Một số vấn đề về tính chính quy mêtric toàn cục của ánh xạ đa trị và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRÀ QUỐC ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TỒN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRÀ QUỐC ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TỒN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Trọn Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Lời cảm ơn Luận văn hồn thành Khoa Tốn Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn Thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Hữu Trọn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy, người ln tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Khoa Tốn Thống kê tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi số sai sót hạn chế Tơi mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị 1.2 Một số định nghĩa 1.3 Nguyên lí biến phân Ekeland Lý thuyết quy mêtric tập cố định 2.1 Lý thuyết quy mêtric địa phương 10 2.2 Lý thuyết quy mêtric tồn cục 14 2.3 Đặc trưng tính quy tồn cục 19 2.3.1 Tính quy tính đầy đủ 19 2.3.2 Tiêu chuẩn quy 22 2.3.3 Định lí trù mật 29 2.3.4 Tính quy mêtric, tính calm, tính điều khiển được, 2.4 tính lùi xa tuyến tính 30 Tính ổn định nhiễu tính quy tồn cục 35 2.4.1 Tính quy ánh xạ tổng 35 2.4.2 Tính quy ánh xạ hợp 39 Ứng dụng định lí điểm bất động đa trị 44 3.1 Sự tồn điểm bất động 44 3.2 Tính ổn định tốn điểm bất động 50 3.3 Sự tồn điểm bất động kép điểm trùng 52 Lời nói đầu Tính quy mêtric khái niệm trung tâm Giải tích biến phân, đời năm 1980 Nó có nguồn gốc từ Nguyên lý ánh xạ mở Banach-Một ba nguyên lý Giải tích hàm, Định lí Lyusternik tiếng khơng gian tiếp xúc Định lí tồn ánh nhà tốn học Graves, kết Giải tích Định lí hàm ẩn Định lí hàm ngược cổ điển Nó giới thiệu nghiên cứu nhà tốn học hàng đầu Giải tích biến phân như: Borwein [2] [3], Ioffe [6], Rockafellar [5], Mordukhovich, Penot, Théra nhà tốn học nước Nguyễn Đơng Yên [1], Phan Quốc Khánh, Huỳnh Văn Ngãi, Nguyễn Hữu Trọn, Tính quy mêtric đóng vai trị quan trọng nghiên cứu số vấn đề giải tích xem xét tồn dáng điệu tập nghiệm phương trình tổng qt có dạng: y ∈ F (x) (trong F y xem liệu, x ẩn) thay đổi nhỏ liệu Những vấn đề dẫn đến ý tưởng đánh giá khoảng cách từ điểm gần nghiệm đến tập nghiệm phương trình qua ánh xạ F dạng bất đẳng thức: d(x, F −1 (y)) ≤ kd(y, F (x)) Phạm vi ứng dụng rộng bao gồm phân tích hội tụ thuật tốn, điều kiện tối ưu, lý thuyết điểm bất động, điểm trùng, Tuy nhiên, nay, hầu hết nghiên cứu dừng lại việc khảo sát tính quy mêtric địa phương, tức ước lượng cho cặp gần cho trước Nghiên cứu tính quy mêtric kiểu Holder xuất gần cơng trình Ioffe, Ngãi-Trọn-Théra, tức ước lượng: d(x, F −1 (y)) ≤ kd(y, F (x))p với cặp (x, y) gần (x0 , y0 ) p > Mục đích luận văn xem xét mơ hình quy mêtric phi tuyến tập (U, V ) cho trước dạng bất đẳng thức: d(x, F −1 (y)) ≤ kd(y, F (x)) x ∈ U , y ∈ V Kd(y, F (x)) < γ(x), cho số ứng dụng lý thuyết điểm bất động, điểm bất động kép, điểm trùng; ước lượng khoảng cách từ điểm đến tập điểm bất động tính ổn định tốn điểm bất động có tham số tham số thay đổi Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị: Trang bị số kiến thức ánh xạ đa trị, nguyên lý biến phân Ekeland số định nghĩa liên quan để phục vụ cho chương sau Chương Lý thuyết quy mêtric tập cố định: Nghiên cứu đặc trưng tính quy mêtric ánh xạ đa trị tập hợp cố định cách sử dụng cơng cụ giải tích biến phân vi phân tổng quát Ngoài chúng tơi cịn nghiên cứu tính ổn định nhiễu tính quy mêtric ánh xạ đa trị tập hợp cố định Chương Ứng dụng định lí điểm bất động đa trị: Ứng dụng kết đạt vào chứng minh định lí tồn điểm bất động, điểm bất động kép, điểm trùng Ước lượng khoảng cách từ điểm đến tập điểm bất động qua liệu ban đầu Một số kí hiệu dùng luận văn Không gian Mêtric Cho X, Y không gian mêtric Ta có kí hiệu sau ❼ d(x, Y ): Khoảng cách từ điểm x đến tập Y ❼ dξ ((x, y), (x , y )) = max{d(x, x ), ξd(y, y )}: ξ -mêtric X × Y ❼ d1,K ((x, y), (x , y )) = d(x, x ) + Kd(y, y ): × K -mêtric X × Y ❼ dK,1 ((x, y), (x , y )) = Kd(x, x ) + d(y, y ): K × 1-mêtric X × Y ❼ ex(X, Y ) = sup{d(x, Y ) : x ∈ X} ❼ H(X, Y ) = max{ex(X, Y ), ex(X, Y )}: Khoảng cách Hausdorff X Y Hàm số ánh xạ ❼ F : X → Y : Ánh xạ đơn trị từ X vào Y ❼ F : X ⇒ Y : Ánh xạ đa trị từ X vào Y ❼ F |Q : Hạn chế F tập Q ❼ [f ≤ α] = {x : f (x) ≤ α}: Tập mức α f ❼ [f = α] = {x : f (x) = α}: Tập mức α tập f ❼ IX : Ánh xạ đồng X ❼ iX : Hàm X Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận văn ánh xạ đa trị số định nghĩa liên quan; định nghĩa số mêtric nguyên lý biến phân Ekeland Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1], [3], [6] 1.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ đa trị) Cho hai tập hợp X, Y cho F : X ⇒ Y ánh xạ từ X vào tồn tập Y (kí hiệu 2Y ), ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với x ∈ X , F (x) tập Y Nếu với x ∈ X tập F (x) có phần tử thuộc Y , ta nói F ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y , ta dùng kí hiệu quen thuộc F : X → Y Định nghĩa 1.2 Kí hiệu Graph F dom F đồ thị miền hữu hiệu F Được xác định sau Graph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}; dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅} Định nghĩa 1.3 (Ánh xạ ngược) Ánh xạ ngược F kí hiệu F −1 : Y ⇒ X định nghĩa công thức F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} Hơn Graph F −1 = {(y, x) ∈ Y × X : (x, y) ∈ Graph F } Định nghĩa 1.4 Cho X, Y không gian mêtric F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị (1) F gọi ánh xạ có giá trị đóng F (x) tập đóng với x ∈ X (2) F gọi ánh xạ đóng Graph F tập đóng Tính chất 1.5 Nếu F ánh xạ đóng F ánh xạ có giá trị đóng Định nghĩa 1.6 Cho hai ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y