Một vài cách tính bậc tôpô và ứng dụng vào bài toán phân nhánh toàn cục của bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH TRẦN THỊ THU NGUYỆT MỘT VÀI CÁCH TÍNH BẬC TÔPÔ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người thầy dạy dỗ, dìu dắt từ năm đầu đại học Xin chân thành cảm ơn Thầy-Cô, khoa Toán-Tin trường Đại học sư phạm TPHCM, quan tâm truyền đạt kiến thức tảng cho thời gian học đại học cao học Xin cảm ơn Thầy-Cô hội đồng chấm luận văn cho nhận xét, đóng góp quý báu Xin chân thành cảm ơn Thầy-Cô giảng dạy học phần thời gian học cao học, giúp đỡ truyền đạt kiến thức bổ ích cho Cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Mạc Đónh Chi TPHCM , tổ Toán đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên để hoàn thành khóa học Cảm ơn ba mẹ, hai em, người thân, bạn bè thân thiết động viên hỗ trợ, giúp đỡ Xin cảm ơn anh Thành giúp đỡ, động viên nhiều Xin cảm ơn bạn Tú Anh, University of Southern California, động viên cung cấp nhiều tài liệu bổ ích trình làm luận văn MỤC LỤC Lời cảm ơn trang Lời mở đầu Chương : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giới thiệu bất đẳng thức biến phân 1.2 Các định nghóa nhậân xét 1.3 Định lí Chương : BẬC TÔPÔ Ở BÊN TRÁI GIÁ TRỊ RIÊNG 14 Chương :TÍNH BẬC TÔPÔ TẠI GIÁ TRỊ RIÊNG TRÊN KHÔNG CON ĐÓNG 3.1 Bậc tôpô bên trái giá trị riêng 24 3.2 Bậc tôpô bên phải giá trị riêng 29 Chương : MỘT VÍ DỤ ÁP DỤNG KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết phân nhánh có nguồn gốc từ toán lý thuyết phân nhánh nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu cho bất đẳng thức biến phân Các nghiên cứu phân nhánh bất đẳng thức biến phân không đưa lý thuyết theo nhiều phương pháp nghiên cứu khác mà nhà toán học quan tâm đến ứng dụng học, toán ứng dụng, phương trình vi phân, … Trong luận văn này, quan tâm đến cách tính bậc tôpô bất đẳng thức biến phân áp dụng khảo sát phân nhánh toàn cục bất đẳng thức biến phân Luận văn chia làm chương sau : Chương : Một số kiến thức chuẩn bị Chương : Chứng minh kết tính bậc tôpô bên trái giá trị riêng Chương : Tính bậc tôpô trường hợp mà giá trị riêng toán giá trị riêng phương trình xác định không đóng Chương : Một ví dụ áp dụng kết CHƯƠNG : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.4 Giới thiệu bất đẳng thức biến phân Cho V không gian Banach (thực) phản xạ với chuẩn không gian đối ngẫu V* với tích vô hướng , Cho A : V  V* toán tử thỏa tính chất sau : (A1) A liên tục, bị chặn , A(0) = (A2) A đơn điệu nghiêm ngặt V ( với nghóa tồn soá C > : A u   A v , u  v  C u  v , u, v  V ) Đặt B : V x   V* ánh xạ hoàn toàn liên tục mà B 0,    ,    , vaø j : V  0,  hàm lồi, nửa liên tục với j0   Ta xét bất đẳng thức biến phân dạng sau :  A u   B u,  , v  u  j v   j u   0, v  V   u  V (1.1) Với giả thiết ta thấy    , nghiệm tầm thường (1.1), quan tâm đến nghiệm không tầm thường (1.1) Cho f  V* , ta xét bất đẳng thức biến phân sau :  A u   f , v  u  j v   j u   0, v  V   u  V Chúng ta biết rằng, với f  V* , bất đẳng thức có nghiệm u  u f  V Cho P  PA,j : V*  V f  PA, j f   u f  Pf Từ (1.1) ta suy u  P  B u,   Laáy :  A n , n=1,2, toán tử liên tục, bị chặn, đơn điệu nghiêm ngặt từ V  V* A n 0 = A(0) = 0, n  jn , n = 1, 2, … hàm lồi từ V  0,  vaø jn 0 = j(0) = 0, n  f n  V* , n = 1, 2, … giả sử A n  A , jn  j , fn  f n   với : (A3) fn  f V* (A4) (a) v  V , dãy n k   , tồn dãy v   maø : nk   v nk  v V vaø jn k k  jv  0,  k   (b) Nếu n k   v n k  v V :   jv   lim inf jn k k k  (A5) (a) Nếu n k   v n k  v V :   A n k k  A v  V* (b) Nếu n k   v n k  v , w n k  v V maø : v n k  v V  Ta có kết sau : Mệnh đề : Nếu (A3), (A4), (A5) thỏa : PA n , jn f n   PA, j f  V Hệ : Ánh xạ P định nghóa liên tục từ V  V* Định lí : Cho a, b   ( a < b ) , vaø u = nghiệm đơn (1.1) với  = a vaø  = b maø (0, a), (0, b) không điểm phân nhánh (1.1) Giả sử với r > 0, ta có : d I  P  B ., a  , Br 0 ,  d I  P  B ., b  , Br 0 ,0  Đặt : S= u,  : u,   nghiệm (1.1), với u  0 0 a, b C thành phần liên thông S chứa 0 a, b  : (i) C không bị chặn V   hoaëc (ii) C  0   a, b       Baát đẳng thức biến phân : Giả sử A B hàm khả vi u u = với điều kiện sau : Tồn  : V  V* , f : V    V* maø : (A6)  thỏa (A1), (A2) dãy vn  V , n    thoûa : v n  v V  n  0 ta có : A n    v  treân V* n (A7) f hàm liên tục daõy vn  V , n    ,  n   thoûa : v n  v treân V  n   ,  n  0 ta coù : B n ,  n   f v,   treân V* n  Với   ta kí hiệu j hàm từ V vào 0,  định nghóa : j  jv  , v  V 2 Chúng ta giả sử tồn hàm J: V  0,  lồi, nửa liên tục mà j tiến J (   0 ) theo nghóa sau : (A8) (a) Nếu v n  v V vaø  n  0 ( n  , n ) : J v   liminf jn vn  (b) Với v  V , dãy n    mà  n  0 (khi n   )  v n  v V ta chọn dãy vn  V :   jn vn   J v  Với điều kiện trên, từ (1.1) ta có bất đẳng thức biến phân sau :   u   f u,  , v  u  J v   J u   0, v  V   u  V (1.2) Sử dụng kết tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân, ta thấy với f  V* bất đẳng thức:   u   f , v  u  J v   J u   0, v  V   u  V có nghiệm u  u f  P,J f  Để đơn giản ta kí hiệu Po  P,J Do đó, (1.2) tương đương với : u  Po f u,   1.5 Các định nghóa nhậân xét  Từ tính chất  , f J, ta có (1.2) theo nghóa: u nghiệm (1.2) tu nghiệm, với t     gọi giá trị riêng (1.2) (1.2) có nghiệm u,  với u  , u gọi vectơ riêng (1.2) phụ thuộc vào   Giá trị riêng  gọi đơn với vectơ riêng u v phụ thuộc vào  ta có : u = tv với t >  Nếu u vectơ riêng ( phụ thuộc vào  ) (1.2) tu vậy, với t >   f .,   bậc J bậc theo nghóa :  tu   t u  , f tu,    tf u,   , t   J tu  t J u       Ta goïi 0,  điểm phân nhánh (1.1) tồn dãy u n ,  n  nghiệm cuûa (1.1) cho :  u n  , n   u n  ,  n  khi n     Điều kiện để toán tử thuộc vào lớp (S) : Giả sử V không gian lồi địa phương thỏa :   A u   A  v , u  v  g u , v , u, v  V với g :        cho dãy x n , y n       : g x n , yn   vaø x n  a    , ta có : y n  a ta có A thuộc vào lớp (S)  u điểm nửa tập K tồn tập D trù mật V cho : w  D,   : u  w  K Tập gồm tất điểm nửa K kí hiệu K I Định lí 1.6 Giả sử (A1), (A2), (A6), (A7), (A8) thỏa (I) Nếu 0,  điểm phân nhánh (1.1)  giá trị riêng (1.2) (II) Nếu a b không giá trị riêng (1.2) ( với a < b) : d I  Po  f ., a  , Br 0 ,  d I  Po f ., b  , Br 0 ,  với r > 0, : (1.3) 38 Một ví dụ điển hình B laø : B u,  , v    sin uv Ta có : B hoàn toàn liên tục B ánh xạ f cho : f u,  , v    uv (theo nghóa (A7) chương 1) **Bây ta kiểm tra J theo j (theo nghóa (A8) chương 1) : J  I Ko Thật : Nếu v n  v V v n  v 0,1 : v n 0   v 0 , v n 1  v 1  Giả sử      j  IK o K o nón lồi đóng nên J  j  I Ko  Giả sử  ,    ta có : Nếu v 0 , v 1  : J v    liminf jn vn  Ngược lại v 0   v 1  Giả sử v 0   lúc ta có :  jn    0   0  jn vn      n n n (4.3) (do v n 0   v 0   vaø n  0 ) Vì : J v   liminf J n v n  n Laáy v  H1 0,1 chọn v n  v, n 39 Nếu J v   nghóa v 0 , v 1  n 0 , n 1  vaø jn v n   với n Ngược lại ta có v 0   v 1  (4.3) cho ta : jn v n     J v  (với v n  v ) Như kiểm tra : j  J ( theo nghóa (A8) chương 1) Từ ta thấy bất đẳng thức biến phân (1.2) tương ứng với (4.1) ( 4.2) laø : 1      u v  u   u v  u    u v  u  0, v  K o 0    u  K o   (4.4) Hoặc : 1   u v  u    u v  u  0, v  K o 0  u  K o   (với     ) Bất đẳng thức biến phân tương đương với phương trình : u  u  (0,1) với điều kiện biên sau : (4.5) 40  u 0 , u 1    u 0    u 1   u 0 u 0   u 1u 1  (4.6) ▲ Các giá trị riêng hàm riêng (4.5) (4.6) : Giá trị riêng (dương) hệ :   n 2 n      vaø     n  2  n  , n lẻ  Hàm tương ứng :   t sin nx    t cos nx   u   t cos    n  x            n 2 , n lẻ   n 22 , n lẻ ( với t > )       n  , n leû 2  Giá trị riêng tương ứng (4.5) cho công thức :     ▲ Bâây ta tính bậc bên phải bên trái tất giá trị riêng  :  Trường hợp :   n 2  , n chẵn Hàm riêng tương ứng : u   cos nx  thỏa mãn điều kiện biên u  0   u  1   o Do : u   K o  Vì bất đẳng thức biến phân (4.5) có dạng :  u  f u,  , v  u  0, v  K o   u  K o (4.7) 41 với : f u,    u u, v   uv Ta thaáy : f .,    tự liên hợp Mặt khác từ (4.4) ( (4.7) ) có :  u  f u,  , v  u  0, v  V   u  V (4.8) tương đương (với     1) : 1  uv   uv  0, v  V 0  u  V   (4.9) Ta có :  giá trị riêng đơn (4.8) u  vectơ riêng (4.8) tương ứng với giá trị riêng  Vì theo hệ 6.13 [8] định lí [5] ta có :    d  I  Po f , n 22     , BR 0 ,       với   đủ nhỏ Tính bậc bên trái  : Ta có  tự liên hợp  giá trị riêng đơn (4.8) với o vectơ riêng tương ứng u   KerJ  p dụng định lí hệ chương ta coù :      d I  Po f , n 2     , BR 0 ,         d I  Q f , n 2     , BR 0 ,    (4.10) 42 đđó Q ánh xạï tuyến tính nghiệm (4.9)   Lại có : (4.8) có n  giá trị riêng khoảng , n 2    vaø n laø số chẵn Ta áp dụng lý thuyết bậc Leray-Schauder bậc (4.10) :    d  I  Po f , n 2     , BR 0 ,           d  I  Q f , n 2     , BR 0 ,      n 1  1    1    Trường hợp :   n 2  , n laø số lẻ Hàm riêng tương ứng : u    sin nx  Vì u  0   u  1  neân u  Ko Mặt khác ta lại có : f u,    u u, v   uv  tự liên hợp Áp dụng hệ 3(b) chương ta có :   d I  Po f  , s  , BR 0 ,  với s   gần với  Do n số lẻ, n 22  vaø n  1   hai giá trị riêng liên tiếp (4.4) ( nghóa giá trị riêng khoaûng n  1  2   , n 22  ) 43 Nhö tương tự trường hợp ta có : Với   đủ nhỏ ta có :    d  I  Po f , n 2     , BR 0 ,        Tính bậc bên phải  : *Ta xét tập W K1 ta có : W  K o  K o   H10 0,1 Mặt khác : u  W  neáu :  u, v   uv  uv  , v  H10 0,1 Do u  C2 0,1 vaø u  u  treân (0,1) neân : u  C1e x  C2e x C1,C2    Từ ta có : W   u : u x   C1e x  C2e x , x  