Đánh giá gradient trong không gian lorentz có trọng cho bài toán hai pha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Thanh Trúc ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ CĨ TRỌNG CHO BÀI TỐN HAI PHA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Thanh Trúc ĐÁNH GIÁ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ CĨ TRỌNG CHO BÀI TỐN HAI PHA Chun ngành: Tốn giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 iii Lời cam đoan Tơi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Đánh giá gradient khơng gian Lorentz có trọng cho tốn hai pha" tơi thực Các kết khóa luận trung thực khơng chép khóa luận khác Các thơng tin trích dẫn khóa luận ghi rõ nguồn gốc phép cơng bố Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan Sinh viên thực Đặng Thị Thanh Trúc v Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Nhân, người giới thiệu cho đề tài này, trực tiếp hướng dẫn tận tình tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn q Thầy, Cơ Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho tơi kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua quý Thầy, Cô Hội đồng chấm luận văn góp ý giúp cho luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè hết lòng ủng hộ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trình thực luận văn Xin chúc điều tốt đẹp đồng hành người Sinh viên thực Đặng Thị Thanh Trúc vii Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn v Giới thiệu Tóm tắt luận văn Giới thiệu tổng quan Cấu trúc khóa luận Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Musielak-Orlicz-Sobolev 1.2 Không gian Lorentz có trọng 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số 11 1.4 Một số bất đẳng thức cần thiết 12 Các kết đánh giá so sánh 13 2.1 Bất đẳng thức so sánh 14 2.2 Bất đẳng thức reverse Holder 20 viii Đánh giá gradient khơng gian Lorentz có trọng 21 3.1 Các bổ đề xây dựng bất đẳng thức hàm phân phối 21 3.2 Bổ đề phủ Vitali 28 3.3 Bất đẳng thức hàm phân phối 28 3.4 Đánh giá gradient không gian Lorentz có trọng 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 x ∈ K ∩ Ω : f (x) > λ Hơn nữa, Ω ⊂ K , cho tiện lợi ta viết dωf (λ) , df (λ) thay dωf (K, λ) , df (K, λ) Định nghĩa 1.2.4 ([23],[20], Khơng gian Lorentz có trọng) Cho tham số s ∈ (0, ∞) , t ∈ (0, ∞] ω ∈ A∞ , khơng gian Lorentz có trọng Ls,t ω (Ω) định nghĩa tập gồm tất hàm f đo Lebesgue Ω cho ∥f ∥Ls,t < +∞, ω (Ω)  1t  ˆ∞   st dλ   t := : ∥f ∥Ls,t λ ω {x ∈ Ω f (x) > λ} s  ,  ω (Ω) λ t < ∞  1t := sup λω {x ∈ Ω : f (x) > λ} ∥f ∥Ls,∞ ω (Ω)  λ>0 11 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số Ta có ý sau: ∥f ∥Ls,t viết dạng hàm phân phối ω (Ω) ∥f ∥Ls,t = ω (Ω) " # 1t  t   ∞  ´  s dλ   s λt dωf (λ) , λ   1s    ω  sup λ df (λ) , với t < ∞, với t = ∞ λ>0 Trong trường hợp ω ≡ 1, khơng gian Lorentz có trọng Ls,t ω (Ω) trở thành không gian Lorentz Ls,t (Ω) Hơn nữa, s = t Ls,s (Ω) = Ls (Ω) không gian Lebesgue cổ điển 1.3 Toán tử cực đại cấp phân số Sau đây, ta giới thiệu vài kí hiệu cần dùng mục Với R > 0, ta đặt ΩR (x0 ) = Ω ∩ BR (x0 ), BR (x0 ) cầu mở Rn có ffl tâm x0 bán kính R Ta sử dụng kí hiệu Br (x) f (y)dy để định nghĩa tích phân trung bình f theo biến y cầu BR (x): f (y)dy := n L (BR (x)) BR (x) ˆ f (y)dy BR (x) Định nghĩa 1.3.1 ([14], [26]) Với ≤ α ≤ n f ∈ L1loc (Rn ) , toán tử cực đại Mα f cho công thức sau: f (y)