(LUẬN văn THẠC sĩ) một số tính chất của đường và mặt trong không gian với mật độ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN LÊ NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHƠNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 62 46 10 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 download by : skknchat@gmail.com Cơng trình hồn thành tại: Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đồn Thế Hiếu TS Nguyễn Duy Bình Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp vào hồi 00 phút, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Nguyễn Thúc Hào – Trường Đại học Vinh Thư viện quốc gia Việt Nam download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann (M n , g) với hàm trơn, dương, thường dùng e−f f hàm trơn, sử dụng làm trọng số cho thể tích k-chiều (1 ≤ k ≤ n) Trong luận án, chúng tơi dùng khái niệm f -thể tích, f -diện tích, f -độ dài, f -độ cong, f -độ cong trung bình, f -trắc địa, siêu mặt f -cực tiểu, siêu mặt f -ổn định để thể tích, diện tích, độ dài, độ cong đường cong phẳng, độ cong trung bình, đường trắc địa, siêu mặt cực tiểu, siêu mặt ổn định theo mật độ Đây phạm trù mới, có nhiều ứng dụng Tốn học, Vật lý Đặc biệt, khơng gian Gauss, tức Rn với mật độ (2π)1n/2 e−|x| /2 , nhiều nhà xác suất quan tâm Do đó, việc tìm hiểu hình học vi phân đa tạp với mật độ khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn Nhận thấy vai trị quan trọng đa tạp với mật độ, giáo sư F Morgan đề dự án "rất quan trọng" "tổng qt hóa tồn hình học vi phân cổ điển lên đa tạp với mật độ" Trong dự án đó, ơng cộng đạt nhiều kết toán đẳng chu, tổng quát số định lý cổ điển lý thuyết đường lên mặt phẳng với mật độ Chẳng hạn, C Ivan đồng nghiệp mở rộng Định lý Gauss-Bonet (xem [40]); F Morgan chứng minh Định lý Myers với mật độ (xem [50]) Họ chứng minh nghiệm tốn đẳng chu khơng gian với mật độ tồn biên phải có f -độ cong trung bình (xem [40]) Do đó, việc khảo sát tính chất hình học siêu mặt có f -độ cong trung bình hằng, đặc biệt siêu mặt f -cực tiểu cần thiết Bên cạnh đó, nhà nghiên cứu số kết lý thuyết đường khơng cịn gia thêm mật độ Qua đó, thấy có nhiều vấn đề lý thuyết đường không gian với mật độ cần nghiên cứu như: Định lý hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Các định lý mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại đường có f -độ cong mặt phẳng với mật độ, khảo sát đường f -trắc địa đa tạp với mật độ download by : skknchat@gmail.com Lý thuyết mặt không gian với mật độ lĩnh vực nghiên cứu thời Những năm gần đây, I Corwin, C Ivan cộng cho số ví dụ tính chất mặt có f -độ cong trung bình (xem [40]) D T Hieu N M Hoang phân loại mặt mặt kẻ trụ f -cực tiểu, mặt tịnh tiến f -cực tiểu khơng gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]) D T Hieu áp dụng phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổn định số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]) T H Colding, W P Minicozzi II S J Kleene đưa số tính chất hình học mặt f -cực tiểu không gian Gauss (xem [18], [45]), Một số định lý cổ điển hình học vi phân siêu mặt cực tiểu chứng minh không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]), Các kết cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêng biến đổi đa dạng gia thêm mật độ Do đó, việc khảo sát định lý siêu mặt f -cực tiểu không gian với số mật độ quen thuộc đáng quan tâm cần thiết Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Một số tính chất đường mặt khơng gian với mật độ" Mục đích nghiên cứu Chúng nghiên cứu lý thuyết đường lý thuyết mặt không gian với mật độ theo mục đích sau: (a) Khảo sát Định lý bốn đỉnh mở rộng Định lý Fenchel mặt phẳng với mật độ; (b) Phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính; (c) Nghiên cứu tính chất đường f -trắc địa cực tiểu đa tạp với mật độ; (d) Chứng