Ứng dụng bậc topo trong lý thuyết phân nhánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÂN PHÚ CƯỜNG ỨNG DỤNG BẬC TOPO TRONG LÝ THUYẾT PHÂN NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà SỐ: 1.01.01 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2003 LUẬN VĂ NĐ Ư Ơ Ï C HOÀN THÀNH TẠ I TRƯ Ơ ØNG Đ Ạ I HỌ C SƯ PHẠ M THÀNH PHỐHỒCHÍMINH # " • Thầy Hướng Dẫn: PGS TS LÊ HOÀN HÓA KHOA TOÁN TIN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH • Thầy Phản Biện 1: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY KHOA TOÁN TIN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH • Thầy Phản Biện 2: TS CHU ĐỨC KHÁNH TRƯỜNG DỰ BỊ ĐẠI HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH • Học viên Thực Hiện: THÂN PHÚ CƯỜNG LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CÁM ƠN W X ♦ Xin chân thành biết ơn: PGS TS LÊ HOÀN HÓA – Khoa Toán Tin, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Người thầy dạy dỗ, dìu dắt, giúp đỡ học tập môn Toán hai chương trình Đại Học Cao Học tận tình hướng dẫn, động viên hoàn thành luận văn Thạc só Toán học ♦ Xin chân thành cảm ơn q thấy: • Phản biện : PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY • Phản biện : TS CHU ĐỨC KHÁNH Đã dành thời gian q báu để đọc, nhận xét phản biện cho luận văn ♦ Xin chân thành cảm ơn : - Q thầy cô khoa Toán khoa Ngoại Ngữ, khoa Tâm Lý Giáo Dục Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức cho - Q thầy cô phòng nghiên cứu khoa học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học Cao học hoàn thành luận văn - Ban giám hiệu Trường Bán Công Diên Hồng, bạn hữu, gia đình động viên, giúp đỡ hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh 2003 THÂN PHÚ CƯỜNG MỤC LỤC Δ Lời Mở Đầu Chương I : ĐỊNH LÝ MORSE VÀ SỰ PHÂN NHÁNH 1.1 Định lý ánh xạ ẩn trang 1.2 Định lý Morse ứng dụng trang 10 Chương II: ỨNG DỤNG BẬC TOPO TRONG SỰ PHÂN NHÁNH 2.1 Bậc trường compact nghiệm cô lập • Định lý Riesz trang 24 • Định lý bậc Leray – Schauder trang 27 2.2 Áp dụng lý thuyết phân nhánh • Định lý KRASNOSELSKI trang 31 • Định lý RABINOWITZ trang 34 Chương III: ĐỊNH LÝ PHÂN NHÁNH CHO TOÁN TỬ FREDHOLM ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 3.1 Định lý phân nhánh hai hệ trang 40 3.2 Các ứng dụng phương trình vi phân tích phân trang 53 Δ Kết luận Δ Tài liệu tham khảo LỜI MỞ ĐẦU Luận văn trình bày số lý thuyết nhánh nghiệm phương trình: f(x,λ)=0 Trong chương, ánh xạ f xét ánh xạ khả vi theo biến x – ánh xạ f trường compact – ánh xạ f trường toán tử cô đặc Trường hợp phương