Cấu trúc tôpô của tập nghiệm cho một bao hàm thức vi phân dạng impulsive

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mai CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM CHO MỘT BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG IMPULSIVE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tuyết Mai CẤU TRÚC TƠPƠ CỦA TẬP NGHIỆM CHO MỘT BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG IMPULSIVE Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ XUÂN TRƯỜNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên tơi xin gửi lời cảm ơn đến thầy hướng dẫn tơi, Tiến sĩ Lê Xn Trường – khoa Tốn Thống kê – trường Đại học Kinh tế TP Hồ Chí Minh Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện, động viên giúp đỡ suốt trình nghiên cứu Bên cạnh đó, tơi xin cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Trọng – khoa Giáo dục Tiểu học – trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Thầy nhiệt tình dạy cho tơi thời gian qua, nhờ mà luận văn hoàn thành thuận lợi Xin cám ơn quý thầy cô trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, người mang hết tâm huyết để giảng dạy, trang bị cho kiến thức sở Tôi xin cám ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin Phòng Sau Đại học – trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh giúp đỡ tạo điều kiện cho thời gian học trường Xin gửi lời cám ơn đến quý thầy Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện để tơi hồn thành luận văn cách hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè ln quan tâm động viên giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 Học viên thực Nguyễn Thị Tuyết Mai MỘT SỐ KÝ HIỆU Đà SỬ DỤNG  Tập hợp số tự nhiên {1,2, } + Tập số thực không âm P( E ) Họ tập khác rỗng E Pcl ( E ) Họ tập đóng, khác rỗng E Pcl ,cv ( E ) Họ tập lồi, đóng, khác rỗng E Pcp ( E ) Họ tập compact, khác rỗng E Pcp ,cv ( E ) Họ tập lồi, compact, khác rỗng E A Bao đóng tập A conv( A) Bao lồi tập A conv( A) Bao lồi đóng tập A B Tích Descartes tập A B ∏ Xα Tích Descartes họ {X α }α∈I (X, ⋅ ) Không gian Banach X với chuẩn ⋅ ⋅ Chuẩn không gian Banach X α ∈I X C ([a, b], E ) Không gian hàm liên tục c :[a, b] → E PC ([a, b], E ) Không gian hàm liên tục khúc c :[a, b] → E với chuẩn = c PC sup { c(t ) :t ∈ [a,b]}  ([ − τ ,0], E ) Không gian hàm liên tục khúc c :[ − τ ,0] → E với chuẩn c = ∫−t c(t ) dt  f : X → Y, f A Ánh xạ thu hẹp ánh xạ f tập A ⊂ X L1 ([a, b], X ) Khơng gian hàm khả tích Bochner [a, b] L1loc ([0,∞), X ) Không gian hàm khả tích Bochner tập compact [0, ∞) {X α , Π αβ , Σ} Hệ ngược limX  α Giới hạn hệ ngược {X α , Π αβ , Σ} id X : X → X Ánh xạ đồng Br ( x) Quả cầu mở tâm x bán kính r Supp(f) Giá ánh xạ f h.k.n Hầu khắp nơi  Kết thúc chứng minh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Giải tích đa trị 1.2 Độ đo phi compact .7 1.3 Các không gian hàm 1.4 Tập Rδ .10 1.5 Giới hạn ngược .12 1.6 Phân hoạch đơn vị Lipschitz địa phương 13 Chương CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM TRÊN KHOẢNG COMPACT 15 2.1 Giới thiệu toán kết 15 2.2 Chứng minh 18 Chương CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM TRÊN KHOẢNG KHÔNG COMPACT 34 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 PHẦN MỞ ĐẦU Các định lý tiếng Brouwer, Schauder Lipschitz đưa tồn điểm bất động cho lớp ánh xạ đơn đa trị Tuy nhiên phần lớn kết khơng đảm bảo tính điểm bất động Do hướng nghiên cứu đặc trưng tơpơ tập điểm bất động hình thành Điều kéo theo loạt kết liên quan đến cấu trúc tập nghiệm phương trình bao hàm thức vi phân Đó lý nghiên cứu bao hàm thức vi phân, việc nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tôpô cho tập nghiệm thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm phương trình có lịch sử lâu đời thú vị Kneser người chứng minh tập nghiệm tốn Cauchy cho phương trình vi phân không gian hữu hạn chiều continuum (compact, liên thơng khác rỗng) Sau Hukuhara phát triển kết cho trường hợp không gian không gian Banach vô hạn chiều Hơn nữa, Aronszajn cịn tập nghiệm tốn Cauchy Rδ - tập Điều không dẫn đến tính continuum mà cịn dẫn đến tính acyclic, nghĩa theo quan điểm tơpơ đại số phương trình có nghiệm Kết tương tự cho bao hàm thức vi phân upperCarathéodory giải De Blasi Myjak Năm 1987, B Ricceri [22] chứng minh X tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach E ϕ : E → P ( E ) , với P ( E ) tập tập khác rỗng E, ánh xạ co đa trị với giá trị lồi đóng tập điểm bất động Fix (ϕ ) co rút tuyệt đối Các kết tổng quát cho toán tử co đa trị chứng minh [15] [16] Những cố gắng tổng quát kết cho trường hợp không gian Fréchet vấp phải khó khăn cấu trúc tơpơ khơng gian mà cụ thể việc kiểm tra tính chất co ánh xạ Một ánh xạ co theo nửa nhóm với số co không co theo metric không gian Trong [13] tác giả giới thiệu kĩ thuật giúp vượt qua trở ngại cách sử dụng giới hạn ngược không gian tôpô kết hợp với kết cấu trúc tôpô cho tập điểm bất động ánh xạ giới hạn cảm sinh ánh xạ hệ ngược Phương pháp này, sau đó, phát triển [1, 2] Mục đích luận văn trình bày chi tiết kết báo [14] Nội dung báo nghiên cứu cấu trúc tôpô cho tập nghiệm mild lớp toán Cauchy cho bao hàm thức vi phânnửa tuyến tính dạng impulsive với đối số lệch khoảng khơng compact Dưới giới thiệu nội dung số vấn đề liên quan đến toán nghiên cứu Bài toán Cho τ > cố định, x hàm liên tục khúc đoạn [−𝜏, 0] nhận giá trị không gian Banach khả ly E Ta nghiên cứu cấu trúc tôpô tập nghiệm toán sau  y′(t ) ∈ A(t ) y (t ) + F (t , yt ), h.k.n t ∈ [0, ∞), t ≠ t k , k ∈ ,  y (t ) x(t ), t ∈ [-t ,0], =  y (t + ) = y (t k ) + I k ( ytk ), k ∈ ,  k (1)  { A(t )}t∈[0,∞ ) họ toán tử tuyến tính E, sinh tốn tử tiến hóa;  F ánh xạ đa trị thỏa điều kiện upper-Carathéodory;  yt (θ= ) y (t + θ ), θ ∈ [−t ,0] ;  I k hàm