Một số vấn đề về vành chính quy địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ THU SƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUY ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định, năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHAN THỊ THU SƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUY ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Mã số : Người hướng dẫn : Đại số lí thuyết số 8460104 TS NGUYỄN THÁI HỊA Lời cam đoan Tơi xin cam đoan luận văn với đề tài Một số vấn đề vành quy địa phương cơng trình nghiên cứu khoa học riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, nội dung khơng chép chưa công bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi mà trích dẫn với nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Phan Thị Thu Sương Mục lục Mở đầu Một số ký hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Sự phân tích nguyên sơ 1.2 Đầy đủ hóa 1.3 Vành phân bậc môđun phân bậc 12 1.4 Đa thức Hilbert Samuel chiều Krull 16 1.5 Hàm tử xoắn chiều xạ ảnh 23 1.6 Độ sâu môđun Cohen-Macaulay 28 Vành quy địa phương 32 2.1 Vành quy địa phương 32 2.2 Đặc trưng qua chiều đồng điều 39 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Cho R vành địa phương với iđêan cực đại m M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay depth M = dim M Khi R = M , vành R gọi vành Cohen-Macaulay Lớp môđun quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Hơn nữa, lớp vành có nhiều tính chất tốt liên quan với Đại số giao hốn Hình học đại số, vành vành Cohen-Macaulay Lớp vành gọi lớp vành quy địa phương Với mục đích tiếp cận sâu Đại số giao hoán Hình học đại số, chúng tơi chọn đề tài Một số vấn đề vành quy địa phương Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức gồm phân tích nguyên sơ, đầy đủ hóa, vành phân bậc, mơđun phân bậc, đa thức Hilbert Samuel, chiều Krull, hàm tử xoắn, độ sâu mơđun CohenMacaulay Chương 2: Vành quy địa phương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm vành quy địa phương số kiến thức Tiếp theo, chúng tơi trình bày đặc trưng vành quy địa phương qua chiều đồng điều vành số kết chiều đồng điều, vành U F D Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa Tơi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Cơ Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn dày công giảng giảng dạy suốt năm, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè ln giúp đỡ, động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hoàn thiện Một số ký hiệu Spec(R) Tập tất iđêan nguyên tố vành R max(R) Tập tất iđêan cực đại vành R Ann(M ) Linh hóa tử môđun M Ass(M ) Tập tất iđêan nguyên tố liên kết môđun M Supp(M ) Giá môđun M lR (M ) Độ dài R-môđun M gr(R) Vành phân bậc liên kết vành R gr(M ) Môđun phân bậc liên kết môđun M dim M Chiều Krull môđun M depth M Độ sâu môđun M ht(I) Chiều cao iđêan I pdR M Chiều xạ ảnh môđun M vành R Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức phân tích nguyên sơ, đầy đủ hóa, vành phân bậc, mơđun phân bậc, đa thức Hilbert Samuel, chiều Krull, hàm tử xoắn, độ sâu mơđun CohenMacaulay 1.1 Sự phân tích ngun sơ Trong tồn mục này, kí hiệu R vành giao hốn có đơn vị nội dung trình bày theo [6], [7] Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử khác không x ∈ M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M , ký hiệu AssR M hay Ass(M ) Mệnh đề 1.1.2 Cho M R-môđun Các khẳng định sau (i) p ∈ Ass(M ) tồn môđun N M cho R/p ∼ = N (ii) Cho R vành Noether M R-mơđun khác khơng Khi đó, p phần tử cực đại {Ann(x) | x ∈ M x = 0} p ∈ Ass(M ) Hệ 1.1.3 Cho R vành Noether M R-mơđun khác khơng Khi đó, Ass(M ) = ∅ M = Định lý 1.1.4 Cho M R-mơđun Khi đó, Ass(M ) ⊆ Supp(M ), nữa, phần tử cực tiểu Supp(M ) thuộc Ass(M ) Mệnh đề 1.1.5 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, Ass(M ) tập hữu hạn Cho R-mơđun M a ∈ R Khi đó, ánh xạ λa : M → M cho λa (x) = ax với x ∈ M tự đồng cấu M Đồng cấu gọi đồng cấu nhân phần tử a cho M Định nghĩa 1.1.6 Môđun N môđun M gọi môđun nguyên sơ R-môđun M N khác M với a ∈ R, tự đồng cấu λa : M/N → M/N đơn cấu lũy linh Mệnh đề 1.1.7 Cho M R-môđun Môđun thực N M gọi nguyên sơ với a ∈ R, x ∈ M cho ax ∈ N x ∈ N tồn số nguyên dương k ∈ N cho ak M ⊂ N Bổ đề 1.1.8 (i) Cho N R-mơđun M Khi đó, RadM (N ) = {α ∈ R | tồn k ∈ N cho αk M ⊂ N } iđêan vành R Đặc biệt, I iđêan vành R √ RadR (I) = I (ii) Cho N P hai R-môđun M Khi đó, N ⊂ P RadM (N ) ⊂ RadM (P ) (iii) Cho N P hai R-môđun M Khi đó, RadM (N ∩ P ) = RadM (N ) ∩ RadM (P ) Mệnh đề 1.1.9 Các khẳng định sau (i) Cho N môđun nguyên sơ M Khi đó, RadM (N ) = p iđêan nguyên tố R Khi đó, N gọi mơđun p-ngun sơ (ii) Giao hữu hạn môđun p-nguyên sơ môđun p-nguyên sơ Định nghĩa 1.1.10 Cho M R-môđun N môđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn N dạng giao hữu hạn môđun nguyên sơ M , tức N = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nr (*), Ni mơđun pi -ngun sơ M với i = 1, , r Sự phân tích nguyên sơ (*) gọi phân tích nguyên sơ rút gọn Nk Ni (tức bỏ môđun nguyên sơ k=i biểu diễn (*)) RadM (Ni ) = RadM (Nj ) với i = j 44 Mệnh đề 2.2.8 Cho R vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m Khi đó, khẳng định sau (i) Với a ∈ m \ m2 , dãy khớp R/(a)-môđun sau chẻ −→ Ra/ma −→ m/ma −→ m/Ra −→ (ii) Nếu m = m2 a ∈ m \ m2 ước khơng R-mơđun hữu hạn sinh M với pdR M < ∞ R-môđun tự Chứng minh (i) Đặt d = dimk m/m2 Vì a ∈ / m2 nên tồn a1 , , ad−1 ∈ m cho (a, a1 , , ad−1 ) tập sinh tối tiểu m Nếu I = (a1 , , ad−1 ) I ∩ Ra = I ∩ ma Thật vậy, b = ca ∈ I c ∈ R c khơng khả nghịch (vì c khả nghịch a ∈ I ) a, a1 , , ad−1 tập sinh tối tiểu nên b ∈ I ∩ ma Tiếp theo, ta có m/Ra = (I + Ra)/Ra I/(I ∩ Ra) = I/(I ∩ ma) (I + ma)/a ϕ Do đó, ánh xạ tự nhiên m/ma → − m/Ra có ánh xạ T : m/a −→ m/Ra cho ϕT = 1m /Ra (ii) Giả sử với a ∈ m \ m2 ước khơng Khi đó, m \ m2 ⊂ P, P ∈Ass R nghĩa P ∪ m2 m⊂ P ∈Ass R 45 Vì m = m2 nên ta có m⊂ P P ∈Ass R Do m = P Điều dẫn đến, tồn đơn cấu từ k = R/m vào R Nếu M R-môđun hữu hạn sinh với pdR M = n từ dãy khớp −→ k −→ R −→ R/k, dẫn đến dãy khớp R R −→ TorR n+1 (M, R/k) −→ Torn (M, k) −→ Torn (M, R) R Vì TorR n (M, k) = nên Torn (M, R) = Điều xảy n = Vì M mơđun xạ ảnh nên mơđun tự Phép chứng minh kết thúc Hệ 2.2.9 Cho R vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m, gl dim R < ∞ a ∈ m \ m2 ước khác không R Khi đó, gl dim R/(a) < ∞ Chứng minh Xét dãy khớp R/(a)-môđun −→ m/Ra −→ R/Ra −→ R/m −→ Vì gl dim