Tập hấp thụ nghiệm tích phân của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng không quá tuyến tính

Bài viết Tập hấp thụ nghiệm tích phân của bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ hữu hạn với phần tăng trưởng không quá tuyến tính trình bày việc xem xét tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân trong trường hợp phần tăng trưởng không quá tuyến tính.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 TẬP HẤP THỤ NGHIỆM TÍCH PHÂN CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ CÓ TRỄ HỮU HẠN VỚI PHẦN TĂNG TRƯỞNG KHƠNG Q TUYẾN TÍNH Vũ Nam Phong1, Bùi Thị Huệ1 Trường Đại học Thủy lợi, email: phongvn@tlu.edu.vn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU GIỚI THIỆU CHUNG Ta xét toán (*):  C D0 u (t )  Au (t )  F (t , ut ), t    u ( s )   ( s ), s  [ h,0] (*1) (*2) Trong đó: C D0 - đạo hàm bậc phân số  theo nghĩa Caputo,    ; A - tốn tử tuyến tính đóng khơng gian Banach X, sinh nửa nhóm liên tục mạnh W () ; hàm đa trị F :[0, T ]  h  v( X ) ; hàm trễ ut với ut ( s )  u (t  s ) , s  [ h,0] , hàm φ cho trước Trong năm gần đây, bao hàm thức vi phân bậc phân số nhận ý lớn số vấn đề vật lí hay điều khiển học khơng thể mơ tả xác bao hàm thức vi phân thường, ví dụ số môi trường với truyền dẫn khác thường Không thế, thực tế, điều kiện trễ (*2) ứng với xảy trước xét (*1) thu hút quan tâm Bài báo xem xét tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân trường hợp phần tăng trưởng không tuyến tính Khái niệm nghiệm tích phân ([4]) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1 Hàm u: [h, T] → X gọi nghiệm tích phân (*) [h, T] u (t )   (t ) t  [h,0] Định nghĩa 2.1 [4] Hàm f  C ([0, T ]; X ) có đạo hàm bậc phân số   (0,1) theo nghĩa Caputo xác định công thức: t C  D0 u (t )  (t  s )  u( s ) ds  (1   ) Trong cơng thức nghiệm tích phân, cặp giải thức S , P xác định bởi:    1 (  I  A) 1   e  t S (t )dt ,  S (t ) x    ( )W (t  ) xd , (  1  I  A) 1   e  t t  1P (t ) dt ,  P (t ) x     ( )W (t  ) xd , x  X , ( ) n1 (n )sin( n )   n1 (n  1)! Nếu W (t ) x  M x , ta có: ([1]) M S (t ) x  M x , P (t ) x  x , x  X , ( )  ( )    với ( )   x 1e x dx t u (t )  S (t ) (0)   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s ) ds Nếu W (t ) x  Me  t x , ta có: ([1]) S (t ) x  ME ,1 (  t  ) x , P (t ) x  ME , (  t  ) x , x  X ; với:  zn , z  , a  0, b  n   ( an  b) Ea ,b ( z )   Đặt: hT  C ([ h, T ]; X ), h  C ([ h,0]; X ), t  [0, T ], f  Fp (u ) 39 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 T  C ([0, T ]; X ); C  {u  T | u (0)   (0)} với   h cho trước ||  || chuẩn sup T , h hT  (t ), t  [ h,0] Với u  C , đặt u[ ](t )   ; u (t ), t  (0, T ]  (t  s ), s  t  [ h,0] u[ ]t ( s )   , Fp (u[ ]) u ( t s ), s t (0, T ]      t t g (t  s ) ds   g ( s ) ds   g1 (t ) t v(t )  Mg1 (t )v0   g (t  s )[a  c sup v( )]ds,   f  Lp (0, T ; X ) | f (t )  F (t , u[ ]t ) với hầu hết t  [0, T ] Với X không gian Banach, đặt  ( X )  { A  E : A  }, v( X )  { A   ( X ) : A lồi compact} Ta xét toán tử nghiệm:  : T   (T ) :  (u )(t )  S (t ) (0)  Q  Fp (u[ ])(t ) t với Q ( f )(t )   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s )ds Do đó: u điểm bất động  u nghiệm tích phân (*) Với F (t , v)  sup{  :   F (t , v)} , để tồn tập hấp thụ nghiệm tích phân tốn (*), ta cần giả thiết: (A) C0 - nửa nhóm {W (t )}t 0 sinh A compact t  bị chặn mũ, tức M  1,   thỏa mãn: W (t ) x  Me  t x t  0, x  X (F) (1) F :[0, T ]  h  v( X ) - ánh xạ đa trị phi tuyến thỏa mãn; F (, v) - đo mạnh với v  h , F (t , ) nửa liên tục với t  [0, T ] (2) p  L1 (0, T ) , p không âm, không giảm F (t , v)  p(t )(1  v  ), t  [0, T ], v h t   Bổ đề 3.2 Cho số M , a  0,   c  , hàm   C ([ h,0];   ) hàm v liên tục, không âm thỏa mãn: v(t )   (t ) t  [ h,0] , [  h,s ] t  Khi đó, ta có:  Mv0  a[1  g1 (t )]  sup  ( s ) v(t )   c [  h ,0 ]  Mv0  a lim sup v(t )   sup  ( s )  c [  h ,0] t  Chứng minh: Sử dụng Mệnh đề [3] với s (t )  g1 (t ), r (t )  g (t ) , ta thu điều phải chứng minh Bổ đề 3.3 Toán