BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGOAN ĐƢỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGOAN ĐƢỜNG CONG PHÁP TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI CHIỀU CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo cán khoa Toán, khoa Sau đại học - trường Đại học Vinh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học luận văn Đặc biệt xin chân thành cảm ơn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình nhiệt tình hướng dẫn, đóng góp ý kiến để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo tổ Hình học - Tơpơ dành nhiều tâm huyết truyền đạt kiến thức quý báu, cảm ơn tập thể lớp cao học khóa 20 chuyên nghành Hình học – Tơpơ gia đình, bạn bè tạo điều kiện suốt trình học tập giúp tơi hồn thành luận văn Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 Khơng gian Lorentz - Minkowski 1.1 Các định nghĩa 1.2 Không gian không gian Lorentz - Minkowski 1.3 Không gian trực giao 1.4 Các hệ thức liên quan mơđun, tích Lorentz vectơ không gian Lorentz - Minkowski §2 Đường cong không gian Lorentz – Minkowski 2.1 Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lorentz – Minkowski 2.2 Các tính chất đường cong không gian Lorentz – Minkowski 10 2.3 Độ cong độ xoắn đường cong không gian Lorentz – Minkowski 10 CHƢƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐƢỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI CHIỀU 17 §1 Đường cong pháp kiểu thời gian 17 §2 Đường cong pháp kiểu ánh sáng 20 §3 Đường cong pháp kiểu không gian 24 §4 Một số ví dụ 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………… 38 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Ơclit nghiên cứu từ lâu với nội dung phong phú ngày hoàn thiện Trong hình học Ơclit, đường cong với đặc trưng khác đối tượng thu hút quan tâm nghiên cứu nhà toán học Một cách tiếp cận để nghiên cứu đường cong dựa mối quan hệ vectơ vị trí với thành phần trường mục tiêu Fretnet Song song với tồn hình học Ơclit (hình học xây dựng khơng gian xác định tích vơ hướng xác định dương) hình học xây dựng khơng gian xác định tích vơ hướng khơng xác định dương hình học giả Ơclit, đặc biệt khơng gian với tích vơ hướng số cịn gọi không gian Lorentz – Minkowski Các kết nghiên cứu không gian Lorentz – Minkowski mở rộng cho hình học giả Rieman phát triển mạnh mẽ năm gần Cũng không gian Ơclit, người ta nghiên cứu đường cong với đặc trưng khác dựa mối quan hệ vectơ vị trí đường cong với trường vectơ mục tiêu dọc đường cong Trong không gian Lorentz – Minkowski, biết với đường cong song quy E13 ln xây dựng trường vectơ T, N, B tương ứng trường tiếp tuyến, pháp tuyến trùng pháp tuyến đường cong Với trường vectơ đó, không gian tạo thành T , N ; T , B ; N , B định nghĩa tương ứng không gian mật tiếp, không gian trực đạc không gian pháp dạng Một đường cong mà vectơ vị trí ln nằm khơng gian tương ứng gọi đường cong mật tiếp, đường cong trực đạc đường cong pháp khơng gian Lorentz – Minkowski Với mong muốn tìm hiểu kỹ tính chất, đặc trưng loại đường cong đó, dựa kết nghiên cứu gần nhà toán học, hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình chúng tơi chọn đề tài luận văn là: Đường cong pháp không gian Lorentz - Minkowski chiều Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng Kiến thức sở Chương tơi trình bày định nghĩa, kiến thức không gian Minkowski, khơng gian con, khơng gian trực giao, tích Lorentz vectơ, khái niệm đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, xây dựng trường mục tiêu Fretnet, độ cong, độ xoắn tương ứng với loại đường cong Chƣơng Đƣờng cong pháp khơng gian Minkowski E13 Trong chương tơi trình bày định nghĩa, số đặc trưng ví dụ đường cong pháp không gian Minkowski E13 kiểu đường cong pháp: đường cong pháp kiểu thời gian, đường cong pháp kiểu ánh sáng đường cong pháp kiểu khơng gian Vì kiến thức cịn hạn chế thời gian có hạn nên luận văn cịn có nhiều thiếu sót nội dung lẫn hình thức, chúng tơi mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Ngoan CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ CỞ §1 Khơng gian Lorentz - Minkowski 1.1 Các định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa Xét không gian vectơ R n không gian vectơ ta trang bị tích vơ hướng xác định bởi: n x, y x1 y1 xk yk k 2 với x x1 , x2 , , xn , y( y1, y2, , yn) Rn Khi không gian R n trở thành không gian giả Ơclit số gọi không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu E1n + Tích vơ hướng , gọi tích vơ hướng Lorentz – Minkowski + Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski khơng gian Minkowski tích vơ hướng , gọi tích vơ hướng Minkowski + Với n ta có khơng gian Lorentz – Minkowski chiều Trong luận văn từ sau xét không gian Lorentz – Minkowski chiều 1.1.2 Định nghĩa (xem [4]) Cho vectơ x E13 , đó: x gọi vectơ kiểu không gian x, x x x gọi vectơ kiểu thời gian x, x x gọi vectơ kiểu ánh sáng x, x x Nhận xét: Vectơ x có x, x xem vectơ kiểu không gian 1.1.3 Định nghĩa (xem [4]) Hệ vectơ a1 , a2 , a3 thỏa mãn: a1 , a1 1; a2 , a2 1; a3 , a3 1; , a j i, j 1,3, i j gọi sở trực chuẩn không gian Lorentz – Minkowski 1.1.4 Ví dụ Trong khơng gian E13 với sở trực chuẩn e1 , e2 , e3 , đó: e1 vectơ kiểu thời gian vì: e1 , e1 1 e2 , e3 vectơ kiểu khơng gian vì: e2 , e2 0; e3 , e3 e2 e3 vectơ kiểu khơng gian vì: e2 e3 , e2 e3 e22 e2 , e3 e32 e1 ei i 2,3 vectơ kiểu ánh sáng vì: e1 ei , e1 ei e12 e1 , ei ei2 1 1 1.1.5 Định nghĩa (xem [4]) Với x E13 ta gọi môđun chuẩn vectơ x x, x ký hiệu: x x, x Vectơ x gọi vectơ đơn vị có mơđun Nếu x vectơ kiểu khơng gian x Nếu x vectơ kiểu thời gian x x, x x, x 1.1.6 Sự trực giao vectơ a Định nghĩa (xem [8]) Hai vectơ x, y E13 ; x, y gọi trực giao với thỏa mãn x, y b Mệnh đề (xem [3]) Cho không gian Lorentz – Minkowski E13 , đó: i Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính trực giao với ii Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại độc lập tuyến tính với iii Với x, y E13 , x 0, y, y 0, x, y x, x Nói cách khác, vectơ khác khơng trực giao với vectơ kiểu thời gian vectơ kiểu không gian Chú ý: Một vectơ trực giao với vectơ kiểu khơng gian chưa vectơ kiểu thời gian Chẳng hạn, không gian E13 cho vectơ x (1, 2, 0) x vectơ kiểu khơng gian x, x , vectơ y (2, 1, 2) , x y vì: x, y y vectơ kiểu khơng gian y, y 1.2 Không gian không gian Lorentz - Minkowski 1.2.1 Định nghĩa (xem [8]) Cho W không gian vectơ không gian Lorentz – Minkowski E13 , đó: +) W gọi kiểu khơng gian chứa vectơ kiểu không gian +) W gọi kiểu thời gian chứa vectơ kiểu thời gian +) W gọi kiểu ánh sáng chứa vectơ kiểu ánh sáng khơng chứa vectơ kiểu thời gian 1.2.2 Định lý (xem [4]) Cho W không gian vectơ không gian Lorentz – Minkowski E13 (i) W gọi kiểu không gian , / W xác định dương (ii) W gọi kiểu thời gian , / W khơng suy biến có số (iii) W gọi kiểu ánh sáng , / W suy biến W 1.2.3 Ví dụ Trong khơng gian E13 với sở trực chuẩn e1 , e2 , e3 + Ta xét mặt phẳng sinh e1 , e , kí hiệu span e1 , e2 Khi ta có: e , e 1 1 suy e vectơ kiểu thời gian span e1 , e2 chứa vectơ kiểu thời gian nên theo định nghĩa không gian kiểu thời gian + span e2 , e3 kiểu khơng gian vì: u span e2 , e3 u x2e2 x3e3 (0, x2 , x3 ), x22 x32 Suy u, u x22 x32 , u vectơ kiểu khơng gian Vậy span e2 , e3 kiểu không gian 1.3 Không gian trực giao 1.3.1 Định nghĩa (xem [4]) Cho V , , không gian với tích vơ hướng khơng suy biến U V không gian vectơ không gian V Khi ta gọi: U vV , u, v 0, u U không gian trực giao với không gian U 1.3.2 Bổ đề (xem [4]) Cho V , , không gian với tích vơ hướng khơng suy biến Khi đó: (i) Nếu U khơng gian V dim(U ) dim(V ) dim(U ) (ii) Nếu U khơng gian V (U ) U (iii) Nếu U không gian khơng suy biến V U không gian không suy biến 1.3.3 Mệnh đề (xem [4]) (i) Cho v E13 , v vectơ kiểu thời gian v không gian kiểu không gian E13 v v Tương tự, v kiểu không gian v kiểu thời gian (ii) Cho U không gian khơng gian V , U kiểu không gian (U ) kiểu thời gian (iii) Cho U không gian khơng gian V , U kiểu ánh sáng (U ) kiểu ánh sáng Chứng minh: (i) Nếu