Phương pháp lặp tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng cho hàm ba biến và tập điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn tiệm cận trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồ Lê Quỳnh Như PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG CHO HÀM BA BIẾN VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA φ-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồ Lê Quỳnh Như PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM BÀI TỐN CÂN BẰNG CHO HÀM BA BIẾN VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TỰA φ-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy hỗ trợ NCS Nguyễn Trung Hiếu Những trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Học viên cao học Hồ Lê Quỳnh Như i LỜI CẢM ƠN Sau gần năm nghiên cứu, luận văn tơi với đề tài “Phương pháp lặp tìm điểm chung tập nghiệm toán cân cho hàm ba biến tập điểm bất động ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận không gian Banach” hồn thành Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy NCS Nguyễn Trung Hiếu tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hỗ trợ tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện để tơi có mơi trường thuận lợi học tập rèn luyện Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến q Thầy Cơ Khoa Tốn - Tin học tận tâm, hết lòng giảng dạy truyền đạt kiến thức quý báu cho chúng tơi - thành viên lớp Tốn Giải tích Khố 30.2 Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè ln động viên, quan tâm giúp đỡ suốt trình nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! Học viên cao học Hồ Lê Quỳnh Như ii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu 5 Cấu trúc luận văn Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach lồi trơn 1.2 Phép chiếu suy rộng không gian Banach 11 1.3 Kết luận Chương 15 Ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận nghiệm toán cân cho hàm ba biến 16 2.1 Ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận 16 2.2 Nghiệm toán cân cho hàm ba biến 23 iii iv 2.3 Kết luận Chương 37 Phương pháp lặp cho toán cân hàm ba biến ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận 39 3.1 Phương pháp lặp lai ghép cho toán cân cho hàm ba biến ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận 3.2 39 Phương pháp lặp lai ghép song song cho toán cân hàm ba biến ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận 57 3.3 Ví dụ số minh họa 76 3.4 Kết luận Chương 84 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86 Kết luận 86 Kiến nghị 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Nhiều vấn đề toán học ngành khoa học kĩ thuật dẫn đến việc giải toán cân (EP )1 sau: Tìm điểm x ∈ K cho ψ(x, y) ≥ với y ∈ K, K tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach E ψ : K × K −→ R hàm hai biến Bài toán cân (EP ) Muu Oettli [1] giới thiệu vào năm 1992 Sau đó, số kết điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân thiết lập Blum Oettli [2], Noor Oettli [3] Vì tốn (EP ) tốn tổng qt nhiều mơ hình tốn học khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động nên toán (EP ) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau, có hướng nghiên