0,1  C1,C2     y1 x   e x  e  x Đặt :  1 x x 1  y x   e  e , x  0,1 Suy : y , y2  W   y1 0   , y1 1  e  e1  vaø  1  y 0   e  e , y 1  Do ta suy :  y , y2  K1  K o  W   (4.11) 44 Lấy u  K1 từ u  C1e x  C2e x C1,C2    ta : u  A1y1  A y      u 0   e  e1 A  Lại có :  1  u 1  e  e A1 Vì u  K1 u  A1y1  A y với A1, A  Vaäy : K1  C1y1  C2 y : C1,C  0 Bây kiểm tra u thỏa điều kiện (3.19) (3.20) hệ chương   Với u  K o \ H10 0,1 maø   n 2    (   đủ nhỏ) ta coù : 1 u   u , v   uv    uv  0, v  H10 0,1 0 Với      n 2    : u  C2 0,1 u   u  (0,1) Do ta : u  A cos mx  Bsin mx với : m    n 22   Lúc điều kiện (3.20) trở thành : 1 u  u , v   uv  L  uv  , v  K1 0 với : L :      hay L    m2 (4.12) 45 Bất đẳng thức tương đương với : 0 uyi  L  uy i  , i = 1, Từ (4.11) (4.12) ta : 1  uy1  L 0  uy =  cos m  e  e1 A m  L  e  e 1 mB 1  L  +   m 1               sin m  e  e 1 B m  L  e 1  e Am 1  L   2A L  m    (4.13) 1  uy2  L 0  uy =   A cos m  Bsin m  L  m   m 1          e  e 1 A m  L  e 1  e Bm 1  L   (4.14) Vì u  K o nên u  u o  u1  u o  C1y1  C2 y  u o  PW u  W với   u1  C1y1  C2 y2  PK1 u , C1,C  Giả sử điều kiện (3.21) không thỏa nghóa : u   u , PK1 u  C1 u   u , y1  C1 u   u , y  Mặt khác : C1, C , u  u , y1 , u   u , y trường hợp sau :  nên xảy 46 (i) C1  C2   (ii) u   u , y1  u   u , y   (iii) C1  u  u , y  (iv) u   u , y  C   Ta xeùt (i)-(iv) Do u  K o vaø u 0   u 1  suy : A    A cos m  Bsin m  (4.15) Vì m  n 22    n gần với n n số lẻ nên ta có : cos m  1  vaø sin m  (4.16) Từ kết hợp với (4.15) ta : Bsin m  A cos m  hay ta có : B  (4.17) *Nếu (i) thỏa u  u o  W  H10 0,1 , ta điều trái với giả sử u  K o \ H10 0,1 * Giả sử có (ii) : từ (4.13) (4.14) nên ta có :     e  e1 m  L A cos m  Bsin m        e  e 1 m 1  L Bcos m  A sin m   2A m  L (4.18) vaø    e  e A m  2 m  L A cos m  Bsin m   1   1   L  e  e mB 1  L  (4.19) 47 Từ hai đẳng thức ta suy :    e  e  A m    e  e 1 m 1  L Bcos m  Asin m   4A m  L  1      L  e2  e mB 1  L    e  e 1 m 1  L Bcos m  Asin m     e  e 1     4 A m     L  e 2  e mB 1  L  (4.20) Từ (4.15), (4.16), (4.17) L :      cho ta m  L  vaø Bcos m  Asin m  Do tất số hạng (4.20) không âm, (4.20) thỏa tất số hạng nghóa A = B = Suy u = W, ta có điều mâu thuẫn với giả thiết * Giả sử có (iii) : Ta coù : u  u o  c y Do : u 1  u o 1  c y2 1   Acos m  Bsin m Tương tự ta có (4.14) trở thành (4.19) thay biểu thức vào (4.19) ta : e  e A m 1    L  e 1  e mB 1  L   Lại có số hạng không âm, nên số hạng phải nghóa ta A = B = Suy u = W, ta coù điều mâu thuẫn với giả thiết 48 * Giả sử có (iv) : Ta có : u  u o  c1y1 vaø A  u 0   Tương tự ta có (4.13) trở thành (4.18) Cho A = thay vào (4.18) ta :        B  e  e1 m  L sin m  e  e1 m 1  L cos m        Do e  e 1 m2  L sin m  vaø e  e 1 m 1  L cos m  nên B = ta lại có u = Các chứng minh từ (i) đến (iv) u  u ,PK1 u  xảy Vì điều kiện (3.21) thỏa Như điều kiện hệ thỏa p dụng hệ ta :    d  I  Po f , n 2     , BR 0 ,       (4.21)   , BR 0,   d  I  PW f , n 2          Lúc phương trình u  PW f u , n 2      tương đương với   toán Sturm-Liouville sau :   u  n 2   u  với điều kiện biên u 0   u 1  có giá trị riêng