Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính

Bài viết Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp bao hàm thức vi phân dạng đa diện mà phần tuyến tính của nó sinh ra một nửa nhóm tích phân có tính chất hyperbolic.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH Đỗ Lân, Nguyễn Thị Lý Bộ mơn Tốn học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG đó, u nhận giá trị X, A toán tử Các hệ vi phân với nghiệm đối tuần hồn đóng thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida có tốn phát sinh từ q trình vật miền xác định khơng trù mật, f hàm phi lí (xem [1]) Hướng nghiên cứu tuyến mà điều kiện ta nêu rõ nghiệm đối tuần hoàn cho lớp phương 2.2 Các điều kiện toán trình tiến hóa tuyến tính nửa tuyến tính Ta kí hiệu BC( ¡ ;X) khơng gian nghiên cứu cách đầy đủ hệ thống, bắt nguồn từ nghiên cứu Okochi Banach hàm liên tục bị chặn với chuẩn u BC( ¡ ;X)  sup{|| u(t) ||: t  ¡ } năm 1988 (xem [2]) Năm 2011, cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm, Liu (xem và: [3]) chứng minh tồn nghiệm yếu L1 ( ¡ ; X)  {f  L1 ( ¡ ; X) : f(t  T)   u(t)} TA loc đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa Để chứng minh tồn nghiệm mà phần tuyến tính sinh nửa nhóm có tính chất hyperbolic Từ đó, loạt kết toán (3.1)-(3.2), ta giả thiết hàm f tốn tử nghiệm đối tuần hồn cho phương A thỏa mãn điều kiện sau: (A) Tốn tử A thỏa mãn điều kiện Hilletrình tiến hóa theo cách tiếp cận lí thuyết nửa nhóm nhà toán học quan Yosida, nữa, nửa nhóm {S'(t)}t 0 sinh tâm nghiên cứu A D(A) nửa nhóm hyperbolic Trong báo này, nghiên cứu compact với hệ số P, Q,  tồn nghiệm đối tuần hoàn cho lớp (F) Hàm f : ¡  D(A)  X thỏa mãn: bao hàm thức vi phân dạng đa diện mà phần 1) f (, x) đo mạnh với  x  D(A); tuyến tính sinh nửa nhóm tích phân có tính chất hyperbolic Sử dụng f (t, ) liên tục với hầu khắp t  ¡ tiếp cận lí thuyết nửa nhóm áp dụng 2) || f (t, x) || m(t)(|| x || 1), x  D(A), với định lí điểm bất động, chúng tơi chứng m  L1loc ( ¡ ; ¡  ) minh tồn nghiệm đối tuần 3) f (t  T, x )  f (t, x),x  D(A) hồn cho tốn dạng tổng qt NỘI DUNG CHÍNH KHÁI NIỆM NGHIỆM CỦA BÀI TỐN 2.1 Đặt tốn Định nghĩa 1: Một nghiệm tích phân toán (3.1)-(3.2) hàm u  PTA  ¡ ;X  thỏa mãn: Cho  X,  không gian Banach, báo này, chúng tơi nghiên cứu tốn sau: u '( t)  Au(t)  f (t, u(t)), t  ¡ ,  t ¡ , u(t  T)   u(t ), (3.1) (3.2) t u(t)  S(t  u)u(s)  lim  S(t  s)R f (s)ds,  R    (I  A) 175 1 a , với t  s Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 Sử dụng tính hyperbolic S'(t) , ta có nhận xét Ta có: ‖z(t)‖‖  lim Nhận xét 1: Cho g  L1TA (R; X) , ta định nghĩa: ‖ lim    t  S(t  )QR g( )d, với t  ¡ Khi (g)(t ) xác định với t  ¡ g thuộc vào PTA ( ¡ ; X) Như vậy, toán tồn nghiệm toán (3.1) - (3.2) quy toán điểm bất động cho ánh xạ Do đó: n ‖z‖PTA ( ¡ F : PTA ( ¡ ; X)  PTA (¡ ; X) F (v)(t)  lim  1   ;X)  N (n  1) T m(s)ds  e T 0 Cho n   , ta có đó: t S(t  s)R Qf (s)ds‖ T 2N ‖f (s)‖ds  e T 0 T 2N  m(s)(‖v n (s)‖1)ds  e T 0 2N(n  1) T   m(s)ds  e T S(t  )PR g( )d     lim   t t (g)(t ) : lim t S(t  s)R  Pf (s)ds‖   S(t  )PR  f ( )d  2N  e T T 0 m(s)ds, Điều mâu thuẫn với giả thiết Như vậy, tồn hình cầu đóng BR  PTA ( ¡ ; X)    t thỏa mãn F (BR )  BR KẾT QUẢ CHÍNH Bước 2: Tiếp theo, ta xây dựng tập Định lý 1: Giả sử giả thiết (A) D compact khác rỗng, lồi PTA ( ¡ ; X) (F) thỏa mãn Khi đó, tốn (3.1)-(3.2) có thỏa mãn F (D)  D Đặt M  BR Rõ ràng M tập nghiệm tích phân với điều