) Từ wn || un p || un || || (1 cn )un lim || wn p || lim sup an n M( n 1) n0 m n n n0 an ) Từ (3.13), với số tự nhiên m (|| T nvn m || un || un n n0 p || p ||2 || um ( n n p || ( 1) || un p ||2 m M ( n n0 ta có: S nvn ||) M n 1) ( n với (3.14), ta suy un || un || (3.20) n bnS nwn n || H wn un || bn || S wn || H nwn H nun || || wn un || (3.21) bnS nwn (wn , un ) E (G ), ta un || || (1 bn )H nwn || H wn || || H nun || H nun un || n un || bn || S nwn un || bn || S nwn H nwn || H nwn || (3.22) Kết hợp (3.17), (3.20), (3.21) (3.22), ta có lim || un || (3.23) Theo Mệnh đề 3.1, ta (wn , un ) E (G ) Do 1) 1) cnH nun un || (1 bn )H nwn n m n n0 n n 0, với Từ n m M n n0 Kết hợp (3.14) || S nun un || || S nun n S nwn || || S nwn || wn un || H nwn || || H nwn || S nwn H nwn || H nun || || H nun || H nun un || un || 3.24) Từ (3.17), (3.20), (3.21) (3.24), ta nhận n n n0 n n0 an ) (|| T nvn an (1 m p ||2 || un n n0 m S nvn ||) (3.13) nên tồn số thực số tự nhiên n cho an (1 n (3.19) cnH nun , ta có (1 cn )un n (3.18) Từ (3.19) (3.20), ta suy S ||) || un lim inf an Vì S ||) n Do an (1 an ) (|| T n 1) an (1 an ) (|| T 1) un || cn || H un n n n n M( Kết hợp điều với tính chất , ta có nên || wn p || || un p ||2 un ||) (2) Từ (3.12), ta có (3.17) Do đó, un ||) n p || tồn n un ||) lim (|| H nun 1) Vì 1) n (|| H nun n n0 Khi đó, theo Bổ đề 2.12, ta suy giới hạn 1) (3.16) H nwn || n n 1) Lập luận tương tự chứng minh (2), từ (3.18), ta m S nvn ||) H nwn ||) cn (1 cn ) (|| H nun un ||) H nwn ||) n n (4) Từ (3.12), ta có || un 1) cn (1 cn ) (|| H un p ||2 || un n an (1 an ) (||T nvn Từ (3.12), ta có || un lim || S nwn n Khi đó, từ M với n bn (1 bn ) (|| S nwn M( Sử dụng tính chất , ta có (3.11) n p ||2 Do đó, H nwn ||) n Vì {cn }, { n } C bị chặn nên tồn số M n (|| S nwn p ||2 c )||un n an (1 an ) (||T m n n0 un ||) bn (1 bn ) (|| S nwn n || un Tương tự chứng minh (2), từ (3.16), ta suy b (1 bn ) (|| S nwn (3.15) H nwn ||) p ||2 || un p || un ||) Kết hợp với tính chất S nvn || bn (1 bn ) (|| S nwn S nvn ||) n n an (1 an ) (|| T nvn p ||2 ( un ||) c )]|| un n (3) Từ (3.12), ta có n n n n n n || un lim || T nvn H nwn ||) an (1 an ) (||T nvn n n S ||) n S nvn ||) c (1 cn ) (|| H nun p ||2 113 n , ta nhận S nvn ||) 1)]|| un b (1 bn ) (|| S nwn Do đó, lim (|| T n p ||2 || p ||2 an (1 an ) (||T nvn || [1 ( n n (|| T n S ||) lim || S nun n un || (3.25) 114 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú Theo Mệnh đề 3.1, ta có (vn , un ) E (G ) Do || T nun || T nun Từ (3.19), (3.29) (3.32), ta có lim || un un || n T nvn || n || || T nvn S nvn || ||T nvn un || || S nvn S nvn || S nun || || S nun || S nun un || lim || T nun || un (3.26) un || (3.27) un || || (1 an )S nvn anT nvn un || || S nvn un || an ||T nvn S nvn || || S nvn S nun || un || an ||T nvn n || || S nun || S nun un || S nvn || un || an || T nvn S nvn || (3.28) Từ (3.28), (3.15), (3.23) (3.25), ta lim || un un || n (3.29) Vì (un , un 1) E(G) nên Ta có || un T nun || un un || || un un || (1 n ) || un n T nun || un un un || || T nun || T nun || || T nun || un || lim || un T n un un || (3.30) || Tun || || u n || un T n un T n 1un || Tun || || 1 S nun || un || un n un T nun 1 || un || || S nun un || || un un || || S nun un || || S nun un || lim || un || n S nun || S nun || n S un Sun || || u n || un || H nun || lim inf an limsup an n lim inf cn limsup cn n 1, n lim inf bn (3.33) un || n limsup bn 1, n n un || || un un || ) || un 1 (un(k ), un(k ) ) (3.31) Tu k S n 1un n || un || Sun || || un || H nun un || n F (T ) lim || un 1 || un S n 1un S nun 1 || H un 1 || || un || Tương tự || || H nun || H nun un || u, v Theo Mệnh un(k ) || un(k ) || (3.34) un || un || (3.32) E(G) (3.35) Do đó, từ (3.34) (3.35), theo Bổ đề 2.5, ta Su Hu u hay u F (T ) F(S ) F(H ) Tương || S n 1un || H nun un(k ) || lim || Sun(k ) lim || Hun(k ) un || H nun || n || un n lim || Tun(k ) v , ta suy nlim || Sun || un (1 H n 1un (3.33), ta lim || Hun k n || Do (un , un 1) E(G) G có tính chất bắc cầu nên un || Ta có || un || Hun k ) || un n Cho n H n 1un || dãy {un } hội tụ yếu đến đề 3.2, ta có || n 1 Chứng minh Vì X khơng gian Banach lồi nên X có tính chất phản xạ Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.2, ta có lim || un p || tồn Vì {un } bị chặn Do đó, tồn n Sử dụng (3.31), (3.25) (3.29), ta || un H n 1un T ,S, H un || Ta có (1 T || un , ta nhận nlim || Tun Khi n || un || un || dãy hội tụ yếu {un } Giả sử {un(k )},{vn(k )} hai Ta lại có || un 1 Khi {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung un || Kết hợp (3.30) với (3.27) (3.29), ta n || u n || T nun || Tiếp theo, chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Định lí 3.3 Giả sử (1) X khơng gian Banach lồi thỏa mãn điều kiện Opial (2) C tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X C có tính chất G (3) {un } dãy xác định (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ) với p F(T ) F(S ) F(H ) || Hun Cho n Vì (vn , un ) E (G ) nên || un Ta lại có un || Kết hợp (3.15), (3.23), (3.25) với (3.26), ta suy n H nun tự F(S ) F(H ) trên, ta chứng minh Vì u, v F (T ) F(S ) F(H ) nên u || lim || un n v || tồn Theo Bổ đề 2.6, ta u v Do đó, {un } hội tụ yếu đến điểm bất động chung F(T ) F(S ) F(H ) Tiếp theo, nhóm tác giả chứng minh hội tụ dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với đồ thị Định lí 3.4 Giả sử (1) X khơng gian Banach lồi (2) C tập lồi, bị chặn, đóng, khác rỗng X, C có tính chất G (3) Một ba ánh xạ T , S , H G-nửa compact ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 5.1, 2020 (4) {un } dãy xác định (3.1) thỏa mãn (u1, p),(p, u1 ) E (G ) với p F(T ) F(S ) F(H ) lim inf an 0 limsup an n lim inf cn limsup cn n 1, n lim inf bn limsup bn n 1, n n Khi {un } hội tụ đến điểm bất động chung T , S H Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2, ta có lim || un Tun || lim || un n Sun || lim || un n