(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tính chất của không gian lorentz và ứng dụng

u = |∇v|q + µ X, p u =0 ∂X, Hơn ∇ukj hội tụ ∇u hầu khắp nơi X nên tương tự trên, ta tiếp tục áp dụng Định lý hội tụ Vitali trường hợp qs > ∇ukj Lqs,qt ≤ Từ uk hội tụ u W01,1 (X ) Vậy T ánh xạ liên tục Chứng minh T (V ) tập compact theo topo mạnh W01,1 (X ) thực download by : skknchat@gmail.com 50 tương tự Ta lấy {um } = {T (vm )}m∈N dãy T (V ) với {vm } ⊂ Vε0 ta có (3.10) (3.11) Áp dụng Định lý 3.4 tài liệu [8] tồn dãy umj hàm u ∈ W01,1 (X ) cho ∇umj → ∇u hầu khắp nơi X Cuối áp dụng Định lý hội tụ Vitali ta kết luận dãy umj 3.2 hội tụ u W01,1 (X ) Sự tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) Trong mục cuối chúng tơi trình bày kết chương, tồn nghiệm renormalized phương trình (3.1) thơng qua định lý sau Định lý 3.2.1 ([16]) Cho n ≥ 2, p ∈ 3n − , n , µ ∈ M0 (X ) X ⊂ Rn 2n − tập bị chặn phần bù thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness Giả sử max n (p − 1) ,p − + n−1 n < q < p Và q ≤ t ≤ ∞ max 1, < s ≤ q n Khi tồn δ0 > cho µ s có nghiệm renormalized u thỏa với θ = ∇u q Lqs,qt ≤ θδ0 − µ p n , q θ Ls,t , ≤ δ0 phương trình (3.1) Ls,t (3.13) Chứng minh ([16]) Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.2 Bổ đề 3.1.3, tồn số δ0 > > cho, µ L s, t ≤ δ0 , download by : skknchat@gmail.com 51 ánh xạ T : V → V liên tục, tập T (V ) compact theo topo mạnh W01,1 (X ) tập V lồi, đóng Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder T có điểm bất động u V Do u nghiệm phương trình (3.1) Hơn áp dụng Định lý 2.3.4 Bổ đề 3.1.2 ta có đánh giá sau ∇u q Lqs,qt ≤ |∇u| q Lqs,qt ≤ y ∗ ≤ θδ0 − µ Ls,t Vậy ta hoàn thành chứng minh download by : skknchat@gmail.com 52 Kết luận Trong luận văn tác giả trình bày lại kết chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng p-Laplace không gian khái quát không gian Lebesgue cổ điển, khơng gian Lorentz Cần ý kết cho định nghĩa loại nghiệm khác với nghiệm yếu, gọi nghiệm renormalized Ngoài luận văn tác giả xét trường 3n − hợp < p < n miền xác định thỏa mãn điều kiện p-capacity 2n − Phương pháp chứng minh dựa kỹ thuật good-λ đưa tác giả Q.-H Nguyen gần Cuối chúng tơi trình bày lại chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace không gian Lorentz trường hợp Tuy kết luận văn chưa phải kết mới, q trình thực luận văn địi hỏi kiên trì nổ lực tác giả Các kết trình bày lại luận văn tác giả tham khảo nhiều báo mới, có độ khó cao tác giả trình xếp cách chặt chẽ để mang lại kết cuối luận văn 52 download by : skknchat@gmail.com 51 Tài liệu tham khảo [1] R E Castillo, F A Vallejo Narvaez and J C Ramos Fernández, Multiplication and Composition Operators on Weak Lp Spaces,Bull Malays Math Sci Soc 38, 927–973 (2015), DOI: https://doi.org/10.1007/s40840-014-0081-1 [2] D Gilbarg, N.S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 2001 [3] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Second edition, vol 249, Springer, New York (2008) [4] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [5] Roy A Johnson, Atomic and Nonatomic Measures, American Mathematical Society, Vol 25, No (Jul., 1970), pp 650-655, DOI: https://www.jstor.org/stable/2036664 [6] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986) 889–892 [7] E.Kristiansson, Decreasing Rearrangement and Lorentz L(p,q) Space, 2002, 5-71 [8] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741–808 53 download by : skknchat@gmail.com 54 [9] Q.-H Nguyen, Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data, arXiv: 1705.07440v2 (submitted for publication) [10] N C Phuc, Nonlinear Muckenhoupt-Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations, Adv Math 250 (2014), 387–419 [11] N C Phuc, Global integral gradient bounds for quasilinear equations below or near the natural exponent, Ark Mat 52 (2014), 329–354 [12] N C Phuc, Morrey global bounds and quasilinear Riccati type equations below the natural exponent, J Math Pures Appl (9) 102 (2014), 99–123 [13] F L Safont (15-jun-2012) Introduction to Lorentz space, DOI: http://hdl.handle.net/2445/32389 [14] M.-P Tran, Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Anal 178 (2019), 266-281 [15] M.-P Tran, T.-N Nguyen, An application of global gradient estimates in Lorentz-Morrey Spaces for the existence of stationary solutions to degenerate diffusive Hamilton-Jacobi equations, to appear in Electronic Journal of Differential Equations, vol 2019 (2019), No 118,pp 1-12, DOI: http://ejde.math.unt.edu [16] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati type equation in Lorentz spaces, C R Acad Sci Paris, Ser.I 357 (2019), 59-65 [17] M.-P Tran, T.-N Nguyen; Lorentz-Morrey global bounds for singular quasilinear elliptic equations with measure data, in Communications in Contemporary Mathematics https://doi.org/10.1142/S0219199719500330 download by : skknchat@gmail.com to (2019), appear DOI: ... Trong luận văn tác giả trình bày lại kết chứng minh tồn nghiệm phương trình dạng p-Laplace không gian khái quát không gian Lebesgue cổ điển, khơng gian Lorentz Cần ý kết cho định nghĩa loại nghiệm... chúng tơi trình bày lại chứng minh tồn nghiệm renormalized phương trình dạng p-Laplace không gian Lorentz trường hợp Tuy kết luận văn chưa phải kết mới, q trình thực luận văn địi hỏi kiên trì nổ... áp dụng Định lý 2.3.4 Bổ đề 3.1.2 ta có đánh giá sau ∇u q Lqs,qt ≤ |∇u| q Lqs,qt ≤ y ∗ ≤ θδ0 − µ Ls,t Vậy ta hoàn thành chứng minh download by : skknchat@gmail.com 52 Kết luận Trong luận văn