minh số định lý kiểu Bernstein khơng gian Gauss, khơng gian Gn × R không gian với mật độ tổng quát; (e) Chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt f -cực tiểu khơng gian G2 × Rn−2 , với n ≥ download by : skknchat@gmail.com 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Lý thuyết đường lý thuyết mặt không gian với mật độ 3.2 Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu vấn đề sau: • Các định lý cổ điển lý thuyết đường mặt phẳng với mật độ như: Định lý bốn đỉnh, Định lý Fenchel; • Phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ; • Khảo sát tính chất hình học đường f -trắc địa cực tiểu; • Siêu mặt f -cực tiểu khơng gian Gauss khơng gian với mật độ tích; • Các định lý kiểu Bernstein không gian với mật độ cụ thể Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thực đề tài Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng phương pháp Đó phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa đường cong có f -độ cong hằng, mặt f -cực tiểu; phương pháp biến phân để xác định tham số đường f -trắc địa cực tiểu, xác định biến phân f -diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứng minh tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng ước lượng gradient, ma trận dạng thứ hai dùng nguyên lý cực chứng minh định lý kiểu Bernstein Ý nghĩa khoa học thực tiễn Như thấy, đa tạp với mật độ lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn Các kết mang tính thời sự, có nhiều ứng dụng Tốn học Vật lý Đặc biệt, tính chất hình học đường siêu mặt biến đổi đa dạng gia thêm mật độ Do đó, việc nghiên cứu lý thuyết đường lý thuyết mặt không gian với mật độ đáng quan tâm cần thiết Những kết download by : skknchat@gmail.com đạt góp phần làm phong phú thêm hiểu biết hình học vi phân đường mặt khơng gian với mật độ Luận án làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô Tổng quan cấu trúc luận án 6.1 Tổng quan số vấn đề liên quan đến luận án Trên đa tạp với mật độ (M n , g, e−f dV ), D Barky - M Émery, M Gromov (xem [3], [30]) đề xuất mở rộng độ cong trung bình độ cong Ricci siêu mặt Hf = H + df , n − dN Ricf = Ric + Hessf, N trường vectơ pháp đơn vị siêu mặt Các mở rộng kiểm tra thỏa mãn biến phân thứ thứ hai phiếm hàm diện tích theo mật độ (xem [40], [47], [49], [50]) Hf , Ricf gọi độ cong trung bình theo mật độ hay f -độ cong trung bình độ cong Ricci theo mật độ hay f -độ cong Ricci Khái niệm đa tạp với mật độ xuất Toán học với tên gọi khác như: đa tạp với trọng (weighted manifolds), "không gian kiểu nhất" (space of homogeneous type) (xem [15]), "không gian mêtric-độ đo" (metric-measure space) (xem [30]) Năm 2004, V Bayle trình bày tổng quan khơng gian mêtricđộ đo khảo sát biến phân thứ hai phiếm hàm f -diện tích luận án ơng (xem [4]) Một năm sau đó, F Morgan gọi tên lớp đa tạp đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem [49]) Trong báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai phiếm hàm f -diện tích, mở rộng ước lượng thể tích Heintze Karcher, tổng quát bất đẳng thức đẳng chu Levy Gromov Ông trình bày chi tiết đa tạp với mật độ, vai trò mật độ chứng minh giả thuyết Poincaré Perelman sách Lý thuyết độ đo hình học (p 197-201, [51]) download by : skknchat@gmail.com Đa tạp với mật độ phạm trù tốt để mở rộng toán biến phân hình học như: tốn đẳng chu, siêu mặt f -cực tiểu, f -ổn định Sau số kết toán đẳng chu đa tạp với mật độ Năm 1975, C Borell chứng minh bất đẳng thức đẳng chu không gian Gauss Ơng miền đẳng chu khơng gian nửa không gian (xem [7]) Một kết bất ngờ Tiếp theo, M Gromov chứng minh hình cầu tâm O miền đẳng chu không gian Rn với mật độ ea|x| , a > 0, (xem [29]) S G Bobkov C Houdré tìm nghiệm tốn đẳng chu đường thẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E A Carlen C Kerce chứng minh tính nghiệm tốn đẳng chu nửa