Bài viết Nghiệm phân rã của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng trên tuyến tính trình bày việc xem xét nghiệm tích phân phân rã khi phần tăng trưởng trên tuyến tính.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM PHÂN RÃ CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ CÓ TRỄ HỮU HẠN VỚI PHẦN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH Vũ Nam Phong1, Trần Phương Liên1 Bộ mơn Tốn, Khoa Cơng nghệ Thơng tin, Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Ta xét toán (*): C D0 u (t ) Au (t ) F (t , ut ), t (*1) (*2) u ( s ) ( s ), s [ h,0] C Trong đó: D0 - đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, ; A - tốn tử tuyến tính đóng khơng gian Banach X, sinh nửa nhóm liên tục mạnh W () ; hàm đa trị F :[0, T ] h v( X ) ; ut - hàm trễ, ut ( s ) u (t s ) , s [ h,0] , hàm φ cho trước Bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ (*2) nhận quan tâm năm gần số vấn đề vật lí khơng thể mơ tả xác bao hàm thức vi phân thường Bài báo xem xét nghiệm tích phân (Định nghĩa 1.1) phân rã phần tăng trưởng tuyến tính Định nghĩa 1.1 [4] Hàm u: [h, T] → X gọi nghiệm tích phân (*) [h, T] u (t ) (t ) t [h,0] 1 ( I A) 1 e t S (t )dt , S (t ) x ( )W (t ) xd , ( 1I A) 1 e t t 1P (t ) dt , P (t ) x ( )W (t ) xd , x X , ( ) n1 (n )sin( n ) n1 (n 1)! Nếu W (t ) Me t , ta có đánh giá: ([1]) ( ) S (t ) x ME ,1 ( t ) x , P (t ) x ME , ( t ) x , x X ; với: zn , z , a 0, b n ( an b) Ea ,b ( z ) Đặt: hT C ([ h, T ]; X ), h C ([ h,0]; X ), t T C ([0, T ]; X ) , h C ([ h, ); X ); h , đặt cho trước C {u T | u (0) (0)} || || chuẩn sup T , h , hT h u (t ) S (t ) (0) (t s ) 1P (t s ) f ( s ) ds với t [0, T ] , f Fp (u ) (t ), t [ h,0] ; Với u C , đặt u[ ](t ) u (t ), t (0, T ] (t s ), s t [ h,0] u[ ]t ( s ) , Fp (u[ ]) u ( t s ), s t (0, T ] PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Định nghĩa 2.1 [4] Hàm f C ([0, T ]; X ) có đạo hàm bậc phân số (0,1) theo nghĩa Caputo xác định công thức: t C D0 u (t ) (t s ) u( s ) ds (1 ) Cặp giải thức S , P xác định bởi: { f Lp (0, T ; X ) | f (t ) F (t , u[ ]t ) với hầu hết t [0, T ]} X không gian Banach, đặt ( X ) { A X : A } , b ( X ) { A ( X ) | A bị chặn}, v( X ) { A ( X ) | A lồi, compact} 42 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Ta xét toán tử nghiệm: : T (T ) : (u )(t ) S (t ) (0) Q Fp (u[ ])(t ) t với Q ( f )(t ) (t s ) 1P (t s ) f ( s )ds Do đó, u điểm bất động u nghiệm tích phân (*) Bổ đề 2.1 [4] Đặt g1 (t ) E ,1 ( t ) g (t ) t 1E , ( t ) , với ta có: g1 , g L1loc ( ); g1 , g hàm không âm g1 hàm không tăng, g1 (t ) 1, t Có: BC0 {u h : lim u (t ) 0} với chuẩn t u sup u (t ) không gian Banach Cho t h BC0 {u BC0 : u (0) (0)} không gian đóng BC0 với chuẩn sup Định nghĩa 2.2 [2] Hàm g : b ( E ) độ đo không compact không gian Banach E nếu: g (co ) g () b ( E ) , h , với co bao lồi đóng Ω ([2]) Ta sử dụng độ đo không compact Hausdorff () cho công thức: () inf{ | có ε - lưới hữu hạn} T , T hàm cắt BC0, T ( D) hạn chế D BC0 đoạn [h, T] Đặt d (D) limsupsup x(t) , (D) sup T (T (D)) T t T xD T 0 * ( D) ( D) d ( D) , * ( D) D compact tương đối BC0 Định nghĩa 2.3 [2] Cho F ánh xạ đa trị, F : Z E ( E ) , F gọi χ - nén với tập bị chặn Z , bất đẳng thức () ( F ()) suy tính compact tương đối Ω Bổ đề 2.2 [2] Cho M tập đóng, lồi, bị chặn E : M v( M ) đóng χnén Khi Fix {x M : x ( x)} Với F (t , v) sup : F (t , v) , để W (t ) x Me t x , t 0, x X (F) 1, F :[0, T ] h v( X ) thỏa mãn: F (, v) đo mạnh với v h , F (t , ) nửa liên tục với t [0, T ] 2, F (t , v) p (t )G ( v ) t [0, T ], v h , p Lqloc ( ), q ; G liên tục, không âm t G (r ) lim sup sup I (t ) , I (t ) g3 ( s )ds , M r t[0,T ] r 0 g3 ( s ) g (t s ) p ( s ) 3, F (t , v) p (t )G ( v ) t 0, v h ; G, p không âm; p Lqloc ( ), q / ; G C ( ) , G không G (r ) giảm, lim