Nghiệm trong nón của ánh xạ đa trị và ứng dụng cho bao hàm thức vi phân với điều kiện biên nhiều điểm

Bài viết Nghiệm trong nón của ánh xạ đa trị và ứng dụng cho bao hàm thức vi phân với điều kiện biên nhiều điểm trình bày các khái niệm được sử dụng và kết quả chính; Các định lí điểm bất động của ánh xạ đa trị; Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Vol 19, No (2022): 1371-1386 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 ISSN: 2734-9918 Website: https://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.8.3560(2022) Bài báo nghiên cứu * NGHIỆM TRONG NÓN CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NHIỀU ĐIỂM Nguyễn Đăng Quang Trường Đại học FPT – Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Tác giả liên hệ: Nguyễn Đăng Quang – Email: quangnd32@fe.edu.vn Ngày nhận bài: 08-8-2022; ngày nhận sửa: 23-8-2022; ngày duyệt đăng: 25-8-2022 TĨM TẮT Lí thuyết bậc tôpô cho ánh xạ đa trị khơng gian Banach có thứ tự cung cấp công cụ mới, hiệu nghiên cứu bao hàm thức vi phân toán giá trị riêng ánh xạ đa trị Trong báo này, chúng tơi sử dụng cơng cụ bậc tơpơ theo nón để chứng minh định lí tổng quát tồn nghiệm nón bao hàm thức x ∈ A( x), λ x ∈ A( x) cho số lớp ánh xạ đa trị A tác động không gian có thứ tự Chúng tơi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm µ → ∞ Các kết sau chúng tơi áp dụng để chứng minh tồn nghiệm dương bao hàm thức vi phân cấp hai − x ''(t ) ∈ f ( t , x(t ) ) , t ∈ [0,1] với điều kiện kiện biên nhiều điểm dạng = x(0) u= ( x), x(1) m−2 ∑ α x(β ) Các kết thu báo mở rộng i =1 i i số nghiên cứu có trường hợp phương trình lên trường hợp bao hàm thức Từ khóa: giá trị riêng; bậc tôpô, bao hàm thức vi phân cấp hai; điều kiện biên nhiều điểm; ánh xạ đa trị, nghiệm nón Giới thiệu Bậc tơpơ ánh xạ công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm phương trình phi tuyến trừu tượng phương trình vi phân cụ thể (Deimling, 1985; Guo & Lakshmikantham, 1988; (O'Regan, Cho, & Chen, 2006) Với việc sử dụng ngày rộng rãi ánh xạ đa trị Toán học, khoa học tự nhiên, kinh tế…, lí thuyết bậc tơpơ cho ánh xạ đa trị xây dựng ứng dụng nghiên cứu bao hàm thức vi phân, toán giá trị riêng ánh xạ đa trị (Nguyen, Tran, & Vo, 2018) Việc tìm định lí tổng quát điểm bất động ánh xạ đa trị để áp dụng vào tốn mới, tiếp tục thời gian tới Trong báo này, dựa tính chất tổng quát bậc tôpô ánh xạ đa trị tác động khơng gian có thứ tự, chúng tơi chứng minh định lí tồn điểm bất Cite this article as: Nguyen Dang Quang (2022) Solutions in cones of multivalued operators and application to a differential inclusion with multipoint boundary conditions Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(8), 1371-1386 1371 Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM động nón, vectơ riêng nón số lớp ánh xạ đa trị Các định lí tổng quát áp dụng để nghiên cứu