Tính liên tục của ánh xạ đa trị

0 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC DƯƠNG THỊ TRUNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Vinh, năm 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương 1: Ánh xạ đa trị .3 1.1 Một số khái niệm sở 1.2 Một ví dụ 1.3 Các tính chất ánh xạ đa trị Chương 2: Các tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị 11 2.1 Một số khái niệm sở 11 2.2 Các ví dụ 14 2.3 Các tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị .18 Chương 3: Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị 26 3.1 Một số khái niệm sở 26 3.2 Các ví dụ 27 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 MỞ ĐẦU Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp Sự đời tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hướng nghiên cứu Vai trị giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học cơng nhận rộng rãi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý, toán kinh tế Các vấn đề khác liên quan đến tính ổn định nghiệm ánh xạ đa trị vấn đề tồn tốn giải tích Nghiên cứu tính ổn định nghiệm ánh xạ đa trị khảo sát tính chất liên tục ánh xạ đa trị tính nửa liên tục trên, tính nửa liên tục dưới, tính giả-Lipschitz, tính Lipschitz, Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Tính liên tục ánh xạ đa trị” cho khóa luận Mục đích khóa luận tìm hiểu tính chất liên tục tính nửa liên tục trên, nửa liên tục tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, khóa luận trình bày ba chương Chương 1: Ánh xạ đa trị Chương 2: Các tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tuc ánh xạ đa trị Chương 3: Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị Phần lớn kết trình bày khóa luận thu số tác giả tài liệu tham khảo Một số kết khác tác giả chứng minh chi tiết dạng mệnh đề, định lý ví dụ cụ thể Tuy có nhiều cố gắng, lực thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo quý báu thầy giáo, cô giáo góp ý bạn đọc Nhân dịp cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Tiến Sĩ Nguyễn Thị Toàn, người hướng dẫn nhiệt tình tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo Tổ Giải tích Khoa Tốn tận tình giảng dạy, động viên tác giả q trình học tập hồn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2012 Tác giả Chương 1: Ánh xạ đa trị Chương ta tìm hiểu khái niệm ánh xạ đa trị số tính chất ánh xạ đa trị 1.1 Một số khái niệm sở Cho X, Y hai tập hợp bất kỳ, F: X  2Y ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn tập Y ( ký hiệu 2Y ) Khi đó, ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với x X, F(x) tập Y Không loại trừ khả với số phần tử x X ta có F(x) tập rỗng Ta thường sử dụng ký hiệu F: X  2Y để kiện F ánh xạ đa trị từ X vào Y Nếu với x X tập F(x) gồm phần tử Y, ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F: X  2Y người ta