sup sup I (t ) r t 0 M r 0 t /2 lim sup J (t ) với J (t ) g3 ( s )ds T t T KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Định lí 3.1 Các giả thiết (A), (F1-2) thỏa mãn Khi tốn (*) có nghiệm tích phân [h, T] Chứng minh: đặt lim sup[G (r ) / r ] r 0 m1 sup I (t ) Từ (F2), ta lấy t[0,T ] thỏa mãn M ( ) m1 Hơn nữa, tồn thỏa mãn G (r ) / r , r (0, 2 ] M ( ) I (t ) Đặt , dễ thấy inf [0, ] t T M g1 (t ) ( ) I (t ) Đặt min{ ,} Nếu h thỏa mãn u[ ]s ( ) u tồn tập compact nghiệm phân rã toán (*), ta cần giả thiết: (A) C0 - nửa nhóm {W (t )}t 0 sinh A compact t bị chặn mũ, tức M 1, thỏa mãn: 43 , [ h,0] Hình cầu đóng C với tâm gốc, bán kính B Xét : B (C ) , với z (t ) (u )(t ) , lấy f Fp (u ) mà z (t ) S (t ) (0) Q( f )(t ) t z (t ) Mg1 (t ) (0) M g (t s ) f ( s ) ds t Mg1 (t ) M g2 (t s) F (s, us ) ds t Mg1 (t ) M g (t s ) p( s )G ( us )ds Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 t u n n , (u n ) n Khi (u n )(t ) Mg1 (t ) M g3 ( s )( )( ) ds Do compact, áp dụng định lí điểm bất động thu điều phải chứng minh Định lí 3.2 Các giả thiết (A), (F1-3) thỏa mãn Khi tốn (*) có tập compact nghiệm phân rã Chứng minh: đặt m sup I (t ) , ta t 0 d ( ( D)) M ( )md ( D ) với tập bị chặn D BC0 Lấy v ( D) u D mà v (u ) Tương tự định lí 3.1, ta có: t v(t ) Mg1 (t ) M ( ) g3 (s) sup u[]s ( ) ds Mg1 (t ) 2 M ( ) t/2 0 Mg1 (t ) M M ( ) M ( )( ds n g ( s )ds t n)m Ta suy M (u n ) [1 ( )m] M ( )m n n Lấy giới hạn n , ta mâu thuẫn Xét : B B , ta * - nén 1 Nếu D B T ( D) ( D ) * ( (D)) ( ( D)) d ( ( D)) d ( (D)) M ( )md ( D) M ( )m * ( D) * ( D) Do * - nén có điểm cố định Gọi tập điểm cố định B , đóng ( ) Vì vậy, g3 ( s )ds * () * ( ()) M ( )m* () * () tập compact Kết thúc chứng minh M ( )[sup sup u[ ]s ( ) ] g3 ( s )ds t t/2 KẾT LUẬN Ta chọn T1 2(T h) , với t T1 , thu được: v(t ) Mg1 (t ) 2 M ( ) J (t ) Bài viết đưa số giả thiết cụ thể để toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ với phần tăng trưởng tuyến tính có nghiệm phân rã M ( )[sup u[ ]( s ) ] g ( s )ds t s T Mg1 (t ) (0) M g3 ( s )G usn [ h,0] s t / [ h ,0] t Mg1 (t ) M ( )( ) I (t ) (xem ) (u )(t ) , t [0, T ] (B ) B Mg1 (t ) 2 M ( ) J (t ) M ( )[supsup u[ ]( s ) ]I (t ) TÀI LIỆU THAM KHẢO uD s T sup v (t ) Mg1 (T1 ) 2 M ( ) sup J (t ) [1] N.T Anh, T.D Ke 2014 Decay integral t T1 t T1 M ( )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) uD s T t T1 Do v ( D) lấy tùy ý nên ta được: sup sup v(t ) Mg1 (T1 ) 2 M ( )sup J (t ) v ( D ) t T1 t T1 M ( )[supsup u[ ]( s ) ]sup I (t ) uD s T t T1 Cho T T1 , ta nhận được: d ( ( D)) M ( )md ( D ) d ( D) Tiếp theo ta chứng minh tồn thỏa mãn (B ) B phản chứng Giả sử với n , tồn u n BC0 thỏa mãn solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays Math Methods Appl Sci 38 (2015), No 8, 1601-1622 [2] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca 2001 Condensing multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces In: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin [3] T.D Ke, D Lan 2014 Decay integral solutions for a class of impulsive fractional differential equations in Banach spaces, Fract Calc Appl Anal 17:1, 96-121 [4] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo 2006 Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam 44 ... , với t T1 , thu được: v(t ) Mg1 (t ) 2 M ( ) J (t ) Bài vi? ??t đưa số giả thiết cụ thể để toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ với phần tăng trưởng tuyến tính có nghiệm phân. .. ) t 1E , ( t ) , với ta có: g1 , g L1loc ( ); g1 , g hàm không âm g1 hàm không tăng, g1 (t ) 1, t Có: BC0 {u h : lim u (t ) 0} với chuẩn t u sup u (t... Ta sử dụng độ đo không compact Hausdorff () cho công thức: () inf{ | có ε - lưới hữu hạn} T , T hàm cắt BC0, T ( D) hạn chế D BC0 đoạn [h, T] Đặt d (D) limsupsup x(t)