R/(a) = pdR/(a) R/m nên ta cần chứng minh pdR/(a) m/Ra < ∞ 46 Vì gl dim R < ∞, pdR m < ∞ theo Mệnh đề 2.2.7 nên ta có pdR/(a) m/ma < ∞ Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2.8, m/Ra hạng tử trực tiếp m/ma, pdR/(a) m/Ra < ∞ Định lý 2.2.10 Cho R vành Noether giao hoán địa phương với iđêan cực đại m gl dim R < ∞ Khi đó, R vành quy địa phương Chứng minh Chứng minh quy nạp theo t = dimk m/m2 , k = R/m Nếu t = m = m2 theo Bổ đề Nakayama, m = R vành quy Giả sử t > Nếu a ∈ m \ m2 ước khơng gl dim R = pdR k < ∞ nên theo Mệnh đề 2.2.8 dẫn đến k R-môđun tự do, nghĩa m = 0, mâu thuẫn Vì vậy, tồn a ∈ m \ m2 không ước không ¯ = m/Ra, m ¯ /m ¯ Theo Hệ 2.2.9, ta có gl dim R/(a) < ∞ Nếu m k -không gian vectơ chiều t − theo quy nạp ta suy R/(a) ¯ sinh R/(a)-dãy a¯1 , , at−1 quy, nghĩa m ¯ Khi đó, a, a1 , , , at R-dãy sinh m R vành quy địa phương 47 Hệ 2.2.11 Cho R vành Noether giao hốn quy địa phương P iđêan nguyên tố R Khi đó, RP vành Noether quy địa phương Chứng minh Giả sử gl dim R = n Khi đó, pdR R/P ≤ n Vì vậy, tồn phép giải tự chiều t ≤ n, −→ Ft −→ Ft−1 −→ · · · −→ F0 −→ R/P −→ Vì RP R-phẳng nên dãy −→ RP ⊗R Ft −→ RP ⊗R Ft−1 −→ · · · −→ RP ⊗R F0 −→ RP ⊗R R/P −→ khớp RP ⊗R Fi với ) ≤ i ≤ t RP -tự Vì vậy, pdRP (RP ⊗R R/P ) ≤ n, nghĩa pdR (RP /P RP ) ≤ n Do đó, gl dim RP ≤ n Vậy RP vành quy địa phương Định nghĩa 2.2.12 Vành R gọi vành quy RP vành Noether quy địa phương với iđêan nguyên tố P R Định lý 2.2.13 Cho R vành quy Khi đó, vành đa thức R[X1 , , Xn ], vành quy Chứng minh Ta cần chứng minh kết với n = Gọi Q iđêan nguyên tố vành R[X] = S Xét iđêan nguyên 48 tố P = R ∩ Q Vì SQ địa phương hóa RP [X] RP vành quy địa phương Khơng tính tổng quát giả sử R vành quy địa phương với iđêan cực đại m Chúng ta có, S/mS R[X] ⊗R k k[X] với k = R/m Vì mS ⊂ Q nên ta có Q = mS Q = mS + (f ) với f (X) ∈ S[X] đa thức đơn khởi Vì R vành quy địa phương sinh d = dim R phần tử a1 , , ad Vì Q sinh S d d + phần tử tương ứng với Q = mS Q = mS + (f ) Hơn nữa, ht(Q) ≥ d, ta có ht(Q) = d Q = mS ht(Q) = d + Q = mS + (f ) Do SQ vành quy địa phương Phép chứng minh kết thúc Hệ 2.2.14 Cho k trường Khi đó, vành đa thức k[X1 , , Xn ] vành quy Chứng minh Vì k vành quy địa phương nên k vành quy Theo Định lý 2.2.13, vành đa thức k[X1 , , Xn ] vành quy Chú ý 2.2.15 (i) Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi đó, pdR M = sup pdRP (MP ) = P ∈Spec R sup pdRm (Mm ) m∈max R Hơn nữa, ta có gl dim R = sup gl dim RP = P ∈Spec R sup gl dim Rm m∈max R 49 (ii) Nếu R vành Noether dim R = sup dim Rm m∈max R (iii) Cho R vành Noether địa phương với iđêan cực đại m a ∈ m \ m2 Khi đó, R vành quy R/(a) vành quy ngược lại a không thuộc iđêan nguyên tố nhỏ R R/(a) khơng vành quy Hệ 2.2.16 Cho R vành Noether quy Khi đó, gl dim R = dim R Chứng minh Ta có gl dim R = sup gl dim Rm m∈max R = sup dim Rm = dim R m∈max R Hệ 2.2.17 Cho k trường Khi đó, gl dim k[X1 , , Xn ] = n Chứng minh Vì dim k[X1 , , Xn ] = n nên theo Hệ 1.4.26, ta có điều cần chứng minh Chúng ta chứng minh vành quy địa phương miền nguyên từ Hệ 2.1.5 Tiếp theo, chúng tơi chứng tỏ vành quy địa phương vành U F D Trước tiên, chúng tơi trình bày định nghĩa vành U F D 50 Định nghĩa 2.2.18 Một miền