thường sử dụng ký hiệu quen thuộc F: X  Y Ánh xạ ngược F 1 : Y  X ánh xạ đa trị F: X  2Y xác định công thức F 1 (y)  {x X: y F(x)}, (y Y) Nếu M  X tập cho trước hạn chế F M ánh xạ đa trị F |M cho F |M (x)  F(x),  x M Chúng ta nhắc lại khái niệm hàm lồi 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian Banach, D tập lồi, khác rỗng E  : D  Khi  gọi hàm lồi  (  x  (1   )x )    ( x )  (1   )  ( x ),  x , x  D,    (0, 1) Ta nói  hàm lõm   hàm lồi Sau đây, tìm hiểu khái niệm đồ thị, miền hữu hiệu miền ảnh ánh xạ đa trị 1.1.2 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.1.1]) Cho F: X  Y ánh xạ đa trị từ tập hợp X vào tập hợp Y Ký hiệu đồ thị, miền hữu hiệu miền ảnh F tương ứng gph F  {(x, y) X  Y: y F(x)}, dom F  { x X: F(x)  0 }, rge F  { y Y:  x X cho y F(x)} Tiếp theo, nhắc lại số khái niệm ánh xạ đa trị có tính chất đặc biệt 1.1.3 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.1.2]) Giả sử F: X  Y ánh xạ đa trị không gian tôpô Nếu gph F tập đóng khơng gian tơpơ tích X  Y F gọi ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) Nếu X Y khơng gian tuyến tính tơpơ gph F tập lồi khơng gian tích X  Y F gọi ánh xạ đa trị lồi Nếu F(x) tập đóng với x X, F gọi ánh xạ có giá trị đóng Nếu Y khơng gian tuyến tính tơpơ F(x) tập lồi với x X, F gọi ánh xạ có giá trị lồi 1.1.4 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.1.3]) Cho X, Y, Z không gian tôpô, F: X  2Y G: Y  2Z hai ánh xạ đa trị Khi đó, ánh xạ đa trị G  F: X  2Z cho công thức: (G  F)(x)  G(F(x))  G(y) với yF (x ) x X, gọi ánh xạ hợp (hay tích) F G 1.1.5 Định nghĩa Cho X khơng gian tuyến tính,   ,       tập số thực suy rộng Khi đó, với hàm số thực  : X  , kí hiệu, epi  : X  , (epi  )(x)  {   :    (x)},  x X, hypo  : X  , (hypo  )(x)  {   :    (x)},  x X 1.2 Một ví dụ Xét phương trình đa thức x n  a x n1  …  a n1 x  a n  n  số nguyên dương a i  (1.1) (i  1, ,n) hệ số thực Quy tắc cho tương ứng véctơ a  ( a ,…,a)  n với tập nghiệm, ký hiệu F(a), (1.1) cho ta ánh xạ đa trị 2 n F: từ không gian Euclide F(a)  0 với a n n (1.2) vào tập số phức Theo Định lý đại số, |F(a)|  n,  a n , |M| ký hiệu lực lượng tập hợp M Nếu ta đồng số phức x  u + iv  với cặp số thực (u, v) F: n thì, thay cho (1.2), ta có ánh xạ 2 1.3 Các tính chất ánh xạ đa trị Trong mục này, giả thiết X, Y, Z không gian tuyến tính tơpơ Bây giờ, phát biểu chứng minh chi tiết tính chất ánh xạ đa trị GS.TSKH Nguyễn Đông Yên đưa [1] dạng tập ( [1] chưa đưa lời giải cho tập ) 1.3.1 Mệnh đề Cho F: X  Y ánh xạ đa trị Khi đó, a) Nếu F ánh xạ đóng, F ánh xạ có giá trị đóng b) Nếu F ánh xạ lồi, F ánh xạ có giá trị lồi c) F ánh xạ lồi  F( x )  (1   ) F( x )  F(  x  (1   )x ),  x , x  X,    (0, 1) Chứng minh a) F ánh xạ đóng, nghĩa đồ thị gph F tập đóng khơng gian tích X  Y Để chứng minh F ánh xạ có giá trị đóng ta chứng minh