khơng gian Gauss (xem [10]); C Antonio, F Morgan, A Ros B Vincent điều kiện cần cho toán đẳng chu tồn nghiệm, tính quy miền nghiệm, chứng minh siêu mặt cầu nghiệm tốn đẳng chu khơng gian Rn với mật độ ea|x| , a > 0, (xem [11], [48], [55]) Đối với toán đẳng chu mặt phẳng với mật độ cụ thể, nhóm sinh viên trường Williams, hướng dẫn giáo sư F Morgan, có số kết ban đầu như: biên miền đẳng chu mặt phẳng với mật độ phải có f -độ cong (xem [12], [40]), tính chất nghiệm tốn bong bóng đơi khơng gian Gauss (xem [39], [11]), kết tốn đẳng chu hình quạt Gauss (xem [11], [26]), không tồn nghiệm toán đẳng chu mặt phẳng với mật độ ex , tính nghiệm tốn đẳng chu mặt phẳng với mật độ rp , p > (xem [12]) Theo hướng mở rộng định lý cổ điển hình học vi phân lên khơng gian đa tạp với mật độ, nhiều kết công bố như: Định lý Gauss-Bonnet suy rộng (xem [20], [40]), tính đường trắc địa mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers mặt phẳng không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville không gian với mật độ (xem [8], [36]), Tuy nhiên, số định lý cổ điển khơng cịn gia thêm mật độ Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu khơng (xem [31]) Ngồi hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết siêu mặt f -cực tiểu, siêu mặt có f -độ cong hằng, f -độ cong Gauss download by : skknchat@gmail.com không gian đa tạp với mật độ nhận nhiều quan tâm Các tác giả C Ivan, H Stephanie, Ă Vojislav Y Xu số mặt có f -độ cong trung bình khơng gian Gauss, khảo sát số chất hình học mặt có f -độ cong trung bình (xem [40]), J M Espinar H Rosenberg khảo sát tính chất hình học mặt đầy đủ có f -độ cong trung bình (xem [25]), D T Hieu N M Hoang phân loại mặt kẻ trụ f -cực tiểu khơng gian R3 với mật độ log-tuyến tính (xem [32]) Tính chất cực tiểu f -diện tích siêu mặt f -cực tiểu số người làm hình học quan tâm Chẳng hạn, D T Hieu áp dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh số đa tạp f -cực tiểu diện tích (xem [33]) Bên cạnh đó, tính chất siêu mặt f -cực tiểu ổn định khảo sát số tác giả (xem [13], [33], [47]) Chúng ta xem nghiệm tự đồng dạng dịng độ cong trung bình trường hợp đặc biệt siêu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ Cho M đa tạp Riemann khả vi n-chiều không gian Rn+1 Một phép nhúng phụ thuộc thời gian xt = x(., t) : M × [0, T ) −→ Rn+1 , [0, T ) ⊂ R, nghiệm dịng độ cong trung bình ∂ x(p, t) = −H(p, t)N(p, t), p ∈ M, t ∈ [0, T ), ∂t (1) với H(p, t), N(p, t) độ cong trung bình vectơ pháp đơn vị siêu mặt xt (M ) xt (p) Trong hệ tọa độ chuẩn tắc, ∆x = −HN nên phương trình viết lại dạng ∂ x(p, t) = ∆x ∂t (2) Đây phương trình truyền nhiệt Trong khơng gian Rn+1 , xét nghiệm dịng độ cong trung bình dạng x(u, t) = λ(t)x0 (u), λ(t) > Khi đó, có λ (t)x0 = H λ(t), x , N λ(t), x download by : skknchat@gmail.com (3) Từ đó, H(x0 ) = a x0 , N(x0 ) , với a = λλ số λ = Chúng ta xét trường hợp sau: (i) Nếu a < λ → t → (self-shrinker ) (4) λ20 + 2at −λ0 2a Ta gọi xt tự co rút (ii) Nếu a > λ → ∞ t → ∞ Ta gọi xt tự giãn nở (self-expander ) Mặt khác, xét không gian Rn+1 với mật độ ea|x| /2 Khi đó, f -độ cong trung bình siêu mặt xác định xt cho Hf = H − a x, N (5) Từ đẳng thức (4) (5), thấy siêu mặt f -cực tiểu không gian Rn+1 với mật độ ea|x| /2 siêu mặt tự co rút a < 0, siêu mặt tự giãn nở a > Hoàn toàn tương tự, nghiệm tịnh tiến xt = x0 + at, a ∈ Rn+1 vectơ hằng, dịng độ cong trung bình siêu mặt f -cực tiểu không gian Rn+1 với mật độ log-tuyến tính eax Một số tác giả cịn mở rộng việc nghiên cứu nghiệm tịnh tiến dòng mở rộng với lực tác động (with a forcing term) dạng ∂ xt = −(H + b).N, b ∈ R ∂t Khi đó, f -độ cong trung bình xt Rn+1 với mật độ log-tuyến tính số (xem [19], [22], [24], [37], [53]) Như vậy, mặt f -cực tiểu không gian Gauss, không gian Rn với mật độ e|x| /4 không gian với mật độ log-tuyến