Hai thuật toán chiếu giải toán điểm bất động tách trong không gian banach phản xạ

Trang 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ LÊ DOÃN MẠNH HÙNG HAI THUẬT TOÁN CHIẾU Trang 2 Mục lụcLời cảm ơn iiiMột số ký hiệu và viết tắt vMở đầu 1Chương 1 Kiến thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - LÊ DOÃN MẠNH HÙNG HAI THUẬT TOÁN CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH TRONG KHƠNG GIAN BANACH PHẢN XẠ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường THÁI NGUYÊN - 2021 ii Mục lục Lời cảm ơn iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Banach phản xạ, hàm lồi 1.1.1 Không gian Banach phản xạ 1.1.2 Sự hội tụ yếu không gian Banach 1.1.3 Hàm lồi số tính chất Khoảng cách Bregman phép chiếu Bregman 1.2.1 Khoảng cách Bregman 1.2.2 Hàm lồi hoàn toàn 14 1.2.3 Phép chiếu Bregman 19 1.2.4 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 22 Chương Hai thuật toán chiếu xấp xỉ nghiệm toán điểm bất động tách 24 2.1 Phát biểu toán 24 2.2 Phương pháp chiếu lai ghép 24 2.3 Thuật toán chiếu thu hẹp 30 2.4 Một số ứng dụng 34 2.4.1 Bài toán chấp nhận tách 34 2.4.2 Bài tốn khơng điểm chung tách cho tốn tử đơn điệu cực đại 34 2.4.3 Bài toán cân tách 35 2.4.4 Bài tốn khơng điểm chung tách cho lớp tốn tử Bregman đơn điệu mạnh ngược 37 iii 2.4.5 Bất đẳng thức biến phân tách 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iv Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, TS Phạm Hồng Trường, tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn – Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình bảo, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo đồng nghiệp trường THPT Thuận Thành số 1- Huyện Thuận Thành- Tỉnh Bắc Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè động viện, khích lệ để tơi hồn thành luận văn Tác giả Lê Doãn Mạnh Hùng v Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x dom(A) miền hữu hiệu toán tử A I toán tử đồng Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp không gian dãy số khả tổng bậc p L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 Jp ánh xạ đối ngẫu δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E n→∞ vi F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T intM phần tập hợp M err sai số cho trước PC phép chiếu mêtric lên C projfC phép chiếu Bregman lên C iC hàm tập lồi C Mở đầu Cho C Q tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H1 H2 , tương ứng Cho T : H1 −→ H2 tốn tử tuyến tính bị chặn Bài tốn chấp nhận tách (SFP) có dạng sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C cho T x∗ ∈ Q (0.1) Dạng tổng quát Bài toán (0.1) toán (0.2), toán phát biểu sau: Cho Ci , i = 1, 2, , N Qj , j = 1, 2, , M tập lồi đóng H1 H2 tương ứng −1 (∩M Tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N j=1 Qj ) 6= ∅ i=1 Ci ∩ T (0.2) Mơ hình tốn (SFP) lần giới thiệu nghiên cứu Y Censor T Elfving [13] cho mơ hình tốn ngược Bài tốn đóng vai trị quan trọng khơi phục hình ảnh Y học, điều khiển cường độ xạ trị điều trị bệnh ung thư, khôi phục tín hiệu (xem [8], [9]) hay áp dụng cho việc giải toán cân kinh tế, lý thuyết trò chơi Ta biết C = F (PC )–tập điểm bất động phép chiếu mêtric từ H1 lên C Do đó, tốn chấp nhận tách (0.1) trường hợp đặc biệt toán điểm bất động tách Dạng tổng quát toán điểm bất động chung tách phát biểu sau: Cho Ti : H1 −→ H1 , i = 1, 2, , N Sj : H2 −→ H2 , j = 1, 2, , M ánh xạ không giãn H1 H2 , tương ứng