kiện đóng PTA ( ¡ ; X) F ( M )  M Đặt: T 2N lim  e T  S(t  )QR  f ( )d 0 m(s)ds  M k 1  coF ( M k ), k  0,1,2, Chứng minh: co bao lồi đóng tập Bước 1: Đầu tiên, ta tồn PTA ( ¡ ; X) Ta thấy M k lồi, đóng hình cầu đóng BR tâm bán kính R M k 1  M k với k  ¥ PTA ( ¡ ; X) thỏa mãn F (BR )  BR  Đặt M  I M k , M tập Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn dãy {vn }  PTA ( ¡ ; X) cho ‖v n ‖PTA ( ¡ ;X)  k 0 n lồi, đóng PTA ( ¡ ; X) F ( M )  M z  F (vn ) mà‖z‖PTA ( ¡ ;X)  n Ta ký Hơn nữa, từ giả thiết (F)(2) ta có với hiệu k  0, PFTA (M k ) bị chặn tích phân Do đó, W2 (g)(t)  lim  t S(t  )PR g( )d,    W1 (g)(t )  lim    t M  I M k bị chặn tích phân k 0 S(t  )QR g( )d, vậy, (g)(t ) : W1 (g)(t)  W2 (g)(t ) Do: z(t)  W1 (f )(t)  W2 (f )(t), t  ¡ ,f  PFTA (v n ) , Ta chứng minh M (t) compact với t , tức  k (t)   (M k (t))  k   với t Thật vậy, {S(t)} compact ta có  k 1 (t)  ( M k 1 (t)) 176 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3  lim    t  S(t  s)QR P (M )(s)ds  Xét f : ¡  C0 ()  C( ) , với i  1, , xác  fi (t, x, v(x)), định fi (t, v)(x)  %  fi : ¡   ¡  ¡ thỏa đó, hàm %  F k t  mãn: t   lim    S (t  s)PR P F (M k )(s) ds  fi (, x, z) đo với x   , [(H1)] %   z ¡ ; % fi (t, , z) liên tục với t, z ¡ ,  lim    S(t  s)QR  PF (M k )(s)  ds %  t fi (t, x, ) liên tục với t  ¡ x   ;  [(H2)] | f%i (t, x,z) | m(t)(| z | 1) , với Áp dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ  compact, ta có F có điểm bất động t, z  ¡ , x   , m  Lloc ( ¡ ; ¡ ) ; fi (t  T, x, z)  % f i (t, x, z) , với [(H3)] % Tức toán (3.1)-(3.2) có nghiệm t, z  ¡ , x   VÍ DỤ ÁP DỤNG Khi đó, từ (H2), ta có: n ‖f i (t,v)‖ sup | % fi (t, x,v(x)) | sup m(t)(| v(x) | 1) Xét  tập mở bị chặn ¡ x x với biên  trơn Xét toán  lim   S(t  s)PR P F (M k )(s)ds  u  t (t, x)   x u (t,x )  u(t, x)  f (t, x),  t  ¡ , x  ,   u(t  T, x)   u(t, x), t  ¡ , x  ,   u(t, x)  0,t  ¡ , x  , với  x toán tử Laplace theo biến x ,   Xét:  m(t)(sup | v(x) | 1) x  m(t)(‖v‖1) Do đó, F(2) thỏa mãn Từ (H3), ta thấy giả thiết (F)(3) thỏa mãn Hơn nữa, giả thiết (F)(1) thỏa mãn (H1) Do đó, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm T  đối tuần hồn với điều kiện  e T X  C( ), X  C0 ( )  {v  C( ) : v  }, T 0 m(s)ds  TÀI LIỆU THAM KHẢO với chuẩn ‖v‖ sup | v(x) | định nghĩa x A1v  v, v  D(A1 )  {v  C0 ()  H10 ( ) : v  C0 ( )} Đặt A  A1   I Ta thấy A sinh nửa nhóm compact giải tích {e tA }t  X mà ‖etA‖L ( X)  et , t  Do vậy, (A) (F)(3) thỏa mãn [1] M.T Batchelor, R.J Baxter, M.J O’Rourke, C.M Yung (1995), Exact solution and interfacial tension of the sixvertex model with anti-periodic boundary conditions , J Phys A 28 2759–2770 [2] H Okochi, (1988) On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J Math Soc Japan 40 541-553 [3] Q Liu, (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evolution equation, J Math Anal Appl 377 (1), 110-120 177 ... thiết (F)(3) thỏa mãn Hơn nữa, giả thiết (F)(1) thỏa mãn (H1) Do đó, tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm T  đối tuần hoàn với điều kiện  e T X  C( ), X  C0 ( )  {v  C( ) : v  }, T 0 m(s)ds... ràng M tập nghiệm tích phân với điều kiện đóng PTA ( ¡ ; X) F ( M )  M Đặt: T 2N lim  e T  S(t  )QR  f ( )d 0 m(s)ds  M k 1  coF ( M k ), k  0,1,2, Chứng minh: co bao lồi đóng... hiệu k  0, PFTA (M k ) bị chặn tích phân Do đó, W2 (g)(t)  lim  t S(t  )PR g( )d,    W1 (g)(t )  lim    t M  I M k bị chặn tích phân k 0 S(t  )QR g( )d, vậy, (g)(t