Đặc trưng tính mở, tính chính quy mêtric và tính chất lipschitz like của các ánh xạ đa trị

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Hàm giá trị tối ưu nguyên lý biến phân Ekeland 4 Đặc trưng tính phủ tính mở ánh xạ đa trị 10 2.1 Tính phủ 10 2.2 Tính mở 19 Đặc trưng tính quy mêtric ánh xạ đa trị 3.1 Tính quy mêtric 3.2 Tính Lipschitz-like Kết luận Tài liệu tham khảo tính Lipschitz-like 27 27 44 50 51 MỞ ĐẦU Tính mở, tính quy mêtric tính chất Lipschitz-like tính chất quan trọng ánh xạ đa trị, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học Cho đến nay, kết đạt theo hướng phong phú đa dạng J Schauder (1930) S Banach (1931) chứng minh tồn ánh tuyến tính liên tục không gian Banach ánh xạ mở L A Lyusternik (1934) thiết lập định lý mơ tả nón tiếp tuyến trung gian tập M := {x ∈ X : f (x) = 0} x¯ ∈ M , X , Y không gian Banach, f : X → Y hàm khả vi liên tục có đạo hàm f (¯ x) toàn ánh Bằng cách điều chỉnh chứng minh Lyusternik, người ta thu tính quy mêtric f quanh x¯ Với giả thiết f : X → Y khả vi chặt x¯ f (¯ x) toàn ánh, L M Graves (1950) chứng minh f mở địa phương quanh x¯ A D Ioffe V M Tikhomirov (1974) chứng minh f quy mêtric địa phương quanh x¯ C Ursesku (1975) S M Robinson (1976) mở rộng kết Banach-Schauder Lyusternik-Graves cho ánh xạ đa trị F có đồ thị lồi có dạng F (x) = f (x) + K x ∈ C F (x) = ∅ x ∈ X\C , C tập lồi khác rỗng khơng gian Banach X , K nón lồi đóng khơng gian Banach Y , f : X → Y khả vi chặt x¯ ∈ C cho ∈ f (¯ x) + K ∈ int f (¯ x) + f (¯ x)(C − x¯) + K Năm 1984, để phân tích độ nhạy của toán quy hoạch lồi, J.-P Aubin [1] giới thiệu khái niệm ánh xạ đa trị giả Lipschitz (cịn gọi Lipschitz-like) Ngay sau đó, J M Borwein, D M Zhuang (1988) J.-P Penot (1989) chứng minh tương đương tính Lipschitz-like ánh xạ đa trị F tính quy mêtric tính mở địa phương F −1 Trong thập niên 80, nhiều điều kiện đủ để ánh xạ có tính mở, tính quy mêtric tính Lipschitz-like đưa Năm 1993, B S Modukhovich [2] thiết lập đặc trưng tính mở, tính quy mêtric tính Lipschitz-like cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm có đồ thị đóng, sau kết phát triển cho trường hợp vô hạn chiều; xem [3, 4, 5] Ngày nay, chúng trở thành công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất ổn định hệ ràng buộc hệ biến phân chứa tham số Với mục đích tìm hiểu sâu số tính chất quan trọng ánh xạ đa trị, chọn đề tài sau cho luận văn mình: "Đặc trưng tính mở, tính quy mêtric tính chất Lipschitz-like ánh xạ đa trị" Luận văn chia làm ba chương Chương dành để giới thiệu số khái niệm sở liên quan để phục vụ cho luận văn Chương khảo sát đặc trưng tính phủ tính mở ánh xạ đa trị mối quan hệ hai tính chất Chương nghiên cứu đặc trưng tính quy mêtric tính Lipschitz-like ánh xạ đa trị mối quan hệ tính quy mêtric, tính Lipschitz-like, tính phủ tính mở Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn tác giả trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cơ giáo khoa Tốn khoa Sau Đại Học tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập cơng tác Xin cảm ơn anh chị em học viên Cao học khoá 17, đặc biệt Cao học 17 Giải tích chia sẻ khó khăn suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q Thầy Cô bạn Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Trần Thanh Hải CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich 1.1 Một số khái niệm tính chất Trong tồn luận văn ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm ta ký hiệu gphF := {(x, y) ∈ Rn × Rm : y ∈ F (x)}, DomF := {x ∈ Rn : F (x) = ∅} KerF := {x ∈ Rn : ∈ F (x)} 1.1.1 Định nghĩa (Xem [2, 3]).Cho Ω tập khác rỗng Rn , đóng địa phương quanh điểm x¯ ∈ Ω, nghĩa tồn U ∈ N (¯ x) n cho Ω ∩ cl(U ) tập đóng R (i) Nón pháp tuyến qua giới hạn Ω x¯ xác định N x¯; Ω := Lim sup cone x − Π(x; Ω) x→¯ x Nếu x¯ ∈ Ω N x¯; Ω := ∅ (ii) Tập N (¯ x; Ω) xác định x∗ , x − x¯ N (¯ x; Ω) := {x ∈ R : lim sup x − x¯ Ω x → x¯ ∗ n 0} (1.1) gọi nón pháp tuyến Fréchet tập Ω điểm x¯ ∈ Ω Nếu x¯ ∈ Ω N (¯ x; Ω) := ∅ 1.1.2 Nhận xét Nếu Ω tập lồi nón pháp tuyến giới thiệu Định nghĩa 1.1.1 trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi, tức N x¯; Ω = N (¯ x; Ω) = {x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x¯ 0, ∀x ∈ Ω} Trong trường hợp tổng quát, N x¯; Ω khơng lồi 1.1.3 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Cho Ω tập đóng khác rỗng Rn x¯ ∈ Ω Khi đó, N x¯; Ω = Lim sup N x; Ω Ω x → x¯ 1.1.4 Định nghĩa (Xem [2, 3]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị (¯ x, y¯) ∈ gphF Đối đạo hàm F (¯ x, y¯) ánh xạ đa trị D∗ F (¯ x, y¯) : Rm ⇒ Rn xác định D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ Rn : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (¯ x, y¯); gphF , (1.2) với y ∗ ∈ Rm 1.1.5 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Cho F : Rn → Rm hàm khả vi chặt điểm x¯, nghĩa F khả vi Fréchet x¯ F (x) − F (u) − ∇F (¯ x)(x − u) = x,u→¯ x x−u lim ∗ Khi đó, D∗ F (¯ x)(y ∗ ) = ∇F (¯ x) (y ∗ ) với y ∗ ∈ Rm 1.1.6 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Với ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm đóng địa phương quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF y¯∗ ∈ DomD∗ F (¯ x, y¯), đối đạo hàm qua giới hạn có tính chất vững (robustness), nghĩa D∗ F (¯ x, y¯)(¯ y∗) = Lim sup D∗ F (x, y)(y ∗ ) (x,y)∈gphF ∗ (x, y, y ) → (¯ x, y¯, y¯∗ ) 1.1.7 Định nghĩa (Xem [2, 3]) Cho ϕ : Rn → R := [−∞, +∞] hữu hạn x¯ Tập ∂ϕ(¯ x) := D∗ Eϕ x¯, ϕ(¯ x) (1) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , −1) ∈ N (¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ gọi vi phân qua giới hạn hàm ϕ x¯ Ta gọi vi phân qua giới hạn suy biến hàm ϕ x¯ tập ∂ ∞ ϕ(¯ x) xác định ∂ ∞ ϕ(¯ x) := D∗ Eϕ x¯, ϕ(¯ x) (0) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , 0) ∈ N (¯ x, ϕ(¯ x)); epiϕ epiϕ := {(x, µ) ∈ Rn+1 : µ ϕ(x)} Eϕ (x) := {µ ∈ R : µ ϕ(x)} 1.1.8 Nhận xét (i) Tập ∂ϕ(¯ x) ln đóng khơng lồi Chẳng hạn, xét hàm ϕ(x) = −|x| với x ∈ R x¯ = 0, ta có ∂ϕ(0) = {−1; 1} Nếu ϕ hàm lồi vi phân qua giới hạn ∂ϕ(¯ x) trùng với vi phân theo nghĩa giải tích lồi, tức ∂ϕ(¯ x) = x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x¯ ϕ(x) − ϕ(¯ x) ∀x ∈ Rn Khi ϕ hàm Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ ∂ϕ(¯ x) tập compact khác rỗng Tập ∂ϕ(¯ x) tập điểm ϕ hàm khả vi chặt điểm x¯ Nếu ϕ khả vi chặt x¯ ∂ϕ(¯ x) = {∇ϕ(¯ x)} (ii) Cho Ω tập đóng Rn x¯ ∈ Ω Khi đó, ta có N x¯; Ω = ∂δ x¯; Ω = ∂ ∞ δ x¯; Ω , δ ·; Ω : Rn → R ∪ {+∞} xác định δ x; Ω = x ∈ Ω δ x; Ω = +∞ x ∈ Rn \Ω gọi hàm tập Ω 1.1.9 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Nếu hàm ϕ : Rn → R đạt cực tiểu địa phương x¯ ∈ domϕ ∈ ∂ϕ(¯ x), domϕ := {x ∈ Rn : |ϕ(x)| < ∞} 1.1.10 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Giả sử hàm ϕ : Rn → R hàm nửa liên tục quanh điểm x¯ ∈ domϕ Khi đó, ϕ Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ ∂ ∞ ϕ(¯ x) = {0} 1.1.11 Mệnh đề (Xem [2, 3]) Nếu ϕ : Rn → Rm hàm Lipschitz địa phương quanh điểm x¯, D∗ ϕ(¯ x)(y ∗ ) = ∂ y ∗ , ϕ (¯ x) = ∅ với y ∗ ∈ Rm , y ∗ , ϕ (x) = y ∗ , ϕ(x) với x ∈ Rn , 1.1.12 Định lý (Xem [2, 3]) Cho F1 , F2 : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng (¯ x, y¯) ∈ gph F1 + F2 Giả sử tập S(x, y) := (y1 , y2 ) ∈ R2m : y1 ∈ F1 (x), y2 ∈ F2 (x), y1 + y2 = y bị chặn quanh điểm (¯ x, y¯) D∗ F1 (¯ x, y1 )(0) ∩ − D∗ F2 (¯ x, y2 )(0) = {0} ∀(y1 , y2 ) ∈ S(¯ x, y¯) (1.3) Khi đó, D∗ (F1 + F2 )(¯ x, y¯)(y ∗ ) ⊂ [D∗ F1 (¯ x, y1 )(y ∗ ) + D∗ F2 (¯ x, y2 )(y ∗ )], (y1 ,y2 )∈S(¯ x,¯ y) với y ∗ ∈ Rm 1.1.13 Hệ (Xem [2, 3]) Giả sử ϕ1 , ϕ2 : Rn → R hai hàm nửa liên tục quanh điểm x¯ ∈ domϕ1 ∩ domϕ2 ∂ ∞ ϕ1 (¯ x) ∩ − ∂ ∞ ϕ2 (¯ x) = {0} (1.4) Khi đó, ∂(ϕ1 + ϕ2 )(¯ x) ⊂ ∂ϕ1 (¯ x) + ∂ϕ2 (¯ x) 1.1.14 Nhận xét Điều kiện (1.4) thỏa mãn ϕ1 ϕ2 Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ 1.2 Hàm giá trị tối ưu nguyên lý biến phân Ekeland Trong mục này, trước hết nhắc lại số công thức ước lượng vi phân hàm giá trị tối ưu Tiếp mở rộng nguyên lý biến phân Ekeland Các kết dùng phần sau Cho ϕ : Rm → R hàm số thực suy rộng F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị Với x ∈ Rn , xét toán tối ưu phụ thuộc tham số sau đây:  ϕ(y) → inf, (Px )  y ∈ F (x) Đặt m(x) := inf ϕ(y) : y ∈ F (x) M (x) := y ∈ F (x) : ϕ(y) = m(x) Ta gọi m : Rn → R M : Rn ⇒ Rm tương ứng hàm giá trị tối ưu ánh xạ nghiệm toán (Px ) Với Ω = ∅ Ω ∈ Rn , đặt Π(x, Ω) := {ω ∈ clΩ : x − ω = d(x, Ω)} 1.2.1 Định lý (Xem [2, 3]) Giả sử F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, M (x) = ∅ bị chặn quanh điểm x¯ ∈ dom(m), ϕ : Rm → R hàm nửa liên tục quanh điểm y¯ ∈ F (¯ x) Khi đó, ∂ ∞ F (¯ y ) ∩ kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0}, với y¯ ∈ M (¯ x), D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) : y ∗ ∈ ∂F (¯ y ); y¯ ∈ M (¯ x) ∂m(¯ x) ⊂ (1.5) y ∗ ,y Nếu g ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phương quanh x¯ ∂ y ∗ , F (¯ x) ∂(g ◦ F )(¯ x) ⊂ y ∗ ∈∂g(¯ y) Do đó, đặt ρv (x) := d(v, F (x)) với x ∈ Rn , ta có hệ sau 1.2.2 Hệ (Xem [2, 3]) Giả sử F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng bị chặn địa phương quanh điểm x¯ ∈ domF Khi ∂ρv (¯ x) ⊂ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) : y ∗ 1, y ∗ , y¯ − v = y¯ − v , y¯ ∈ Π v; F (¯ x) , y ∗ = (¯ y − v) v ∈ / F (¯ x) y¯ − v Kết sau phiên nguyên lý biến phân Ekeland (1974) cho không gian hữu hạn chiều 1.2.3 Định lý (Xem [2, 3]) Cho ϕ : Rn → (−∞, ∞] hàm thường nửa liên tục bị chặn Giả sử ε > xε ∈ Rn thỏa mãn ϕ(xε ) inf n ϕ(x) + ε Khi đó, với λ > tồn x∈R Rn điểm xλ ∈ cho (i) ϕ(xλ ) ϕ(xε ); (ii) xλ − xε λ; (iii) ϕ(xλ ) ϕ(x) + λε x − xλ với x ∈ Rn Ngoài kiến thức trình bày trên, kết khác giải tích biến phân lý thuyết tối ưu tìm thấy [3] 10 CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG TÍNH PHỦ VÀ TÍNH MỞ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chương dành để khảo sát tính phủ tính mở ánh xạ đa trị có đồ thị đóng F : Rn ⇒ Rm quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF Trong mục xét khái niệm có liên hệ qua lại với tính chất phủ tính chất mở ánh xạ đa trị thu đặc trưng chúng 2.1 Tính phủ 2.1.1 Định nghĩa (Xem [2]) Ta nói hàm F có tính chất phủ quanh điểm x¯ tồn a > U ∈ N (¯ x) cho Bar (F (x)) ⊂ F (Br (x)) với (x, r) ∈ Rn × (0, +∞) thỏa mãn Br (x) ⊂ U Mỗi số a > gọi modulus tính phủ F quanh điểm x¯ Superemum tất modulus tính phủ F quanh điểm x¯ gọi cận phủ F quanh điểm x¯ kí hiệu (covF )(¯ x) Trong đó, N (¯ x) tập m hợp tất lân cận mở điểm x¯ Bar := {y ∈ R : d(y, F (x)) ar} 2.1.2 Ví dụ Xét hàm F := f : R → R cho f (x) = x với x ∈ R x¯ ∈ R Ta có a ∈ (0, 1] modulus tính phủ F x¯, a ∈ (0, 1] khơng modulus tính phủ F x¯ (covF )(¯ x) = 2.1.3 Nhận xét Cận phủ (covF )(¯ x) cận nhỏ tất modulus tính phủ F quanh điểm x¯ nhưng, ví dụ tiếp theo, khơng modulus tính phủ F quanh x¯ 2.1.4 Ví dụ Xét hàm F := f : R → R cho f (x) = x2 + 2x với x ∈ R x¯ = Khi đó, (covF )(¯ x) = khơng modulus tính phủ F x¯ Thật vậy, ta chứng minh a ∈ (0, 2) 37 Thật vậy, giả sử y ∈ V d y, F (x) < γ Khi đó, tồn z ∈ F (x) cho d y, F (x) y − z < γ Ta có z − y¯ z − y + y − y¯ < γ + ε ε Do đó, z ∈ int Bε (¯ y ) = V F (x) ∩ V = ∅ Từ ta suy (3.2) với x ∈ U , y ∈ V thỏa mãn (3.3) (ii) Nếu F quy mêtric toàn cục quanh điểm y¯ miền hữu hiệu, tồn W ∈ N (¯ y ) c > 0, γ > cho (3.2) với γ x ∈ Rn , y ∈ W thỏa mãn (3.3) Đặt V := int Br (¯ y ) với r ∈ (0, ) Ta chứng minh ∀x ∈ Rn , F (x) ∩ V = ∅ ⇒ d y, F (x) < γ, ∀y ∈ V Thật vậy, lấy z ∈ F (x) ∩ V y ∈ V Ta có d y, F (x) y−z y − y¯ + y¯ − z < r + r 2r < γ Đặt V := W ∩ V Khi đó, với x ∈ Rn , y ∈ V thỏa mãn (3.12), ta có x ∈ Rn , y ∈ W