k 22 , k   Vì n số lẻ nên :    n d  I  PW f , n 2     , BR 0 ,   1  1    (4.22) 49    Trường hợp :     n   ( n số lẻ ) 2  1  Chúng ta tính bậc     n  2  ( n số lẻ ) 2  Ta coù : 2 1     n        n  2      n  1 2  2  2   giá trị riêng (4.4) Hơn nữa, (4.4) giá trị riêng khoảng   ,  và  ,    Theo định lí chương điểm phân nhánh khoảng Cũng theo định lí chương bậc I  Po f  ,   không đổi khoảng Vì với   đủ nhỏ ta có :   d I  Po f  ,     , BR 0 ,     d I  Po f  ,      , BR 0 , =  (do suy từ (4.21), (4.22) n số lẻ ) Tương tự ta có :   d I  Po f  ,     , BR 0 ,     d I  Po f  ,      , BR 0 , =  (do suy từ (4.10) n số chẵn ) 50  Ta có bảng tóm tắt sau : Bậc cuûa I  Po f  ,   d  I  Po f  ,    , B R  ,  d  I  Po f  ,    , B R   ,   n 2  ( n chaün) 1 1 1 1 n 2  ( n leû)       n   2  ( n lẻ) KẾT LUẬN Hiện nay, phân nhánh bất đẳng thức biến phân áp dụng nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu khảo sát Vấn đề phân nhánh bất đẳng thức biến phân vấn đề rộng, nên luận văn trình bày phần kiến thức có liên quan, có điều kiện tìm hiểu thêm phân nhánh bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert sâu hơn, … Qua luận văn này, thực bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống, học tập phương pháp nghiên cứu việc đọc tài liệu Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, mong học hỏi nhiều từ đóng góp bảo Thầy-Cô TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Irene Fonseca and Wilfrid Gangbo (1995), Degree theory in analysis and applications, Clarendon Press, Oxford Jun Kobayashi (2004), Some topological methods for multivalued operators and their applications to variational inequalities, Waseda University Klaus Schmitt and Russel C Thompson (2004), Nonlinear analysis anddifferential Equations, University of Utah Marco Degiovanni (1989), “Bifurcation problems for nonlinear elliptic variational inequalities”, Annales Faculteù des Sciences de Toulouse 10, pp.215-258 Vy Khoi Le (1997), “On global bifurcation of variational inequalities and applications”, Journal Differential Equations 141, pp.254-294 Vy Khoi Le (1996), “Some global bifurcation results for variational inequalities”, Journal Differential Equations 131, pp.39-78 Vy Khoi Le (1998), “Some global bifurcation results for elastic plates”, Apllied Mathematics and Computation 89, pp.185-197 Vy Khoi Le and Klaus Schmitt (1997), Global bifurcation in variational inequalities : applications to obstacle and unilateral problems, Springer, New York ... nhà toán học quan tâm đến ứng dụng học, toán ứng dụng, phương trình vi phân, … Trong luận văn này, quan tâm đến cách tính bậc tôpô bất đẳng thức biến phân áp dụng khảo sát phân nhánh toàn cục bất. .. nhánh có nguồn gốc từ toán lý thuyết phân nhánh nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu cho bất đẳng thức biến phân Các nghiên cứu phân nhánh bất đẳng thức biến phân không đưa lý thuyết theo nhiều... ta có bất đẳng thức biến phân sau :   u   f u,  , v  u  J v   J u   0, v  V   u  V (1.2) Sử dụng kết tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân, ta thấy với f  V* bất đẳng thức: