Tính bị chặn của toán tử và hoán tử calderón zygmund trên không gian lorentz tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN-TIN ———————o0o——————– KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ VÀ HỐN TỬ CALDERĨN-ZYGMUND TRÊN KHƠNG GIAN LORENTZ TỔNG QUÁT Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN TRÍ DŨNG Sinh viên: THÁI HOÀNG MINH Lớp: K44 SPC TP HỒ CHÍ MINH, 5/2022 Lời nói đầu Các vấn đề từ ngành khoa học khác nghiên cứu tính đàn hồi, động lực học chất lỏng, tính tốn phương trình biến phân vi phân với điều kiện phi tiêu chuẩn thúc đẩy việc nghiên cứu không gian Lebesgue (xem [7], [10], [24], [25], [27]) Trong đặc trưng bị chặn tốn tử hốn tử Calderón khơng gian Lebesgue quan tâm có vai trị quan trọng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng (xem [14], [16], [18], [20], [26], trích dẫn bên trong) Theo đó, tính bị chặn tốn tử hốn tử Calderón – Zygmund khơng gian Lorentz có trọng đóng vai trị quan trọng Do việc nghiên cứu tính bị chặn khơng gian Lorentz có trọng thiết yếu Do tính thiết yếu, nhiều kết tính bị chặn không gian Lebesgue chứng minh Kết xuất vào năm 1976, Coifman Fefferman [8] lần chứng minh T bị chặn tên không gian Lp (u) mở rộng kết biết rộng rãi trước Lp (Rn ) xem [13] Cùng năm, ông công chứng minh phiên cho hoán tử [9] Tiếp sau có nhiều phiên bị chặn toán tử khác toán tử toán tử cực đại đại Hardy - Littlewood M [6] phép biến đổi Hilbert H [1]trên không gian Lorentz có trọng thúc đẩy việc mở rộng kết T lên không gian tổng quát Vào năm 2020, Carro cộng [5] mở rộng kết tính bị chặn T [b, T ] lên khơng gian Lorentz có trọng Trong khóa luận này, em chứng minh tính bị chặn T [b, T ] không gian Lorentz có trọng làm rõ số ý chứng minh chưa làm rõ báo Carro Khóa luận gồm ba chương chính: Chương đưa khái niệm không gian Lorentz có trọng, tốn tử hốn tử Calderón-Zygmund tốn tử, khơng gian có liên quan khác, đồng thời giới thiệu kết Chương trình bày chứng minh số bổ đề, định lý quan trọng việc chứng minh kết cuối chương chứng minh kết i Khóa luận tốt nghiệp Giải tích điều hịa khóa luận Khóa luận tốt nghiệp kết trình nỗ lực cố gắng bạn thân, giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ thầy cô, bạn bè người thân Qua đây, Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người giúp đỡ em thời gian qua Em xin trân trọng gửi đến thầy Trần Trí Dũng - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho luận lời cảm ơn chân thành sâu sắc Cuối cùng, em xin cảm ơn bạn Nam Phương, Tiến Đạt, Phương Vy bên cạnh hỗ trợ em q trình hồn thành khóa luận Thái Hồng Minh ii K44 Tốn ĐHSPTPHCM Một số kí hiệu viết tắt A.B A CB , với C số A&B A > CB , với C số R+ tập