tồn nghiệm dương của bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm, kết mở rộng nghiên cứu (Le, Le, & Nguyen, 2008) lên trường hợp đa trị Các khái niệm sử dụng kết 2.1 Bậc tơpơ ánh xạ đa trị khơng gian có thứ tự Giả sử X không gian Banach trường số thực Tập K ⊂ X gọi nón X nếu: (i) K tập đóng X, (ii) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ , (iii) K ∩ (− K ) ={θ } Nếu K nón thứ tự X sinh K xác định x ≤ y ⇔ y − x ∈ K Khi ta nói cặp (X, K) khơng gian Banach có thứ tự Định nghĩa 2.1 (Jahn & Truong, 2011) Cho ( X , K ) không gian Banach có thứ tự, A B tập khác rỗng X (k ) Ta xây dựng quan hệ " ≤" (k = 1, 2,3) hai tập hợp A, B khái niệm ánh xạ đa trị (k) – tăng sau: (1) 1) A ≤ B ⇔ (∀x ∈ A, ∃ y ∈ B : x ≤ y ) (nghĩa A ⊂ B − K ), (2) 2) A ≤ B ⇔ (∀y ∈ B, ∃ x ∈ A : x ≤ y ) (nghĩa B ⊂ A + K ), (3) 3) A ≤ B ⇔ (∀x ∈ A, ∀y ∈ B : x ≤ y ) (nghĩa B ⊂ x + K , ∀x ∈ K ) Ánh xạ đa trị F : D ⊂ X → X \ {∅} ,  (k )  F gọi (k) – tăng ( k = 1, 2,3 ) ∀x, y ∈ D  x ≤ y ⇒ F ( x) ≤ F ( y )      Các quan hệ tập hợp vừa nêu nhiều nhà toán học giới thiệu sử dụng Các quan hệ trùng với quan hệ thứ tự sinh nón K tập hợp A, B có phần tử Định nghĩa 2.2 (Deimling, 1985) Cho X , Y không gian Banach trường số thực ánh xạ đa trị F : D ⊂ X → 2Y \ {∅} (i) F gọi nửa liên tục D với tập hợp V mở Y tập hợp F + (V ) = { x ∈ D : F ( x) ⊂ V } mở D 1372 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM (ii) F ánh xạ compact F ( S ) =  F ( x) tập compact tương đối Y, với S x∈S tập bị chặn D (iii) Với E ⊂ Y , ta kí hiệu cc( E ) tập tập lồi, đóng, khác rỗng E Định nghĩa 2.3 (Borisovich et al., 2011; Fitzpatrick & Petryshyn, 1975) Cho Ω tập mở, bị chặn không gian Banach X với thứ tự sinh nón K A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact cho x ∉ A( x), với x ∈ K ∩ ∂Ω (ta nói A khơng suy biến K ∩ ∂Ω ) Khi tồn ánh xạ đơn trị, compact f : K ∩ ∂Ω → K đồng luân với A K ∩ ∂Ω , nghĩa tồn ánh xạ đa trị G : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) nửa liên tục trên, compact cho ; G (.,1) A= , G (., 0) f x ∉ G ( x, t ) , ∀( x, t ) ∈ ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] = Ta định nghĩa bậc tôpô iK ( A, Ω) theo nón K ánh xạ A tập Ω , iK ( A, Ω = ) iK ( f , Ω) , iK ( f , Ω) bậc tơpơ theo nón K ánh xạ đơn trị f tập Ω Mệnh đề 2.4 (Borisovich et al., 2011) Giả sử ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự Ω ⊂ X tập mở, bị chặn Trong tính chất – 3, ta giả sử ánh xạ A xác định K ∩ ∂Ω , tính chất – 5, ta giả sử ánh xạ A xác định K ∩ Ω , nhận giá trị cc( K ) nửa liên tục trên, compact Tính chất chuẩn hóa Nếu A( x) ≡ C , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω C ⊂ K tập lồi, compact 1 C ⊂ K ∩ Ω , iK ( A, Ω) = 0 C ⊂ K \ Ω Tính chất bất biến qua đồng luân Nếu H : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact khơng suy biến iK ( H = (.,1), Ω ) iK ( H (., 0), Ω ) Tính chất Poincare Giả sử A1 : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact không suy biến K ∩ ∂Ω thỏa mãn x− y x−z ≠− , x− y x−z Ω) iK ( A1 , Ω) với y ∈ A( x), z ∈ A1 ( x), x ∈ K ∩ ∂Ω Khi đó, iK ( A,= Tính chất cộng tính 1373 Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Giả sử Ω1 , Ω tập mở không giao Nếu x ∉ A( x) , với ( ) x ∈ K ∩ Ω \ (Ω1 ∪ Ω ) ) iK ( A, Ω1 ) + iK ( A, Ω ) iK ( A, Ω = Nếu iK ( A, Ω) ≠ A có điểm bất động Ω Mệnh đề 2.5 (Infante & Pietramala, 2009) Giả sử ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, Ω tập mở, bị chặn A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact Khi đó, Nếu θ ∈ Ω λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ , iK ( A, Ω) =1 Nếu tồn phần tử x0 ∈ K \ {θ } cho x ∉ A( x) + λ x0 , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ , iK ( A, Ω) =0 Nếu A thỏa mãn (i) inf x∈K ∩∂Ω A( x) > (với A( x) = inf y ), y∈ A ( x ) (ii) λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ∈ (0,1] , iK ( A, Ω) =0 2.2 Các định lí điểm bất động ánh xạ đa trị Định lí 2.6 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự, Ω1 , Ω tập mở, bị chặn X θ ∈ Ω1 , Ω1 ⊂ Ω A : K ∩ Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact Giả sử hai điều kiện thỏa mãn: (i) A( x) ≤ x , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω1 A( x) ≥ x , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , (ii) A( x) ≥ x , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω1 A( x) ≤ x , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , với A( x) = sup y , A( x) = inf y y∈ A ( x ) y∈ A ( x ) Khi A có điểm bất động K ∩ ( Ω \ Ω1 ) Chứng minh Ta chứng minh định lí trường hợp điều kiện (i) thỏa mãn, trường hợp (ii) chứng minh tương tự Giả sử ánh xạ A khơng có điểm bất động K ∩ ∂Ω1 K ∩ ∂Ω Ta chứng minh 1374 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ≥ (1) Giả sử ngược lại, tức tồn x0 ∈ K ∩ ∂Ω , λ0 ≥ cho λ0 x0 ∈ A( x0 ) Khi , λ0 x0 ≤ A( x0 ) Mặt khác, từ giả thiết ta suy λ0 ≠ nên A( x0 ) ≥ λ0 x0 > x0 , điều vô lí Vậy (1) iK ( A, Ω1 ) = Tiếp theo, ta chứng minh điều kiện (i) (ii) tính chất Mệnh đề 2.5 thỏa mãn Vì Ω tập mở chứa θ nên θ ∉ ∂Ω suy inf A( x) ≥ inf x > hay điều kiện x∈K ∩∂Ω x∈K ∩∂Ω (i) Sau ta chứng minh điều kiện (ii) đúng, tức chứng minh λ x ∉ A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀λ ∈ (0,1] Giả sử ngược lại, tức tồn x0 ∈ K ∩ ∂Ω , < λ0 ≤ cho λ0 x0 ∈ A( x0 ) Khi đó, λ0 x0 ≥ A( x0 ) Mặt khác, từ giả thiết ta suy λ0 ≠ nên A( x0 ) ≤ λ0 x0 < x0 điều vơ lí Vậy điều kiện (ii) Suy iK ( A, Ω ) = Áp dụng tính chất cộng tính bậc tôpô ta iK ( A, Ω \ Ω1 ) =iK ( A, Ω ) − iK ( A, Ω1 ) =0 − =−1 ≠ Suy tồn x0 ∈ K ∩ ( Ω \ Ω1 ) cho x0 ∈ A( x0 ) (đpcm) Hai định lí khẳng định tồn giá trị riêng dương vectơ riêng dương ánh xạ đa trị Định lí 2.7 Giả sử ( X , K ) không gian Banach có thứ tự, Ω tập