Các khái niệm và tính chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị

Đề tài "Các khái niệm và tính chất chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ PHƯỢNG

CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

VỀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Hà Nội – Năm 2016

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quang Huy đã giao

đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận

này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận

lợi cho em trong quá trình học và thực hiện khóa luận

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Phượng

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tác giả dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Quang Huy

Tác giả xin khẳng định kết quả của khóa luận này là trung thực Đề

tài "Các khái niệm và tính chất chất cơ bản về tính liên tục của

ánh xạ đa trị" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của

bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 26 tháng 04 năm 2016

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Phượng

Mục lục

1 Các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị 5

1.1 Các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị 5

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh

xạ đa trị theo nghĩa của Berge và theo nghĩa của Hausdorff 10

1.2.1 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới

của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge 11

1.2.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới

của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Hausdorff 13

1.2.3 Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa

liên tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge

và Hausdorff 14

2 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục 16

2.1 Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ đơn trị liên

tục 16

2.2 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị liên tục 17

2.2.1 Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị

nửa liên tục dưới bảo tồn tính liên thông của một

tập hợp 17

2.2.2 Ánh xạ nửa liên tục trên bảo toàn tính compắc 21

2.2.3 Ánh xạ nửa liên tục trên có tính chất điểm bất động 22

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu mới trong Toán học, mặc

dù từ những năm 30 của thế kỉ 20 các nhà toán học đã thấy cần nghiên

cứu ánh xạ đa trị - xạ nhận giá trị là các tập con của một tập nào đó Sự

ra đời của tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysic” vào năm 1993 là một

mốc lớn trong quá trình phát triển của hướng nghiên cứu này Vai trò

của giải tích đa trị trong toán học đã được công nhận rộng rãi

Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lí thuyết phương trình vi

phân, phương trình đạo hàm riêng, biểu thức biến phân và phương trình

suy rộng, lí thuyết tối ưu, lí thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa

học quản lí và toán kinh tế Hầu như tất cả các kết quả nghiên cứu về

tính ổn định và độ nhảy nghiệm của bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham

số và của các bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đều

được viết được bằng ngôn ngữ giải tích đa trị

Nhiều tính chất đẹp của ánh xạ đơn trị liên tục như bảo tồn tính liên

thông, tính compắc và sự tồn tại điểm bất động đã được khảo sát và mở

rộng cho các ánh xạ đa trị liên tục Đề tài “Các khái niệm và tính chất

chất cơ bản về tính liên tục của ánh xạ đa trị” nhằm hiểu các khái niệm

về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan hệ giữa chúng và các tính

chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị liên tục

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị, mối quan

hệ giữa chúng và các tính chất cơ bản được mở rộng cho ánh xạ đơn trị

liên tục.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff, mối quan

hệ giữa chúng; các tính chất về tính liên thông, tính compắc, điểm bất

động của các ánh xạ đa trị liên tục

4 Đối tượng nghiên cứu

Các khái niệm về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ

đa trị theo nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff; tính liên thông, tính

compắc và điểm bất động

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong lý thuyết tôpô và giải tích

hàm

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

Các kí hiệu và chữ viết tắt

F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

hx, yi tích vô hướng của các véctơ x và y

B (x, ε) hình cầu mở tâm x bán kính ε

B (x, ε) hình cầu đóng tâm x bán kính ε

BX hình cầu đơn vị mở trong không gian X

BX hình cầu đơn vị đóng trong không gian X

X∗ không gian đối ngẫu của không gian Banach X

co Ω bao lồi của Ω

d (x, Ω) khoảng cách từ điểm x đến Ω

TΩ(x) nón tiếp tuyến của tập lồi Ω tại x ∈ Ω

Chương 1

Các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị

Chương này trình bày các khái niệm về ánh xạ đa trị liên tục theo

nghĩa Berge và theo nghĩa Hausdorff cùng với mối liên hệ giữa chúng

1.1 Các khái niệm cơ bản về ánh xạ đa trị

Y thì F là ánh xạ đơn trị theo nghĩa quen thuộc và kí hiệu là

F : X → Y

Đồ thị, miền hữu hiệu và miền ảnh của ánh xạ đa trị

Cho ánh xạ đa trị F : X⇒Y Khi đó, đồ thị (gph), miền hữu hiệu

(dom) và miền ảnh (rge) của F được xác định tương ứng bởi:

gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)},

dom F = {x ∈ X : F (x) 6= ∅},

rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình đa thức trên tập số phức C

xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0

với ai ∈ R

Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn với tập nghiệm

F (a) của phương trình trên thì có một ánh xạ đa trị

F : Rn ⇒ C Ta có

gph F = (a, x) ∈ Rn

× C : xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0 ,dom F = Rn,

rge F = {x ∈ C : xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0, a ∈ Rn}