nguyên phần tử khác không không khả nghịch phân tích cách (sai khác phần tử khả nghịch phép hoán vị nhân tử) phần tử bất khả quy gọi vành UFD Lưu ý rằng, U F D viết tắt Unique Factorial Domain tên gọi khác vành U F D vành nhân hóa tử Mệnh đề 2.2.19 Cho R miền nguyên Noether Khi đó, R vành U F D iđêan nguyên tố có độ cao R iđêan Chứng minh Giả sử R vành U F D Gọi P iđêan nguyên tố cho ht P = Lấy a ∈ P, a = p ước bất khả quy a Khi đó, Rp ⊂ P ; ht P = Rp iđêan nguyên tố nên Rp = P , tức P iđêan Ngược lại, giả sử iđêan nguyên tố có độ cao iđêan Vì R vành Noether, a ∈ R a không khả nghịch biểu diễn thành tích hữu hạn phần tử bất khả quy Chỉ cần chứng minh phần tử bất khả quy nguyên tố Giả sử a ∈ R phần tử bất khả quy P iđêan nguyên tố nhỏ (a) Khi đó, ht P = theo giả thiết quy nạp P iđêan chính, tức là, P = Rp, p ∈ R p nguyên tố Do p = ua với u khả nghịch Vậy a phần tử nguyên tố 51 Ghi 2.2.20 (i) Cho M R-môđun Đại số tenxơ T(M) M định nghĩa R-đại số ∞ T (M ) = Ti (M ) i=0 đó, Ti (M ) = M ⊗R M ⊗R ⊗R M (i lần), T0 (M ) = R Định nghĩa phép nhân T (M ) (x1 ⊗ ⊗ xr )(y1 ⊗ ⊗ yr ) = x1 ⊗ ⊗ xr ⊗ y1 ⊗ ⊗ yr với xi , yj ∈ M mở rộng phân phối (ii) Cho M R-môđun T (M ) đại số tenxơ M Thương T (M ) iđêan hai bên sinh phần tử loại x ⊗ x, x ∈ M gọi Đại số (M ) Ảnh x1 ⊗ ⊗ xr qua phép chiếu tự nhiên định nghĩa ··· x1 xr (được gọi phần tử bậc r) Thành phần r thứ r (M ) ký hiệu (M ) (iii) Cho M , N hai R-mơđun Khi đó, ❼ Nếu M mơđun tự với sở e1 , , en với sở ei1 ❼ j (M ) ⊗R (M ⊕ N ) (M ) tự ein với ≤ i1 < i2 < < ir ≤ n i r r (N ) i+j=n ❼ Nếu M R-môđun xạ ảnh ảnh (M ) R-mơđun xạ 52 Mệnh đề 2.2.21 Cho R vành giao hốn có đơn vị M R-mơđun xạ ảnh Khi đó, khẳng định sau (i) Nếu M có phép giải tự hữu hạn −→ Fn −→ Fn−1 −→ · · · −→ F0 −→ M −→ Fi môđun tự với hạn hữu hạn, ≤ i ≤ n; tồn R-mơđun tự hữu hạn sinh F cho M ⊕ F tự rank(M ⊕ F ) < ∞ (ii) Nếu M ⊕ Rn Rn+1 M R Chứng minh (i) Ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n = M F0 môđun tự hữu hạn sinh Giả sử n > Đặt K = ker(F0 −→ M ) Vì M xạ ảnh nên F0 M ⊕ K K có phép giải tự độ dài n − Theo giả thiết quy nạp, tồn môđun tự F cho K ⊕ F = F mơđun tự hữu hạn sinh Khi đó, M ⊕F =M ⊕K ⊕F F0 ⊕ F môđun tự hữu hạn sinh (ii) Cho M R môđun cho M ⊕ Rn MP ⊕ RPn Rn+1 Khi đó, RPn+1 , với iđêan nguyên tố P , suy M xạ ảnh với giá Hơn nữa, với 53 i > 1, i ( i RP ⊗R M )P i i (RP ⊗R M ) M R R MP = RP RP i Vì điều với iđêan nguyên tố P nên M = với i > Hơn nữa, n+1 R= n+1 R n+1 j i n (M ⊕ R ) M⊗ Rn i+j=n+1 n+1 M⊗ M ⊗R R n R ⊕ n M⊗ Rn M Phép chứng minh kết thúc Hệ 2.2.22 Cho I iđêan xạ ảnh khác không vành R có phép giải tự hữu hạn Khi đó, I iđêan Chứng minh Theo (i) Mệnh đề 2.2.21, tồn môđun tự F hữu hạn sinh cho I ⊕ F = F , F R-mơđun tự có giá hữu hạn Vì IP ⊕FP FP , I có hạng số rank F −rank F Vì I iđêan xạ ảnh khác khơng nên rank I = Theo (ii) Mệnh đề 2.2.21, ta có I R Định lý 2.2.23 Cho R vành quy địa phương Khi đó, R vành U F D 54 Chứng minh Chứng minh quy nạp theo d = dim R Trước tiên, ta xét trường hợp d = Khi đó, R trường Tiếp theo, giả sử d > Vì R miền nguyên nên ta cần chứng minh iđêan nguyên tố có độ cao iđêan Cho P iđêan nguyên tố với ht P = Vì d ≥ 1, m = m2 nên tồn a ∈ m \ m2 Vì {a} phần hệ tham số quy (theo (iii) Chú ý 2.2.15) nên iđêan Ra iđêan nguyên tố Suy a phần tử nguyên tố Nếu a ∈ P Ra ⊂ P P có độ cao nên P = Ra iđêan Giả sử a ∈ / P xét tập nhân đóng S = {an | n ≥ 0} Nếu R = RS P = P R iđêan nguyên tố R có độ cao Chúng ta chứng tỏ P iđêan Vì gl dim R < ∞, P có phép giải tự hữu hạn R-mơđun P = P R có phép giải tự hữu hạn có R mơđun Tiếp theo, ta chứng tỏ P iđêan xạ ảnh R Cho Q = QR iđêan nguyên tố R , Q iđêan nguyên tố R Khi đó, Q = m a ∈ / Q Khi RQ RQ vành quy địa phương có chiều nhỏ dim R Theo giả thiết quy nạp, RQ vành U F D Vì P RQ iđêan nguyên tố có độ cao nên iđêan Suy pdR P = sup pdR P RQ = Do P R -xạ ảnh Theo Hệ 2.2.22, P Q Q iđêan R Khi đó, ta viết P = R p, p ∈ P Không 55 tính tổng qt ta giả sử a khơng chia hết cho p Chúng ta nhận b P = Rp Thật vậy, Rp ⊂ P Gọi x ∈ P = P ∩ R Ta viết x = m p, a m tức là, a x = bp Vì a phần tử ngun tố a khơng chia hết cho p nên am |b Khi đó, x ∈ Rp Do P = Rp 56 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết vành quy địa phương Chương Một số kiến thức bản: phân tích ngun sơ, đầy đủ hóa, vành phân bậc, môđun phân bậc, đa thức Hilbert Samuel, chiều Krull, hàm tử xoắn, độ sâu môđun Cohen-Macaulay Chương Vành quy địa phương số vấn đề liên quan, cụ thể là: ❼ Khái niệm vành quy địa phương đặc trưng vành quy địa phương Một số tính chất bản: vành địa phương quy miền nguyên (xem Hệ 2.1.5) vành Cohen-Macaulay (xem Hệ 2.1.9) ❼ Một đặc trưng vành quy địa phương qua chiều đồng điều vành (xem Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.10) Mối quan hệ môđun Cohen-Macaulay môđun tự (xem Hệ 2.2.3) ❼ Khái niệm vành quy (xem Định nghĩa 2.2.12) vành đa thức 57 n biến vành sở quy vành quy (xem Định lý 2.2.13) Hơn nữa, chiều toàn cục số vành (xem Hệ 2.2.16 Hệ 2.2.17), đặc trưng vành U F D (xem Mệnh đề 2.2.19) Cuối chúng tơi trình bày vành quy địa phương vành U F D (xem Định lý 2.2.23) 58 Tài liệu tham khảo [1] D.Q Việt (2008), Lý Thuyết Chiều, Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] D.V Lưu (1998), Tôpô đại cương, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội [3] Atiyah, M and Macdonald I G (1969), Introduction to commutative algebra, Reading Mass [4] Bruns, W and Herzog, J (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [5] Eisenbud, D (1995), Commutative algebra, Springer-Verlag [6] Gopalakrishnan, N S (1984), Commutative algebra, Oxonian Press [7] Matsumura, H (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, New York [8] Matsumura, H (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [9] Nagata, M (1962), Local rings, Interscience, New York ... số, vành vành Cohen-Macaulay Lớp vành gọi lớp vành quy địa phương Với mục đích tiếp cận sâu Đại số giao hốn Hình học đại số, chọn đề tài Một số vấn đề vành quy địa phương Luận văn bao gồm: Mở đầu,... tham số M M -dãy 32 Chương Vành quy địa phương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm vành quy địa phương số vấn đề liên quan Tiếp theo, chúng tơi trình bày đặc trưng vành quy địa phương. .. RP vành quy địa phương Định nghĩa 2.2.12 Vành R gọi vành quy RP vành Noether quy địa phương với iđêan nguyên tố P R Định lý 2.2.13 Cho R vành quy Khi đó, vành đa thức R[X1 , , Xn ], vành quy