impulsive, k ∈  ;  y (t + ) = lim+ y ( s ) ; s →t  (t k ) k∈ dãy thời gian tăng, khơng có điểm tụ Phương trình vi phân dạng impulsive nghiên cứu Milman Myshkis [20] Các phương trình bao hàm thức vi phân loại có nhiều ứng dụng sinh học, kinh tế học, y học, vật lý học lĩnh vực khác Nói chung, phương trình (hoặc bao hàm thức) vi phân dạng impulsive thường mô tả tượng có trạng thái thay đổi đột ngột Một ví dụ điển hình chuyển động bóng đàn hồi nảy thẳng đứng bề mặt Tác động đẩy xuất thời điểm bóng chạm bề mặt nhanh chóng thay đổi vận tốc Gần việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng impulsive quan tâm rộng rãi nhiều nhà tốn học Đối với số cơng trình tốn vi phân dạng impulsive, liên quan đến khía cạnh mà luận văn trình bày, tham khảo [7], [9], [10], [11], [21] Bài toán (1) nghiên cứu [7] Ở đó, tác giả thu kết liên quan đến tồn nghiệm Trong luận văn này, trình bày chứng minh tập nghiệm toán compact Rδ - tập Và có tính chất Hukuhara-Kneser (compact liên thơng khác rỗng) acyclic Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm có ba chương Chương dành cho việc trình bày số khái niệm kết cần thiết, sử dụng luận văn Các kiến thức bao gồm: Giải tích đa trị, Giới hạn ngược, Tơpơ đại số, Các khơng gian hàm, v.v Nội dung luận văn nằm chương chương Trong chương 2, toán khoảng compact xem xét Với số giả thiết, chứng minh tập hợp nghiệm toán tương ứng Rδ Chương dành cho việc nghiên cứu tốn khoảng khơng compact, cụ thể tính Rδ tập nghiệm chứng minh nửa đường thẳng, kéo theo tính compact tập nghiệm Chúng ta lưu ý rằng, kết trình bày luận văn hoàn thiện kết [7, Định lí 4.2], thu tồn nghiệm tốn Ngồi ra, chứng minh ngắn gọn cho thấy hiệu việc sử dụng kỹ thuật giới hạn ngược Một điểm đáng lưu ý là, [10], tập nghiệm toán dạng impulsive khoảng compact Rδ - tập F ánh xạ đa trị σ-Ca-selectionable A(t ) = A sinh C0 - nửa nhóm Tuy nhiên, tính chất σ-Ca-selectionable khơng khơng gian vơ hạn chiều Vì vậy, luận văn, chúng tơi sử dụng giả thiết khác để tránh trở ngại việc chứng minh tính R δ khoảng compact Cuối cùng, Định lí 3.2 ta kết hợp cấu trúc tôpô tập nghiệm khoảng compact với phương pháp giới hạn ngược để thu tính R δ nửa đường thẳng Bằng cách này, phát triển kết gần [11], cấu trúc R δ cho tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng impulsive nửa đường thẳng phát biểu trường hợp hữu hạn chiều, tính compact trở nên dễ kiểm tra tốn khơng có đối số lệch 32 Mâu thuẫn chứng tỏ lim an = Và đó, ta đến n →∞ lim sup{d (v, S m ) : v ∈ S mn } = n →∞ Bây với x ∈  n=1 S mn , d ( x, S m ) ≤ sup{d (v, S m ) : v ∈ S mn } với n, nên ta ∞ suy x ∈ S m Mặt khác, F (t , c) =  Gn (t , c) nên S m ⊂  n=1 S mn Vậy ta có ∞ n ≥1 ∞ S m =  n=1 S mn Nhưng S mn +1 ⊂ S mn S m compact nên S ) ( ) ( = β S mn lim β= ( S mn ) lim β= n →∞ n →∞ ∞ n =1 n m β= ( Sm )  Chứng minh Định lí 2.1.2 Ta cần chứng minh tập S mn