F(x) tập đóng Y với x X Lấy x  X tùy ý Ta cần chứng minh F( x ) tập đóng Y hay Y \ F( x ) tập mở Y Lấy y  Y \ F( x ) Ta cần chứng minh  lân cận mở U y để U  Y \ F( x ) Vì y  Y \ F( x ) nên y  F( x ) Do ( x, y )  gph F Mà gph F tập đóng nên (X  Y)\ gphF tập mở Suy ( x, y )  (X  Y)\ gph F Do đó, tồn lân cận mở U  U  U (với U lân cận x X, U lân cận y Y) để U  (X  Y)\ gph F Lúc đó, với (x, y)  U  U (x,y)  gph F Chọn x  x (x, y)  gph F,  y U Suy y F(x),  y U Do U  Y \ F( x ) Vậy Y \ F( x ) tập mở Y nên F( x ) tập đóng Y với x  X Hay F ánh xạ có giá trị đóng b) Vì F ánh xạ đa trị lồi nên đồ thị gph F tập lồi Muốn chứng minh F ánh xạ có giá trị lồi ta cần chứng minh F(x) tập lồi với x X Giả sử x X, lấy điểm y , y  F(x)  thuộc (0, 1) Ta cần chứng minh  y  (1   )y  F(x) Ta có (x, y ), (x, y )  gph F, mà đồ thị gph F tập lồi nên với   (0, 1)  (x, y )  (1   )(x, y )  gph F Suy (  x  (1   )x,  y  (1   )y )  gph F,    (0, 1) Do đó,  y  (1   )y  F(x),    (0, 1) Vậy F(x) tập lồi với x X Hay F ánh xạ có giá trị lồi c) Cần: Giả sử F ánh xạ đa trị lồi Ta cần chứng minh  F(x )  (1   )F(x )  F(  x  (1   )x ),  x , x  X,    (0, 1) Thật vậy, lấy y  F( x )  (1   )F( x ) Ta có y   y  (1   )y (với y  F( x ), y  F( x )) Do (x , y ), (x , y )  gph F Vì F ánh xạ đa trị lồi nên gph F tập lồi Do đó,  (x , y )  (1   )(x , y )  gph F,    (0, 1) Điều kéo theo y   y  (1   )y  F(  x  (1   )x ),    (0, 1) Đủ: Muốn chứng minh F ánh xạ đa trị lồi ta cần chứng minh đồ thị gph F tập lồi Lấy điểm (x , y ), (x , y )  gph F  thuộc (0, 1) Ta cần chứng minh  (x , y )  (1   )(x , y )  gph F  (  x  (1   )x ,  y  (1   )y )  gph F   y  (1   )y  F(  x  (1   )x ) Vì (x , y ), (x , y )  gph F nên y  F( x ), y  F( x ) Do đó,  y  (1   )y   F(x )  (1   )F(x ) (1.3) Mặt khác, theo giả thiết  F(x )  (1   )F(x )  F(  x  (1   )x ),  x , x  X (1.4) Từ (1.3) (1,4) ta suy  y  (1   )y  F(  x  (1   )x ) Vậy gph F tập lồi Do đó, F ánh xạ đa trị lồi 1.3.2 Mệnh đề Nếu F: Y  Z G: Y  Z hai ánh xạ đa trị lồi G F ánh xạ đa trị lồi Chứng minh Lấy hai điểm (x , z ), (x , z )  gph G F  thuộc (0, 1), ta cần chứng minh  (x , z )  (1   )(x , z )  gph G F  (  x  (1   )x ,  z  (1   )z )  gph G F  (  z  (1   )z )  (G F)(  x  (1   )x ) Vì z  (G F)( x ) z  (G F)( x ) nên  z  (1   )z   (G F)( x )  (1   )(G F)( x ) Mặt khác, G ánh xạ đa trị lồi nên  (G F)( x )  (1   )(G F)( x )   G(F( x ))  (1   )G(F( x ))  G(  F( x )  (1   )F( x )) F ánh xạ đa trị lồi nên G(  F( x )  (1   )F( x ))  G(F(  x  (1   )x )) Mà G(F(  x  (1   )x ))  (G F)(  x  (1   )x ) Do (  z  (1   )z )  (G F)(  x  (1   )x ) Vậy G  F ánh xạ đa trị lồi 1.3.3 Mệnh đề Cho X khơng gian tuyến tính  : X  hàm số Khi a) Hàm số  lồi epi  : X  ánh xạ đa trị lồi b) Hàm số  hàm lõm hypo  : X  ánh xạ đa trị lồi Chứng minh a) Cần: Lấy hai điểm (x ,  ), (x ,  )  gph epi   thuộc (0, 1) Ta cần chứng minh  (x ,  )  (1   )(x ,  )  gph epi  17 2.2.3 Ví dụ F:  ánh xạ đa trị xác định công thức  0,1 x số hữu tỷ  1,0 x số vô tỷ F ( x)   a) F không nửa liên tục điểm x thuộc b) F không nửa liên tục điểm x thuộc Như vậy, F không liên tục Thật vậy,   a) Trường hợp x số hữu tỷ Khi đó, tồn V    ,2  tập mở     thỏa mãn F( x )  [0,1]    ,2  , cho với tập mở U chứa x     tồn x số vô tỷ thuộc U, F( x )  [  1,0]    ,2  Do đó, F   không nửa liên tục x 1  Trường hợp x số vô tỷ Khi đó, tồn V   2,  tập mở   1  thỏa mãn F( x )  [  1,0]   2,  , cho với tập mở U chứa x   1  tồn x số hữu tỷ thuộc U, F( x )  [  1,0]   2,  Do đó, F   không nửa liên tục x Vậy, F không nửa liên tục điểm x thuộc b) Trường hợp x số hữu tỷ Khi đó, tồn V   ,  tập mở 2  thỏa mãn F( x )  V  [0,1]   ,    ,1  0,  cho với tập U mở 2  2  1 chứa x tồn x số vô tỷ thuộc U  dom F để F( x )  V  [  1,0]   ,   0 2  18 Do đó, F khơng nửa liên tục x Trường hợp x số vơ tỷ Khi đó, tồn V   2,   tập mở  2 thỏa mãn F( x )  V  [  1,0]   2,     1,    0 , cho với tập U 2 1     mở chứa x tồn x số hữu tỷ thuộc U  dom F để F(x )  V  [0,1]   2,    0  2 Do đó, F khơng nửa liên tục x Vậy F không nửa liên tục điểm x thuộc 2.3 Các tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị Mệnh đề sau nói mối quan hệ tính chất liên tục ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị 2.3.1 Mệnh đề Cho X Y không gian tôpô, f: X  Y ánh xạ đơn trị F: X  Y ánh xạ đa trị xác định công thức F(x)  {f(x)} Khi đó, f liên tục x F nửa liên tục (hoặc nửa liên tục dưới) x y -2 -1 -1 Chứng minh i) f liên tục x F liên tục x x 19 Cần: Với tập mở V  Y thỏa mãn F( x )  V Suy f( x ) V (vì F( x )  {f( x )}) Theo giả thiết, f liên tục x , nên tồn lân cận mở U x cho f(x) V,  x U, suy F( x )  {f( x )}  V,  x U Vậy F nửa liên tục x Đủ: Với tập mở V không gian tôpô Y thỏa mãn f( x ) V Khi đó, F( x )  {f ( x )}  V Mặt khác, F nửa liên tục x nên tồn lân cận mở U x cho F(x)  V, với x thuộc U Suy f(x)  V, với x thuộc U Vậy f liên tục x ii) f liên tục x F liên tục x Cần: Với V tập mở Y thỏa mãn F( x )  V  0 Vì F( x )  {f( x )} nên f( x )  V  0 Suy V tập mở chứa f( x ) Do f liên tục x nên tồn tập mở U x cho f(x)  V,  x U Từ suy f(x)  V  0 ,  x U Hay F (x)  {f(x)}  V  0 ,  x U Vậy F nửa liên tục x Đủ: Với tập mở V Y chứa f( x ) Suy f( x )  V  0 Mà F( x )  {f( x )} nên F( x )  V  0 Từ giả thiết, F liên tục x , tồn tập mở U x cho F(x)  V  0 ,  x U Từ suy f(x)  V  0 ,  x U hay f(x)  V,  x U Vậy f liên tục x Sau số tính chất tương đương với tính nửa liên tục tính nửa liên tục ánh xạ đa trị 2.3.2 Mệnh đề Cho F: X  2Y ánh xạ đa trị khơng gian tơpơ Khi đó, i) F nửa liên tục X nhân tập mở V  Y, F  (V) : {x dom F : F(x)  V} tập mở tôpô cảm sinh dom F 20 ii) F nửa liên tục X ảnh ngược tập mở V  Y, F  (V) : {x dom F : F(x)  V  0 } tập mở