trình f(x,λ) = có nhánh nghiệm, ta phân nhánh Nếu phương trình có nhiều hai nhánh nghiệm ta có phân nhánh Tại điểm (xo, λo) xuất phát nhiều hai nhánh nghiệm (xo, λo) gọi điểm phân nhánh phương trình f(x, λ) = Luận văn giới thiệu điều kiện để (xo, λo) điểm phân nhánh Công cụ sử dụng trình bày luận văn phép tính vi phân không gian Banach lý thuyết bậc tôpô LUẬN VĂN GỒM CHƯƠNG Chương I: Định lý Morse phân nhánh Trình bày định lý ánh xạ ẩn – phép dựng Liapunov – Schmidt – Định lý Morse – Những ứng dụng định lý Morse lý thuyết phân nhánh Chương II: Ứng dụng bậc tôpô phân nhánh Trình bày định lý Krasnoselski Rabinovitz phân nhánh cấu trúc nhánh liên tục cho trường hợp f trường toán tử Compact lý thuyết bậc tôpô trường toán tử Compact áp dụng Chương III: Định lý phân nhánh cho toán tử Fredholm ứng dụng phương trình vi phân tích phân Nội dung chương trình bày phân nhánh phương trình f(x,λ) = f có liên quan đến toán tử Fredholm số trường hợp cụ thể phương trình vi phân tích phân Để thực luận văn, tham khảo số tài liệu báo liên quan liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh CHƯƠNG I ĐỊNH LÝ MORSE VÀ SỰ PHÂN NHÁNH 1.1 ĐỊNH LÝ VỀ ÁNH XẠ ẨN: • Định lý 1.1: Cho X, Y, Z không gian Banach, U tập mở X x Y f: U ⎯→ Z, liên tục Giả sử đạo ánh theo biến x: fx liên tục mở U Giả sử (xo, yo) ∈ U thỏa: f(xo, yo) = Oz A ≡ fx(xo, yo) đẳng cấu từ X lên Z Khi đó: i) Tồn cầu mở Br(yo) = {y / y − y < r} Y ánh xạ liên tục u: Br(yo) ⎯→ X cho u(yo) = xo vaø f(u(y), y) = 0, với y thuộc Br(yo) ii) Trường hợp f ∈ C1 u(y) thuộc lớp C1 và: uy(y) = -[fx(u(y), y)]-1 fy(u(y), y) iii) Trường hợp f ∈ Cp, p > u(y) thuộc lớp Cp Ta nói ánh xạ x = u(y) ánh xạ ẩn suy từ phương trình: f(x, y) = Oz Chứng minh định lí 1.1 i) Có thể xem xo = OX yo = OY, phương trình f(x, y) = viết dạng: Ax = Ax – f(x, y) ≡ R(x, y), với A đẳng cấu từ X lên Z ⇒ A-1Ax = A-1Ax – A-1f(x, y) = A-1R(x, y) ⇒ x = x – A-1f(x, y) = g(x, y) Ta chứng minh tồn r, δ cho với y cố định cầu mở Br(0) g(x, y): Bδ(0) ⎯→ Bδ(0) ánh xạ co, từ suy g có điểm bất động, Trang Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh nghóa với y cố định cầu tồn x = u(y) hình cầu Bδ(0) cho: g(u(y), y) = u(y) hay f(u(y), y) = Do giaû thiết A = fx(xo, yo) đẳng cấu tuyến tính liên tục từ X lên Z nên A-1 ánh xạ tuyến tính liên tục (do Định lý ánh xạ ngược) ⇒ A-1 bị chặn (do A-1 tuyến tính liên tục) nên chọn ε > cho: ε A −1 ≤ • Ta chứng minh: R( x1 , y ) − R ( x , y ) ≤ ε x1 − x với x1, x2 thuộc Bδ(0) y ∈ Br(0), nhö sau: R(x1, y) – R(x2, y) = Ax1 – f(x1, y) – Ax2 + f(x2, y) = (Ax1 – Ax2) – (f(x1, y) – f(x2, y)) ⎡1 ⎤ = A(x1 – x2) – ⎢ ∫ f x (tx1 + (1 − t ) x , y )dt ⎥ ( x1 − x ) ⎣0 ⎦ (Do A tuyến tính áp dụng Định lý Giá trị trung bình cho hiệu số thứ hai) ⎡ ⎤ = ⎢ A − ∫ f x (tx1 + (1 − t ) x , y )dt ⎥ ( x1 − x ) ⎣ ⎦ Do giaû thiết A = fx(xo, yo) = fx(0, 0) nên ta viết được: R(x1, y) – R(x2, y) = ∫[f x (0,0) − f x (tx1 + (1 − t ) x , y )]dt.