tính trường hợp đặc biệt nghiệm tự đồng dạng dòng độ cong trung bình Đây lĩnh vực nghiên cứu thời Bên cạnh kết tính lồi, thời gian tồn hữu hạn, hội tụ điểm trịn, tính qui, phân loại các kì dị loại I dịng độ cong trung bình (xem [27], [28]), việc phân loại nghiệm tuyến tính với vận tốc có số kết ban đầu (xem [38], [41], [42], [43]) Đối với download by : skknchat@gmail.com nghiệm tự đồng dạng, N Kapouleas, S J Kleene N M Møller xây dựng thành cơng dịng tự co rút khơng compact (xem [44]) S J Kleene N M Møller tự co rút tròn xoay, đầy đủ, nhúng không gian Rn siêu phẳng, siêu mặt cầu, siêu mặt trụ tích đường trịn với (n − 2)-cầu (xem [45]) Một số tác giả nghiên cứu lĩnh vực đưa đánh giá tăng trọng thể tích, ước lượng gradient, khảo sát tính ổn định compact dịng độ cong trung bình (xem [14], [18], [19], [23], [46]) K Ecker G Huisken chứng minh định lý kiểu Bernstein cho mặt tự co rút với điều kiện tăng trọng thể tích theo đa thức (xem [23]) Sau đó, điều kiện bỏ L Wang (xem [57]) 6.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần Một số ký hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung Kiến nghị, Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án Tài liệu tham khảo, nội dung luận án trình bày chương Chương dành để giới thiệu kiến thức sở luận án Mục 1.1 trình bày khái niệm đa tạp với mật độ Mục 1.2 trình bày định nghĩa cơng thức tính độ cong trung bình mảnh tham số siêu mặt khơng gian Rn Mục 1.3 trình bày khái niệm cơng thức tính độ cong trung bình độ cong Ricci đa tạp định hướng đa tạp Riemann Mục 1.4 trình bày tích phân bất đẳng thức cần sử dụng luận án Chương trình bày lý thuyết đường mặt phẳng đa tạp với mật độ Mục 2.1 trình bày khái niệm f -độ cong đường cong phẳng, biến phân thứ phiếm hàm f -độ dài Mục 2.2 trình bày Định lý Gauss-Bonnet suy rộng Mục 2.3 trình bày định lý kiểu Fenchel mặt phẳng với mật độ Mục 2.4 trình bày Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu Mục 2.5 phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính Mục 2.6 trình bày đường f -trắc địa cực tiểu đa tạp với mật độ Các kết Chương Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ 2.4.10, Hệ 2.4.11, Định lý 2.5.3, Mệnh đề 2.6.6 Các nội dung Chương trình bày báo [5], [31], [34] [52] download by : skknchat@gmail.com 11 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA TẠP VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, phát biểu chứng minh Định lý Fenchel, Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu, phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính thiết lập mối quan hệ đường f -trắc địa cực tiểu với f -phiếm hàm lượng Các kết Chương viết dựa bốn báo [5], [31], [34] [52] 2.1 f -độ cong đường cong phẳng 2.1.1 Định nghĩa ([40]) Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f cho đường tham số α Độ cong theo mật độ hay f -độ cong, ký hiệu kf , α định nghĩa công thức kf = k + df , dn (2.1.1) k độ cong α n trường vectơ pháp đơn vị dọc α 2.1.2 Mệnh đề (Biến phân thứ [50]) Biến phân thứ phiếm hàm f -độ dài thỏa mãn δ (u) = − ukf dsf (2.1.2) 2.2 Định lý Gauss-Bonnet suy rộng Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm f -độ cong Gauss mặt Riemann với mật độ e−f Định lý Gauss-Bonnet suy rộng download by : skknchat@gmail.com 12 2.3 Định lý kiểu Fenchel Tương tự trường hợp cổ điển, định nghĩa độ cong toàn phần theo mật độ đường tham số sau 2.3.1 Định nghĩa Cho α : [a, b] −→ R2 , e−f , t −→ α(t) b |kf | dt gọi độ cong toàn đường tham số trơn Đại lượng a phần theo mật độ hay f -độ cong toàn phần α Với khái niệm trên, có định lý kiểu Fenchel mặt phẳng với mật độ sau 2.3.2 Định lý Trên mặt phẳng R2 cho mật độ e−f với f hàm điều hịa Khi đó, f -độ cong tồn phần đường cong đơn, đóng, lồi lớn 2π 2.4 Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu Trong mục