tôpô cảm sinh dom F Chứng minh i) Cần: Giả sử F nửa liên tục X V tập mở Y Lấy x  F  (V), ta có x  dom F F( x )  V Do F nửa liên tục X nên tồn lân cận mở U x cho F(x)  V,  x U Suy U  F  (V) Vậy F  (V) tập mở tôpô cảm sinh dom F Đủ: Giả sử F  (V) tập mở dom F V tập mở Y Ta cần chứng minh F nửa liên tục X Lấy x thuộc dom F V tập mở Y cho F( x )  V Suy x  F  (V) Do F  (V) tập mở tôpô cảm sinh dom F nên tồn lân cận mở U x cho U  F  (V) Từ suy với x U x F  (V) Hay với x U F(x)  V Do F liên tục x thuộc dom F Vậy F nửa liên tục X ii) Cần: Giả sử F nửa liên tục X V tập mở X Ta cần chứng minh F 1 (V) tập mở dom F Lấy x  F 1 (V) Suy x  dom F F( x )  V  0 Từ giả thiết F nửa liên tục X, tồn lân cận mở U x cho F(x)  V  0 ,  x U  dom F Từ suy U lân cận mở x U  F 1 (V) Vậy F 1 (V) tập mở dom F Đủ: Giả sử V tập mở Y F 1 (V) mở dom F Ta cần chứng minh F nửa liên tục X Lấy x thuộc dom F thỏa mãn F( x )  V  0 Khi đó, x  F 1 (V) Do F 1 (V) mở dom F nên tồn lân cận mở U x để U  F 1 (V) Suy F(x)  V  0 ,  x U Vậy F liên tục x thuộc dom F Hay F nửa liên tục X 21 Kết sau nói lên ứng dụng tính chất liên tục ánh xạ đa trị vào lý thuyết tối ưu 2.3.3 Định lý (xem [1, Định lý 1.2.1]) Cho X  0 không gian tôpô compắc Nếu  : X  hàm số nửa liên tục X tốn min{  (x): x X} (2.3) có nghiệm Nếu  hàm số nửa liên tục X tốn max{  (x): x X} (2.4) có nghiệm Chứng minh Ta cần chứng minh khẳng định thứ nhất, hàm  nửa liên tục hàm (   )(x) :   (x) nửa liên tục dưới, x nghiệm (2.4) x nghiệm toán min{(   )(x): x X} Giả sử X không gian compắc, X  0 ,  : X  hàm số nửa liên tục X Ta cần chứng minh (2.3) có nghiệm, tức tồn x cho  ( x )  min{  (x): x X} (2.5) Giả sử phản chứng: Khơng có x thỏa mãn (2.5) Đặt Nếu   inf{  (x):x X}    đặt  k  {x X:  (x)   k}, (k  1,2,3…) Do  nửa liên tục X nên, với k,  k tập mở Dễ dàng  X   k Vậy  k  k phủ mở X Do X không gian compắc k 1  k  họ tập lồng nhau, nên tồn k  cho X   k Khi ta phải có   k , trái với giả thiết    Bây ta xét trường hợp   Với k ta đặt 22  k  {x X:  (x)    } k Dễ thấy  k  k phủ mở X (do x  X thỏa mãn (2.5) mà từ ta khơng thể trích phủ hữu hạn Vậy X không không gian tôpô compắc trái với giả thiết Định lý chứng minh Ta biết ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thơng Cụ thể ta có định lý sau 2.3.4 Định lý (xem [1, Định lý 1.2.2]) Cho f: X  Y ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên thông X vào không gian tơpơ Y Khi đó, rge f  {f(x): x  X} xét với tôpô cảm sinh từ tôpô Y, không gian liên thông Chứng minh Lập luận phản chứng, ta giả sử M : rge f khơng phải khơng gian liên thơng Khi tồn tập mở U, V Y cho U M  V M  M, U M  V M  0 , U M  0 , V M  0 , (2.6) U M : U  M V M : V  M vết tập U V M Đặt (U)  {x X: f(x)  U}, X1  f 1 X2  f 1 (V)  {x X: f(x)  V} Ta có: (i) X , X tập mở X; (ii) X  0 , X  0 ; (iii) X  X  X; (iv) X  X  