G : Y ⇒ Z , (G ◦ F )(x) = G(y) y∈F (x) gọi ánh xạ hợp F G Đặc biệt, F hạn chế Q ⊂ X ,   F (x), x ∈ Q F |Q (x) =  ∅, x = Q Định nghĩa 1.7 (Nửa liên tục nửa liên tục dưới) Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y Ta nói ❼ Ánh xạ đóng F nửa liên tục x hàm x → d(y, F (x)) nửa liên tục x, với y ∈ Y ❼ Ánh xạ đóng F nửa liên tục x hàm x → d(y, F (x)) nửa liên tục x, với y ∈ Y 42 Mệnh đề 2.63 Giả sử U ⊂ U , V ⊂ V W ⊂ W δ > cho (a) B(V , δ) ⊂ V (b) ∀(x, z) ∈ U × W cho z ∈ (G ◦ F )(x), có y ∈ F (x) ∩ V cho z ∈ G(y) Nếu với điều kiện này, F γ -chính quy (U, V ) với mơđun tính tồn ánh r > 0, γ số dương G γ -chính quy V × W với mơđun tính tồn ánh s > 0, G ◦ F ξ -chính quy U × W với mơđun tính tồn ánh rs với ξ < min{r−1 δ, γ} Chứng minh Việc chứng minh tương tự chứng minh Mệnh đề 2.61 Lấy z ∈ (G ◦ F )(x) ∩ W với x ∈ U Từ (b) có y ∈ F (x) ∩ V cho z ∈ G(y) Lấy t ≤ ξ d(z , z) < rst = sτ (τ = r) Vì τ < δ G δ -chính quy V × W , tồn y cho z ∈ G(y ) d(y , y) ≤ s−1 d(z , z) < τ < δ Từ (a) suy y ∈ V tính quy F , tồn x cho y ∈ F (x ) d(x , x) ≤ r−1 d(y , y) ≤ (rs)−1 d(z , z) < t Do z ∈ (G ◦ F )(x ) d(x , x) < γ Một phiên địa phương tính chất (b) mệnh đề trên: cho y ∈ F (x), z ∈ G(y), phát biểu sau: (b) (địa phương) ∀ε > 0, tồn δ > cho ∀(x, z) ∈ Graph(G ◦ F ) thỏa mãn d(x, x) < δ , d(z, z) < δ tồn y ∈ Y cho d(y, y) < ε, y ∈ F (x) z ∈ G(y) Ta nói F G hợp ổn định (x, y, z) thỏa mãn tính chất (b) (địa phương) Sau hệ suy từ Mệnh đề 2.63 Hệ 2.64 Giả sử F G ổn định hợp (x, y, z) Nếu F quy (x, y) với sur F (x, y) ≥ r G quy (y, z) với sur G(y, z) ≥ s, G ◦ F quy (x, z) với sur(G ◦ F )(x, z) ≥ rs Hệ 2.65 Cho F : X ⇒ Y , G : Y ⇒ Z , z ∈ G(y), y ∈ F (x) sur F (x, y) ≥ r, sur G(y, z) ≥ s Khi sur(G ◦ F )(z, x) ≥ rs trường hợp sau đây: 43 (a) Nếu F đơn trị, liên tục tổng quát hơn, F (x) = {y} F nửa liên tục x; (b) Nếu G(y) = {z} tồn hàm đo µ cho d(z, z) ≥ µ(d(y, y)) z ∈ G(y); (c) Nếu G quy mạnh (y, z) (Nghĩa d(y, u) ≤ Kd(z, G(y)) với d(u, y) < ε) 44 Chương Ứng dụng định lí điểm bất động đa trị Khi nghiên cứu lý thuyết quy, cách tự nhiên, ta quan tâm đến toán điểm bất động Tuy nhiên gần đây, mối quan hệ điểm bất động kết quy mang tính chiều Nghĩa điểm bất động sử dụng để chứng minh định lí tính tính quy điều ngược lại khơng Ở đây, chúng tơi lý thuyết quy tồn cục cơng cụ hiệu để chứng minh định lí điểm bất động với chứng minh nói vơ đơn giản Các kết trình bày chương bao gồm định lí tồn tại, tính ổn định điểm bất động định lí liên quan đến tốn điểm cố định có quỹ đạo cho hai ánh xạ hai khơng gian mêtric tổng quát khác Các kết chương tổng hợp từ tài liệu [6] 3.1 Sự tồn điểm bất động Cho X không gian mêtric F : X ⇒ X x gọi điểm bất động F x ∈ F (x) Ta kí hiệu Fix F tập điểm bất động F : Fix F = {x ∈ X : x ∈ F (x)} 45 Ta giả sử đồ thị F đầy đủ Đối với ánh xạ đa trị từ X vào giả thiết đồ thị F đầy đủ yếu giả thiết X đầy đủ đồ thị F đóng Ta bắt đầu với chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ đa trị với giả thiết quy Định lí 3.1 (Tính quy điểm bất động 1) Cho X không gian mêtric F : X ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Cho U ⊂ X tập mở Giả sử x ∈ U , r > cho F quy Milyutin (U, U ) với surm F (U, U ) > r d(x, F (x)) < (r − 1)d(x, X\U ) Khi U ∩ Fix F = ∅ d(x, Fix F ) < d(x, F (x)) r−1 (3.1) Chứng minh Theo định nghĩa 2.18, B(F (x), rt) ∩ V ⊂ F (B(x, t)) với x ∈ U t < m(x) = d(X\U ) Đặt α = m(x), lấy y ∈ F (x) cho d(x, y) ≤ (1 + ε)d(x, F (x)) với ε > đủ bé để d(x, y) < (r − 1)α Lấy ξ > cho rξ < Ta xét đồ thị F với khoảng cách dξ ((x, y), (u, v)) = max{d(x, u), ξd(x, u))} Rõ ràng Graph F không gian đầy đủ Xét hàm f (x, y) = d(x, y) Graph F Đây hàm liên tục f (x, y) = (x, y) điểm bất động F Áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho d(·, ·), ta (u, v) = (uε , v ε ) ∈ Graph F cho (i) dξ ((u, v), (x, y) ≤ d(x, y) < α; r−1 (ii) d(u, v) ≤ d(x, y) − (r − 1)dξ ((u, v), (x, y)) ≤ (r − 1)(α − dξ ((u, v), (x, y)); (iii) d(x, y) + (r − 1)d)ξ((x, y), (u, v)) > d(u, v) (u, v) = (x, y) ∈ Graph F Ta u điểm bất động F v = u Giả sử phản chứng u∈ / F (u) d(u, v) > Bởi (i) d(u, x) < α, u ∈ U Hơn từ (ii) (iii) suy d(u, v) ≤ (r − 1)(α − dξ ((x, y), (u, v))) ≤ (r − 1)(α − d(u, x)) < (r − 1)m(u) 46 Tức u ∈ B(v, rt) ⊂ B(F (u, rt)) với t ∈ m(u) Vì F quy Milyutin nên tồn w cho u ∈ F (w) rd(w, u) ≤ d(uv) Từ suy u = w (Chú ý: để tránh nhầm lẫn, u vừa đối số vừa giá trị có F ) Vì d(w, u) ≤ dξ ((w, u), (u, v)) rξ < nên d(w, u) + (r − 1)dξ ((w, u), (u, v)) ≤ rdξ ((w, u), (u, v)) ≤ r max d(u, v) , ξd(u, v) r ≤ d(u, v) Điều mâu thuẫn với (iii) w = u Mâu thuẫn cho thấy u điểm bất động F từ (iii) suy v = u Do d(x, Fix F ) ≤ d(x, u) ≤ dξ ((u, v), (x, y)) ≤ 1−ε d(x, F (x)) r−1 Cho ε → ta điều phải chứng minh Định lí 3.2 (Tính quy điểm bất động 2) Cho X không gian mêtric, G : X ⇒ X ánh xạ đa trị với đồ thị đầy đủ Cho U ⊂ X tập mở Giả sử x ∈ U θ < cho G giả Lipschitz (U, U ) với lip G(U, U ) < θ d(x, G(x)) < (1 − θ)d(x, X\U ) Khi U ∩ Fix G = ∅ d(x, Fix G) < d(x, G(x)) 1−θ (3.2) Chứng minh Theo định nghĩa, tính giả Lipschitz trường hợp nghĩa x, y ∈ U cho y ∈ G(u) với u thỏa mãn θd(x, u) ≤ m(y) = d(y, X\U ), ta có d(y, F (x)) ≤ θd(x, u) Ta xét hàm tương tự f (x, y) = d(x, y) đồ thị G dξ -mêtric Graph G, lúc với ξθ > Lấy y ∈ G(x) để chắn d(x, y) < (1 − θ)d(x, X\U ) Khi β := d(y, X\U )d(x, X\U ) − d(x, y) ≥ θd(x, X\U ) Vì d(x, y) ≤ 1−θ d(y, X\U ) θ (3.3) 47 Áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f , với λ = d(x, y) , ta tìm cặp 1−θ (u, v) ∈ Graph G thỏa (i) dξ ((u, v), (x, y)) ≤ d(x, y) ; 1−θ (ii) d(u, v) ≤ d(x, y) − (1 − θ)dξ ((u, v), (x, y)); (iii) d(x, y) + (1 − θ)dξ ((x, y), (u, v)) > d(u, v), (u, v) = (x, y) ∈ Graph G Bởi (i) (3.3), ta có: d(x, y) d(v, y) < ξd(v, y) ≤ dξ ((u, v), (x, y)) ≤ ≤ d(y, X\U ) θ 1−θ θ Suy v ∈ U Cuối cùng, (ii) (3.3) ta có, d(u, v) ≤ d(x, y) − (1 − θ)dξ ((u, v), (x, y)) 1−θ 1−θ d(y, X\U ) − d(v, y) θ θ 1−θ 1−θ 1−θ ≤ (d(y, X\U ) − d(v, y)) ≤ (v, X\U ) = m(v) θ θ θ ≤ Vì v ∈ G(u), suy luận từ tính giả Lipschitz, giả sử phản chứng v = u, d(v, G(v)) < θd(u, v), tức tồn w ∈ G(v) cho d(v, w) < θd(u, v) đánh phần chứng minh định lí trước d(v, w) + (1 − θ)dξ ((u, v), (v, w)) < θd(u, v) + (1 − θ)dξ ((u, v), (v, w)) ≤ dξ ((u, v), (v, w)) = max{d(u, v), ξd(v, w)} = d(u, v) Điều mâu thuẫn với (iii), mà ta chọn y để d(x, y) gần tùy ý d(x, G(x)) nên chứng minh hoàn thành Ta thấy Định lí 3.2 suy Định lí 3.1 Thật vậy, điều kiện Định lí 3.1 thỏa mãn, F −1 giả Lipschitz (U, U ) với lip F −1 (U, U ) < θ = r−1 < d(x, F −1 (x)) ≤ r−1 d(x, F (x)) ≤ r−1 d(x, X\U ) = (1 − θ)d(x, X\U ), r 48 điều nghĩa điều kiện Định lí 3.2 thỏa mãn với G = F −1 Nếu Định lí 3.2 đúng, F F −1 hiển nhiên có điểm bất động, nên d(x, Fix F ) ≤ rd(x, F −1 (x)) d(x, F (x)) d(x, F −1 (x)) = ≤ , 1−θ r−1 r−1 kết luận Định lí 3.1 Tuy nhiên, quan sát chứng minh cho thấy ta chưa sử dụng hết điểm mạnh tính quy Tất ta cần tính chất sau: d(x, F (x)) < rt, t < m(x) ⇒ x ∈ F (B(x, t)) (OR) cho định lí thứ x ∈ G(u), θd(x, u) < m(x) ⇒ d(x, G(x)) ≤ θd(u, x) (OPL) cho định lí thứ hai Nói cách khác, kết ta chứng minh định lí sau Định lí 3.3 (Định lí điểm bất động tổng quát) Cho X không gian mêtric F : X ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Cho U ⊂ X tập mở x ∈ U Giả sử có điều kiện sau: (i) (OR) với r > d(x, F (x)) < (r − 1)d(x, X\U ), (ii) (OPL) với θ < d(x, F (x)) < (1 − θ)d(x, X\U ) Khi (Fix F ) ∩ U = ∅ (3.1) trường hợp (3.2) (với G thay F ) trường hợp thứ hai Ta gọi (OR) quy quỹ đạo U (với mơđun khơng bé r) (OPL) tính chất giả Lipschitz quỹ đạo U (với môđun không lớn θ) Khơng khó để đưa ví dụ cho thấy tính quy quỹ đạo yếu tính mở tuyến tính tính tính giả Lipschitz quỹ đạo yếu tính giả Lipschitz chuẩn 49 Ví dụ 3.4 Cho không gian Banach X L không gian X Cho A : L → L tốn tử tuyến tính với C(A) > Ta A ánh xạ đa trị từ X vào X với A(x) = ∅ x ∈ / L, tất nhiên A không quy Tuy nhiên , A khơng thoả mãn (OR) Việc chứng minh đơn giản Nếu d(x, F (x)) ≤ rt < ∞ với r < C(A), A(x) = ∅ Do x ∈ L với x − u < t Tương tự, dễ dàng chứng minh A−1 thoả mãn (OPL) Từ ví dụ ta có mối liên hệ tính quy (OR) tương tự mối liên hệ tính hồnh tính hồnh nội Mặt khác, liên kết tính mở tuyến tính với (OR) tính giả Lipschitz với (OPL) minh bạch: liên kết thứ hai không áp dụng cho cặp (x, y) mà áp dụng cho cặp thuộc "quỹ đạo" ánh xạ Một ví dụ trực quan nguyên lý ánh xạ co cổ điển Trong ánh xạ A : X → X giả sử θ− Lipschitz, tức thoả mãn d(A(x), A(u)) ≤ θd(x, u) Mặt khác, phần thứ hai Định lí 3.3 đảm bảo tồn điểm bất động (có thể khơng nhất) bất đẳng thức thoả mãn x = A(x), nghĩa