mở, bị chặn chứa θ , A : K ∩ ∂Ω → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact inf x∈K ∩∂Ω A( x) > Khi đó, ∃ x0 ∈ K ∩ ∂Ω , ∃ µ0 > : µ0 x0 ∈ A( x0 ) Chứng minh Đặt m = sup x , β = inf x∈K ∩∂Ω x∈K ∩∂Ω A( x) Chọn α > m β , ta chứng minh ánh xạ α A thỏa mãn điều kiện tính chất Mệnh đề 2.5 Hiển nhiên điều kiện (i) đúng, ta chứng minh µ x ∉ α A( x) , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω , ∀µ ∈ (0,1] Giả sử ngược lại, tức ∃ x1 ∈ K ∩ ∂Ω , ∃ µ ∈ (0,1] : µ1 x1 ∈ α A( x1 ) Khi µ1 ≥ α αβ A( x1 ) ≥ > , điều vơ lí x1 m 1375 Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Do theo Mệnh đề 2.5 ta suy iK (α A, Ω) =0 Ánh xạ H : ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] → cc( K ) xác định H ( x, t ) = tα A( x) ánh xạ nửa liên tục trên, compact Nếu x ∉ H ( x, t ) , ∀( x, t ) ∈ ( K ∩ ∂Ω ) × [0,1] áp dụng tính chất bất biến đồng ) iK (θˆ, Ω ) (trong θˆ : K ∩ Ω → cc( K ) ánh xạ = = luân bậc tôpô ta iK (α A, Ω không θˆ= ( x) {θ } , ∀x ∈ K ∩ ∂Ω ) Ta gặp mâu thuẫn Vậy tồn ( x0 , t0 ) ∈ ( K ∩ ∂Ω) × [0,1] cho x0 ∈ H ( x0 , t0 ) = t0α A( x0 ) Hiển nhiên t0 ≠ đặt µ0 (α t0 ) −1 > µ0 x0 ∈ A( x0 ) (đpcm) = Định lí 2.8 Cho ( X , K ) khơng gian Banach có thứ tự A : K → cc( K ) ánh xạ nửa liên tục trên, compact, A(θ ) = {θ } hai điều kiện thỏa mãn: A( x) (i) lim x →0 x∈K (ii) lim x →0 x∈K = x A( x) x , = +∞ lim A( x) x →+∞ x∈K , x lim = +∞ , A( x) x →+∞ x∈K x = Khi đó, (a) ∀µ > 0, ∃ xµ > θ : µ xµ ∈ A( xµ ), (b) lim xµ = +∞ (nếu có điều kiện (i)) lim xµ = (nếu có điều kiện (ii)) µ →+∞ µ →+∞ Chứng minh Ta chứng minh định lí trường hợp điều kiện (i) thỏa mãn, trường hợp (ii) chứng minh tương tự Cho trước µ > , điều kiện (i) suy tồn số R > r > cho A( x) < µ x ; ∀x ∈ K , x =r , A( x) > µ x ; ∀x ∈ K , x =R Đặt Ω r = {x ∈ X : x < r} , Ω R = {x ∈ X : x < R} Ω r , Ω R tập mở bị chặn X θ ∈ Ω r , Ω r ⊂ Ω R Khi đó, ánh xạ đa trị tồn xµ ∈ Ω R \ Ω r hay xµ > θ cho xµ ∈ µ A thỏa điều kiện (i) Định lí 2.6 Do đó, µ 1376 A( xµ ) hay µ xµ ∈ A( xµ ) Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tiếp theo ta chứng minh lim xµ = +∞ Giả sử ngược lại, tức tồn số thực c > µ →+∞ dãy số thực {µn }n cho lim µn = +∞ n →+∞ xµn ≤ c , với n ∈ * Chuyển sang dãy cần, ta coi lim xµn = τ ≥ n →+∞ Khi đó, µn ≤ A( xµn ) xµn ≤ M (với M = sup A( x) ) x ≤c xµn (2) Do bất đẳng thức thứ (2) điều kiện (i) với µn → ∞ , ta suy τ ≠ Nhưng đó, bất đẳng thức thứ hai ta lại gặp mâu thuẫn 2.3 Bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm Xét toán − x ''(t ) ∈ f ( t , x(t ) ) , ≤ t ≤ ,  m−2  α i x( βi ) (m ≥ 3) (0) ( ) , (1) x u x x = = ∑  i =1  với giả thiết sau (3) + f :[0,1] ×  + → cc( + ) ánh xạ đa trị compact hàm Caratheodory theo nghĩa: • a1) ∀x ∈  + , hàm t  f (t , x) hàm số đo được, nghĩa ∀y ∈  , hàm số D(t )= inf { y − z , z ∈ f (t , x)} đo • a2) Hàm số x  f (t , x) nửa liên tục hkn [0,1] • a3) ∀r > 0, ∃ϕr ∈ L1 ([0,1]) : sup f (t , x) ≤ ϕ r (t ) hkn [0,1] 0≤ x ≤ r + u : K →  + hàm số liên tục, xác định = u ( x) ∫x α ( s )ds (0 < α ≠ 1) , K = { x ∈ C ([0,1]) : x(t ) ≥ 0, ∀t ∈ [0,1]} nón C ([0,1]) , + α i ≥ 0= (i 1, 2, , m − 2) m−2 ∑α i =1 + < β1 < β < < β m − < m−2 m−2 i < 1, m−2 ∑α β i =1 i + A= − ∑ α i βi , B = − ∑ αi , D = =i =i i với < ε < cố định,  D2   A 1377 Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM   x(t ) chuẩn C ([0,1]) + Kε =  x ∈ K : min1 x(t ) ≥ Cε x  , x = max ≤t ≤1 −ε ≤ t ≤ + ε    2 Bài toán (3) viết lại dạng sau: A − Bt u ( x) + ∫ G (t , s ) f ( s, x( s ))ds , A x(t ) ∈ (4) G= (t , s ) G (t , s ) + t m−2 − ∑ α i βi m−2 ∑ α G (β , s) , i =1 i i i =1  s (1 − t ) , ≤ s ≤ t ≤ 1, với G (t , s ) =  t (1 − s ) , ≤ t ≤ s ≤ Với x ∈ K , ta kí hiệu Fx = { y ∈ L1 ([0,1]) : y(t ) ∈ f (t , x(t )) hkn [0,1]} , lập ánh xạ T : K → K \ {∅} xác định   T ( x)= h ∈ K : ∃y ∈ Fx , h(t )= γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] ,   A − Bt với , t ∈ [0,1] γ (t ) = A Bổ đề 2.9 (Guo & Lakshmikantham, 1988) i) < γ (t ) ≤ 1, ∀t ∈ [0,1] , ii) Hàm số G (t , s ) liên tục [0,1] × [0,1] ≤ G (t , s ) ≤ Ds (1 − s ) , ∀(t , s ) ∈ [0,1] × [0,1] , iii) Với < ε < 1 1  1  , G (t , s ) ≥  − ε  s (1 − s ) , ∀s ∈ [0,1], ∀t ∈  − ε , + ε  , 2 2  2  iv) ∀τ ∈ [0,1], lim ∫ G (t , s ) − G (τ , s ) ϕr ( s )ds= , ∀r > t →τ Bổ đề 2.10 (Lasota & Opial, 1965) Giả sử I ⊂  đoạn bị chặn, f : I ×  → 2 \ {∅} ánh xạ Caratheodory có giá trị lồi, compact cho Fx= ˆ I } ≠ ∅, ∀x ∈ C ( I ) Khi đó, { y ∈ L ( I ) : y(t ) ∈ f (t , x(t )) hkn tren L : L1 ( I ) → C ( I ) ánh xạ tuyến tính liên tục ánh xạ đa trị L  Fx , x  L( Fx ) có đồ thị đóng C ( I ) × C ( I ) Bổ đề 2.11 Ánh xạ T ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, compact có giá trị lồi, đóng Chứng minh 1378 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM 1) T ( Kε ) ⊂ Kε Với x ∈ K , h ∈ T ( x) tồn y ∈ Fx cho = h(t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] ≤ u ( x) + D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] Suy h ≤ u ( x) + D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds Mặt khác, với 1 − ε ≤ t ≤ + ε , ta có 2 1  B1   h(t ) ≥ 1 −  + ε   u ( x) +  − ε  D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds D2    A 1   ≥ Cε  u ( x) + D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds  ≥ Cε h   Vậy h ∈ Kε = T ( Kε )  T ( x) ⊂ Kε x∈Kε 2) T có giá trị lồi x ∈ K , h1 , h2 ∈ T ( x), λ ∈ (0,1) tồn y1 , y2 ∈ Fx cho , k 1, = hk (t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) yk ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] = Khi λ h1 (t ) + (1 − λ )= h2 (t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) [ λ y1 ( s ) + (1 − λ ) y2 ( s ) ] ds , ∀t ∈ [0,1] Vì Fx tập lồi nên λ y1 + (1 − λ ) y2 ∈ Fx Suy λ h1 + (1 − λ )h2 ∈ T ( x) 3) T có giá trị đóng Giả sử