0 Thật vậy, f liên tục, U V tập mở, nên X X tập mở Vì U M  U  rge f  U  {f(x): x X} khác rỗng, nên tồn x X cho 23 f(x) U Vậy X  0 Tương tự, X  0 Lấy tùy ý x X Do f(x) reg f  M U M  V M  M, ta có f(x) U M f(x) V M Nếu f(x) U M f(x) U; x X Nếu f(x)  V M x X Ta chứng minh (iii) nghiệm Nếu tồn x  X  X ta có f(x) U f(x) V Hiển nhiên f(x) M f(x) U M f(x) V M Vậy ta có U M  V M  0 , mâu thuẫn với (2.6) Tính chất (iv) chứng minh Từ (i)-(iv) suy X không liên thông, trái với giả thiết định lý Vậy rge f phải không gian liên thông Định lý sau ra ánh xạ đa trị nửa liên tục lẫn ánh xạ đa trị nửa liên tục bảo tồn tính liên thơng 2.3.5 Định lý (xem [1, Định lý 1.2.3]) Cho F: X  Y ánh xạ đa trị không gian tôpô cho, với x X, F(x) tập liên thơng (có thể rỗng) Khi đó, a) Nếu F ánh xạ nửa liên tục X dom F tập liên thông, rge F tập liên thơng b) Nếu F ánh xạ nửa liên tục X dom F tập liên thơng rge F tập liên thông Chứng minh a) Giả sử F nửa liên tục X, dom F liên thông, F(x) liên thông với x X Để chứng minh phản chứng, ta giả sử M : rge F không liên thơng, tồn tập mở U, V Y thỏa mãn (2.6), U M : U  M V M : V  M Đặt X  F  (U)  {x dom F: F(x)  U}, X  F  (V)  {x dom F: F(x)  V} Các tính chất sau nghiệm đúng: (i) X , X tập mở tôpô cảm sinh dom F; (ii) X  0 , X  0 ; 24 (iii) X  X  dom F; (iv) X  X  0 Thật vậy, tính chất (i) suy từ khẳng định (a) Định lý 2.3.4 Do   F ( x)   xX  U M  U  rge F  U   khắc rỗng, tồn x X cho F(x)  U  0 Nếu F(x)  V  0 từ (2.6) suy F(x), xét với tôpô cảm sinh từ tôpô Y, không không gian liên thông; trái với giả thiết Vậy F(x)  V  0 Do F(x)  M U M  V M  M, ta có F(x)  U; tức x X Ta chứng tỏ X  0 Tương tự, X  0 Lấy tùy ý x dom F Do F(x)  0 F(x)  M, ta có F(x)  U M  0 F(x)  V M  0 Nếu trường hợp thứ xảy ra, lý luận trình bày trên, ta có x  X Nếu trường hợp thứ hai xảy ta có x  X Vậy dom F  X  X , tức (iii) nghiệm Nếu tồn x X  X ta có F(x)  0 , F(x)  U, F(x)  V Do F(x)  M, ta có F(x)  U M F(x)  V M Vì F(x)  0 nên U M  V M  0 , trái với (2.6) Vậy X  X  0 Các tính chất (i)-(iv) chứng minh Từ suy dom F, xét với tôpô cảm sinh từ tôpô X, khơng gian liên thơng; trái với giả thiết Tóm lại, rge F không không gian liên thông b) Giả sử F nửa liên tục X, dom F liên thông, F(x) liên thông với x X Nếu M : rge F khơng liên thơng, tồn tập mở U, V Y thỏa mãn (2.6), U M : U  M V M : V  M Đặt X  F  (U)  {x dom F: F(x)  U  0 }, X  F  (V)  {x dom F: F(x)  V  0 } Khi đó, tính chất sau nghiệm đúng: 25 (i) X , X tập mở tôpô cảm sinh dom F; (ii) X  0 , X  0 ; (iii) X  X  dom F; (iv) X  X  0 Thật vậy, tính chất (i) suy từ khẳng định (a) Định lý 2.3.4 Do   F ( x)   xX  U M  U  rge F  U   khắc rỗng, tồn x X cho F(x)  U  0 Suy x X Ta chứng tỏ Ta chứng tỏ X  0 Tương tự, X  0 Lấy tùy ý x dom F Do F(x)  0 F(x)  M, ta có F(x)  U M  0 F(x)  V M  0 Nếu F(x)  U M  0 F(x)  U  0 Suy x