tập tập tập C0∞ (Rn ) L1loc (X) C(Rn ) số thực khơng âm hợp hàm có giá tập compact khả vi vô hạn lần Rn hợp hàm khả tích địa phương X hợp hàm liên tục Rn iii Mục lục Lời nói đầu i Một số kí hiệu viết tắt iii Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Lorentz tổng qt có trọng 1.2 Tốn tử, hốn tử Calderón-Zygmund 1.3 Một số khơng gian quan trọng khác 1.4 Các kết 1 11 toán tử có liên quan Một số bổ đề định lý quan trọng 12 Chứng minh kết 16 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 iv Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Lorentz tổng qt có trọng Định nghĩa 1.1.1 Cho X = Rn xét gian n chiều sau I = {x ∈ Rn : xi bi , i = 1, , n} Thể tích I định nghĩa V (I) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) (bn − an ) Độ đo Lebesgue tập A định nghĩa (∞ X µ∗ (A) = inf V (Ii ) : A ⊂ ∪∞ i=1 Ii ) i=1 Định nghĩa 1.1.2 Tập A ∈ X tập đo Lebesgue µ∗ (A) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A), với E ⊂ X Trong khóa luận ta ln hiểu khái niệm đo đo Lebesgue Định nghĩa 1.1.3 Các hàm u : Rn → R+ w : R+ → R+ gọi hàm trọng u, w hàm đo được, không âm, khác khơng hầu khắp nơi khả tích địa phương Định nghĩa 1.1.4 hàm f xác định Rn gọi đo với số thực α ta có {x ∈ Rn : f (x) < α} đo Khóa luận tốt nghiệp Giải tích điều hòa Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm trọng w tập đo E , định nghĩa độ đo w tập E sau: Z w(E) = w(x)dx E Nếu w hàm trọng R+ , t Z ta định nghĩa W (t) = w(s)ds nguyên hàm w Nhận xét 1.1.6 W (t) < ∞, với t > Định nghĩa 1.1.7 [4] Cho hàm trọng u Rn hàm đo f , hàm giảm phân phối lại fu∗ định nghĩa sau: fu∗ (t) = inf s : λuf (s) t , t > 0,  λuf (s) = u ({x ∈ X : |f (x)| > s}) , s hàm phân phối f theo độ đo u(x)dx Ví dụ [12, Ví dụ 1.1.2 ví dụ 1.4.2] Xét hàm đơn giản không âm f (x) = n X aj χEj (x), Ej đo rời đôi hữu hạn R j=1 a1 > a2 > a3 > > an > Nếu s > a1 hiển nhiên λuf (s) = Tuy nhiên a2 < s < a1 |f (x)| > a x ∈ E1 Trong trường hợp tổng quát, aj+1 s < aj , |f (x)| > s x ∈ E1 ∪ E2 ∪ ∪ Ej Đặt Bj = j X u(Ek ), k=1 với j ∈ {1, , n}, B0 = an+1 = a0 = ∞ ta có λuf (s) = n X Bj χ[aj+1 ,aj ) (s) j=0 Chúng ta nhận thấy B0 t < B1 , Số s > nhỏ cho λuf (s) < t a1 Thái Hồng Minh K44 Tốn ĐHSPTPHCM Khóa luận tốt nghiệp Giải tích điều hịa Tổng qt có Bj−1 t < Bj , số s > nhỏ cho λfu (s) < t aj Do ta có n X fu∗ (t) = aj χ[Bj−1 ;Bj ) (t) j=1 Nhận xét 1.1.8 Ta có fu∗ = f ∗ λuf = λf u = Định nghĩa 1.1.9 [8][6] Gọi u hàm trọng không gian Rn w hàm trọng (0; ∞) Với p > 1, không gian Lorentz tổng quát có trọng Λpu (w) tập hợp tất hàm f : Rn → R đo thỏa mãn: 1/p ∞ Z fu∗ (t)p w(t)dt kf kΛpu (w) = < ∞ Vì định nghĩa khó áp dụng vào đánh giá người ta thường sử dụng nhận xét