d y, F (x) < γ Do đó, d x, F −1 (y) cd y, F (x) Bây ta chứng minh chiều ngược lại khẳng định (ii) Giả sử tồn V = int Bε (¯ y ) (ε > 0) c > cho (3.2) với x ∈ Rn ε y ∈ V thỏa mãn (3.12) Đặt V := int Bε/2 (¯ y ) γ := Ta chứng minh ∀(x, y) ∈ Rn × V thỏa mãn d(y, F (x)) < γ ⇒ F (x) ∩ V = ∅ Thật vậy, giả sử y ∈ V d y, F (x) < γ Khi đó, tồn z ∈ F (x) cho d y, F (x) y − z < γ Ta có z − y¯ z − y + y − y¯ < γ + ε ε Do đó, z ∈ int Bε (¯ y ) = V F (x) ∩ V = ∅ Từ ta suy (3.2) với x ∈ Rn , y ∈ V thỏa mãn (3.3) (iii) Nếu F quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ x, y¯), tồn U ∈ N (¯ x), W ∈ N (¯ y ) c > 0, γ > cho (3.2) với 38 γ x ∈ U , y ∈ W thỏa mãn (3.3) Đặt V := int Br (¯ y ) với r ∈ (0, ) Ta chứng minh ∀x ∈ U, F (x) ∩ V = ∅ ⇒ d y, F (x) < γ, ∀y ∈ V Thật vậy, lấy z ∈ F (x) ∩ V y ∈ V Ta có d y, F (x) y−z y − y¯ + y¯ − z < r + r 2r < γ Đặt V := W ∩ V Khi đó, với x ∈ U , y ∈ V thỏa mãn (3.12), ta có x ∈ U , y ∈ W d y, F (x) < γ Do đó, d x, F −1 (y) cd y, F (x) Bây ta chứng minh chiều ngược lại khẳng định (iii) Giả sử tồn U ∈ N (¯ x), V = int Bε (¯ y ) (ε > 0) c > cho (3.2) với ε x ∈ U y ∈ V thỏa mãn (3.12) Đặt V := int Bε/2 (¯ y ) γ := Ta chứng minh ∀(x, y) ∈ Rn × V thỏa mãn d(y, F (x)) < γ ⇒ F (x) ∩ V = ∅ Thật vậy, giả sử y ∈ V d y, F (x) < γ Khi đó, tồn z ∈ F (x) cho d y, F (x) y − z < γ Ta có z − y¯ z − y + y − y¯ < γ + ε ε Do đó, z ∈ int Bε (¯ y ) = V F (x) ∩ V = ∅ Từ ta suy (3.2) với x ∈ U , y ∈ V thỏa mãn (3.3) 3.1.10 Định lý (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, điều kiện sau tương đương (i) F quy mêtric compact quanh điểm y¯ miền hữu hiệu (ii) F quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ x, y¯) với −1 x¯ ∈ F (¯ y ) (iii) Với tập compact U ⊂ Rn , tồn V ∈ N (¯ y ) c > cho y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ U, y ∈ F (x) ∩ V 39 (iv) Với tập compact U ⊂ Rn , tồn V ∈ N (¯ y ) cho kerD∗ F (x, y) = {0}, ∀x ∈ U, y ∈ F (x) ∩ V (v) kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0}, với x¯ ∈ F −1 (¯ y ) Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử F quy mêtric compact quanh điểm y¯ miền hữu hiệu x¯ ∈ F −1 (¯ y ) Theo định nghĩa, với tập compact U = Bε (¯ x) (ε > 0), tồn V ∈ N (¯ y ) c > 0, γ > cho d x, F −1 (y) cd y, F (x) , với x ∈ U y ∈ V thỏa mãn d y, F (x) < γ Điều chứng tỏ F quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ x, y¯) với x¯ ∈ F −1 (¯ y ) (ii) ⇒ (iii) Giả sử (ii) Theo Hệ 3.1.3, F mở với hệ số tuyến tính quanh điểm (¯ x, y¯) với x¯ ∈ F −1 (¯ y ) Theo Định lý 2.2.4, với x¯ ∈ F −1 (¯ y ), tồn cx¯ > 0, Ux¯ ∈ N (¯ x) Vx¯ ∈ N (¯ y ) cho y∗ cx¯ x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ Ux¯ , y ∈ F (x) ∩ Vy¯ (3.13) Giả sử U tập compact Rn Ta xét hai trường hợp sau a) Trường hợp F −1 (¯ y ) ∩ U = ∅ Khi đó, với x¯ ∈ F −1 (¯ y) ∩ U , tồn cx¯ > lân cận mở Ux¯ ∈ N (¯ x), Vx¯ ∈ N (¯ y ) cho (3.13) Vì F −1 (¯ y ) ∩ U tập compact {Ux¯ }x¯∈F −1 (¯y)∩U phủ mở F −1 (¯ y ) ∩ U nên tồn phủ hữu hạn {Ui }i∈I tập F −1 (¯ y) ∩ U họ {Vi } {ci } (i ∈ I ) tương ứng Đặt W := Ui , V := Vi i∈I i∈I c := max ci < ∞ Ta có i∈I y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ W, y ∈ F (x) ∩ V (3.14) Với z ∈ U \W , F −1 (¯ y ) ∩ (U \W ) = ∅ gphF đóng nên tồn lân cận mở Uz ∈ N (z) Vz ∈ N (¯ y ) cho Uz × Vz ∩ gphF = ∅ Vì U \W tập compact {Uz }z∈U \W phủ mở U \W , nên ta chọn phủ hữu hạn {Uj }j∈J tập U \W lân cận tương ứng Vj ∈ N (¯ x) (j ∈ J ) Đặt U := Uj V := Vj , ta có j∈J j∈J U × V ∩ gphF = ∅ Do đó, y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V (3.15) 40 Đặt V := V ∩ V Vì U ⊂ W ∪ U nên từ (3.14) (3.15) ta suy y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V b) Trường hợp F −1 (¯ y ) ∩ U = ∅ Lặp lại lập luận với W = ∅, ∗ ∗ ta có y c x với x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V, V := V (iii) ⇒ (iv) Giả sử (iii) Lấy tập