Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ

Bài viết Tính hút mũ trong khoảng thời gian hữu hạn cho bao hàm thức vi phân dạng đa diện có trễ trình bày một số kiến thức chuẩn bị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ. Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của nghiệm tầm thường cho hệ.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN:978-604-82-2548-3 TÍNH HÚT MŨ TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG ĐA DIỆN CÓ TRỄ Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn nghiệm điều kiện đủ cho tính hút mũ Cuối điều kiện đủ cho tính hút mũ Bao hàm thức vi phân có trễ mơ hình cho nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2) nhiều tốn khác nhau, điển hình tốn điều khiển có phản hồi đa trị Nghiên cứu PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU tồn nghiệm dáng điệu nghiệm hai Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương số trụ cột nghiên cứu định pháp ước lượng tiên nghiệm tính hệ vi phân Dáng điệu nghiệm khoảng thời gian hữu hạn có ứng dụng vào số tốn liên quan đến q trình KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU sinh hóa (biochemical networks), trình 3.1 Kiến thức chuẩn bị chuyển đổi tín hiệu, điều khiển khoảng Cho E không gian Banach Các không thời gian hữu hạn… q trình cần quan sát xảy khoảng thời gian gian: C([0; T];E ), L (0, T; E) khơng ngắn Từ nảy sinh hướng nghiên cứu hệ gian hàm liên tục khả tích Bochner động lực thời gian hữu hạn, năm Ngoài ra, ta cần khái niệm sau nửa gần hướng nghiên cứu thu hút nhóm (xem [3]) quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Định nghĩa Cho {S(t)}t 0 C0 Sử dụng khái niệm nêu [2], tơi nửa nhóm E , {S(t)}t 0 gọi là: tìm điều kiện đủ để nghiệm tầm thường i) ổn định mũ tồn số hệ sau hút mũ [0; T]: M  1,  cho: S(t)  Me t ,  t  0;  u (t)  Au(t)  F(t,u ), t  [0,T] (1.1)  t ii) compact S(t) toán tử compact  t  [  h, 0] (1.2)  u(t)  (t), với t  ; với u lấy giá trị không gian Banach X, iii) liên tục theo chuẩn t a S(t) liên A tốn tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tục với t 0 {S(t): t  0}, ut hàm trễ hàm u Khái niệm tính hút mũ nghiệm cho F(t, u t )  co{f1 (t, u t ); f (t,u t ); ; f n (t,u t )} hệ (1.1)-(1.2) tương tự hóa từ khái niệm với hàm đơn trị fi (t,u t ), i  1, ,n xác cho trường hợp vi phân thường P Giesl định [0,T]  C([-h, 0]; X) Hàm  cho M Rasmussen đưa [2] Ở định nghĩa đây, ||  || C hiểu chuẩn trước kiện đầu h Sự tồn nghiệm hệ (1.1)-(1.2) C([0; T];E ) S( ) tập nghiệm [1], báo  nghiên cứu tính ổn định nghiệm Phần (1.1)-(1.2) với điều kiện đầu Định nghĩa Giả sử  : [0,T]  X lại báo xếp sau: Trước hết, nhắc lại số kiến thức chuẩn nghiệm hệ (1.1) - (1.2) Nghiệm  bị, sau nêu định nghĩa tính hút mũ gọi hút mũ [0,T] nếu: GIỚI THIỆU CHUNG 145 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN: 978-604-82-2548-3 lim sup ] sup sup u T  T  B (  ) u S( ) Ch 3.2 Tính hút mũ [0,T] nghiệm tầm thường  Bổ đề nêu điều kiện đủ cho tính hút mũ Bổ đề Giả sử  nghiệm hệ (1.1) - (1.2) Khi  hút mũ [0,T] uT  T lim sup sup Ch C  C 0 uS(  ) h Nhằm thu tính hút mũ nghiệm tầm thường [0,T] , ta cần giả thiết sau (A*) Nửa nhóm S(t),t  liên tục theo chuẩn ổn định mũ, tức | S(t)  N et ,  t  0,  h Để thu tồn nghiệm tích phân, đặt N  1,   (F*) Giả sử hàm F thỏa mãn (F) J  [0, T], Ch  C([ h, 0]; X), (1) fi (t, 0)  , với i  1, n ; C  {v  C(J; X) : v(0)  (0)},  Ch (2) fi (t, )  C1 ( Ch ) với t  J , i  1, n ; Với v  C , hàm v[]  C([  h,T];X) xác  v(t) t  [0,T],  (t ) t  [ h, 0] định sau v[](t )   Ta giả thiết: (A) Nửa nhóm S() sinh A liên tục theo chuẩn S(t)x  M x ,x  X t (3) Nếu  v(t)  C 0 m(s) (v(s))ds, v hàm liên tục C số dương, v(t)  với t  [0,T] Chú