sau để áp dụng nhiều chứng minh Tính chất 1.1.10 [6, Tính chất 2.2.5] ∞ Z n kf kΛpu (w) = p−1 pW (u({x ∈ R : |f (x)| > t}))t 1/p dt Chứng minh Trường hợp f hàm đơn giản P Xét f (x) = nj=1 χEj (x), Ei đơi rời nhau, < u(Ai ) < ∞, |a1 | > |a2 | > > |aN | > Theo ví dụ ta có n X λuf (s) = Bj χ[aj+1 ,aj ) (s) j=0 fu∗ (t) = n X aj χ[Bj−1 ;Bj ) (t), j=1 Bj = j X u(Ek ), k=1 với j ∈ {1, , n}, B0 = an+1 = a0 = ∞, ta có Thái Hồng Minh K44 Tốn ĐHSPTPHCM Khóa luận tốt nghiệp Z Giải tích điều hịa ∞ (fu∗ (t))p w(t)dt = n X Z p w(t)dt Bj−1 j=1 = = n X j=1 n X Bj |aj | Bj Z |aj |p w(t)dt − =p j=1 p =p j=0 Z (|aj | − |aj+1 | ) =p w(t)dt dy |aj | y p−1 ! λuf (y) Z w(t)dt |aj+1 | ! Bj Z y p−1 y p−1 w(t)dt |aj | ∞ Bj Z p |aj+1 | n Z X w(t)dt j=1 n Z X ! Bj−1 Z dy Z λuf (y) ! w(t)dt dy Trường hợp f hàm đo Vì f đo nên tồn dãy hàm đơn giản {fn }n∈Rn hội tụ f cho |fn | < |f | Khi λufn tăng λuf (fn )∗u hội tụ fu∗ Khi ta chọn dãy tăng dần thỏa hai trường hợp dùng định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue từ thu điều cần chứng minh Nhận xét 1.1.11 u = 1, Λp1 (w) = Λp (w) không gian Lorentz có trọng [19] u = 1, w(t) = tp/q−1 Λp1 (tp/q−1 ) = Lq,p khơng gian Lorentz cổ điển [12] w = Λpu (1) = Lp (u) khơng gian Lebesgue có trọng Chứng minh Từ [19] ta có khơng gian Lorentz có trọng tập hợp hàm thỏa: 1/p Z ∞ f ∗ (t)p w(t)dt kf kΛp (w) = < ∞ Với w = ta kf kΛp (w) = kf kΛp1 (w) Do Λp1 (w) = Λp (w) Thái Hồng Minh K44 Tốn ĐHSPTPHCM Khóa luận tốt nghiệp Giải tích điều hịa Từ [12, định nghĩa 1.4.6] ta có Z ∞    kf kLp,q = t1/p f ∗ (t) q dt 1/q t   sup t1/p f ∗ (t) q < ∞ q = ∞ t>0 Dễ thấy kf kLp,q = kf kΛp1 (tp/q−1 ) Với w = 1, áp dụng nhận xét 1.1.10 với w = ta có: Z ∞ kf kΛpu (1) = 1/p = = tp−1 λuf (t)dt p 0 Z 1/p ∞  Z fu∗ (t)p dt 1/p |f (x)|p u(x)dx = kf kLp (u) Rn Do Λpu (1) = Lp (u) 1.2 Toán tử, hoán tử Calderón-Zygmund tốn tử có liên quan Định nghĩa 1.2.1 [12, Định nghĩa 4.1.2] Hàm K(x, y) Rn ×Rn \{(x, x) : x ∈ Rn } gọi nhân chuẩn tồn , A > thỏa điều kiện sau: (i) (Điều kiện kích thước) |K(x, y)| ≤ A |x − y|n (1.1) (ii) (Điều kiện quy) |K(x, y) − K(x0 , y)| Khi |x − x0 | Thái Hoàng Minh (1.2) max {|x − y|, |x0 − y|} |K(x, y) − K(x, y )| Khi |y − y | A|x − x0 |δ , (|x − y| + |x0 + y|)n+δ A|y − y |δ , (|x − y| + |x − y |)n+δ (1.3) max {|x − y|, |x − y |} K44 Toán ĐHSPTPHCM 16 Do K thỏa điều kiện kích Đầu tiên hiển nhiên x − y |x − y| thước Ta có |x − x0 | max (|x − y|; |x0 − y|), Cho nên theo [13, Nhận xét 8.8.1] ta có max(|x − y|; |x0 − y|) min(|x − y|; |x0 − y|) Do |(x − y)(x0 − y)| > (min(|x − y; x0 − y|))2 > (max(|x − y; x0 − y|))2 16
2 |x − y| + |x − y | 16 Từ K thỏa điều kiện quy, 1 − |K(x, y) − K(x , y)| x − y x − y