BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hoài Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2020 Luan van Admi[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Luan van BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 Luan van LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Nhân Các nội dung nghiên cứu kết tham khảo luận văn trích dẫn liệt kê đầy đủ mục Tài liệu tham khảo Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng năm 2020 Bùi Hoài Nhân Luan van Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS NGUYỄN THÀNH NHÂN, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, tơi gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K28 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Xin chân thành cám ơn Tp.HCM, ngày 30 tháng năm 2020 Tác giả Bùi Hoài Nhân Luan van Mục lục Lời nói đầu Bảng ký hiệu Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue 1.2 Hàm phân phối 10 1.3 Không gian Lp yếu 13 Không gian Lorentz 20 2.1 Hàm hoán vị giảm 20 2.2 Hàm cực đại 32 2.3 Không gian Lorentz Lp,q 35 Ứng dụng tồn nghiệm phương trình p-Laplace 45 3.1 Xây dựng ánh xạ T 46 3.2 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) 50 Tài liệu tham khảo 52 Luan van Lời nói đầu Khơng gian Lorentz đưa từ năm 1950 nhà toán học George Lorentz có nhiều ứng dụng lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt tốn tồn tính quy nghiệm Gần đây, nhiều kết đánh giá gradient nghiệm phương trình elliptic dạng divergence thu khơng gian Lorentz, không gian Lp yếu (không gian Marcinkiewicz), thường xem trường hợp đặc biệt không gian Lorentz Nhờ vào đánh giá này, tồn nghiệm số lớp phương trình đạo hàm riêng phương trình p-Laplace, phương trình dạng Ricatti, chứng minh Nội dung luận văn tập trung khảo sát số tính chất không gian Lorentz, định nghĩa chuẩn nửa chuẩn khơng gian Ngồi luận văn khảo sát mối liên hệ tương đương chuẩn nửa chuẩn không gian Lorentz Các kết cơng cụ hữu ích để chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng Riccati không gian Lorentz Cụ thể, luận văn xét tồn nghiệm renormalized (tham khảo [8]) phương trình dạng p-Laplace −∆ u = |∇u|q + µ X, p u = ∂X, (1) không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] Nội dung luận văn “Một số tính chất khơng gian Lorentz Luan van ứng dụng ” tìm hiểu số tính chất quan trọng khơng gian Lorentz tồn nghiệm renormalized phương trình pLaplace khơng gian Lorentz Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương 1: Không gian Marcinkiewicz Nội dung phần hệ thống lại số kiến thức liên quan đến không gian Lp không gian Lp yếu tham khảo sách L Grafakos [4] [3] Chương 2: Không gian Lorentz Nội dung chương gồm định nghĩa không gian Lorentz chuẩn không gian Lorentz với tài liệu tham khảo [7] sách [13] F L Santos Chúng trình bày lại khái niệm khơng gian Lorentz trường hợp khái quát không gian Lp khơng gian Lp yếu Đồng thời trình bày hai chuẩn tương đương không gian Lorentz để thuận tiện chương Chương 3: Ứng dụng tồn nghiệm phương trình p- Laplace Nội dung chương trình bày lại kết tồn nghiệm phương trình dạng p- Laplace khơng gian Lorentz Chúng chứng minh kết cách áp dụng định lý điểm bất động Schauder toán tử liên tục xác định tập lồi, đóng có ảnh tập compact Nội dung chương tham khảo báo [14],[16],[15] [17] tác giả M.