compact U ⊂ Rn Theo (iii), tồn c > V ∈ N (¯ y ) cho y ∗ c x∗ với x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V (x∗ , y ∗ ) ∈ Rn × Rm thỏa mãn x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ) Ta có kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0} với x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V Thật vậy, (x, y) ∈ gphF nên ∈ kerD∗ F (x, y) Lấy x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V y ∗ ∈ kerD∗ F (x, y) Ta có ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ) Do y ∗ c = 0, nghĩa y ∗ = Vậy kerD∗ F (x, y) = {0} với x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V (iv) ⇒ (v) Giả sử tính chất (iv) x¯ ∈ F −1 (¯ y ) Lấy U = {¯ x} Theo (iv), tồn V ∈ N (¯ y ) cho kerD∗ F (x, y) = {0} với x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V Từ ta suy kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0}, x¯ ∈ U y¯ ∈ F (¯ x) ∩ V (v) ⇒ (i) Giả sử (v) Theo Hệ 3.1.3, (ii) Như chứng minh (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) ⇔ (v) Bây ta chứng minh (ii) ⇒ (i) Giả sử (ii) U tập compact Rn Ta xét hai trường hợp sau a) Trường hợp F −1 (¯ y ) ∩ U = ∅ Vì F quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ x, y¯) với x¯ ∈ F −1 (¯ y )∩U nên tồn cx¯ > 0, γx¯ > lân cận mở Ux¯ ∈ N (¯ x), Vx¯ ∈ N (¯ y ) cho (3.2) với c = cx¯ x ∈ Ux¯ , y ∈ Vx¯ thỏa mãn d(y, F (x)) < γx¯ x¯ ∈ F −1 (¯ y ) ∩ U Vì F −1 (¯ y ) ∩ U tập compact {Ux¯ }x¯∈F −1 (¯y)∩U phủ mở F −1 (¯ y ) ∩ U nên tồn phủ hữu hạn {Ui }i∈I tập F −1 (¯ y ) ∩ U họ {Vi }, {ci } {γi } (i ∈ I ) tương ứng Đặt W := Ui , V := Vi , c := max ci < ∞ i∈I i∈I i∈I γ := γi > Khi đó, i∈I d x, F −1 (y) cd y, F (x) , (3.16) với y ∈ V x ∈ W thỏa mãn d y, F (x) < γ Với z ∈ U \W , 41 F −1 (¯ y ) ∩ (U \W ) = ∅ gphF đóng nên tồn δz > cho Bδz (z) × Bδz (¯ y ) ∩ gphF = ∅ Ta chứng minh ρz := inf d y, F (x) > x∈Bδz (z), y∈Bδz (¯ y) Thật vậy, ρz = tồn xi ∈ Bδz (z) yi ∈ Bδz (¯ y ) cho d yi , F (xi ) → ρz = i → ∞ Vì Bδz (¯ y ) Bδz (z) tập compact nên, cách thay dãy cần, ta giả thiết (xi , yi ) → (˜ x, y˜) ∈ Bδz (z) × Bδz (¯ y ) Chọn y˜i ∈ F (xi ) cho yi − y˜i < d yi , F (xi ) + i−1 gphF Ta có (xi , y˜i ) −→ (˜ x, y˜) i → ∞ Vì gphF đóng nên (˜ x, y˜) ∈ gphF Từ suy (˜ x, y˜) ∈ Bδz (z) × Bδz (¯ y ) ∩ gphF Đây điều mâu thuẫn Bδz (z) × Bδz (¯ y ) ∩ gphF = ∅ Do ρz > Đặt Uz := int Bδz (z) Vz := int Bδz (¯ y ) Ta có Uz ∈ N (z), Vz ∈ N (¯ y ) γ˜z : = inf d y, F (x) ρz > 0, (3.17) y∈Vz , x∈Uz với z ∈ V \W Vì U \W tập compact {Uz }z∈U \W phủ mở U \W , nên ta chọn phủ hữu hạn {Uj }j∈J tập U \W lân cận tương ứng Vj ∈ N (¯ x) số γ˜j (3.17) (j ∈ J ) Vj , ta có Đặt γ˜ := γ˜j V := j∈J j∈J d y, F (x) γ˜ , ∀x ∈ U \W, ∀y ∈ V (3.18) Đặt V := V ∩ V , γ¯ := min{γ , γ˜ } lấy γ ∈ (0, γ¯ ) Lấy x ∈ U y ∈ V thỏa mãn d y, F (x) < γ Ta cần chứng minh d x, F −1 (y) cd y, F (x) Thật vậy, d y, F (x) < γ < γ˜ y ∈ V nên từ (3.18) ta suy x ∈ U ∩ W Do đó, theo (3.16), d x, F −1 (y) cd y, F (x) b) Trường hợp F −1 (¯ y ) ∩ U = ∅ Lặp lại lập luận với W = ∅, ta có d x, F −1 (y) cd y, F (x) , với y ∈ V := V x ∈ U thỏa mãn d y, F (x) < γ , γ ∈ (0, γ¯ ) 42 Đặt a ¯(F, y¯) := inf x∗ : x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ), y ∗ = 1, x¯ ∈ F −1 (¯ y) c¯(F, y¯) := inf c > : y ∗ c x∗ x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ), x¯ ∈ F −1 (¯ y) (3.19) (3.20) 3.1.11 Định lý (Xem [2]) Cho F −1 : Rm ⇒ Rn ánh xạ đa trị có đồ thị đóng bị chặn địa phương quanh y¯ ∈ Rm Khi đó, tính chất sau tương đương (i) F quy mêtric tồn cục quanh y¯ miền hữu hiệu với modulus c > (ii) F quy mêtric compact quanh y¯ miền hữu hiệu (iii) F quy mêtric địa phương quanh (¯ x, y¯) với x¯ ∈ F −1 (¯ y ) (iv) Tồn V ∈ N (¯ y ) c > cho y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x ∈ Rn , y ∈ F (x) ∩ V (v) Tồn V ∈ N (¯ y ) cho kerD∗ F (x, y) = {0}, ∀x ∈ Rn , y ∈ F (x) ∩ V (vi) kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0}, với x¯ ∈ F −1 (¯ y ) (vii) c¯(F, y¯) < ∞ Nếu tính chất đúng, (gregF )(¯ y ) = c¯(F, y¯) = = sup a ¯(F, y¯) (3.21) D∗ F −1 (¯ y , x¯) : x¯ ∈ F −1 (¯ y) Chứng minh (i) ⇒ (ii) hiển nhiên (ii) ⇒ (i) Giả sử F −1 bị chặn địa phương quanh điểm y¯ (ii) Do giả thiết bị chặn địa phương quanh điểm y¯ F , tồn tập compact U ⊂ Rn V ∈ N (¯ y ) cho F −1 (y) ⊂ U với y ∈ V Do đó, F (x) ∩ V = ∅ ⇒ x ∈ U (3.22) 43 Theo Mệnh đề 3.1.9, với tập compact U = U ta tìm c > V ∈ N (¯ y ) cho (3.2) thỏa mãn y ∈ V x ∈ U thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ Đặt V := V ∩ V Từ điều kiện (3.22) ta suy F quy mêtric tồn cục quanh điểm y¯ miền hữu hiệu Vậy (i) ⇔ (ii) Do F −1 bị chặn địa phương quanh điểm y¯, theo Định lý 3.1.10, (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) ⇔ (v) ⇔ (vi) Bây chúng chứng minh (vi) ⇔ (vii) Trước hết ta giả sử (vi) không đúng, nghĩa tồn x¯ ∈ F −1 (¯ y ) y¯∗ = cho ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(¯ y ∗ ) (3.23) Do đó, khơng tồn c > thỏa mãn y∗ c x∗ , ∀x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) x¯ ∈ F −1 (¯ y ) (3.24) Từ suy c¯(F, y¯) = ∞ Điều có nghĩa (vii) ⇒ (vi) Giả sử c¯(F, y¯) = ∞, nghĩa khơng có c > thỏa mãn (3.24) Do đó, ta y) tìm dãy số dương ck → ∞ véctơ x¯k , x∗k , yk∗ với x¯k ∈ F −1 (¯ −1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ xk , y¯)(yk ) cho xk < ck yk với k ∈ N Đặt xk ∈ D F (¯ −1 ∗ ∗ ∗ yk x¯∗k := yk∗ −1 x∗k Ta có y¯k := yk x¯∗k < ∗ , x¯k ∈ D∗ F (¯ xk , y¯)(¯ yk∗ ), x¯k ∈ F −1 (¯ y ) ck y¯k∗ = (3.25) Do F −1 bị chặn địa phương quanh điểm y¯, cách thay dãy cần thiết, ta giả sử y¯k∗ → y¯∗ , x¯∗k → x¯k → x¯ Từ (3.25) sử dụng tính chất vững đối đạo hàm ta suy ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(¯ y ∗ ), x¯ ∈ F −1 (¯ y ) y¯∗ = Do đó, (vi) ⇒ (vii) Để hoàn tất chứng minh định lý kiểm tra đẳng thức (3.21) Đẳng thức thứ (3.21) suy từ Hệ 3.1.3 quan hệ c¯(F, y¯) = sup{c(F, x¯, y¯) : x¯ ∈ F −1 (¯ y )} (3.26) (gregF )(¯ y ) = sup{(lregF )(¯ x, y¯) : x¯ ∈ F −1 (¯ y )} 44 chứng minh tương tự cách chứng minh a ¯(F, y¯) Mệnh đề 2.1.5 Đẳng thức lại (3.21) suy từ đẳng thức (3.7) (3.26) Định lý chứng minh Đẳng thức c¯(F, y¯) = 3.2 Tính Lipschitz-like 3.2.1 Định nghĩa (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm Ta nói rằng: (i) F Lipschitz-like quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF với modulus tồn U ∈ N (¯ x) V ∈ N (¯ y ) cho F (˜ x) ∩ V ⊂ F (x) + x˜ − x B, với x, x˜ ∈ U > (3.27) Infimum tất modulus > gọi cận tính Lipschitz-like F quanh điểm (¯ x, y¯) ký hiệu (plipF )(¯ x, y¯) (ii) F Lipschitz quanh điểm x¯ ∈ DomF với tập compact V ⊂ Rm , tồn U ∈ N (¯ x) > cho điều kiện (3.27) thỏa mãn (iii) F Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ ∈ DomF với modulus > tồn U ∈ N (¯ x) cho (3.27) thỏa mãn với V = Rm Infimum tất modulus > gọi cận tính Lipschitz địa phương F quanh điểm x¯ ký hiệu (lipF )(¯ x) 3.2.2 Định lý (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, khẳng định sau (i) F Lipschitz-like quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF với modulus F −1 quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF với modulus c = (ii) F Lipschitz quanh điểm x¯ ∈ DomF F −1 quy mêtric compact quanh x¯ ∈ ImF −1 miền hữu hiệu (iii) F Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ ∈ DomF với modulus > F −1 quy mêtric tồn cục quanh điểm x¯ ∈ ImF −1 miền hữu hiệu với modulus c = Chứng minh Ta có (3.27) viết dạng tương đương sau: d y, F (x) x − x˜ với x, x˜ ∈ U y ∈ F (˜ x) ∩ V (3.28) 45 Giả sử F Lipschitz-like quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ gphF với modulus > Khi đó, tồn U ∈ N (¯ x) V ∈ N (¯ y ) cho (3.28) Do đó, d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) , d y, F (x) với x ∈ U , y ∈ V (x, r) ∈ Rn × (0, ∞) thỏa