Báo cáo bài tập lớn môn đại số tuyến tính đề tài ứng dụng của đại số tuyến tính trong qui hoạch tuyến tính với bài toán vận tải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Môn: Đại số tuyến tính Đề tài: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TỐN VẬN TẢI GVHD: Ph.D Đặng Văn Vinh Lớp: L05 STT Mã số SV Họ Tên 2211739 Võ Trung Kiên 2212597 Phạm Thành Phú 2213546 Hà Huy Toại 2213941 Lê Nhật Khánh Việt 2214059 Phạm Lư Vỹ 2214063 Đào Ngọc Đơng Xn Thành Phố Hồ Chí Minh, Tháng 12 – 2022 MỤC LỤC I BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Mơ hình tốn Phương án vận chuyển 3 Bảng vận tải II CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ, TÍNH CHẤT .4 III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI Phương pháp cước phí thấp Phương pháp góc Tây - Bắc IV CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT V CODE MATHLAB GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG THU PHÁT 11 VI VÍ DỤ CỤ THỂ 34 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TỐN VẬN TẢI Bài toán vận tải (transportation problem) toán quan trọng toán qui hoạch tuyến tính Người ta tổng kết 85% tốn qui hoạch tuyến tính gặp ứng dụng tốn vận tải mở rộng Thuật ngữ toán vận tải thường hiểu toán vận chuyển cho cước phí nhỏ I BÀI TỐN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Mơ hình tốn Có m nơi 1, 2, … cung cấp một loại hàng hóa với khối lượng tương ứng a 1, a2, ,am Hàng cung cấp cho n nơi B1, B2, , Bn với khối lượng tiêu thụ tương ứng b1, b2, ,bn Cước phí chuyên chở đơn vị hàng từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj cij Hãy lập phương án vận chuyển cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Phương án vận chuyển Hàm mục tiêu: tổng cước phí vận chuyển nhỏ =1 =1 =∑∑ → Các hàm ràng buộc: Phát hết hàng ∑ = (=1, ) ∑ = ( = 1, ) =1 Thu đủ hàng Ràng buộc biên: =1 ≥0∀ , Cân thu phát tổng số nhu cầu n điểm Khi tổng số hàng dự trữ m điểm phát (cung) ∑ thu (cầu) ∑ ta nói cân cung cầu (hay cân thu phát) Bảng vận tải Người ta thường trình bày tốn vận tải dạng bảng sau: Thu ⋯ Phát 11 12 11 21 12 22 21 22 2 Trong đó: Có n trạm thu hàng khối lượng hàng tiêu thụ tương ứng bn Có m trạm phát hàng khối lượng hàng cung cấp tương ứng a m Khối lượng chở từ trạm phát đến trạm thu xij Cước phí chuyên chở đơn vị hàng từ trạm phát đến trạm thu c ij Với = 1, = 1, II CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ, TÍNH CHẤT Định nghĩa chọn, loại + Ta viết (i ; j ) dịng i cột j + Trong bảng vận tải, có xij > gọi ô chọn, ô có xij = gọi loại Định nghĩa đường Đường tập hợp ô chọn cho: ● Trên dòng hay cột khơng có q hai chọn ● Hai chọn liên tiếp nằm dịng hay cột Ví dụ Dãy chọn sau tạo thành đường đi: Định nghĩa chu trình Một đường khép kín gọi chu trình Ví dụ Dãy chọn sau tạo thành chu trình Tính chất 1: Một bảng vận tải có m dịng, n cột tập chọn khơng chứa chu trình có tối đa m + n - Tính chất 2: Với phương án có đủ m + n - chọn khơng chứa chu trình, với ô loại đưa vào phương án tạo thành chu trình chu trình Ví dụ Xét bảng vận tải dịng, cột với phương án có 3+4-1= ô chọn cho sau: Khi ta thêm ô loại loại kết hợp với số chọn tạo thành chu trình Chẳng hạn, ta thêm loại (1,2) vào phương án ô kết hợp với ô (3,2); (3,3); (2,3); (2,1); (1;1) tạo thành chu trình Định lý 1: Một phương án gọi phương án cực biên toán vận tải tập chọn khơng chứa chu trình Định lý 2: Một phương án cực biên có m + n - ô chọn gọi phương án cực biên không suy biến Ngược lại, phương án cực biên có m + n - ô chọn gọi phương án cực biên suy biến Ví dụ Phương án sau phương án cực biên không suy biến Thu 20 Phát 40 70 50 20 30 20 10 10 40 40 50 Ví dụ Phương án sau phương án cực biên suy biến: Thu 60 Phát 70 12 40 12 11 100 70 80 60 11 20 10 20 20 III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI Phương pháp cước phí thấp Chọn có cước phí bé Điền vào giá trị lớn Loại bỏ mà trạm phát hàng hết khả cung cấp trạm thu hàng hết nhu cầu Xác định lại ô có chi phí bé cịn lại tiếp tục làm giống bước hết khả phân phối Trong trình chọn phân phối có nhiều chọn có chi phí nhỏ giống phân phối vào ô Phương án thu phương pháp phương án cực biên Phương pháp góc Tây - Bắc Ta ưu tiên phân phối lượng hàng nhiều vào góc Tây - Bắc bảng vận tải Khi nếu: Trạm phát hết hàng ta xóa dịng chứa trạm phát Trạm thu nhận đủ hàng ta xóa cột chứa trạm thu Sau lặp lại q trình cịn lại Phương án thành lập phương pháp góc Tây - Bắc phương án cực biên IV CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT Bước 1: Kiểm tra cân thu phát • Nếu ∑= ∑thì toán cân thu phát → chuyển sang bước • Nếu ∑≠ ∑ tốn khơng cân thu phát → tiếp tục bước Bước 2: Đưa toán cân thu phát Thêm vào trạm phát/ thu giả có cước phí  Trường hợp phát > thu → thêm trạm thu giả  Trường hợp phát < thu → thêm trạm phát giả +1 +1 với lượng hàng = ∑ ℎá − ∑ ℎ +1 = để chuyển toán thành cân với lượng hàng = ∑ ℎ − ∑ ℎá Bước 3: Tìm phương án xuất phát Thành lập phương án cực biên ban đầu theo nguyên lý phân bổ tối đa với ô chọn phân bổ phương pháp: góc Tây Bắc, cước phí thấp nhất,… Bước 4: Kiểm tra phương án suy biến hay không suy biến • Phương án khơng suy biến phương án có số chọn số trạm phát + số ô trạm thu –1 → chuyển tới bước • Phương án suy biến phương án có số chọn < số trạm phát + số ô trạm thu –1 → tiếp tục bước Bước 5: Đưa phương án không suy biến Bổ sung thêm loại bảng làm ô chọn giả (lượng hàng phân bổ = 0) cho đủ ( + − 1) ô chọn đảm bảo khơng tạo thành chu trình Bước 6: Tính vị , • Chọn = = (tương ứng với hàng cột mà có nhiều chọn nhất) • Các Bước 7: Tính ∆ ∆=  + lại phải thỏa mãn + + Với (i, j) chọn (chỉ tính ô chọn) ô loại kết luận + ,∀(i, j) Kiểm tra dấu hiệu tối ưu phương án: Nếu ∆ =0 ≥ → Phương án xét tối ưu → Tính fmin 10