này, ký hiệu r = x2 + y Chúng ta định nghĩa đỉnh đường cong đơn, đóng lồi mặt phẳng với mật độ điểm mà f -độ cong đạt cực trị địa phương Theo Định lý đỉnh mặt phẳng với mật độ (xem [9]), số đỉnh đường cong đơn đóng Êlíp ví dụ Do kf hàm liên tục nên đường cong đơn, đóng mặt phẳng với mật độ tổng qt có đỉnh Tuy nhiên, đường cong đơn, đóng có đỉnh khơng? Một kết bất ngờ đường tròn mặt phẳng Gauss có đỉnh 2.4.1 Định lý Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−r /2 , đường tròn (C) tâm I(a, b), a, b ∈ R, bán kính R > có đỉnh a2 + b2 = có vơ số đỉnh a = b = Đến đây, câu hỏi khác tự nhiên đặt ra: Có tồn mật độ khác mật độ Gauss mặt phẳng R2 để định lý bốn đỉnh khơng cịn khơng? Một kết thú vị số đỉnh đường tròn mặt phẳng R2 với mật độ log-tuyến tính theo r Trước tiên, cần bổ đề sau download by : skknchat@gmail.com 13 2.4.2 Bổ đề Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f (r) , phép quay tâm O, góc quay khơng làm thay đổi hàm f -độ cong đường cong 2.4.3 Định lý Trên mặt phẳng R2 với mật độ eAr+B , A, B ∈ R, đường tròn α : [0, 2Rπ] −→ R2 , α(t) = R cos(t/R) + a, R sin(t/R) + b , a, b, R ∈ R, R > 0, có đỉnh, có đỉnh, có vơ số đỉnh Từ Định lý 2.4.1 Định lý 2.4.3, hai câu hỏi tự nhiên nảy sinh Lớp đường cong thỏa mãn định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu tổng quát? Có tồn mật độ cầu khác mật độ Ơclít cho định lý bốn đỉnh với đường cong đơn đóng? Đối với câu hỏi thứ nhất, số lớp đường cong đơn giản sau 2.4.4 Định lý Trên mặt phẳng với mật độ e−f (r) , đường cong bất biến qua phép quay tâm O, góc quay có bốn đỉnh 2.4.5 Hệ Trên mặt phẳng với mật độ cầu, đường cong đơn đóng, đối xứng qua gốc tọa độ có bốn đỉnh Đối với câu hỏi thứ hai, có kết sau 2.4.7 Định lý Trên mặt phẳng R2 với mật độ e−f (r) , đường cong đơn đóng có đỉnh f hàm Từ chứng minh định lý, rút số hệ hữu ích sau 2.4.10 Hệ Với số tự nhiên n cho trước, tồn họ mật độ cầu mặt phẳng R2 cho đường trịn (C) tâm I = O, bán kính ε với d(O, I) < ε, có 2n đỉnh 2.4.11 Hệ Tồn họ mật độ cầu mặt phẳng R2 cho đường tròn (C) tâm I(0, b), bán kính ε, với < b < ε, có f -độ cong download by : skknchat@gmail.com 14 2.5 Phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính 2.5.3 Định lý Trên mặt phẳng R2 với mật độ ey , đường có f -độ cong sai khác với đường sau phép tịnh tiến Một đường có f -độ cong đường thẳng song song với trục Oy đường Grim-Reaper xác định tham số (xem Hình 2.5.4) x(s) = arctan(es ), y(s) = ln(es + e−s ), s ∈ R (2.5.23) Một đường có f -độ cong |kf | < đường thẳng xác định tham số (xem Hình 2.5.3, Hình 2.5.4)    x(s) = arctan √ e 1−c2 s √ −c − c2 − cs, √ √   y(s) = ln e 1−c2 s + e− 1−c2 s − 2c , s ∈ R Một đường có f -độ cong ±1 đường thẳng song song trục Ox xác định tham số (xem Hình 2.5.2) x(s) = arctan s − s, y(s) = ln(1 + s2 ), s ∈ R Một đường có f -độ cong |kf | > xác định tham số (xem Hình 2.5.1, Hình 2.5.6)  √ c−1 c2 −    x(s) = ±2 arctan tan s − cs,   c+1      √    c2 −    s +1   tan    , y(s) = − ln √     2−1  c − c     tan s +    c+1     π π  s ∈ − √ ,√ c2 − c2 − download by : skknchat@gmail.com 15 2.5.4 Một số hệ Từ hình vẽ đường có f -độ cong hằng, thấy kf dần đến ±∞ giới hạn đường cong điểm Để khảo sát hình dạng đường cong lân cận điểm giới hạn, dùng kỹ thuật lý thuyết dòng độ cong trung bình phóng to đường cong cần quan sát √ phép vị tự với tỉ số c2 − Bằng kỹ thuật đó, thấy đường cong hội tụ điểm tròn Việc nghiên cứu bề mặt chuyển động dòng đường cong với trường lực mở rộng trường hợp đơn giản ∇w = (c1 , c2 ) (xem [42]) dẫn đến phương trình c= ϕ (x) + c2 − c1 ϕ (x) + ϕ (x)2 (2.5.24) Một kết [42] phát biểu rằng: nghiệm phương trình (2.5.24) với điều kiện ban đầu đường thẳng đường Grim-Reaper Theo ngôn ngữ mật độ, nghiệm phương trình (2.5.24) đường có f -độ cong mặt phẳng R2 với mật độ e−c1 x+(c2 −c)y Do