với giả thiết d(A2 (u), A(u)) ≤ θd(A(u), u) Mệnh đề 3.5 (Sự tương đương tính chất quỹ đạo) Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ X , tập mở U ⊂ X r > Khi hai mệnh đề sau tương đương: (a) F quy quỹ đạo U với môđun không nhỏ r; (b) F −1 có tính giả Lipschitz quỹ đạo U với môđun không lớn θ = r−1 Chứng minh (a)⇒(b) Lấy u ∈ F (x) t = θd(x, u) < m(x) Khi d(x, F (x)) ≤ rt Lấy ε > cho (1 + ε)t < m(x) Từ (a) có x ∈ F (B(x, (1 + ε)t)), ∀ε > Nói cách khác, với ε > 0, tồn v(ε) với d(x, v(ε)) ≤ (1 + ε)t cho x ∈ F (v(ε)) Do d(x, F −1 (x)) ≤ d(x, v(ε)) ≤ (1 + ε)r−1 d(x, u) Cho ε → 0, ta nhận d(x, F −1 (x)) ≤ θd(x, u) Tức (b) chứng minh 50 (b)⇒(a) Lấy x ∈ (dom F ) ∩ U rt > d(x, F (x)) với t < m(x) Lấy u ∈ F (x) cho d(x, u) < rt Khi θd(x, u) < m(x) Từ (b), ta có d(x, F −1 (x)) ≤ r−1 d(x, u) < t Từ suy tồn v ∈ F −1 (x) với d(v, x) < t, nghĩa x ∈ F (v) ⊂ F (B(x, t)), suy (a) Ta lưu ý tính chất (b) tương đương với tính quy mêtric quỹ đạo F U : x ∈ U, r−1 d(x, F (x)) < m(x) ⇒ d(x, F −1 (x)) ≤ r−1 d(x, F (x)) (OMR) Vì vậy, xem lại chứng minh Định lí 3.2, ta nói mối quan hệ mệnh đề thứ thứ hai Định lí 3.3 giống Định lí 3.1 3.2 Định lí 3.6 (Định lí điểm bất động tổng quát điều chỉnh) Giả sử F : X ⇒ X có đồ thị đầy đủ, số dương θ < cho F −1 thỏa mãn (OPL) U với điều kiện d(x, F −1 (x)) < (1 − θ)d(x, X\U ) với x ∈ U Khi (Fix F ) ∩ U = ∅ d(x, Fix F ) ≤ d(x, F −1 (x)) d(x, F (x)) ≤ , 1−θ r−1 với r = θ−1 Đặc biệt, điều kiện Định lí thỏa mãn F thỏa (OR) U d(x, F (x)) ≤ (r − 1)d(x, X\U ), với r > 3.2 Tính ổn định toán điểm bất động Trong mục này, thảo luận số hệ định lí tồn điểm bất động vừa chứng minh, chủ yếu liên quan đến tính ổn định điểm bất động biến đổi ánh xạ trường hợp U = X (khá điển hình cho định lí điểm bất động mêtric) Định lí 3.7 (Tính ổn định điểm bất động 1) Cho X P không gian mêtric F : X × P ⇒ X Cho tập mở U ⊂ X , x ∈ U p ∈ P Giả sử tồn hàm liên tục ρ(t) [0, ∞) ρ(0) = cho H(F (x, p), F (x, p )) ≤ ρ(d(p, p )) 51 với x ∈ U p, p lân cận p Giả sử ❼ (OR) với r > d(x, F (x, p)) < (r − 1)d(x, X\U ), ❼ (OPL) với θ < d(x, F (x, p)) < (1 − θ)d(x, X\U ) Khi Fix(F (·, p)) = ∅ với p lân cận p với lân cận p, p , ta có d(Fix F (·, p), Fix F (·, p )) ≤ ρ(d(p, p )) a với a = r − trường hợp thứ a = − θ trường hợp thứ hai (Nhắc lại d(Q, S) = inf{ u − v : u ∈ Q, v ∈ S} khoảng cách Q S ) Chứng minh Giả sử δ > thỏa d(x, F (x, p)) < a(d(x, X\U )) − δ) Lấy ε > cho ρ(2ε) < δ min{1 − θ, r − 1} d(x, F (x, p)) < ad(x, X\U ), với p, p ∈ B(p, ε) Khi ∀p ε-lân cận p, áp dụng Định lí 3.1 cho trường hợp thứ Định lí 3.2 cho trường hợp thứ hai với F = F (·, p) Do đó, tồn x ∈ Fix F (·, p) ∩ U m(x) = d(x, X\U ) ≥ d(x, X\U ) − d(x, x) > δ Nếu p thuộc hình cầu tâm p bán kính ε, d(x, F (x, p )) ≤ H(F (x, p), F (x, p )) ≤ ρ(2ε) ≤ (r − 1)δ ≤ (r − 1)m(x) đến ta lại áp dụng Định lí 3.1 Định lí 3.2, với x thay x Kết ta