−1 Tìm phần tử x∗ ∈ S = ∩N ∩M ∅ i=1 F (Ti ) ∩ T j=1 F (Sj ) = (0.3) Cho đến Bài tốn (0.3) khơng gian Banach chủ đề thu hút nhiều người làm toán ngồi nước quan tâm nghiên cứu Gần đây, có số tác giả đề cập đến việc nghiên cứu tìm phương pháp lặp tìm nghiệm chung Bài toán (0.1) hay (0.3) lớp toán khác (bài toán cân bằng, toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân ) Mục đích luận văn trình bày lại kết Reich S Tuyen T.M tài liệu [25] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp để giải Bài toán (0.3) không gian Banach phản xạ Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, hội tụ yếu, hàm lồi số tính chất bản, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman số lớp tốn tử Bregman khơng giãn Chương Hai thuật toán chiếu xấp xỉ nghiệm toán điểm bất động chung tách Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Reich S Tuyen T.M tài liệu [25] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp để giải toán điểm bất động chung tách không gian Banach phản xạ cho lớp tốn tử Bregman khơng giãn tương đối Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ, hàm lồi số tính chất Mục 1.2 đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman, hàm lồi hoàn toàn, phép chiếu Bregman số lớp ánh xạ Bregman không giãn 1.1 1.1.1 Không gian Banach phản xạ, hàm lồi Không gian Banach phản xạ Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn X ∗ khơng gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu k.k để chuẩn X X ∗ ; giá trị phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ X ∗ điểm x ∈ X ký hiệu hx∗ , xi Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach E gọi phản xạ với x∗∗ ∈ E ∗∗ , tồn x ∈ E cho hx∗ , xi = hx∗∗ , x∗ i, với x∗ ∈ E ∗ Ví dụ 1.1.2 Mọi khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều, không gian lp hay Lp (Ω), với < p < ∞, không gian phản xạ (xem [2]) Chú ý 1.1.3 Các tính chất khơng gian Banach phản xạ tìm thấy tài liệu tham khảo [2] i) Nếu khơng gian Banach X đồng phơi tuyến tính với khơng gian phản xạ Y , X khơng gian phản xạ ii) Mọi khơng gian đóng không gian phản xạ không gian phản xạ; iii) Không gian Banach E phản xạ khơng gian liên hợp E ∗ không gian phản xạ 1.1.2 Sự hội tụ yếu không gian Banach Định nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } khơng gian tuyến tính định chuẩn E gọi hội tụ yếu phần tử x ∈ E ký hiệu xn * x, lim hx∗ , xn i = hx∗ , xi, n→∞ với x∗ ∈ X ∗ Nhận xét 1.1.5 Nếu dãy {xn } hội tụ mạnh x, tức kxn − xk → 0, dãy {xn } hội tụ yếu x Tuy nhiên, điều ngược lại không Chẳng hạn, xét không gian Hilbert l2 , dãy {en } xác định en = (0, , 0, , 0, ), vị trí thứ n với n ≥ 1, hội tụ yếu không (xem [2]), không hội tụ mạnh khơng (vì ken k = với n ≥ 1) Mệnh đề 1.1.6 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn, dãy {xn } ⊂ E hội tụ yếu x ∈ E Khi đó, dãy {xn } bị chặn Chứng minh Với n ≥ 1, xét dãy phiếm hàm {Hxn } ⊂ E ∗∗ xác định hx∗ , Hxn i = hxn , x∗ i với x∗ ∈ E ∗ Khi đó, với x∗ ∈ E ∗ , ta có hHxn , x∗ i = hx∗ , xn i → hx∗ , xi Do đó, theo hệ nguyên lý giới nội Banach-Stenhaux1 , ta có sup kxn k = sup kHxn k < ∞ n n Mệnh đề chứng minh Cho X không gian Banach, Y khơng gian tuyến tính định chuẩn {An } ⊂ L(X, Y ) Nếu với x ∈ X, dãy {An x} hội tụ Y , supn kAn k < ∞