đó, chúng đường có f -độ cong mặt phẳng R2 với mật độ ey Từ Định lý 2.5.3, thu kết Mệnh đề 4.8 [12] phát biểu rằng: “Mặt phẳng với mật độ ex khơng chứa miền đẳng chu” Kết rút từ việc phân loại đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ ey Từ tham số hình vẽ, thấy đường cong có điểm kỳ dị có f -độ dài vơ hạn Do đó, chúng khơng thể biên miền đẳng chu download by : skknchat@gmail.com 16 2.5.5 Hình vẽ đường có f -độ cong mặt phẳng với mật độ ey Hình 2.5.1 Các đường cong có kf < −1 Hình 2.5.2 Đường cong có kf = ±1 Hình 2.5.3 Các đường cong có kf ∈ (−1, 0) Hình 2.5.4 Đường cong có kf = Hình 2.5.5 Các đường cong có kf ∈ (0, 1) Hình 2.5.6 Các đường cong có kf > 2.6 Đường f -trắc địa cực tiểu đa tạp với mật độ 2.6.1 Định nghĩa Trên đa tạp Riemann (M, g) với mật độ e−f cho hai điểm p q Khoảng cách theo mật độ hay f -khoảng cách điểm p q cận tập tất f -độ dài cung đường cong trơn khúc M nối điểm p q download by : skknchat@gmail.com 17 Nếu tồn đường cong trơn khúc α nối điểm p q cho f -độ dài f -khoảng cách điểm đường cong α gọi đường f -trắc địa cực tiểu 2.6.4 Định nghĩa Trên đa tạp Riemann M với mật độ e−f cho γ : b df γ dt [a, b] −→ M đường tham số trơn Phiếm hàm A(γ) := dt a gọi f -phiếm hàm lượng đường cong γ 2.6.6 Mệnh đề Trên đa tạp Riemann (M, g) với mật độ e−f cho điểm p q Khi đó, đường cong M nối điểm p q, đường cong γ0 : [a, b] −→ M điểm cực tiểu f -phiếm hàm lượng γ0 có f -vận tốc f -trắc địa cực tiểu 2.7 Kết luận Chương Trong Chương 2, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày khái niệm f -độ cong đường cong mặt phẳng mật độ Biến phân thứ phiếm hàm f -độ dài Định với lý Gauss-Bonnet suy rộng mặt với mật độ - Phát biểu chứng minh định lý kiểu Fenchel mặt phẳng với mật độ e−f , f hàm điều hịa - Chứng minh Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu hàm mật độ hàm Tức là, Định lý bốn đỉnh dùng đặc trưng cho mật độ Ơclít lớp mật độ cầu - Phân loại triệt để đường cong có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính Từ đó, luận án rút số hệ quan trọng như: tính khơng tồn nghiệm tốn đẳng chu mặt phẳng với mật độ ex , phân loại nghiệm tịnh tiến với trường lực mở rộng - Chứng minh đường cong điểm cực tiểu f -phiếm hàm lượng có f -vận tốc f -trắc địa cực tiểu download by : skknchat@gmail.com 18 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT TRONG KHƠNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ Trong chương này, đưa tham số hóa số mặt f -cực tiểu khơng gian Gauss G3 khơng gian tích G2 × R, xây dựng chứng minh ngắn gọn cho định lý dạng Bernstein khơng gian Gn × R, n ≥ Các kết Chương viết dựa báo [35] 3.1 f -độ cong trung bình siêu mặt 3.1.1 Định nghĩa ([30]) Trên đa tạp Riemann M n với mật độ e−f , độ cong trung bình theo mật độ hay f -độ cong trung bình, ký hiệu Hf , siêu mặt Σ với trường vectơ pháp đơn vị N cho công thức Hf = H + df , n − dN (3.1.1) H độ cong trung bình Riemann Σ 3.1.3 Mệnh đề ([49]) Trong đa tạp Riemann n-chiều với mật độ e−f , cho Σ siêu mặt có trường vectơ pháp đơn vị N Xét biến phân chuẩn tắc uN Σ Khi đó, biến phân thứ δ (u) phiếm hàm f -diện tích thỏa δ (u) = − (n − 1)Hf udsf , (3.1.5) dsf vi phân theo mật độ phần tử diện tích 3.1.4 Định nghĩa ([40]) Trên đa tạp Riemann M với mật độ e−f , siêu mặt Σ gọi f -cực tiểu f -độ cong trung bình download by : skknchat@gmail.com 19 3.1.9 Định nghĩa ([33]) Cho Σ siêu mặt f -cực tiểu đa tạp Riemann M với mật độ e−f , Σ gọi f -cực tiểu ổn định hay f -ổn định biến phân thứ hai phiếm hàm f -diện tích khơng âm với biến phân chuẩn tắc có giá compact 3.2 Hình học định cỡ đa tạp với mật độ 3.2.1 f -vi phân dạng vi phân 3.2.1.1 Định nghĩa ([33]) Cho ω k-dạng vi phân M với mật độ e−f Chúng ta định nghĩa f -vi phân ω đẳng thức df ω := ef d(e−f ω) (3.2.1) Dạng vi phân ω gọi f −đóng df ω = 0, gọi f −khớp