( x1 − x ) Do giả thiết đạo ánh fx liên tục nên tồn r δ > f x(0,0) − f x ( x, y ) ≤ ε , x ≤ δ y ≤ r Suy điều cần chứng minh: R( x1 , y ) − R ( x , y ) ≤ ε x1 − x Do cách đặt ban đầu nên ta có: Trang Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh ⎧⎪ g ( x1 , y ) = A −1 ( R( x1 , y )) ⎨ ⎪⎩ g ( x , y ) = A −1 ( R( x , y )) Nên ta được: g ( x1 , y ) − g ( x , y ) = A −1 R ( x1 , y ) − A −1 ( R ( x , y )) ⇒ g ( x1 , y ) − g ( x , y ) ≤ A −1 R( x1 , y ) − R( x , y ) ≤ ε A −1 x1 − x g ( x1 , y ) − g ( x , y ) ≤ x1 − x 2 (1.1) Bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ g ánh xạ co hệ số theo x ∈ Bδ(0) y cố định cầu Br(0) • Bây ta chứng minh: g(x, y): Bδ(0) ⎯→ Bδ(0) ánh xạ theo x y chứa hình cầu thích hợp Do g liên tục điểm (0, 0) nên với r > đủ nhỏ g (0, y ) ≤ δ , y cho trước tùy ý, δy đủ bé Do ñoù: f x (u ( y ), y )δu + f y (u ( y ), y )δy ≤ ε ( δy + δu ) (1.2) Vì fx(u(y), y) ⎯→ fx(0,0) (fx(0, 0))-1 bị chặn nên [fx(u(y), y)]-1 tồn bị chặn với y đủ bé Trang Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Tác động [fx(u(y), y)]-1 vào vế (1.2) suy ra: δu + [ f x (u ( y ), y )]−1 f y (u ( y ), y ).δy ≤ Cε ( δy + δu ) với C số Đặt V = [fx(u(y), y)]-1 fy(u(y), y)δy Khi đó: δ u + V ≤ C ε ( δ y + δu + V + V ) Cho ε > đủ bé cho ε.C < , tồn số thích hợp C1, C2 > 0: δu + V ≤ εC1 ( δy + V ) ≤ εC δy điều chứng tỏ u có đạo hàm Fréchet y uy(y) = - [fx(u(y), y)]-1 fy(u(y), y) (1.3) Do f ∈ C1 nên số hạng VP liên tục theo y suy u ∈ C1 Vậy ii) chứng minh ii) Tiếp f ∈ C2 VP (1.3) thuộc C1 u ∈ C2 Theo qui nạp ta thu kết iii) Hệ 1.1 Nếu f CP – ánh xạ, p ≥ lân cận điểm xo ∈ X vào Y, fx(xo) đẳng cấu lên Y tồn cầu mở: Bε(yo) = {y / y − y o < ε } với yo = f(xo) tồn Cp nghiệm x = u(y) = f-1(y), phương trình: f(u(y))=yo thỏa điều kiện xo = u(yo) = f-1(yo) Chứng minh hệ 1.1 Để áp dụng Định lý 1.1, ta đặt: F : X x Y ⎯⎯⎯→ Z ≡ Y Trang Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Nên không giá trị riêng Uλ Do (1.19) tương đương với (1.25) áp dụng định nghóa (1.23) (1.24) ta có: Tλ(0) = ⇒ Tλ (0) – = ⇒ f(0, λ) = nên Zezo cô lập f(•, λ) (λI – H)-1 khả đảo x = (λI – H)-1 (Kx – G(x, λ) – D(x, λ)) neân : Tλx = Sλx – (λI – H)-1 D(x, λ) Tλx = (λI – H)-1 (Kx – G(x, λ) - (λI – H)-1 D(x, λ) ⇒ Tλx = Uλ(x) – (λI – H)-1 (G(x, λ) + D(x, λ)) ⇒ Uλx - Tλx = (λI – H)-1 (G(x, λ) + D(x, λ)) ⇒ lim U λ ( x) − Tλ ( x) x →0 x = lim (λI − H ) −1 (G ( x, λ ) + Dλ ( x, λ )) x →0 x ≤ M lim (G ( x, λ ) + Dλ ( x, λ )) x →0 x Do (1.3) (1.7) nên: lim x →0 Tλ ( x) − U λ ( x) x (1.35) =0 mà (I - Uλ) khả đảo nên tồn số dương ρ cho: x – (1 – t)Uλx - tTλx ≠ 0, ∀x ≠ 0, x ≤ ρ, ≤ t ≤ (1.36) Vaø f triệt tiêu điểm gốc O B’(0, ρ) nên đồng luân nghiệm biên: x = ρ Nên áp dụng (ii) tính chất bậc tôpô ta có: deg(I - Uλ, B(0, ρ), 0) = deg(I - Tλ, B(0, ρ), 0) Trang 47 (1.37) Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh (1.38) ⇒ ind (I - Uλ, 0) = ind (I - Tλ, 0) Bây ta áp dụng bổ đề để hoàn tất việc chứng minh Định lý 3.1 sau: Vì phương trình (1.1) tương đương với phương trình (1.25): f(x, λ) ≡ x - Tλ(x) = 0, x ∈ B’(0, ro), λ ≤δo nên áp dụng hai bổ đề ta suy ra: với ε ∈ (0, δ1) : -δ1 < -ε < ≤ ε < δ1 thì: ind(I - Tε, 0) = -ind (I – T-ε, 0) (1.39) chọn r1 ∈ (0, ro) cho : ind (I – T-ε, 0) = deg (I – T-ε, ω, 0) ind (I - Tε, 0) = deg (I - Tε, ω, 0) (1.40) với ω mở ⊂ B’(0, r1) Mặt khác ánh xạ T: [-ε, ε] x ω ⎯ → Xo ½ cô đặc nên tính chất ii) kiện: deg (I - Tε, ω, 0) = -deg(I – T-ε, ω, 0) ⇒ deg (I - Tε, ω, 0) ≠ deg (I – T-ε, ω, 0) (1.41) Áp dụng tính chất bất biến qua đồng luân Do tồn x ∈ ∂ω vaø λ∈[-ε, ε] cho x - Tλx = 0, điều chứng tỏ điểm phân nhánh ứng với nhánh liên tục điểm Xo phương trình (1.25) tương đương với phương trình (1.1) Vậy Định lý 3.1 chứng minh Sau đây, ta xem hai trường hợp đặc biệt Định lý 3.1 sau: • Cho X không gian Banach thực V lân cận điểm gốc O∈X Xem phương trình có dạng: (I – (1 + λ) T)x + G1(x, λ) + D1(x, λ) = 0, ∀ x ∈ V, λ ≤ a, a > (1.42) thỏa điều kiện sau đây: Trang 48 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh (1.43) ƒ T=U+F ƒ U ∈ L(X) vaø lim U n 1/ n n →∞ (1.44) Có thể viết thành: x – Tx - λ(1 + λ)-1x + (1 + λ)-1 (G1(x, λ) + D1(x, λ)) = Đặt μ = λ = λ (1.47) λ +1 μ 1− μ (1.46) neân λ = 1− μ μ nên (1.46) thành: (I – T)x - λ(1 + λ)-1x + λ λ(1 + λ)-1 G1(x, λ) + Ñaët: I–T=A G(x, μ) = (μ - 1) G1(x, μ 1− μ ) Trang 49 λ λ(1 + λ)-1 D1(x, λ) = Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh D(x, μ) = (μ - 1) D1 (x, μ 1− μ ) Thì (1.46) tương đương với: Ax - μx – (G(x, μ) + D(x, μ)) = Khi (1.44) (1.45) nên không giá trị riêng U ⇒ I – U khả đảo liên tục, nghóa tồn (I – U)-1 : (I – U)X ⎯→ X liên tục I – U song ánh tuyến tính liên tục từ X lên (I – U)X ⇒ A = I – T = (I – U) – F laø toán tử Fredholm có ind (A) = ind [(I – U) – F] = ind (I – U) = nghóa A = I – T toán tử Fredholm số Do giả thiết G1 D1 thỏa điều kiện từ (1.3) đến (1.7) nên G D thỏa điều kiện Như áp dụng Định lý 3.1, ta có o điểm phân nhánh phương trình: Ax - μx – (G(x, μ) + D(x, μ)) = 0, nên ta điểm phân nhánh phương trình (1.42) ứng với nhánh liên tục O X Vậy định lý 3.2 chứng minh • Tiếp theo ta xét áp dụng thứ hai định lý 3.1 Xem phương trình: x = μTx với T = U + F (1.48) (1.49) ⎧U khả vi liên tục X ⎪ Trong đó: ⎨U(0) = ⎪U n k cô đặc (0 < k < 1) với n ⎩ (1.50) ⎧V lân cận điểm 0, F : V ⎯ ⎯→ X ánh xạ compact ⎨ ⎩F(0) = F khả vi (1.51) Trang 50 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh • Định lý 3.3: Xem ánh xạ T thỏa điều kiện từ (1.49) đến (1.51) Khi giá trị riêng bậc lẻ T’(0) điểm phân nhánh phương trình (1.48) ứng với nhánh liên tục X Việc chứng minh Định lý 3.3 phải dùng số kết Sadowski [7] sau đây: ♦ Bổ đề 3.3: (Định lý 1.3.7, [7]): Cho E không gian định chuẩn M tập hợp tập bị chặn E Giả sử ψ độ đo phi compact có tính chất sau: với A, B ∈ M • ψ(A) ≤ ψ(B) A ⊂ B • ψ(tA) = t ψ(A) • ψ(A + B) ≤ ψ(A) + ψ(B) • ψ(x+ A) = ψ(A) Cho V lân cận điểm xo ∈ E, F: V ⎯→ E (k, ψ) bị chặn F khả vi Fréchet xo F’(xo) (k, ψ) bị chặn (nghóa ψ(F’(xo)(A)≤ kψ(A), với A bị chặn M) ♦ Định nghóa: ƒ Cho E không gian Banach thực BE tập hợp dãy bị chặn x = (x1, x2, …, …) E BE không gian định chuẩn với chuẩn: x = sup { xn , n = 1,2 , } ƒ Xem KE = {x ∈ BE: x compact tương đối} Và ψ nửa chuẩn không gian Banach BE cho: ψx = ⇔ x ∈ KE ƒ Với A ∈ L(E), định nghóa: A ψ = sup {ψ(Ax) : x ∈ BE, ψx = 1} Trang 51 (1.52) Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh ⎧ R( A) = lim A n 1n n→∞ ⎪ ⎨ ⎪ Rψ ( A) = lim A n ψ n →∞ ⎩ ( ) (1.53) n Khi ta có Bổ đề: ♦ Bổ đề 3.4 (Định lý 2.2.9, [7]): Cho E không gian Banach, với toán tử A ∈ L(E) ε > 0, tồn phân tích A = A1 + A2 cho A2 hữu hạn chiều (1.54) R(A1) < Rψ(A) + ε Nếu α độ đo phi compact Kuratovski α thỏa điều kiện Bổ đề 3.3, α nửa chuẩn BE αx = x compact tương đối nên T ∈ L(E) ta có: α T = sup{α (Tx) : x ∈ BE, αx = 1} ≤ sup {α (Tω): ω ⊂ E, αω = 1} (1.55) α Do T (k, α) bị chặn thì: T ≤ k Chứng minh Định lý 3.3: Do U(0) = nên ta có (Un)’ (0) = (U’(0))n (1.56) Do giả thiết U k cô đặc với n nên Un (k, α) bị chặn nên theo Bổ đề 3.3 ta có: (Un)’(0) (k, α) bị chặn nên k (0 cho với ϕ thuộc cầu đóng tâm O bán kính ro: B’(0, ro) phương trình (2.1) có nghiệm xλ(ϕ(t)), ≤ t ≤ thỏa xλ (ϕ) (0) = ϕ ánh xạ (t, ϕ, λ) |⎯→ xλ(ϕ)(t) liên tục theo (t, ϕ, λ) lipschitz với số C theo ϕ Đặt T(t, s) nghiệm phương trình vi phân: T’(t, s) = A(t) T(t, s) với T(s, s) = I (2.2) Đặt W(t, s) = eλ(t – s) T(t, s) (2.3) W(t, s) nghiệm phương trình: W’(t, s) = (A(t) + λI) W(t, s) với W(s, s) = I (2.4) Bằng phương pháp biến thiên số ta coù: t xλ(ϕ)(t) = W(t, 0)ϕ + ∫ W (t , s )( f1 ( s, xλ (ϕ )( s ), λ ) + f ( s, xλ (ϕ )( s ), λ ) ds Trang 54 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh 0≤t≤1 (2.5) Hoặc tương đương: λt t λt ∫e xλ (ϕ)(t) = e T(t, 0) ϕ + e -λs T(t, s) [f1(s, xλ (ϕ)(s), λ) + f2(s, xλ (ϕ) (s), λ)]ds (2.6) Do đó: t xλ(ϕ)(1) = e T(1, 0) ϕ + e ∫ e -λs T(1, s) [f1(s, xλ (ϕ)(s), λ) + f2(s, xλ (ϕ) (s), λ)]ds (2.7) λ λ Với λ ∈ I, xλ(ϕ)(t) nghiệm – tuần hoàn ϕ = xλ(ϕ) (0) nghiệm phương trình t ϕ = xλ(ϕ)(1) = e T(1, 0) ϕ + e ∫ e -λs T(t, s) [f1(s, xλ (ϕ)(s), λ) + f2(s, xλ (ϕ) (s),λ)]ds (2.8) λ λ (2.9) Đặt T = T(1, 0) G(ϕ, λ) = ∫ e -λs T(1, s) f1(s, xλ (ϕ)(s), λ)ds (2.10) D(ϕ, λ) = ∫ e -λs T(1, s) f2(s, xλ (ϕ)(s), λ)ds (2.11) Thì phương trình (2.8) thành: ϕ = eλTϕ + eλ (G(ϕ, λ) + D(ϕ, λ) với ϕ ∈ B’(0, ro), -a ≤ λ ≤ a (2.12) neân ta có định lý: ♦ Định lý 3.4: Với ký hiệu trên, giả sử Tp ánh xạ tuyến tính cô đặc giá trị riêng bậc lẻ T Khi với ε > tồn r ∈ (0, ro) cho với tập mở ω ⊂ B(0, r), O∈ω Phương trình (2.1) có nghiệm – tuần hoàn xλ(ϕ)(t) với ϕ∈∂ω λ ≤ ε Chứng minh định lý 3.4: Trang 55 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Ta biết với λ ∈ [-a, a], xλ (ϕ)(t) nghiệm – tuần hoàn phương trình (2.1) ϕ nghiệm phương trình (2.8), ta lại có (2.8) tương đương với phương trình (2.12) nên để áp dụng Định lý 3.2 (Hệ thứ định lý phân nhánh 1) ta cần kiểm tra tính chất D(ϕ, λ) G(ϕ, λ) phương trình (2.12) nghóa chứng tỏ D G thỏa tính chất từ (1.3) đến (1.7) Với s ∈ [0, 1] đặt T (t , s ) ≤ M ta có: G (ϕ , λ ) − G (ψ , λ ) = ∫e − λs T (1, s )[ f1 ( s, xλ (ϕ ) s, λ ) − f1 ( s, xλ (ψ ) s, λ )]ds ≤ T (1, s ) f1 ( s, xλ (ϕ ) s, λ ) − f1 ( s, xλ (ψ ) s, λ )] ∫ e −λs ds ≤ Mq1 ( z , λ )C ϕ − ψ (do ≤ s ≤ neân ∫ e −λs ds ≤ 1) neân : G (ϕ , λ ) − G (ψ , λ ) ≤ q(r, λ) ϕ − ψ (2.14) với q(r, λ) ≤ Mq1(Cr, λ) (2.15) ⇒ lim q (r , λ ) = theo λ (2.16) r →0 G: V x I ⎯→ X (ϕ, λ) |⎯→ G(ϕ, λ) lieân tục thỏa (1.3) đến (1.5) ta kiểm tra với λ ∈ [-a, a] D(•, λ) toán tử compact lim ϕ →0 D(ϕ , λ ) ϕ = Xem (ϕn)n laø dãy tùy ý cầu đóng B’(0, ro) với n, đặt (2.17) xn(s) = f2(s, x (ϕn), λ) Trang 56 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Ta chứng tỏ (xn) đẳng liên tục mà ta lại có f2 compact nên (xn) compact tương đối tính liên tục bị chặn T(1, s) đoạn [0, 1] D(ϕn,λ) có dãy hội tụ nghóa D(•, λ) compact Bây ta chứng tỏ (xn) đẳng