mãn Br (¯ x) ⊂ U Bây ta chứng minh x ∈ int Br/4 (¯ x) F −1 (y) ∩ int Br/4 (¯ x) = ∅ d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) = d x, F −1 (y) Thật vậy, ta ln có d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) d x, F −1 (y) Vì F −1 (y) ∩ int Br/4 (¯ x) = ∅, nên tồn x˜ ∈ F −1 (y) ∩ int Br/4 (¯ x) Lấy z ∈ F −1 (y) Ta cần chứng minh d(x, z) d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) Xét hai trường hợp sau a) Trường hợp z ∈ F −1 (y) ∩ Br (¯ x) Khi đó, d(x, z) = d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) b) Trường hợp z ∈ F −1 (y) ∩ Br (¯ x) Ta có d(z, x¯) > r d(x, z) d(z, x¯) − d(x, x¯) >r− r 3r = > d(˜ x, x¯) + d(x, x¯) 4 d(x, x˜) d x, F −1 (y) ∩ Br (¯ x) Từ suy d y, F (x) d x, F −1 (y) , (3.29) với y ∈ V , x ∈ U := int Br/4 (¯ x) thỏa mãn F −1 (y) ∩ int Br/4 (¯ x) = ∅ Theo Mệnh đề 3.1.9, F −1 quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ y , x¯) ∈ gphF −1 Ngược lại, giả sử F −1 quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ y , x¯) ∈ gphF −1 Theo Mệnh đề 3.1.9, tồn r > V ∈ N (¯ y ) cho (3.29) với x ∈ U := Br/4 (¯ x) y ∈ V thỏa mãn F −1 (y) ∩ U = ∅ Điều kéo theo tính chất Lipschitz-like (3.28) cho ánh xạ đa trị F Chứng minh (ii) (iii) tương tự 46 3.2.3 Hệ (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, F −1 Lipschitz-like quanh điểm (¯ y , x¯) ∈ gphF −1 kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0} (3.30) Chứng minh Vì F có đồ thị đóng nên từ Định lý 3.2.2 ta suy F −1 Lipschitz-like quanh điểm (¯ y , x¯) ∈ gphF −1 F quy mêtric địa phương quanh (¯ x, y¯) ∈ gphF Theo Hệ 3.1.3, ánh xạ đa trị F có đồ thị đóng, tính quy mêtric địa phương quanh (¯ x, y¯) ∈ gphF F tương đương với tính chất kerD∗ F (¯ x, y¯) = {0} Từ ta thu điều phải chứng minh 3.2.4 Định lý (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, tính chất sau tương đương (i) F Lipschitz-like quanh điểm (¯ x, y¯) với modulus > (ii) Ta có c(F −1 , y¯, x¯) = inf c > : x∗ c y∗ x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) < ∞ (iii) Tồn (3.31) > 0, U ∈ N (¯ x) V ∈ N (¯ y ) cho sup x∗ : x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ) y∗ , (3.32) với x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V y ∗ ∈ Rm (iv) Tồn U ∈ N (¯ x) V ∈ N (¯ y ) cho D∗ F (x, y)(0) = {0}, (3.33) với x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V (v) D∗ F (¯ x, y¯)(0) = {0} Nếu tính chất đúng, (plipF )(¯ x, y¯) = D∗ F (¯ x, y¯) = c(F −1 , y¯, x¯) = , a(F −1 , y¯, x¯) (3.34) a(F −1 , y¯, x¯) = inf y ∗ : ∃x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ), x∗ = > 47 Chứng minh Theo Định lý 3.2.2, F Lipschitz-like quanh điểm (¯ x, y¯) ∈ −1 gphF với modulus > F quy mêtric địa phương quanh điểm (¯ y , x¯) ∈ gphF −1 với modulus c = Từ suy (plipF )(¯ x, y¯) = (lregF −1 )(¯ y , x¯) Do đó, theo Hệ 3.1.3, ta có (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) ⇔ (v) Lưu ý (lregF −1 )(¯ y , x¯) = c(F −1 , y¯, x¯) = a(F −1 , y¯, x¯) Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 3.1.7 cho hàm F −1 , ta có c(F −1 , y¯, x¯) = D∗ F (¯ x, y¯) Từ lập luận ta suy (plipF )(¯ x, y¯) = D∗ F (¯ x, y¯) = c(F −1 , y¯, x¯) = a(F −1 , y¯, x¯) Định lý chứng minh 3.2.5 Định lý (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, tính chất sau tương đương (i) F Lipschitz quanh điểm x¯ (ii) Với tập compact V ⊂ Rm , tồn > U ∈ N (¯ x) cho sup x∗ : x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ) y∗ , với x ∈ U , y ∈ F (x) ∩ V y ∗ ∈ Rm (iii) Với tập compact V ⊂ Rm , tồn cho D∗ F (x, y)(0) = {0}, > U ∈ N (¯ x) với x ∈ U y ∈ F (x) ∩ V (iv) D∗ F (¯ x, y¯)(0) = {0}, với y¯ ∈ F (¯ x) Chứng minh Theo Định lý 3.2.2, F Lipschitz quanh điểm x¯ F −1 quy mêtric compact quanh điểm x¯ ∈ ImF −1 miền hữu hiệu Do đó, theo Định lý 3.1.10, (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) 48 3.2.6 