ý: Từ (F*) (1)-(2), ta thấy  S(0) f (t, )  C1 (Ch ) với f (t, x)  F(t, x) Định lí Giả sử (A*) (F*) thỏa mãn (F) Các ánh xạ fi : J  Ch  X, i  1, n, thỏa Nghiệm tầm thường hệ (1.1)-(1.2) hút mãn: (1) fi (, x) đo mạnh với mũ [0,T] x  Ch fi (t, ) liên tục với hầu khắp t  J ; h ln N   h  e N M T  T,  (2) tồn hàm m  L (J; ¡ ) hàm thực liên tục không giảm  cho f i (t, x)  m(t) ( x Ch ), x  Ch ;  t[0,T]  M  sup  max 1i n ()  Dfi (t,0)  Chứng minh Trước hết, ta chứng minh (3) Nếu nửa nhóm S() khơng có tính lim sup sup u t  0,  t  [0;T ] Ch 0 uS( ) compact tồn hàm k  L1 (J; ¡  ) cho Thật vậy, ta có (fi (t, B))  k(t) sup  (B()) , với tập bị ut [ h,0] chặn B  Ch Sau định nghĩa nghiệm hệ Định nghĩa Hàm liên tục u : [ h,T]  X gọi nghiệm tích phân (1.1)-(1.2) u(t)  (t) với t  [ h,0] tồn f  PF (u |[0,T] ) cho  sup Ch  C  h Định lí (xem [1]) Giả sử (A) (F) thỏa mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân có R  cho R (0) + m  (  Ch  R)  M sup u( t  ) [ h,0],t  Với t     [ h, 0] , u(t  )  N e (t  )  Ch t   ( t s) e N t u(t)  S(t) (0)   S(t  s)f (s)ds , t  [0,T] u (t   [ h, 0]  N  C  eh N h f (s, u s ) ds t 0 m(s)  ( us Ch )ds Vì ut Ch   C (1  N ) h t  eh N  m(s)  ( u s 146 Ch )ds Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018 ISBN:978-604-82-2548-3 Do Hệ là, lim sup sup u t  uS( )  eh N t 0 Ch lim sup sup m( s)  (lim sup sup u s  u S( ) Ch )ds, Vì  () hàm khơng giảm Đặt v(t)  lim sup su p u t C ,  t 0 uS( ) h T e N h e N  e NM m(s) (v(s))ds f i (t, x)  f i (t, y) lim sup sup 0 f i (t, x)  sup Df i (t, x) x [ 0,1] Ch lim sup sup , t  [0,T ] f (t, x)  F(t, x) , 0 n  i  f (t, x)   i f i (t, x) i 1  i  Vì n f (t, x)    i fi (t, x) i 1    max 1i n  sup Df i (t, x)   [ 0,1]  Lấy u  S( ) , u(T  )   S(T   ) (0)   T  x S(T    s)f (s,u s )ds  e   ( T h) N (0)  eh N Ch T   (T s) 0 e f (s, u s ) ds  T   N e (Th)  es max  sup Dfi (s, u s )  1in [0,1]  eh N  e h N  T s e max1in  sup 0 limsup uS( ) es u s  Ch ds Ch  Ch  eh N exp(eh NM T) Ch uS( ) uT Ch C  N e (T h) exp(eh NM T) h Sử dụng điều kiện () giả thiết Định lí, ta điều phải chứng minh us ds Ch [1] N.V Dac (2017), Sự tồn nghiệm bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính, Tuyển tập hội nghị khoa học thường niên Đại học Thủy lợi 105-107 [2] P Giesl, M Rasmussen (2012), Areas of attraction for nonautonomous diferential equations on finite time intervals J Math Anal Appl 27-46 [3] M Kamenskii, V Obukhovskii and P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach spaces , Walter de Gruyter, Berlin Vì Ch Ch TÀI LIỆU THAM KHẢO Ch Từ suy uT ds  Sử dụng phương pháp ước lượng tiên nghiệm Bổ đề điều kiện đủ cho tính hút mũ nghiệm, tơi tính hút mũ nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2) i 1 e  Ch KẾT LUẬN n T T eT u T uS( ) Cho y  , ta  N e (Th)  es u s Từ [0,1] Ch Ch Tiếp tục sử dụng Định lí Gronwall, ta  sup Df i (t, y  (x  y))(x  y) , t  [0, T] uT  eh N  sup 0 M limsup uS ( ) h Theo (F*)(3) , ta v(t)  với t  [0,T] Sử dụng Định lí giá trị trung bình, ta có Với  Ch h uS(  ) v(t)  eh N 0 e T u T Ch     sup Dfi (s, us )  us  [0,1]  Ch ds 147 ... Tính hút mũ [0,T] nghiệm tầm thường  Bổ đề nêu điều kiện đủ cho tính hút mũ Bổ đề Giả sử  nghiệm hệ (1.1) - (1.2) Khi  hút mũ [0,T] uT  T lim sup sup Ch C  C 0 uS(  ) h Nhằm thu tính. .. lượng tiên nghiệm Bổ đề điều kiện đủ cho tính hút mũ nghiệm, tơi tính hút mũ nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2) i 1 e  Ch KẾT LUẬN n T T eT u T uS( ) Cho y  , ta  N e (Th)  es u... ta điều phải chứng minh us ds Ch [1] N.V Dac (2017), Sự tồn nghiệm bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính, Tuyển tập hội nghị khoa học thường niên Đại học Thủy lợi 105-107