Ví dụ 1.1.2 Cho ánh xạ đa trị F : R⇒ R

x 7→ F (x)=y ∈ R, y2 = x Khi đó

Ánh xạ ngược của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.1 Ánh xạ ngược F−1 : Y ⇒ X của ánh xạ đa trị

F : X ⇒ Y được xác định bởi công thức

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

F−1(y)={x ∈ X : y ∈ F (x)} với y ∈ Y Khi đó

gph F−1(y) =(y, x) ∈ Y × X : x ∈ F−1(y) ,

dom F−1(y)=y ∈ X : F−1(y) 6= ∅ ,

rge F−1(y)=x ∈ X : ∃y ∈ Y sao cho x ∈ F−1(y)

Định nghĩa 1.2 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị và X, Y là các khônggian tôpô

i) Nếu gph F là tập đóng trong không gian tích X × Y thì F được gọi là

ánh xạ đóng hoặc ánh xạ có đồ thị đóng;

ii) Nếu X, Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gph F là tập lồi

trong không gian tích X × Y thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi;

iii) Nếu F(x) là tập đóng với ∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị

đóng;

iv) Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x) là tập lồi với

∀x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu

trúc đại số được gọi là không gian tuyến tính tôpô Ta nói một tôpô τ

trên X tương hợp với cấu trúc đại số trên X nếu các phép toán đại số

trong X liên tục đối với tôpô đó, tức là

i) x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, mọi lân cận

V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uycủa y sao cho x0 ∈ Ux, y0 ∈ Uy thì x0 +y0 ∈ V

ii) αx là một hàm liên tục của α, x; nói rõ hơn, mọi lân cận V của điểm

αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho

| α0 - α| < ε, với mọi x0 ∈ U thì α0x0 ∈ V

Mệnh đề 1.1 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các khônggian tuyến tính tôpô

i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F là ánh xạ có giá trị đóng

ii) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi thì F là ánh xạ có giá trị lồi

iii) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi

(1-λ )F(x)+λF(x0) ⊂ F((1-λ )x + λx0) với ∀ x, x0 ∈ X; λ ∈ (0,1).Định nghĩa 1.3 Nếu X, Y là hai không gian tuyến tính tôpô và

F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, ta dùng các kí hiệu F và co F để chỉ cácánh xạ đa trị được cho bởi các công thức

Hiển nhiên F là ánh xạ có giá trị đóng và co F là ánh xạ có giá trị

lồi Tuy nhiên, F có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể

không là ánh xạ đa trị lồi

Ví dụ 1.1.3 Cho

F (x) = {sin x, cosx} với ∀x ∈ R

Ta có

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

(co F ) (x) = co {sin x, cosx}

là ánh xạ đa trị không lồi từ R vào R

Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F : X ⇒ Y , ở đó X, Y là các khônggian tuyến tính tôpô, ký hiệu tương ứng cl F và conv F , được xác đinh

bởi

cl F (x) = y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F với ∀x ∈ Xvà

conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} với ∀x ∈ X

Dễ dàng thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 thì

cl F (x) = {sin x, cosx} và conv F (x) = [−1, 1] với ∀x ∈ R

Với F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.4 ta có

cl F (x) = [0, 1] với ∀x ∈ Rvà

với ∀x ∈ X, được gọi là ánh xạ hợp (hay tích) của F và G.

Nhận xét 1.1 Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính, F : X ⇒ Y

và G : Y ⇒ Z là hai ánh xạ đa trị lồi Khi đó G0F là ánh xạ đa trị lồi

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới

của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berge và theo nghĩa của Hausdorff

Ta nhắc lại rằng một họ các tập con τ ⊂ 2X của tập hợp X đượcgọi là một tôpô trong X nếu

i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;

ii) giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ ;

iii) hợp của một họ tùy ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ

Các tập thuộc τ được gọi là tập mở Phần bù của một tập mở trong

X được gọi là tập đóng Tập X được trang bị một τ được gọi là một

không gian tôpô, và được kí hiệu bởi (X, τ ) Với (X, τ ) là một không

gian tôpô và M ⊂ X là một tập con tùy ý thì

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

τM := {U ∩ M : U ∈ τ },được gọi là một tôpô trên M Tôpô τM được gọi là tôpô cảm sinh củacủa τ trên M Tập UM := U ∩ M được gọi là vết của U trên M

Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào không

gian tôpô Y Ta đã biết rằng f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với

mỗi tập mở V trong Y chứa f (x), tồn tại một lân cận mở U của x trong

X sao cho

f (x) ∈ V với ∀ x ∈ U

Mục tiếp theo chúng ta tìm hiểu một mở rộng khái niệm về tính

liên tục của ánh xạ đơn trị cho ánh xạ đa trị

1.2.1 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh

xạ đa trị theo nghĩa của Berge

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào khônggian tôpô Y

i) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom F theo nghĩa

Berge nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận

mở U của x sao cho F (x) ⊂ V với ∀ x ∈ U Ta nói F là nửa liên tục

trên ở trong X theo nghĩa Berge nếu F nửa liên tục trên tại mọi điểm

thuộc dom F theo nghĩa Berge

ii) Ánh xạ F được là nửa liên tục dưới tại x ∈ dom F theo nghĩa của

Berge nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅ tồn tại lân

cận mở U của x sao cho F (x) ∩ V 6= ∅ với ∀ x ∈ U ∩ dom F Ta nói

F là nửa liên tục dưới ở trong X theo nghĩa Berge nếu F nửa liên tục

dưới tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Berge.

Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ dom F theo nghĩa Berge nếu

F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge tại

x F liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục

Ta thấy rằng ánh xạ F từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R nhưngkhông là nửa liên tục dưới tại x =0 Như vậy F không phải là ánh xạ

Ta thấy F là nửa liên tục dưới tại x =0 nhưng không là nửa liên tục

trên tại điểm đó Như vậy F không là ánh xạ liên tục ở trong R

không là ánh xạ liên tục ở trên R; hơn thế, F không là nửa liên tục trên

và cũng không là nửa liên dưới tại bất cứ điểm x ∈ R nào

Nhận xét 1.2 Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y với X, Y là các khônggian tôpô, thì:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

a) F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Berge khi và chỉ khi nhân

F−1(V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } của 1 tập mở bất kì V ⊂ Y làmột tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F

b) F là nửa liên tục dưới ở trong X theo nghĩa Berge khi và chỉ khi ảnh

ngược

F−1(V ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ V 6= ∅} của 1 tập mở bất kì V ⊂ Y

là một tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F

1.2.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh

xạ đa trị theo nghĩa của Hausdorff

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào khônggian mêtric Y

i ) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff tại x

∈ domF nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một lân cận mở U của x sao cho

d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x) Ta

nói F là nửa liên tục trên ở trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa

liên tục trên tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff

ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại

x ∈ dom F nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một cận mở U của x sao cho

F (x) ⊂ B(F (x), ε) với ∀ x ∈ U

Ở đó:

B(F (x), ε) ={y ∈ Y : d(y, F (x)) < ε}

với d(y, F (x))= inf

z∈F (x)

d (y, z) kí hiệu cho khoảng cách từ y đến F (x) Ta

nói F là nửa liên tục dưới trong X theo nghĩa Hausdorff nếu F nửa liên

tục dưới tại mọi điểm thuộc dom F theo nghĩa Hausdorff

Ánh xạ F là liên tục theo nghĩa Hausdorff tại x ∈ dom F nếu F đồng

thời vừa liên tục trên vừa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x F

liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì ta nói F liên tục

1.2.3 Mối liên hệ giữa tính nửa liên tục trên và tính nửa liên

tục dưới của ánh xạ đa trị theo nghĩa Berge và Hausdorff

1) Tính nửa liên tục trên theo nghĩa Berge kéo theo tính nửa liên tục

trên theo nghĩa Hausdorff

2) Tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff kéo theo tính nửa liên

tục dưới theo nghĩa Berge

Thật vậy

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào khônggian mêtric Y và F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại

x ∈ dom F

Lấy V ∈ τY sao cho F (x) ∩ V 6= ∅

Khi đó ∃y ∈ F (x) và ∃ε > 0 sao cho

Vì F là ánh xạ nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff tại x nên tồn tại

lân cận mở U của x sao cho F (x) ⊂ B (F (x) , ε) với ∀x ∈ U

Chương 2

Một số tính chất cơ bản của ánh xạ

đa trị liên tục

Trong chương này chúng ta trình bày một số định lý về tính chất

liên tục của ánh xạ đơn trị được mở rộng cho ánh xạ đa trị

2.1 Nhắc lại một số tính chất cơ bản của ánh xạ

đơn trị liên tục

Không gian tôpô X được gọi là compắc nếu từ mỗi phủ mở {Uα}α∈Acủa X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ số{α1, , αs} ⊂ A sao cho

tập mở U, V sao cho

U ∩ V = ∅ và U ∪ V = X

Định lý 2.1 Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Phượng

thông X vào không gian tôpô Y Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với

tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông

Định lý 2.2 Cho f : X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô

compắc X vào không gian tôpô Y Khi đó Im f = {f (x), x ∈ X}, xét với

tôpô cảm sinh từ tôpô của Y là không gian compắc

Trong mục này chúng ta trình bày một số tính chất cơ bản của ánh xạ

đa trị liên tục theo nghĩa Berge

2.2.1 Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên

tục dưới bảo tồn tính liên thông của một tập hợp

Ta đã biết rằng ánh xa đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông Kết quả

sau đây chỉ ra rằng tính liên thông cũng được bảo tồn đối với cả ánh xạ

đa trị nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Định lý 2.4 (Warburton, 1983)

Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giữa các không gian tôpô sao cho với ∀

x ∈ X, F(x) là tập liên thông (có thể rỗng) Khi đó

a) Nếu F là ánh xạ nửa liên tục trên ở trong X và nếu dom F là tập liên

thông thì rge F là tập liên thông