-P Tran T.-N Nguyen Luan van Bảng ký hiệu Lp Không gian Lebesgue Lp,∞ Không gian Marcinkiewicz Lp,q Không gian Lorentz k.kLp (X,µ) Tựa chuẩn khơng gian Lp (X, µ) với < p ≤ ∞ |||.|||Lp,∞ Chuẩn không gian Lp yếu với p > k.kLp,q Tựa chuẩn không gian Lorentz Lp,q , chuẩn trường hợp ≤ q ≤ p p = q = ∞ µ(E ) Độ đo µ tập E |||.|||Lp,q Chuẩn tương đương không gian Lorentz Lp,q với < p < ∞ ≤ q ≤ ∞ df Hàm phân phối hàm f với độ đo µ mf Hàm phân phối hàm f với độ đo m f∗ Hàm hoán vị giảm hàm f f ∗∗ Hàm cực đại hàm f ∇u Gradient hàm u ∆p Toán tử p-Laplace M0 (X ) Khơng gian độ đo có biến phân bị chặn liên tục tuyệt đối Luan van Chương Không gian Marcinkiewicz 1.1 Không gian Lebesgue Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Cho X không gian độ đo, µ độ đo dương khơng thiết phải hữu hạn X Cho < p < ∞, Lp (X, µ) tập hàm đo X định nghĩa Z p p L (X, µ) = f đo X : |f | dµ < ∞ X Tập L∞ (X, µ) tập tất hàm f đo X cho tồn B > để tập {x : f (x) > B} có độ đo Hai hàm gọi Lp (X, µ) chúng hầu khắp nơi X, nghĩa hai hàm X, ngoại trừ tập có độ đo Kí hiệu Lp (Rn ) nghĩa khơng gian Lp (Rn , |·|), |·| độ đo Lebesgue n chiều Độ đo Lebesgue Rn kí hiệu dx Nếu khơng có nhầm lẫn, ta viết Lp (X, µ) đơn giản Lp Không gian Lp (Z) trang bị độ đo kí hiệu `p (Z) đơn giản `p Cho < p < ∞, ta định nghĩa tựa chuẩn hàm f Lp p1 Z p (1.1) kf kLp (X,µ) = |f (x)| dµ (x) , X Luan van p = ∞ kf kL∞ (X,µ) = ess.sup|f | = inf {B > : µ({x : f (x) > B}) = 0} (1.2) Sau số tính chất k·kLp (X,µ) với < p Mnh 1.1.2 (Bt ng thc Hăolder [3]) Cho < p, p1 , p2 , , pk ≤ ∞ với k ≥ 2, fj ∈ Lpj = Lpj (X, µ) Giả sử p = p1 + + pk (i) Với f1 , f2 , , fk ∈ LP kf1 fk kLp ≤ kf1 kLp1 kfk kLpk (1.3) (ii) Nếu pj hữu hạn, với j = 1, k dấu đẳng thức (i) xảy p1 pk trường hợp c1 |f1 | = = ck |fk | hầu khắp nơi với cj ≥ −1 (iii) Cho < q < Với r < g > hầu khắp nơi, kgkLr = g −1 L|r| Khi với f ≥ 0, g > hầu khắp nơi ta có kf gkL1 ≥ kf kLq kgkLq0 , với q = (1.4) q l liờn hp Hăolder ca q q1 Chứng minh Ta chứng minh (i) phương pháp quy nạp Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức với trường hợp k = Nghĩa với p = p1 + p2 kf1 f2 kLp ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 Không tính tổng qt ta giả sử p = 1, ta chứng minh p1 + p2 = kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kLp2 Vì kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kLp1 kf2 kL∞ kf1 f2 kL1 ≤ kf1 kL∞ kf2 kLp2 với x nên trường hợp p1 = 1, p2 = ∞ p1 = ∞, p2 = dược chứng minh Luan van ... (1) không gian Lorentz Ls,t Các kết tham khảo chủ yếu báo [14], [16], [17] Nội dung luận văn ? ?Một số tính chất không gian Lorentz Luan van ứng dụng ” tìm hiểu số tính chất quan trọng không gian. .. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Hồi Nhân MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN LORENTZ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Tốn Giải Tích Mã số: 846 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... liên quan đến không gian Lp không gian Lp yếu tham khảo sách L Grafakos [4] [3] Chương 2: Không gian Lorentz Nội dung chương gồm định nghĩa không gian Lorentz chuẩn không gian Lorentz với tài