n Hun || Hơn nữa, {un } dãy C (un , un 1) E(G) Kết hợp với giả thiết ba ánh xạ T , S , H G-nửa compact, ta suy tồn dãy {un(k )} {un } cho {un(k )} hội tụ đến q k k lim || Tun(k ) Tq || lim || Sun(k ) H k Hq || Ta có || q Tq || || q un(k ) || || un(k ) Tun(k ) || || Tun(k ) Tq ||, || q Sq || || q un(k ) || || un(k ) Sun(k ) || || Sun(k ) Sq ||, || q Hq || || q un(k ) || || un(k ) Hun(k ) || Do klim || q Tq || klim || q Sq Hq Sq || lim || q k q hay q F (T ) Theo Mệnh đề 3.2, ta có nlim || un hội tụ đến q F (T ) F(S ) || Hun(k ) Hq || Hq || F(S ) F(H ) q || tồn nên {un } Xét ba ánh xạ T , S , H xác định arcsin(x 1) tan(x 1) x 3, x x ln x x x 2 x x Hx H y || n n n || x || x y ||, || S x Chọn an n 5n 1, 36 n n S y || n || x y || Do đó, T , S , H G-khơng giãn tiệm cận Ta có F(T ) F(S ) F(H ) {1} (p, u1 ),(u1, p) E (G ) với p F ,b n y || ánh xạ Chọn u1 n ,c 10n n ta tính 1, n 8n ta có Khi đó, dãy lặp {un } xác định (3.1) có dạng hội tụ đến điểm bất động chung p wn u1 1, un 7n 8n 9n 10n 4n 5n n u n 8n n H wn n S n H un n n S wn 10n n n T 5n 3, y m Tuy nhiên, với x t | Tx Ty | | x y |,| St Sm | | Hu Hv | |u u |t m| (3.36) 2, v 1, ta v | Do đó, S ,T , H không ánh xạ không giãn tiệm cận Vì vậy, kết hội tụ đến điểm bất động chung ba ánh xạ không giãn tiệm cận không áp dụng cho ba ánh xạ Hơn nữa, với cách chọn ba ánh xạ T , S , H dãy lặp [2] [1] có dạng sau hội tụ đến điểm bất động chung p zn hướng với V (G ) C (x, y) E(G ) 0, 50 x y 1, 70 x y C Khi đó, (u, u) E (G ) với u C E (G ) tập lồi theo tọa độ không tập lồi Sx || H x n F(H ) Cuối cùng, nhóm tác giả đưa ví dụ minh họa cho hội tụ dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận Đồng thời, ví dụ chứng tỏ dãy lặp (3.1) hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp báo [1, 2] Ví dụ 3.5 Cho X khơng gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, C [0,2],G (V (G), E(G)) đồ thị định Tx n n G-liên tục Sq || lim || Hun(k ) k Suy Tq ||T x T y || n k Theo Mệnh đề 2.8, ta T , S Kết hợp với (3.35), ta k cạnh Hơn nữa, với (x, y) E(G ) C Do đó, lim || un(k ) Tun(k ) || lim || un(k ) Sun(k ) || lim || un(k ) Hun(k ) || 115 x1 1, yn xn mn t1 1, tn 7n 8n 9n 10n 4n 5n 9n 10n 4n 5n n n x H xn n 8n n n z S zn n 10n n n y T yn n 5n (3.37) n n S t 10n n n n T mn 5n (3.38) t n m n Tuy nhiên, hội tụ dãy lặp (3.36) đến điểm bất động chung nhanh hội tụ dãy lặp (3.37) (3.38) minh họa Bảng Hình Với (x, y) E(G ) , ta có 0, 50 x , y 1, 70 Suy , (Tx,Ty),(Sx, Sy),(Hx, Hy) E(G ) Suy S ,T , H bảo tồn Hình Dáng điệu hội tụ dãy lặp (3.36), (3.37) (3.38) đến 116 Nguyễn Trung Hiếu, Cao Phạm Cẩm Tú Bảng Số liệu hội tụ dãy lặp (3.36), (3.37) (3.38) n t n (dãy 3.38) x n (dãy 3.37) un (dãy 3.36) 1,4 1,2943753 1,4 1,2460293 1,4 1,0389924 1,2035011 1,1385564 1,1378083 1,0776188 1,0001371 1,0000001 1,094045 1,0441347 1, … … … … 32 1,000006 1,0000001 1, 33 1,0000042 1, 1, … … … … 46 1,0000001 1, 1, 47 1, 1, 1, Kết luận Trong báo này, dãy lặp