X Nếu F(x)  V M  0 F(x)  V  0 Suy x  X Vậy dom F  X  X , tức (iii) nghiệm Nếu tồn x X  X ta có F(x)  0 , F(x)  U  0 , F(x)  V  0 Khi F(x)  U  0 Nếu F(x)  V  0 từ (2.6) suy F(x), xét với tôpô cảm sinh từ tôpô Y, không không gian liên thông; trái với giả thiết Vậy F(x)  V  0 Do F(x)  M U M  V M  M, ta có F(x)  U Từ suy F(x)  U M Tương tự F(x)  V M Vì F(x)  0 nên U M  V M  0 , trái với (2.6) Vậy X  X  0 Các tính chất (i)-(iv) chứng minh Từ suy dom F, xét với tôpô cảm sinh từ tôpô X, không gian liên thông; trái với giả thiết Tóm lại, rge F khơng khơng gian liên thơng 26 Chương 3: Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị Chương tìm hiểu tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị Đó tính Lipschitz địa phương, giả Lipschitz (Aubin), lát cắt Lipschitz địa phương ánh xạ đa trị 3.1 Một số khái niệm sở Cho X, Y không gian định chuẩn F ánh xạ đa trị từ X vào Y Ta tìm hiểu khái niệm tính Lipschitz địa phương F 3.1.1 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.5.1]) Giả sử x  dom F Ta nói F Lipschitz địa phương (hoặc gần) x , tồn    cho F( x )  F( x )  ||x  x || BY (3.1) với với x , x  B( x, ) Trong trường hợp F(x)  {f(x)} ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (3.1) trở thành f( x )  f( x )  ||x  x || BY Nếu tồn    cho tính chất nghiệm với x B( x, ), ta nói ánh xạ đơn trị f Lipschitz địa phương x 3.1.2 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.5.2]) Ta nói F Lipschitz địa phương (hoặc gần) x  dom F tồn    cho F(x)  F( x )  x  x BY (3.2) với x B( x, ) Trong trường hợp F(x)  {f(x)} ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (3.2) trở thành f(x)  f( x )  Nếu tồn x  x BY    cho tính chất nghiệm với x B( x, ), ta nói ánh xạ đơn trị f Lipschitz địa phương x 27 Tiếp theo, tìm hiểu khái niệm tính giả Lipschitz (Aubin) ánh xạ đa trị 3.1.3 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 1.5.4]) Cho X, Y không gian định chuẩn F ánh xạ đa trị từ X vào Y Ta nói F giả Lipschitz (Aubin) gần điểm ( x, y)  gph F tồn  ,     cho F( x )  B ( y,  )  F( x )  x  x BY với x , x  B( x, ) Sau khái niệm lát cắt Lipschitz địa phương ánh xạ đa trị 3.1.4 Định nghĩa (xem [1, Định nghĩa 3.1.3]) Cho X, Y không gian Banach, cho tập D  X Ánh xạ đơn trị f: D  Y gọi Lipschitz địa phương x  D tồn    cho ||f(x)  f( x )||  x  x ,  x B( x, )  D Ta nói ánh xạ đa trị F: D  Y có lát cắt Lipschitz địa phương ( x, y)  gph F tồn ánh xạ đơn trị f: D  Y, Lipschitz địa phương x cho f( x )  y f(x) F(x) với x thuộc lân cận x D 3.2 Các ví dụ Để hiểu rõ khái niệm lát cắt Lipschitz địa phương ánh xạ đa trị nghiên cứu ví dụ sau 3.3.1 Ví dụ F:  ánh xạ đa trị xác định công thức F(x)   x ,   Khi đó, F có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (0, 0)  gph F 28 y -2 -3 -1  Thật vậy, xét ánh xạ đơn trị f: x , f(x)  x Khi đó, dễ thấy f Lipschitz địa phương Hơn nữa, với x thuộc lân cận f(x)  |x|  F(x) f(0)  Vậy F có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (0, 0)  gph F  3.3.2 Ví dụ F: ánh xạ đa trị xác định công thức  F(x)   x ,  Khi đó, F khơng có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (0, 0) y -9 -4 -1 x 29 Thật vậy, giả sử F có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (0, 0) Khi đó, tồn ánh xạ đơn trị f:   0,  , Lipschitz địa phương Nghĩa tồn  0, cho |f(x)  f(0)|   |x|, x  B(0, )  0,   Suy x   |x|, x  B(0, )  0,   Hay x  1, x  B(0, )  0,   Điều vô lý Vậy F khơng có lát cắt Lipschitz địa phương điểm (0, 0) 30 KẾT LUẬN Khóa luận giải số vấn đề sau Phát biểu chứng minh chi tiết tính chất ánh xạ đa trị dạng mệnh đề Đó mối quan hệ ánh xạ đa trị có tính chất đặc biệt Mệnh đề 1.3.1 1.3.2, mối quan hệ hàm lồi (lõm) ánh xạ đa trị lồi Mệnh đề 1.3.3 Đưa Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2 Ví dụ 2.2.3 minh họa cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục tính liên tục ánh xạ đa trị Phát biểu chứng minh mối quan hệ tính liên tục ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Mệnh đề 2.3.1 Điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị Mệnh đề 2.3.2 Đưa Ví dụ 3.3.1 Ví dụ 3.3.2 minh họa cho tính Lipschitz ánh xạ đa trị 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT 1 Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên cơng nghệ, Hà Nội  2 Hồng Tụy (1990), Tối ưu toàn cục  tiếp cận tất định, NXB Springer  Verlag 3 Nguyễn Xuân Liêm, Giáo trình Tơpơ đại cương  Độ đo Tích phân, NXB Giáo Dục TIẾNG ANH  4 J.-P Aubin (1981), contingent of set  valued maps and ex  istence of solutions to nonlinear in clusions and differentenial inclusions, Advances in Matheatics, Supplemntary studies (L.Nachbin, Ed.), 160  232 5 J-P Aubin (1984), Lipschiz behavior of Solution to convex minization problems, Mathematics of Operations Research 9, 87  111  6 J-P Aubin and A.cellina (1984), Differential Inclusions Set  Valued Maps and viability Theory, Springe  Verlag, Berlin  Heidelbery  7 J-P.Aubin and I.Ekeland (1984), Applied Nolinear Analysis, John Wiley and Sons, Wiley  Interscience ... tính nửa liên tục trên, nửa liên tục tính liên tục ánh xạ đa trị Phát biểu chứng minh mối quan hệ tính liên tục ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Mệnh đề 2.3.1 Điều kiện cần đủ cho tính nửa liên tục. .. nửa liên tục x Vậy F không nửa liên tục điểm x thuộc 2.3 Các tính chất nửa liên tục trên, nửa liên tục ánh xạ đa trị Mệnh đề sau nói mối quan hệ tính chất liên tục ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị. .. khác liên quan đến tính ổn định nghiệm ánh xạ đa trị vấn đề tồn tốn giải tích Nghiên cứu tính ổn định nghiệm ánh xạ đa trị khảo sát tính chất liên tục ánh xạ đa trị tính nửa liên tục trên, tính