co rút với n≥ Khi đó, ∞ cách áp dụng Định lí 1.4.5 ta suy tập S m 𝑅𝛿 , S m =  n =1 S mn (Bổ đề 2.2.6) Để chứng minh tính chất co rút S mn , ta xây dựng đồng luân 𝑛 → 𝑆 𝑛 ���� ℎ𝑛 ∶ [0,1] × ���� 𝑆𝑚 𝑚 𝑛 Ở 𝑦 ∈ 𝑆 𝑛 ���� cho ℎ𝑛 (0, 𝑦�) = 𝑦� ℎ𝑛 (1, 𝑦�) = 𝑦𝑛,1 , với 𝑦� ∈ ���� 𝑆𝑚 𝑚 nghiệm 𝑛,1 toán  y′(t ) = A(t ) y (t ) + g n (t , yt ), h.k.n t ∈ [ 0, t m ] ,  y (t ) x(t ), t ∈ [ −t ,0] , = với g n hàm chọn G n xác định Bổ đề 2.2.3  Xét y ∈ S mn Ta chia đoạn [0,1] thành m đoạn điểm chia 0< m −1 < < ⋅⋅⋅ < < m m m (2.15) 33  p −1 p  Lấy r ∈  , , p ∈ {1, , m} Ta ký hiệu  m m  p −1   t p ,r = t m− p +1 − m  r −  ( t m− p +1 − t m− p ) , m   xét toán sau  y′(t ) = A(t ) y (t ) + g n (t , yt ), h.k.n t ∈ t p ,r , t m  ,   y (t ) y (t ), t ∈  −t , t p ,r  , =  + ) y (t k ) + I k ( ytk ), k ∈ {m − p + 1, , m − 1}  y (t k= (2.16) Áp dụng [7, Định lí 3.7], tốn (2.16) có nghiệm lý luận tương tự với 𝑚−𝑝+1 [5] ta chứng minh nghiệm (2.16) nhất, ký hiệu 𝑦𝑛,𝑟 Hơn ánh xạ 𝑚−𝑝+1 (𝑡; 𝑦�) (𝑟, 𝑦�) ↦ 𝑦𝑛,𝑟 𝑛 liên tục [0,1] × ���� 𝑆𝑚  (𝑡; 𝑦�) Xét ánh xạ hn :[0,1] × S mn → S mn xác định  p −1 p  với r ∈  , , p ∈ {1, , m}  m m  ℎ𝑛 (0, 𝑦�) = 𝑦�, 𝑚−𝑝+1 ℎ𝑛 (𝑟, 𝑦�) = 𝑦𝑛,𝑟 𝑚−𝑝+1 Từ cách xác định hàm 𝑦𝑛,𝑟 𝑚−𝑝+1 , ta suy 𝑦𝑛,𝑟 (∙ ; 𝑦�) 𝑛 ���� ∈𝑆 𝑚 Do đó, ánh xạ ℎ𝑛 xác định tốt nghiệm toán (2.15) Mặt Hơn nữa, rõ ràng ta có ℎ𝑛 (1, 𝑦�) = 𝑦𝑛,1 𝑚−𝑝+1 (𝑡; 𝑦�) ta suy ℎ𝑛 liên tục Từ khác tính liên tục ánh xạ (𝑟, 𝑦�) ↦ 𝑦𝑛,𝑟 suy ℎ𝑛 đồng luân Vậy S mn tập co rút với n ∈  Áp dụng Định lí 1.4.5, ta suy tập S m Rδ Định lí 2.1.2 chứng minh hoàn toàn  34 Chương CẤU TRÚC TÔPÔ CỦA TẬP NGHIỆM TRÊN KHOẢNG KHÔNG COMPACT Trong chương ta xét toán khoảng khơng compact Cụ thể, chứng minh tính Rδ cho tập nghiệm tốn (1) Qua đó, ta suy tính chất compact, liên thơng khác rỗng tập nghiệm Trước hết, ta đặt giả thiết sau, ký hiệu sau sử dụng ∆= {(t , s ) ∈  + ×  + : ≤ s ≤ t} ∞ Giả thiết 𝐴(𝑡) (A)∞ {A(t )}t∈[0,∞ ) họ tốn tử tuyến tính khơng thiết bị chặn với miền D(A) độc lập với t, D(A) trù mật E Ngoài ra, họ {A(t )}t∈[0,∞ ) sinh tốn tử tiến hóa T : ∆ ∞ → L ( E ) Giả thiết ánh xạ đa trị 𝐹 (∙,∙) Giả sử F :[0, ∞) ×  ([ − τ ,0], E ) → Pcp ,cv ( E ) thỏa điều kiện sau (F1)∞ F (⋅, c) có hàm chọn đo mạnh với c ∈  ([ − τ ,0], E ) , (F2)∞ F (t , ⋅) nửa liên tục h.k.n t ∈ [0, ∞) , (F3)∞ F với h.k.n t ∈ [0, ∞) tăng trưởng không tuyến tính, nghĩa tồn hàm α ∈ L1loc ([0, ∞)) cho F (t , c) ≤ α (t )(1 + c  ) h.k.n t ∈ [0, ∞) , (F4)∞ Tồn hàm µ ∈ L1 ([0, ∞)) cho, với ε > tập bị chặn D ⊂  ([ − τ ,0], E ) , tồn δ > cho 35 β ( F ( t , Oδ ( D ) ) ) ≤ µ (t ) sup β ( Oε ( D(θ ) ) ) −t ≤θ ≤ với h.k.n t ∈ [0, ∞) , Oδ ( D) δ lân cận D, xác định Od :={z ∈  ([−td ,0], E ) : dist ( z , D) < } Định nghĩa 3.1 Một hàm liên tục khúc y :[ − τ , ∞) → E gọi nghiệm mild toán Cauchy (1) tồn f ∈ L1 ([0, ∞), E ) cho f ( s ) ∈ F ( s, y s ) h.k.n s ∈ [0, ∞) thỏa điều kiện sau (a) = y (t ) T (t ,0) x(0) + ∑ t 0