cho ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận đề xuất Từ đó, số kết hội tụ dãy lặp đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn không gian Banach lồi với đồ thị thiết lập chứng minh, giả thiết tập lồi E(G ) kết [1, 2] thay giả thiết E(G ) tập lồi theo tọa độ Đồng thời, ví dụ đưa để chứng tỏ dãy lặp đề xuất hội tụ đến điểm bất động chung ba ánh xạ G-không giãn tiệm cận nhanh dãy lặp báo [1, 2] Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Đồng Tháp với Đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên mã số SPD2019.02.15 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Wattanataweekul, “Approximating common fixed points for two G-asymptotically nonexpansive mappings with directed grahps”, Thai J Math., 16(3), 2018, 817-830 [2] R Wattanataweekul, “Convergence theorems of the modified SP-iteration for G-asymptotically nonexpansive mappings with directed graphs”, Thai J Math., 17(3), 2019, 805-820 [3] J Jachymski, “The contraction principle for mappings on a metric space with a graph”, Proc Amer Math Soc., 136(4), 2008, 1359-1373 [4] M G Sangago, T W Hunde and H Z Hailu, “Demiclodeness and fixed points of G-asymptotically nonexpansive mapping in Banach spaces with graph”, Fixed Point Theory, 8(3), 2018, 313-340 [5] R Suparatulatorn, W Cholamjiak, S Suantai, “A modified S-iteration process for G-nonexpansive mappings in Banach spaces with graphs”, Numer Algor., 77(2), 2018, 479-490 [6] N V Dung and N T Hieu, “Convergence of a new three-step iteration process to common fixed points of three G-nonexpansive mappings in Banach spaces with directed graphs”, Rev R Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Math RACSAM, 24 pages, accepted paper [7] N Shahzad and R Al-Dubiban, “Approximating common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Georgian Math J., 13(3), 2006, 529-537 [8] N V Dung and N T Hieu, “A new hybrid projection algorithm for equilibrium problems and asymptotically quasi-nonexpansive mappings in Banach spaces”, Rev R Acad Cienc Exactas Fís Nat Ser A Math RACSAM, 113(3), 2019, 2017-2035 [9] K K Tan, H K Xu, “Approximating fixed points of nonexpansive mapping by the Ishikawa iteration process”, J Math Anal Appl., 178, 1993, 301-308 (BBT nhận bài: 20/02/2020, hoàn tất thủ tục phản biện: 14/4/2020) ... Kết luận Trong báo này, dãy lặp cho ba ánh xạ G -không giãn tiệm cận đề xuất Từ đó, số kết hội tụ dãy lặp đến điểm bất động chung ba ánh xạ G -không giãn không gian Banach lồi với đồ thị thiết... cho hội tụ dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung ba ánh xạ G -không giãn tiệm cận Đồng thời, ví dụ chứng tỏ dãy lặp (3.1) hội tụ đến điểm bất động chung nhanh dãy lặp báo [1, 2] Ví dụ 3.5 Cho X không. .. } hội tụ yếu đến điểm bất động chung F(T ) F(S ) F(H ) Tiếp theo, nhóm tác giả chứng minh hội tụ dãy lặp (3.1) đến điểm bất động chung ba ánh xạ G -không giãn tiệm cận không gian Banach lồi với