liên tục Với ε > cho trước, f2 liên tục nên tồn β > cho với (t, x), (t’, x’) ∈ [0, 1] x B’(0, r0) thoûa: (t , x) − (t ' , x ' ) = (t − t ' ) + ( x − x' ) ≡ t − t ' + x − x' < β (2.18) ta được: (2.19) f (t , x, λ ) − f (t ' , x' , λ ) < ε Do ánh xạ: (t, ϕ) |⎯→ xλ (ϕ)(t) liên tục theo (ϕ, t) B’(0, ro)x[0,1] nên với số dương β tồn nói tồn δ > 0: δ < β ⏐ t – t’⏐ < δ ⇒ xλ (ϕ n )(t ) − xλ (ϕ n )(t ' ) < β , ∀n thỏa: (2.20) Do đó: ⏐s – s’⏐ < δ ⇒ f (s , x(ϕ n ) , λ ) − f ( s ' , x(ϕ n ), λ ) < ε , ∀n (2.21) ⇒ x n ( s ) − x n ( s ' ) < ε , ∀n Vaäy (xn)n đẳng liên tục ⇒ D(•, λ) toán tử Compact D(•, λ) liên tục λ Do giả thiết Tp ánh xạ cô đặc với p nên: Tp α < , I – T toán tử Fredholm số nên theo Bổ đề 3.4 ta có: T = U + F, với F hữu hạn chiều lim U n n →∞ n 0, tồn r ∈ (0, ro) cho với tập mở ω⊂ B(0, r) với O∈ω phương trình (2.12) có nghiệm (ϕ, λ) với ϕ ∈ ∂ω λ ≤ε Định lý 3.4 chứng minh Trang 57 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh • Phần cuối chương xét áp dụng phương trình tích phân Volterra – Uryshon không gian L2 = L2[a, b] t b a a x(t) = μ ∫ V (t , s ) x( s) ds + μ ∫ K (t , s, x( s ))ds (2.24) Trong đó: M1/ V(t,s) đo theo hai biến t, s vaø: V b b = ∫ ∫ V (t , s ) dsdt < ∞ a a M2/ K(t, s, 0) = với s, t ∈ [a, b] M3/ hàm K(t, s, u) có đạo hàm theo u bị chặn ⏐K’u(t, s, u)⏐ ≤ M với s, t ∈ [a, b], u∈R M4/ Haøm K’u(t, s, u) liên tục theo u, s, t ∈ [a, b], ta đặt: b Ax(t) = ∫ K (t , s, x( s ))ds (2.25) a b Fx(t) = ∫ K u' (t , s,0) x( s )ds (2.26) a b Ux(t) = ∫ V (t , s ) x( s )ds (2.27) a Khi (M2) (M3) nên: ⏐K(t, s, u)⏐ ≤ M⏐u⏐ với s, t ∈ [a, b], u∈R Do Ax(t) = b ∫ K (t , s, x( s))ds neân A ánh xạ Compact a liên tục theo u, với s, t ∈ [a, b] nên A khả vi x và: A’(0) = F b Do (M1) vaø Ux(t) = ∫ V (t , s ) x( s )ds a Trang 58 (2.28) ∂K = K 'u (t,s,u) ∂u Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Nên U toán tử tích phân Fredholm sinh hạch V(t,s), suy U toán tử tuyến tính Compact và: lim U n n →∞ n (2.29) =0 Do phương trình tích phân Volterra – Uryshon biến đổi tương đương phương trình (1.1) sau: x(t) = μ.Ux(t) + μ.Ax(t) ⇔ x(t) - μ.Ux(t) - μ.Ax(t) = ⇔ [I - μ(U + F)] x(t) + μ.Fx(t) - μAx(t) = ⇔ (I - μT)x - μAx(t) + μFx(t) = Trong A F = A’(0) thỏa điều kiện từ (1.3) đến (1.7) phương trình (1.1) Nên áp dụng Định lý 3.2 ta có Định lý: ♦ Định lý 3.5: Với giả thiết ký hiệu nêu trên, giá trị riêng bậc lẻ I-(U+F) điểm phân nhánh phương trình (2.25) ứng với nhánh liên tục O L2 = L2([a, b]) Trang 59 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh KẾT LUẬN Tóm lại, dựa vào Định lý Morse trường hợp f thuộc lớp Cp (p ≥ 2), Định lý 1.3 luận văn nêu điều kiện khẳng định tập nghiệm phương trình f(x) = gồm hai Cp-2 đường cong Riêng trường hợp phương trình: f(x,λ) = x – T(x,λ) = T toán tử Compact T toán tử cô đặc λo giá trị đặc trưng bậc lẻ phương trình f(x,λ) = có điểm phân nhánh (0,λo) Trường hợp λo giá trị đặc trưng bậc chẵn ta chưa thể kết luận phân nhánh Đề tài bao gồm nhiều kiến thức liên quan đến phép tính vi phân không gian Banach, lý thuyết bậc tôpô trường Compact, bậc tôpô trường toán tử cô đặc Mặc dù phần cuối luận văn dẫn chứng áp dụng vào phương trình vi phân phương trình tích phân Song hạn chế mặt thời gian trình độ lực thân nên luận văn chưa nghiên cứu thật đầy đủ sâu sắc lý thuyết phân nhánh Tôi mong góp ý q thầy cô hội đồng chấm luận văn nhằm giúp tiếp tục học hỏi nghiên cứu sâu Thành phố Hồ Chí Minh 2003 Học viên THÂN PHÚ CƯỜNG Trang 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.A IZÉ, Bifurcation theory for Fredholm operator Memoirs Amer Math, soc, No 174, 1976 [2] M.A KRASNOSELSKI, Những phương pháp tôpô lý thuyết phương pháp tích phân phi tuyến NXB QG 1956 [3] J.MAWHIN, Nonlinear perturbations of Fredholm mappings in normed spaces and its applications to differential equations Trabalba de Mat, No 61 Univ, of Brasilia 1974 [4] R.K.MILLER, “Nonlinear Volterra Integral Equations” Mat lecture Note Series, Benjamin, Inc, Newyork 1971 [5] L.NIRENBERG, Bài giảng Giải tích Hàm phi tuyến, NXB Đại học, 1986 [6] P.H RABINOWITZ, A global theorem for nonlinear eigenvalue problems and applications, Contrib, Nonlinear Tel, Anal, Academic Press 1971, 11-36 [7] B.N SADOWSKI, Limit-compact and condensing operators Russian Math, Surveys 27 (1972) 85-155 [8] Lê Hoàn Hóa – Chu Đức Khánh – Phạm Hữu Trí, Định lý phân nhánh cho toán tử Fredholm ứng dụng phương trình vi phân tích phân, TẠP CHÍ THÔNG TIN KHOA HỌC TRƯỜNG ĐHSP TP.HCM số 15 (30/04/1996), trang 23 – 28 ... với x2(0) = x2s(0) = λ(0) = λo Định lý 1.4 chứng minh Trang 23 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh CHƯƠNG II ỨNG DỤNG BẬC TOPO TRONG SỰ PHÂN NHÁNH 2.1 BẬC CỦA TRƯỜNG COMPACT TẠI NGHIỆM... Schmidt – Định lý Morse – Những ứng dụng định lý Morse lý thuyết phân nhánh Chương II: Ứng dụng bậc tôpô phân nhánh Trình bày định lý Krasnoselski Rabinovitz phân nhánh cấu trúc nhánh liên tục... điểm phân nhánh phương trình f(x, λ)=0 Chứng minh Định lý 2.3: Ta chứng minh định lý 2.3 phương pháp phản chứng Trang 31 Ứng Dụng Bậc Topo Trong Lý Thuyết Phân Nhánh Giả sử (0, μo) không điểm phân