cứu tồn nghiệm, tính chất tập nghiệm phương pháp giải Năm 2005, Combettes Hirstoaga [4] chứng minh tập nghiệm toán cân (EP ) tập điểm bất động ánh xạ giải thức Tr : H −→ 2K xác định n o Tr (u) = w ∈ K : ψ(w, y)+ϕ(y)−ϕ(w)+ hy−w, w−ui ≥ với y ∈ K r với K tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Hilbert H Đồng thời, số tính chất tập nghiệm tốn cân (EP ) thiết lập thông qua tập điểm bất động ánh xạ Tr Từ đó, việc nghiên cứu phương pháp giải toán cân (EP ) tương đương với việc nghiên cứu kĩ thuật tìm điểm bất động ánh xạ giải thức Tr Tương tự với kĩ thuật nghiên cứu điểm bất động dãy lặp khác nhau, số tác giả Equilibrium problem xây dựng dãy lặp khảo sát hội tụ dãy lặp đến nghiệm tốn cân đến hình chiếu điểm xuất phát lên tập nghiệm tốn cân Bên cạnh đó, số tác giả xây dựng dãy lặp thiết lập hội tụ đến điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn suy rộng Hướng nghiên cứu đạt nhiều kết không gian Hilbert [5, 6] Trong năm gần đây, số tác giả quan tâm mở rộng kết hội tụ toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn từ không gian Hilbert sang không gian Banach Một cách tiếp cận sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phiếm hàm Lyapunov phép chiếu suy rộng không gian Banach trơn Hướng nghiên cứu đạt nhiều kết định, kể đến [7, 8, 9, 10], kết [8, 9] hội tụ dãy lặp lai ghép đến điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận không gian Banach Lưu ý lớp ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận mở rộng ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn tiệm cận không gian Banach trơn Gần đây, toán (EP ) mở rộng theo nhiều cách tiếp cận khác Năm 2019, Mahato cộng [11] mở rộng toán (EP ) cho hàm ψ từ hai biến sang hàm ψ ba biến sau: Tìm điểm x ∈ K thỏa mãn ψ(y, x, x) ≥ với y ∈ K, (0.1) K tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian Banach E ψ : K ×K ×K −→ R hàm ba biến Đồng thời, tác giả nghiên cứu tồn nghiệm toán cân cho hàm ba biến giới thiệu phương pháp lặp để tìm điểm chung tập điểm bất động họ đếm ánh xạ tựa φ-không giãn tập nghiệm họ hữu hạn toán cân ba biến Phương pháp lặp trình bày báo [11] có dạng sau    x0 = x ∈ K, K0 = K, Q0 = K     ∞ 
P  −1  z = J α Jx + αni JTi xn ,  n n0 n   i=1      yn = J −1 (δn Jxn + (1 − δn ) Jzn ) ,       m−1  un = T ψm Trψm−1,n Trψ2,n Trψ1,n yn rm,n  ψj  hy − z, Jz − Jyn i ≥ 0, ∀y ∈ K}, với T y = {z ∈ K : ψ (y, z, z) +  r n j j,n   r j,n    


  K = ω ∈ K : G ω, Ju ≤ G ω, Jy ≤ G ω, Jx , n ≥ 1,  n n−1 n n n        Q = ω ∈ Qn−1 : hxn − ω, Jx − Jxn i + ρf (ω) − ρf (xn ) ≥ 0}, n ≥ 1,  n       xn+1 = π f Kn ∩Qn x (0.2) Đối với dãy lặp (0.2), phải tìm hai tập Kn Qn bước lặp Điều đòi hỏi phải thực nhiều phép toán bước lặp nhiều thời gian tính tốn Hơn nữa, kết trình bày báo [11] cô đọng chưa có ví dụ minh họa cụ thể Chính vậy, đặt vấn đề nghiên cứu sau (1) Chi tiết hóa phép chứng minh kết điều kiện tồn nghiệm cho toán cân ba biến báo [11] (2) Cải tiến dãy lặp (0.2) cách thay hai tập Kn Qn tập Kn+1 bước lặp mở rộng từ họ đếm ánh xạ tựa φkhông giãn sang họ đếm ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận; từ xây dựng dãy lặp lai ghép cho họ hữu hạn toán cân ba biến họ đếm ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận Sau đó, chúng tơi chứng minh hội tụ dãy lặp không gian Banach trơn lồi (3) Sử dụng phương pháp lặp song song giới thiệu Anh Chung báo [12] phương pháp chiếu thu hẹp không gian Banach để xây dựng dãy lặp lai ghép song song cho họ hữu hạn toán cân ba biến họ hữu hạn ánh xạ tựa φ-khơng giãn tiệm cận Từ đó, chúng tơi chứng minh hội tụ dãy lặp không gian Banach trơn lồi (4) Xây dựng ví dụ số minh họa cho kết hội tụ phương pháp lặp Việc nghiên cứu nội dung góp phần bổ sung thêm kết sử dụng phương pháp lặp để tìm điểm chung tập nghiệm toán cân ba biến tập điểm bất động ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận khơng gian Banach Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa chi tiết hóa số kết liên quan đến điểm bất động ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận, tồn nghiệm toán cân cho hàm ba biến không gian Banach - Xây dựng số dãy lặp chứng minh hội tụ dãy lặp đến điểm chung tập nghiệm toán cân hàm ba biến tập điểm bất động ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận khơng gian Banach; đưa ví dụ minh họa cho kết hội tụ dãy lặp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu số loại dãy lặp, ánh xạ tựa φ-khơng giãn tiệm cận, tốn cân hàm ba biến - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn nghiệm toán cân hàm ba biến, xây dựng dãy lặp lai ghép hội tụ điểm chung hp, Jxn − Jun i ≤ kxn k − kun k (kxn k + kun k) + kpk kJxn − Jun k ≤ kxn − un k (kxn k + kun k) + kpk kJxn − Jun k Kết hợp điều với lim kxn − un k = lim kJxn − Jun k = 0, ta n→∞ n→∞ lim G (p, Jxn ) − G (p, Jun ) = n→∞ (3.12)
Từ (3.11), (3.12) giả thiết (b), (c) ta lim g Jxn − JSjn xn = n→∞ Mặt khác, g liên tục, tăng ngặt g(0) = nên lim Jxn − JSjn xn = n→∞ −1 ∗ Vì J liên tục K nên với j ∈ N ta có lim xn − Sjn xn = n→∞ Mặt khác, lim xn = x nên lim Sjn xn = x Do đó, kết hợp bất đẳng thức n→∞ n→∞ n+1 S xn − x ≤ S n+1 xn − Sjn xn + Sjn xn − x j j với tính quy tiệm cận họ Sj , ta có lim Sjn+1 xn = x hay n→∞ ∗ lim Sj (Sjn xn ) = x Mặt khác, Sj đóng với j ∈ N lim Sjn xn = x n→∞ ∞ T nên Sj x = x với j ∈ N∗ Do đó, x ∈ F (Si ) n→∞ i=1 Tiếp theo, ta chứng minh x ∈ Ωjn = ψj ψj−1 Trj,n Trj−1,n Trψ2,n Trψ1,n m T Ωj Thật vậy, un = Ωm n yn j=1 ψj Trj,n (j = 1, m) ánh xạ tựa φ-không giãn nên

m−1 j φ (p, un ) = φ (p, Ωm y ) ≤ φ p, Ω y ≤ · · · ≤ φ p, Ω y n n n n n n 50

Mà theo Bổ đề 2.2.9 ta có φ Ωjn yn , yn +φ p, Ωjn yn ≤ φ (p, yn ) với p ∈ F yn ∈ E nên φ Ωjn yn , yn ≤ φ (p, yn ) − φ p, Ωjn yn


≤ φ (p, xn ) − φ p, Ωjn yn + γn ≤ φ (p, xn ) − φ (p, un ) + γn Mặt khác, từ (3.12) ta có lim [φ (p, xn ) − φ(p, un ) + γn ] = Do n→∞
lim φ Ωjn yn , yn = n→∞ Mà {yn } bị chặn nên theo Bổ đề 1.2.3, ta có lim Ωjn yn − yn = (3.13) n→∞ Theo bất đẳng thức tam giác, ta có kxn − yn k ≤ kxn − xn+1 k + kxn+1 − yn k Do đó, kết hợp với (3.9) lim kxn+1 − yn k = 0, ta có lim kxn − yn k = n→∞ n→∞ Theo bất đẳng thức tam giác, ta x − Ωjn yn ≤ Ωjn yn − yn + kyn − xk Vì lim xn = x lim kxn − yn k = nên lim yn = x Do đó, kết hợp với n→∞ n→∞ n→∞ (3.13), ta lim x − Ωjn yn = n→∞ j j−1 Hơn nữa, Ωjn yn − Ωj−1 n yn ≤ Ωn yn − x + x − Ωn yn Do lim Ωjn yn − Ωj−1 y n = n n→∞ (3.14)