tồn dạng vi phân η cho ω = df η 3.2.3 Định nghĩa ([33]) Với k-vectơ ξ, k-dạng vi phân ω đa tạp Riemann (M, g), chuẩn mass ξ chuẩn comass ω định nghĩa ξ = inf g(βi , βi ) : ξ = i βi , βi đơn , (3.2.3) i ω = sup {ωx (ξx ) : x ∈ M, ξx đơn, ξ = 1} (3.2.4) Dạng vi phân df -đóng ω gọi f -dạng cỡ chuẩn comass Cho ω f -dạng cỡ đa tạp M với mật độ e−f Ta nói đa tạp N M định cỡ ω ω đạt giá trị lớn không gian tiếp xúc N hầu khắp nơi 3.2.6 Định lý ([33]) Cho Σ đồ thị hàm khả vi cấp hai u : Rn −→ R Nếu Σ f -cực tiểu Rn+1 = Rn × R với mật độ e−f (x1 , ,xn ) Σ cực tiểu f -diện tích 3.3 Siêu mặt f -cực tiểu không gian Gauss Trong mục này, khảo sát số tính chất hình học đơn giản mặt f -cực tiểu tròn xoay, f -cực tiểu tuyến tính download by : skknchat@gmail.com 20 không gian R3 với mật độ e−a|x| +c , a, c ∈ R, a > Đồng thời, rút gọn chứng minh Lu Wang định lý kiểu Bernstein không gian Gauss 3.4 Siêu mặt khơng gian Gn × R Chúng ta xét mặt kẻ trụ f -cực tiểu Σ không gian G2 × R Giả sử, mặt Σ tham số hóa X(u, v) = α(u) + va, (3.4.1) α đường chuẩn a vectơ 3.4.3 Định lý Trong khơng gian G2 × R cho Σ mặt kẻ trụ có tham số dạng (3.4.1) Khi đó, Σ f -cực tiểu α đường trắc địa mặt phẳng G2 Σ có tham số hóa địa phương dạng   u t c1 e dt + c2  , u0 , c1 , c2 ∈ R, c1 > X(u, v) = v, u, ± − c1 et2 u0 Hình 3.4.1: Mặt kẻ f -cực tiểu khơng gian G2 × R Tiếp theo, xét định lý kiểu Bernstein không gian Gn × R 3.4.4 Tính cực tiểu siêu phẳng Gn × (R, e−h ) Xét khơng gian tích Gn × (R, e−h ) với mật độ tích e−(f +h) Một điểm Gn × (R, e−h ) viết dạng (x, xn+1 ), x = download by : skknchat@gmail.com 21 (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Phương trình siêu phẳng khơng song Oxn+1 khơng gian tích Gn × (R, e−h ) có dạng n xi + xn+1 + c = 0, c, a1 , a2 , , an ∈ R (3.4.3) i=1 Tính tốn trực tiếp, thấy ∇(f +h), N = n xi + h (xn+1 ) = i=1 Do đó, Một siêu phẳng f -cực tiểu song song trùng với siêu phẳng xn+1 = h (−c) = Một siêu phẳng f -cực tiểu không song song với siêu phẳng xn+1 = h(xn+1 ) = x2n+1 /2 + cxn+1 + b, b ∈ R số Nếu siêu mặt Σ f -cực tiểu khơng gian Gn+1 ảnh Σ qua phép tịnh tiến theo vectơ v(0, , 0, −c/2) siêu mặt f -cực tiểu không gian Gn × (R, e−h ) với h(xn+1 ) = x2n+1 /2 + cxn+1 + b Trong trường hợp này, định lý kiểu Bernstein chứng minh Ví dụ sau √ G2 × (R+ , e−h ), R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} h(z) = z − ln + 4z, tồn đồng thời mặt phẳng mặt trụ parabol đồ thị toàn phần f -cực tiểu Ví dụ Xét đồ thị hàm z = u(x, y) = x2 G2 không gian G2 × (R+ , e−h ) Tính tốn trực tiếp, có H(f +h) = 2z + h (z) − √ = 3/2 (1 + 4z) + 4z Hơn nữa, kiểm tra mặt phẳng z = (1 + f -cực tiểu √ 17)/8 Chúng ta xét trường hợp h (c) = với c ∈ R Khi đó, h hàm Trong trường hợp này, sử dụng nguyên lý dạng cỡ theo mật độ, thu ước lượng cho f -diện tích đồ thị tồn phần Từ đó, chúng tơi đưa chứng minh đơn giản cho định lý kiểu Bernstein mà không dùng đến đạo hàm cấp download by : skknchat@gmail.com 22 3.4.5 Định lý kiểu Bernstein không gian Gn × R Với điểm p ∈ Rn+1 số thực dương R, ký hiệu B n+1 (p; R) hình cầu (n + 1)-chiều Gn × R tâm p bán kính R Cho Σ đồ thị f -cực tiểu hàm u(x1 , , xn ) Gn Gọi p giao điểm Σ trục Oxn+1 Khi đó, có ước lượng f -diện tích sau cho siêu mặt Σ 3.4.5.1 Bổ đề Volf Σ ∩ B n+1 (p, R) ≤ Volf B n (O, R) + n(2π)−n/2 e−R Cn Rn , (3.4.4) Cn = Vol B n (O, 1) Lấy giới hạn vế bất đẳng thức (3.4.4) R dần vô cùng, hệ sau 3.4.5.2 Hệ Volf (Σ) ≤ (3.4.8) 3.4.5.3 Định lý (Định lý kiểu Bernstein) Đồ thị Σ hàm khả vi u(x1 , , xn ) = xn+1 Gn f -cực tiểu khơng gian tích Gn × R siêu phẳng xn+1 = a, a ∈ R, nghĩa u hàm Chứng minh Rõ ràng, siêu phẳng xn+1 = a f -cực tiểu khơng gian tích Gn × R Ngược lại, giả sử Σ siêu mặt f -cực tiểu Chúng ta đặt dV = dx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxn Khi đó, Chúng ta có e−f ≥ Volf (Σ) = Gn e−f dV = Volf (Gn ) = 1 + |∇u|2 dV ≥ Gn Đẳng thức thỏa mãn chi ∇u = (0, , 0), nghĩa u hàm 3.5 Mặt 2-chiều không gian với mật độ 3.5.3 Định nghĩa Cho X : D ⊆ R2 −→ (Rn , e−f ), n ≥ 3, tham số hóa qui Σ f-vectơ độ cong trung bình Σ download by : skknchat@gmail.com 23 định nghĩa Hf = H + (∇f )⊥ , (3.5.1) H vectơ độ cong trung bình Σ (∇f )⊥ thành phần trực giao ∇f mặt phẳng tiếp xúc Σ Mặt Σ gọi f -cực tiểu Hf = 3.5.4 Ví dụ Trong khơng gian Gauss Gn , mặt phẳng qua gốc tọa độ mặt f -cực tiểu 3.5.5 Định lý (Định lý kiểu Bernstein G2 × Rn−2 ) Trong không gian G2 × Rn−2 , cho Σ mặt f -cực tiểu, xác định tham số X(x1 , x2 ) = x1 , x2 , u3 (x1 , x2 ), , un (x1 , x2 ) , (x1 , x2 ) ∈ R2 Khi đó, tồn x01 , x02 R2 cho uk đạt cực trị x01 , x02 với k = 3, , n, Σ mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng xk = 0, k = 3, , n 3.6 Kết luận Chương Trong Chương 3, luận án giải vấn đề sau: - Trình bày khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ biến phân thứ hai phiếm hàm f -diện tích - Chứng minh đa tạp định cỡ f -dạng cỡ cực tiểu f -diện tích lớp đồng điều - Xây dựng chứng minh ngắn gọn cho định lý kiểu Bernstein không gian Gauss - Đưa tham số mặt kẻ trụ đứng f -cực tiểu khơng gian tích G2 × R - Sử dụng nguyên lý dạng cỡ chứng minh định lý kiểu Bernstein khơng gian Gn × R mà không sử dụng đến đạo hàm cấp hai - Xây dựng khái niệm f -cực tiểu cho mặt 2-chiều không gian với mật độ Chứng minh định lý kiểu Bernstein đơn giản khơng gian G2 × Rn−2 , với n ≥ download by : skknchat@gmail.com 24 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án đạt kết sau: - Chứng minh Định lý bốn đỉnh mặt phẳng với mật độ cầu hàm mật độ số (Định lý 2.4.7) - Đưa phân loại triệt để đường có f -độ cong mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính (Định lý 2.5.3) - Chỉ đường cong có f -vectơ vận tốc f -trắc địa điểm cực tiểu f -phiếm hàm lượng (Mệnh đề 2.6.6) - Phát biểu chứng minh định lý kiểu Bernstein cho đồ thị f -cực tiểu toàn phần khơng gian Gn × R (Định lý 3.4.5.3) Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu tiếp vấn đề sau: - Nghiên cứu lý thuyết đường mặt phẳng Minkowski; - Xây dựng định lý kiểu Bernstein cho mặt đối chiều cao không gian với mật độ; - Xây dựng định lý kiểu Bernstein, định lý kiểu Liouville đa tạp với mật độ tổng quát download by : skknchat@gmail.com 25 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Hieu D T and Nam T L (2008), "On the four vertex theorem in planes with radial density eϕ(r) ", Colloquium Mathematicum, 113, 169-174 Binh N D and Nam T L (2013), "Some results on geodesic curves in manifolds with density", East-West Journal of Mathematics, 15 (2), 170-181 Hieu D T and Nam T L (2014), "The classification of constant weighted curvature curves in the plane with a log-linear density", Communications on Pure and Applied Analysis, 13, 1641-1652 Hieu D T and Nam T L (2014), "Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs in Gn × R", Journal of Geometry and Physics, 81, 87-91 Nam T L (2014), "Some results on curves in plane with a log-linear density", Southeast Asian Bulletin of Mathematics, accepted download by : skknchat@gmail.com ... thiết Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án "Một số tính chất đường mặt không gian với mật độ" Mục đích nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu lý thuyết đường lý thuyết mặt không gian với mật. .. [40]), tính đường trắc địa mặt phẳng với mật độ có độ cong Gauss suy rộng âm (xem [12]), Định lý Myers mặt phẳng không gian với mật độ (xem [50]), Định lý Liouville không gian với mật độ (xem... xt Rn+1 với mật độ log-tuyến tính số (xem [19], [22], [24], [37], [53]) Như vậy, mặt f -cực tiểu không gian Gauss, không gian Rn với mật độ e|x| /4 khơng gian với mật độ log-tuyến tính trường