Hệ (Xem [2]) Cho F1 , F2 : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Khi đó, F1 F2 Lipschitz quanh điểm x¯ ∈ DomF1 ∩ DomF2 , D∗ F1 (¯ x, y1 )(0) ∩ − D∗ F2 (¯ x, y2 )(0) = {0}, ∀(y1 , y2 ) ∈ S(¯ x, y¯), S(¯ x, y¯) := {(y1 , y2 ) : y1 ∈ F1 (¯ x), y2 ∈ F2 (¯ x), y1 + y2 = y} Chứng minh Theo Định lý 3.2.5, F1 F2 Lipschitz quanh điểm x¯ ∈ DomF1 ∩ DomF2 D∗ F1 (¯ x, y1 )(0) = {0} với y1 ∈ F1 (¯ x) ∗ D F2 (¯ x, y2 )(0) = {0} với y2 ∈ F2 (¯ x) Do đó, D∗ F1 (¯ x, y1 )(0) ∩ − D∗ F2 (¯ x, y2 )(0) = {0}, với (y1 , y2 ) ∈ S(¯ x, y¯) 3.2.7 Định lý (Xem [2]) Cho F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng bị chặn địa phương quanh điểm x¯ ∈ DomF Khi đó, tính chất sau tương đương (i) F Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ với modulus > (ii) Ta có c¯(F, y¯) := inf c : y ∗ c x∗ x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ), x¯ ∈ F −1 (¯ y ) < ∞ (iii) Tồn U ∈ N (¯ x) sup > cho x∗ : x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) y∗ , với x ∈ U , y ∈ F (x) y ∗ ∈ Rm (iv) Tồn U ∈ N (¯ x) cho D∗ F (x, y)(0) = {0}, với x ∈ U y ∈ F (x) Nếu tính chất đúng, (lipF )(¯ x) = sup = D∗ F (¯ x, y¯) : y¯ ∈ F (¯ x) c¯(F −1 , x¯) = a ¯(F −1 , x¯) (3.35) , 49 a ¯(F −1 , x¯) = inf y ∗ : ∃x∗ ∈ D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ), x∗ = 1, y¯ ∈ F (¯ x) > Chứng minh Theo Định lý 3.2.2, F Lipschitz địa phương quanh điểm x¯ với modulus > F −1 quy mêtric toàn cục quanh điểm x¯ ∈ ImF −1 miền hữu hiệu với modulus c = Từ suy (lipF )(¯ x) = (gregF −1 )(¯ x) Vì F : Rn ⇒ Rm ánh xạ đa trị có đồ thị đóng bị chặn địa phương quanh điểm x¯ ∈ DomF nên theo Định lý 3.1.11, ta có (i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) ⇔ (v) (gregF −1 )(¯ y ) = sup D∗ F −1 (¯ y , x¯) : x¯ ∈ F −1 (¯ y ) = c¯(F, y¯) = a ¯(F, y¯) Từ đó, ta suy (lipF )(¯ x) = sup D∗ F (¯ x, y¯) : y¯ ∈ F (¯ x) = c¯(F −1 , x¯) = Định lý chứng minh a ¯(F −1 , x¯) 50 kết luận Luận văn thu kết sau: 1.Trình bày hệ thống khái niệm tính chất tính phủ, tính mở, tính quy mêtric tính Lipschitz-like ánh xạ đa trị Chứng minh chi tiết tính đặc trưng tính chất (Định lý 2.1.6, Định lý 2.2.4, Định lý 3.1.2,Định lý 3.2.2, Định lý 3.2.5) Xây dựng số ví dụ minh họa cho tính chất Chẳng hạn Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.1.4 Khảo sát mối quan hệ qua lại tính phủ, tính mở, tính quy mêtric tính Lipschitz-like ánh xạ đa trị chứng minh tính chất qua lại tính chất trên( Hệ 3.1.3, Hệ 3.1.4, Hệ 3.1.5, Định lý 3.1.11, Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.7) 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.-P Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Math Oper Res 9, 87 - 111 [2] B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc 340, - 35 [3] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Volume I: Basic Theory, Springer, Berlin [4] B S Mordukhovich, Y Shao (1995), Differential characterizations of covering, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions between Banach spaces, Nonlinear Anal 24, 1401 1424 [5] B S Mordukhovich, Y Shao (1997), Stability of set-valued mapping in infinite dimensions: point criteria and applications, SIAM J Optim 35, 285 - 314 ... tính mở ánh xạ đa trị mối quan hệ hai tính chất Chương nghiên cứu đặc trưng tính quy mêtric tính Lipschitz- like ánh xạ đa trị mối quan hệ tính quy mêtric, tính Lipschitz- like, tính phủ tính mở Luận... LIPSCHITZ- LIKE CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ Tính chất quy mêtric tính Lipschitz- like ánh xạ đa trị có quan hệ mật thiết với Trong chương nghiên cứu đặc trưng chúng nghiên cứu mối quan hệ qua lại tính quy mêtric, ... tương đương tính Lipschitz- like ánh xạ đa trị F tính quy mêtric tính mở địa phương F −1 Trong thập niên 80, nhiều điều kiện đủ để ánh xạ có tính mở, tính quy mêtric tính Lipschitz- like đưa Năm