tử Q toán tử compact Chứng minh: Ta xét tập D  C ([0, T ]; X ) , D bị chặn Đầu tiên, ta chứng minh Q(D) compact Ta kiểm tra Q(D)(t) compact X với t  Từ Mệnh đề 2.4 ([2]) tính compact P ta có:  (Q(D)(t ))     (t  s) t  1  P (t  s) D(s)ds  Tiếp theo, ta chứng minh Q(D) đồng liên tục Cho f  D, t  (0, T ),   (0, T  t ] , Q ( f )(t   )  Q( f )(t )  I1 (t )  I (t ) với I1 (t )   t  I (t )   t t (t    s) 1 P (t    s) f (s) ds , t g3 (t   , s )ds   g3 (t , s )ds g3 (t , s )  (t  s ) 1 P (t  s ) f ( s ) Ta có I1(t)  M f M f KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I (t )  Bổ đề 3.1 [4] Đặt g1 (t )  E ,1 (  t  )  t  t  g1 ( )  t g2 (t    s)ds  M f   g2 ( )d    Ta có t  g (t   , t     )d   g (t, t   )d 3 t g (t )  t  1E , (  t  ) , với   ta có:     1 P ( )[ f (t     )  f (t   )] d g1 , g  L1loc (  ); g1 , g - hàm không âm g1 - hàm không tăng, g1 (t )  1, t  lim g1 (t )   M  g ( ) f (t     )  f (t   ) d t  t Vì t   g1 (t )  f  D  C([0, T ]; X ) nên với   , tồn   thỏa mãn 40 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 f (t     )  f (t   )   M 1  g1 (t )  Do suy I (t )   , I (t )    Tương tự, Q( f )( )  Q( f )(0)    Vì vậy, Q(D) đồng liên tục Từ Định lí Azrelà - Ascoli, suy Q compact Định lí 3.1 Nếu giả thiết (A) (F) thỏa mãn tốn (*) có nghiệm tích phân [h, T] Chứng minh: Đặt g ( s )  (t  s ) 1 p( s ) gọi   C ([0, T ]; ) nghiệm M I (t ) với phương trình:  (t )  M    ( ) t I (t )   g ( s ) 1      ( s )  ds Ta xét   D  u  C : sup u ( )   (t ), t  [0, T ]  [0,t ]   Khi đó, D tập đóng, lồi C Vì Q compact nên  compact, cần chứng minh  ( D)  D Cho u  D , với z (t )   (u )(t ) , ta tìm f  Fp (u[ ]) thỏa mãn: z (t )  S (t ) (0)  Q( f )(t )  M t (t  s ) 1 f ( s ) ds z (t )  M  (0)  ( ) 0 M t M    (t  s) 1 p(s)(1  us  )ds  ( ) M t g4 (s) 1     (s) ds M    ( ) 0 Tích phân cuối I(t), dễ thấy I(t) khơng giảm theo t nên ta thu đánh giá: M sup z ( )  M    I (t )   (t ) ( )  [0,t ]   (u )  D Ta kết thúc chứng minh Định lí 3.2 Các giả thiết (A) (F) thỏa mãn với T  p  L (0, T ) , p   ess sup p (t )     / M Khi đó, tồn t 0 tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân tốn (*) với kiện ban đầu Chứng minh: Gọi u nghiệm tốn (*), u (t )  S (t ) (0)  Q( f )(t ) t  Mg1 (t )  (0)  M  g (t  s ) f ( s ) ds  t Mg1 (t ) u(0)  M  g2 (t  s) p(s)(1  us  )ds  t Mg1 (t) u(0)  M  g2 (t  s) p(s)(1 sup u( ) )ds [h, s ] t  Mg1 (t ) u(0)  M  g2 (t  s) (1  sup u( ) )ds [  h, s ] Áp dụng Bổ đề 3.2 với a  c  M  , ta được: M  u (0)  M  lim sup u (t )   sup  (s) ,   M t  [  h ,0] suy hình cầu B (0, R )  X với bán kính M   (0)  M  R  sup  ( s )  tập   M [  h ,0] hấp thụ bị chặn nghiệm tích phân tốn (*) KẾT LUẬN Bài viết đưa số giả thiết cụ thể để toán bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ với phần tăng trưởng khơng q tuyến tính có tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.T Anh, T.D Ke 2014 Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays Math Methods Appl Sci 38 (2015), No 8, 1601-1622 [2] T.D Ke, D Lan 2017 Fixed point approach for weakly asymptotic stability of fractional differential inclusions involving impulsive effects, J Fixed Point Theory Appl 19(2017), no 4, 2185-2208 [3] T.D Ke, L.T.P Thuy 2020 Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays Math Meth Appl Sci 2020, 1-17 [4] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo 2006 Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam 41 ... hấp thụ bị chặn nghiệm tích phân toán (*) KẾT LUẬN Bài vi? ??t đưa số giả thiết cụ thể để tốn bao hàm thức vi phân bậc phân số có trễ với phần tăng trưởng khơng q tuyến tính có tập bị chặn hấp thụ. .. ])(t ) t với Q ( f )(t )   (t  s ) 1P (t  s ) f ( s )ds Do đó: u điểm bất động  u nghiệm tích phân (*) Với F (t , v)  sup{  :   F (t , v)} , để tồn tập hấp thụ nghiệm tích phân toán... (A) (F) thỏa mãn với T  p  L (0, T ) , p   ess sup p (t )     / M Khi đó, tồn t 0 tập bị chặn hấp thụ nghiệm tích phân tốn (*) với kiện ban đầu Chứng minh: Gọi u nghiệm tốn (*), u