tìm x ∈ Fix F (·, p ) thỏa d(x, x ) ≤ d(x, F (x, p )) ρ(p, p ) ≤ Việc chứng r−1 a minh hoàn thành Định lí 3.8 (Điểm bất động tính quy quỹ đạo tồn cục) Cho X khơng gian mêtric đầy đủ P tập tham số Xét ánh xạ đa trị F : X ×P ⇒ X thoả với p, đồ thị F (·, p) đóng tính quy quỹ đạo sau với r > 1: Nếu d(x, F (x)) < rt với t > x ∈ F (B(x, t)) 52 Khi Fix F (·, p) = ∅ với p ∈ P với cặp tham số p, p , ex(Fix F (·, p), Fix F (·, p )) ≤ ex(F (x, p), Fix F (x, p )) r−1 x∈Fix F (·,p) inf Đặc biệt, kết luận với F (·, p) quy tồn cục X với sur F (·, p) > r Định lí 3.9 Cho X khơng gian mêtric đầy đủ P tập tham số Xét ánh xạ đa trị F : X × P ⇒ X thoả với p, đồ thị F (·, p) đóng tính giả Lipschitz quỹ đạo sau với θ < 1: d(x, F (x)) < θd(x, u) với x ∈ F (u) Khi Fix F (·, p) = ∅ với p ∈ P với cặp tham số p, p , ex(Fix F (·, p), Fix F (·, p )) ≤ ex(F (x, p), Fix F (x, p )) 1−θ x∈Fix F (·,p) inf Đặc biệt, kết luận với F (·, p) giả Lipschitz tồn cục X (do Lipschitz mêtric Hausdorff) với lip F (·, p) < θ 3.3 Sự tồn điểm bất động kép điểm trùng Ở xét trường hợp tổng quát hơn: Hai không gian mêtric X, Y hai cánh xạ đa trị F : X ⇒ Y G : Y ⇒ X Ba vấn đề có mối liên hệ chặt chẽ, gần tương đương mà nghiên cứu là: ❼ Điểm bất động kép (F, G): tìm x ∈ X y ∈ Y cho y ∈ F (x) x ∈ G(y) ❼ Điểm bất động ánh xạ hợp: G ◦ F F ◦ G ❼ Bài tốn điểm trùng: tìm x ∈ X cho F (x) ∩ G−1 (x) = ∅ Mỗi tốn xem xét trường hợp toàn cục khơng có điều kiện ràng buộc x, y , hay miền cố định U ⊂ X V ⊂ Y Ta 53 nghiên cứu hạn chế trường hợp toàn cục đơn giản Mở rộng chứng minh định lí sau cho trường hợp ánh xạ liên kết với tập cố định U ⊂ X V ⊂ Y nhiều đơn giản cần sử dụng số kỹ thuật chứng minh ( Định lí 3.1, 3.2) Cũng lưu ý toán điểm bất động hàm đơn trị ta nghiên cứu trường hợp đặc biệt toán ba toán đề cập Rõ ràng x điểm bất động G ◦ F tồn y cho (x, y) điểm bất động kép (F, G) x điểm trùng F G−1 Mục tiêu chứng minh kết sau Định lí 3.10 (Điểm bất động kép) Giả sử F G có đồ thị đóng giả Lipschitz, Hausdorff Lipschitz, tương ứng X Y với lip F < κ, lip G < µ, κµ < Khi tồn điểm bất động kép (F, G) Hơn nữa, với (x, y) ∈ Graph F d(x, G(y)), − κµ (3.4) d(G−1 (x), F (x)) − κµ (3.5) d(x, Fix(G ◦ F )) ≤ Và với x ∈ X , d(x, Fix(G ◦ F )) ≤ Chứng minh Không tính tổng qt, giả sử κ, µ < Vì κ > 1, ta lấy ρ = κ/µ xét Y với khoảng cách d (y, y ) = ρd(y, y ) Khi lip F = κ lip G = µ tương ứng với khoảng cách Y √ κµ < 1, κ µ = κµ κ d (G−1 (x), F (x)) = κd(G−1 (x), F (x)) Xét tập Q gồm ba (x, y, u) ∈ X × Y × X thỏa mãn y ∈ F (x), u ∈ G(y) với khoảng cách d((x, y, u), (x , y , u )) = max{d(x, x ), d(y, y ), d(u, u )} Vì đồ thị F G đầy đủ nên Q không gian mêtric đầy đủ Cố định (x, y, u) ∈ Q áp dụng Nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f (x, y, u) = d(x, u) + iQ (x, y, u) với λ = (1 − κµ)−1 d(x, u): tồn (ˆ x, yˆ, uˆ) ∈ Q cho 54 (i) d((ˆ x, yˆ, uˆ), (x, y, u)) ≤ d(x, u) ; − κµ (ii) d(ˆ x, uˆ) ≤ d(x, u) − (1 − κµ)d((ˆ x, yˆ, uˆ), (x, y, u)); (iii) d(x, u) + (1 − κµ)d((x, y, u), (ˆ x, yˆ, uˆ)) > d(ˆ x, uˆ) (x, y, u) = (ˆ x, yˆ, uˆ) Ta khẳng định xˆ = uˆ Thật vậy, giả sử phản chứng d(ˆ x, uˆ) > Bởi giả thiết sur F −1 > r = κ−1 Do tồn y ∈ Y thỏa uˆ ∈ F −1 (y) d(y, yˆ) < κd(ˆ x, uˆ) Hơn nữa, giả thiết H(G(y), G(ˆ y )) < µd(y, yˆ) Do tồn u ∈ G(y) cho d(u, uˆ) < µd(y, yˆ) < κµd(ˆ u, xˆ) Rõ (ˆ u, y, u) ∈ Q Vì d(ˆ x, uˆ) lớn d(ˆ y , y) d(ˆ u, u), suy d(u, uˆ) + (1 − κµ)d((ˆ u, y, u), (ˆ x, yˆ, uˆ)) < κµd(ˆ x, uˆ) + (1 − κµ)d(ˆ x, uˆ) = d(ˆ x, uˆ), Điều mâu thuẫn với (iii) Kết ta thu (ˆ x, yˆ) điểm bất động kép (F, G) (điều chứng minh cho mênh đề đầu tiên) (i), ta có d(x, Fix(G ◦ F )) ≤ d(ˆ x, x) ≤ d(x, u) − κµ Bây giờ, cho trước (x, y) ∈ Graph F , ta chọn u ∈ G(y) để d(x, u) gần tùy ý d(x, G(y)) Điều nghĩa bất đẳng thức thay d(x, u) vế phải bất đẳng thức d(x, G(y)) Từ suy (3.4) Cuối cùng, với x chọn y ∈ F (x) để d(y, G−1 (x)) gần tùy ý d(F (x), G−1 (x)) nhận thấy rằng: tính quy mêtric G−1 , ta thay d(x, G(y)) (3.4) κd(y, G−1 (x)) Điều chứng minh cho (3.5) định lí 55 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày nội dung sau: Lý thuyết quy mêtric ánh xạ đa trị tập cố định, bao gồm trường hợp quy địa phương, quy tồn cục, đặc trưng, tiêu chuẩn chứng minh quy, tính ổn định nhiễu tính quy tồn cục số tính chất liên quan khác Ứng dụng tính quy mêtric vào tốn điểm bất động, chứng minh tồn nghiên cứu tính ổn định điểm bất động đa trị 56 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đơng n, Giáo Trình Giải Tích Đa Trị, Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Công nghệ, 2007 [2] Jonathan M Borwein and Qiji J Zhu, A Survey of Subdifferential Calculus With Applications, TMA, Vol 38, pp 678-773, 1998 [3] Jonathan M Borwein and Qiji J.Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2005 [4] Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004 [5] Asen L.Dontchev R Tyrrell Rockafellar, Implicit Function and Solution Mappings: A View from Variational Analysis, Second Edition, Springer, 2014 [6] Alexander D.Loffe,Variational Analysis of Regular Mappings: Theory and Applications, Springer, 2017 ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRÀ QUỐC ANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHÍNH QUY MÊTRIC TỒN CỤC CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người... thuyết tính quy mêtric ánh xạ đa trị tập cố định, lý thuyết quy mêtric địa phương, tính quy mêtric tồn cục đặc trưng nó, tính ổn định nhiễu tính quy mêtric ánh xạ tổng, ánh xạ hợp Các kết chương tổng... liệu [1], [3], [6] 1.1 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ đa trị) Cho hai tập hợp X, Y cho F : X ⇒ Y ánh xạ từ X vào tồn tập Y (kí hiệu 2Y ), ta nói F ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với x