x ∈ K {un } ⊂ T ( x) , un → u { yn }n ⊂ Fx cho = un (t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) yn ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] r Với = x + theo giả thiết (a3), tồn ϕr ∈ L ([0,1]) thỏa mãn sup f (t , x) ≤ ϕ r (t ) hkn [0,1] 0≤ x ≤ r Do { yn }n ⊂ Fx nên yn (t ) ∈ f (t , x(t )) ta có ≤ yn (t ) ≤ ϕ r (t ) , ∀n ∈ * 1379 (5) Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Áp dụng hệ định lí Dunford – Pettis ta suy tồn dãy { ynk } ⊂ { yn }n k → y Vì Fx lồi, đóng nên đóng yếu, y ∈ Fx y ∈ L ([0,1]) cho ynk  w Qua giới hạn (5), ta = u (t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] Vậy u ∈ T ( x) 4) T ánh xạ compact ( ) Ta chứng minh với r > , tập hợp T K r tập compact tương đối Theo giả thiết (a3), tồn ϕ r ∈ L ([0,1]) : sup f (t , x) ≤ ϕr (t ) hkn [0,1] 0≤ x ≤ r ( ) T K r bị chặn • Với x ∈ K r h ∈ T ( x) có y ∈ Fx cho = h(t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] 1 ≤ ∫ x ( s )ds + D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds ≤ r + D ∫ s (1 − s )ϕ r ( s )ds α α ( ) • T K r đồng liên tục Giả sử t1 , t2 ∈ [0,1] t1 < t2 Ta có h(t1 ) − h(= t2 ) [γ (t1 ) − γ (t2 )] u ( x) + ∫ G (t1 , s) − G (t2 , s)  y( s)ds , ∀t ∈ [0,1], B = (t2 − t1 )u ( x) + ∫ G (t1 , s ) − G (t2 , s )  y ( s )ds A Do đó, h(t1 ) − h(t2 ) ≤ B t1 − t2 r α + ∫ G (t1 , s ) − G (t2 , s ) ϕ r ( s )ds A Suy lim h(t1 ) − h(t2 ) = (Bổ đề 2.9) t1 →t2 Áp dụng Định lí Ascoli – Arzela ta suy T ánh xạ compact 5) Ánh xạ T có đồ thị tập đóng Giả sử xn , x ∈ K xn → x , hn ∈ T ( xn ), ∀n ∈  * hn → h Ta chứng minh h ∈ T ( x) 1380 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Ánh xạ L : L1 ([0,1]) → C ([0,1]) , w  ∫ G (t , s ) w( s )ds ánh xạ tuyến tính, liên tục nên suy ánh xạ đa trị L  F : C ([0,1]) → cc ( C ([0,1]) ) có đồ thị đóng C ([0,1]) × C ([0,1]) (Bổ đề 2.10) Vì hn − γ u ( xn ) ∈ L  Fxn hn − γ u ( xn ) → h − γ u ( x) nên h − γ u ( x) ∈ L  Fx hay h ∈ T ( x) Vì T ánh xạ compact có đồ thị đóng nên T ánh xạ nửa liên tục Định lí 2.12 Giả sử tồn số thực R, σ cho < α < < R < σ < R thỏa mãn (2) f (t , x) ≥ µ x , ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ [η , ∞) Khi tồn số δ > cho ∀R > δ , ∃xR ∈ K , xR = R , ∃µ R > : µ R xR ∈ T ( xR ) Chứng minh  1 Lấy ε ∈  0,  đặt = δ η Cε−1 > Với R > δ , đặt = ΩR  2 1383 {x : x < R} Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM x ∈ Kε ∩ ∂Ω R , Với có x(t ) ≥ Cε x = Cε R > Cε δ = η 1 ta nên −ε ≤ t ≤ + ε 2 (2) f (t , x(t )) ≥ µ x(t ) Do đó, h ∈ T ( x) y ∈ Fx cho = h(t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] , y (t ) ∈ f (t , x(t )) nên y (t ) ≥ µ x(t ) Lí luận tương tự chứng minh Định lí 2.12, ta có 1  h(t ) ≥ µ Cε  − ε  2ε R 2  Do inf x∈Kε ∩∂Ω R 1  T ( x) ≥ 2ε Rµ Cε  − ε  > 2  Áp dụng Định lí 2.7, suy tồn xR ∈ Kε ∩ ∂Ω R , µ R > cho µ R xR ∈ T ( xR ) Định lí 2.15 Giả sử tồn số thực < p < q thỏa mãn pxα ≤ f (t , x) ≤ qxα , ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ [0, ∞) (2) (1) Khi đó, (a) ∀µ > 0, ∃xµ > θ : µ xµ ∈ T ( xµ ) , (b) lim xµ = ∞ α > , lim xµ = < α < µ →∞ µ →∞ Chứng minh Giả sử x ∈ K \ {θ } h ∈ T ( x) , tồn y ∈ Fx cho = h(t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] , 1 h(t ) ≤ ∫ x ( s )ds + D ∫ s (1 − s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] α 0 Vì y (t ) ∈ f (t , x(t )) nên y (t ) ≤ qxα (t ) Do đó, T ( x) x  Dq  ≤ 1 +  x   α −1 (11)  1 Lấy ε ∈  0,  Giả sử x ∈ Kε \ {θ } , h ∈ T ( x) , y ∈ Fx cho  2 = h(t ) γ (t )u ( x) + ∫ G (t , s ) y ( s )ds , ∀t ∈ [0,1] 1384 Tập 19, Số (2022): 1371-1386 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vì y (t ) ∈ f (t , x(t )) nên y (t ) ≥ pxα (t ) Do đó, Lí luận tương tự Định lí 2.12, ta có α 1  h(t ) ≥ 2ε pCεα  − ε  x 2  Do T ( x) x 1  ≥ 2ε pCεα  − ε  x 2  α −1 (12) Từ (11), (12) ta suy   lim T ( x) lim T ( x) x →0 x∈Kε x →∞ x∈Kε x x = lim T ( x) = lim T ( x) x →∞ x∈Kε x →0 x∈Kε = ∞ α > , = ∞ < α < x x Áp dụng Định lí 2.8 ta thu kết luận Định lí 2.15 Kết luận Trong nghiên cứu này, thu định lí tổng quát tồn điểm bất động nón, vectơ riêng nón cho số lớp ánh xạ đa trị tác động không gian có thứ tự Các kết áp dụng để chứng minh tồn nghiệm dương số lớp bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm Trong lí thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị ứng dụng nhiều hướng nghiên cứu hứa hẹn kết thú vị Tiếp theo nghiên cứu tồn điểm bất động nón ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi, ví dụ lớp ánh xạ dạng P  F với F ánh xạ đa trị có giá trị lồi P ánh xạ đơn trị phi tuyến, tìm ứng dụng vào bao hàm thức đạo hàm riêng  Tuyên bố quyền lợi: Tác giả xác nhận hoàn tồn khơng có xung đột quyền lợi TÀI LIỆU THAM KHẢO Borisovich, Y., Gelman, B., Myshkis, A., & Obukhovskii, V (2011) Introduction to the Theory of Multivalued Maps and Differential Inclusions Moscow: LIBROKOM Deimling, K (1985) Nonlinear Functional Analysis Berlin: Springer Fitzpatrick, P., & Petryshyn, W (1975) Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones J.London Math Soc., 12(2-12), 75-85 Guo, D., & Lakshmikantham, V (1988) Nonlinear Problems in Abstract Cone San Diego: Academic Press 1385 Nguyễn Đăng Quang Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Guo, Y., Wang, Y., & Yu, C (2007) Positive solutions of m-point boundary value problems for second order differential equations with an advanced argument Eighth ACIS International Conference on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking, and Parallel/Distributed Computing, 770-773 Infante, G., & Pietramala, P (2009) Perturbed Hammerstein integral inclusions with solutions that change sign Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, 50, 591-605 Jahn, J., & Truong, X D H (2011) New Order