nghiệm của phương trình
3.2 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình(3.1)
trình (3.1)
Trong mục cuối cùng này chúng tôi trình bày kết quả chính của chương, đó là sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình (3.1) thông qua định lý sau.
Định lý 3.2.1. ([16]) Cho n ≥ 2, p ∈ 3n−2 2n−1, n , µ ∈ M0(X) và X ⊂ Rn là một tập bị chặn và phần bù của nó thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness. Giả sử max n(p−1) n−1 , p−1 + 1 n < q < p. Và mỗi q ≤t ≤ ∞ thì max 1, 1 q < s≤ min p q, n θ , với θ = n
s. Khi đó tồn tại δ0 >0 sao cho nếukµkLs,t ≤δ0 thì phương trình (3.1) có một nghiệm renormalized u thỏa
k∇ukqLqs,qt ≤ θδ0− kµkLs,t. (3.13)
Chứng minh. ([16]) Theo Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.2 và Bổ đề 3.1.3, tồn tại hằng số δ0 >0 và 0 >0 sao cho, nếu
thì ánh xạ T : V0 → V0 là liên tục, tập T(V0) là compact theo topo mạnh
W01,1(X) và tậpV0 là lồi, đóng. Áp dụng Định lý điểm bất động Schauder thìT
có điểm bất động u trong V0. Do đó u là một nghiệm của phương trình (3.1). Hơn nữa áp dụng Định lý 2.3.4 và Bổ đề 3.1.2 ta có đánh giá sau
k∇ukqLqs,qt ≤ k|∇u|kqLqs,qt ≤ y∗ ≤θδ0− kµkLs,t.
Kết luận
Trong luận văn này tác giả đã trình bày lại kết quả về chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình dạng p-Laplace trong một không gian khái quát hơn không gian Lebesgue cổ điển, đó là không gian Lorentz. Cần chú ý rằng kết quả này chỉ đúng cho định nghĩa một loại nghiệm khác với nghiệm yếu, gọi là nghiệm renormalized. Ngoài ra trong luận văn tác giả chỉ xét trong trường hợp 3n−2
2n−1 < p < n trong một miền xác định thỏa mãn điều kiện p-capacity. Phương pháp chứng minh này dựa trên kỹ thuật good-λ được đưa ra bởi tác giả Q.-H. Nguyen gần đây. Cuối cùng chúng tôi trình bày lại chứng minh sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng p-Laplace trong không gian Lorentz trong trường hợp trên.
Tuy kết quả trong luận văn chưa phải là kết quả mới, nhưng quá trình thực hiện luận văn đòi hỏi sự kiên trì và nổ lực của chính tác giả. Các kết quả được trình bày lại trong luận văn được tác giả tham khảo trong nhiều bài báo mới, có độ khó cao và đã được tác giả trình sắp xếp một cách chặt chẽ để mang lại kết quả cuối cùng của luận văn.