Relations in Set Optimization J Optim Theory Appl 148, 209-236 Lasota, A., & Opial, Z (1965) An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations Bull Acad Polon Sci S´er Sci Math Astronom Phys 13, 781-786 Le, X T., Le, T P N., & Nguyen, T L (2008) Positive Solutions For An m-Point Boundary-Value Problem Electronic Journal of Differential Equations, 2008(111), 1-11 Nguyen, B H., Tran, T B., & Vo, V T (2018) The monotone minoraut method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones Fixed Point Theory, 19(1), 275-286 O'Regan, D., & Agarwal, R (2000) A note on the of multiple fixed points for multivalued maps with applications J.Differ.Eq, 160, 389-403 O'Regan, D., & Zima, M (2007) Leggett-Williams norm-type fixed point theorems for multivalued mappings Appl.Math.Comput, 187, 1238-1249 O'Regan, D., Cho, Y., & Chen, Y (2006) Topological Degree Theory and applications New York SOLUTIONS IN CONES OF MULTIVALUED OPERATORS AND APPLICATION TO A DIFFERENTIAL INCLUSION WITH MULTIPOINT BOUNDARY CONDITIONS Nguyen Dang Quang FPT University – Ho Chi Minh City, Vietnam Corresponding author: Nguyen Dang Quang – Email: quangnd32@fe.edu.vn Received: August 08, 2022; Revised: August 08, 2022; Accepted: August 25, 2022 ABSTRACT The fixed point index theory for multivalued mappings in ordered Banach spaces has provided a new and effective tool in studying the differential and eigenvalue problems of multivalued mappings In this paper, we use the fixed point index to prove the general theorems about the existence of solutions in cones of the inclusions x ∈ A( x), λ x ∈ A( x) for some multivalued mapping classes A acting in ordered spaces We also study the asymptotic behavior of the solution when µ → ∞ These results are applied in studying positive solutions of the second-order differential inclusion − x ''(t ) ∈ f ( t , x(t ) ) , t ∈ [0,1] with multipoint boundary conditions x(0) = u ( x), m−2 x(1) = ∑ α i x( β i ) The results obtained in the paper have extended some existing studies in the case i =1 of equations to the case involving the inclusions Keywords: eigenvalues; fixed point index; inclusions second-order differential; multipoint boundary conditions; multivalued mapping, solutions in cones 1386 ... cứu tồn điểm bất động nón ánh xạ đa trị có giá trị khơng lồi, ví dụ lớp ánh xạ dạng P  F với F ánh xạ đa trị có giá trị lồi P ánh xạ đơn trị phi tuyến, tìm ứng dụng vào bao hàm thức đạo hàm riêng... thứ tự Các kết áp dụng để chứng minh tồn nghiệm dương số lớp bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm Trong lí thuyết điểm bất động ánh xạ đa trị ứng dụng nhiều hướng nghiên... ĐHSP TPHCM động nón, vectơ riêng nón số lớp ánh xạ đa trị Các định lí tổng quát áp dụng để nghiên cứu tồn nghiệm dương của bao hàm thức vi phân cấp hai với điều kiện biên nhiều điểm, kết mở rộng