v vectơ kiểu thời gian, cách nhân lên số cần thiết xem v phần tử sở trực chuẩn E13 B v, e2 , e3 với v v, v 1; ei , ei 1; ei , e j 0; v, e j i, j 2,3 span e2 , e3 không gian kiểu không gian Khi 3.1 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với pháp tuyến kiểu khơng gian kiểu thời gian N độ cong k1 (s) 0, k2 (s) 0, s I Khi ta có mệnh đề sau: (i) Các độ cong k1 ( s) k2 ( s) thỏa mãn đẳng thức: c1 cosh k1 ( s) k (s)ds c sinh k (s)ds , c , c 2 2 ; (ii) Thành phần pháp tuyến thành phần trùng pháp tuyến vectơ vị trí đường cong cho tương ứng là: k (s)ds a sinh k (s)ds , a sinh k ( s)ds a cosh k ( s)ds , a , a , N a1 cosh , B 2 2 2 ; (iii) Nếu vectơ vị trí đường cong vectơ kiểu ánh sáng, nằm nón ánh sáng C (m) có độ cong k1 ( s) k2 ( s) thỏa mãn: c1 cosh k1 ( s) k (s)ds sinh k (s)ds , c , c 2 Ngược lại, (s) đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị khơng gian E13 với pháp tuyến N kiểu khơng gian kiểu thời gian, độ cong k1 (s) 0, k2 (s) 0, s I mệnh đề (i), (ii), (iii) thỏa mãn, đường cong pháp sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Chứng minh: Đầu tiên ta giả sử (s) đường cong pháp kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị khơng gian E13 với pháp tuyến kiểu khơng gian kiểu thời gian N , s tham số hóa độ dài cung Khi theo định nghĩa ta có: (s) (s) N (s) (s) B(s) Lấy đạo hàm phương trình s dùng công thức Frenet tương ứng (3.1) ta tìm được: e k1 1, ' k2 0, ' k2 25 (3) Từ phương trình đầu thứ hai (3) ta có: Do đó: e e , ( )' k1 k2 k1 ( s) (4) e e N ( )' B k1 k2 k1 (5) Hơn nữa, từ phương trình thứ ba (3) dùng (4) ta tìm phương trình vi phân sau: ' 1 ' k2 ( ) k2 k1 k1 Đặt y(s) (6) 1 , p( s) , phương trình (6) viết lại là: k1 k2 p(s) y (s) py((ss)) ' ' Đổi biến cho phương trình với t ds , ta có: p( s) d2y y0 dt Nghiệm phương trình vi phân là: y c1 cosh(t ) c2 sinh(t ), c1 , c2 Vậy: c1 cosh k1 ( s) k (s)ds c sinh k (s)ds 2 (7) Do chứng minh mệnh đề (i) Tiếp theo (7) vào (4) (5) ta được: k (s)ds c sinh k (s)ds e c sinh k ( s)ds c cosh k ( s)ds e c1 cosh 2 2 2 và: k (s)ds c sinh k (s)ds e c sinh k ( s)ds c cosh k ( s)ds e c1 cosh 2 2 2 26 (8) Do đó, từ (8) ta dễ dàng tìm được: , e(c12 c22 ) (9) k (s)ds a sinh k (s)ds a sinh k (s)ds a cosh k (s)ds , N a1 cosh , B 2 (10) 2 (11) a1 c1 , a2 c2 Do ta chứng minh (ii) Tiếp theo, giả sử đường cong pháp với vectơ vị trí kiểu ánh sáng Khi có , , vào phương trình (9) ta thu c12 c22 Khi (7) trở thành: c1 cosh k1 ( s) k (s)ds sinh k (s)ds , c , c 2 (12) Xét vectơ: ' e e1 m ( s) N B k1 k2 k1 Đạo hàm phương trình biến s dùng cơng thức Frenet tương ứng phương trình (3 1) tìm m' , m const Khi : m, m , điều có nghĩa nằm C (m) Vậy ta chứng minh mệnh đề (iii) Ngược lại, giả sử có mệnh đề (i) Khi ta có: c1 cosh( k2 ( s)ds ) c2 sinh(k2 ( s)ds ) k1 ( s) Đạo hàm phương trình theo s có: ' 1 ' k2 ( ) k2 k1 k1 Sử dụng công thức Frenet (3 1) thu được: e1 e2 ' d ( s) N ( ) B ds k1 k2 k1 27 Suy (s) e1 e N ( )' B const k1 k2 k1 Vậy sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Bây ta giả sử có mệnh đề (ii) Khi phương trình (9) (10) thỏa mãn Đạo hàm (9) theo s dùng phương trình (10) tìm , T , điều chứng tỏ đường cong pháp Cuối cùng, giả sử có mệnh đề (iii), nằm nón ánh sáng với đỉnh cố định m , m const độ cong k1 (s), k2 (s) thỏa mãn phương trình (12) Do có: m, m Đạo hàm phương trình theo biến s dùng công thức Frenet (3 1) thu được: ' e e1 (s) m N B k1 k2 k1 Điều có nghĩa đường cong sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Đặt m , sử dụng (12) dễ dàng tìm , Vậy định lý chứng minh 3.2 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong pháp kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với độ cong k1 (s) 0, k2 (s) 0, s I , pháp tuyến N khơng kiểu ánh sáng vectơ vị trí kiểu khơng kiểu ánh sáng Khi đó: (i) Vectơ vị trí kiểu khơng gian đường cong nằm giả cầu S12 (m, r ) và: c e r cosh( k2 (s)ds ) c sinh( k2 (s)ds), c , e 1 ; k1 ( s) (13) (ii) Vectơ vị trí kiểu thời gian đường cong nằm không gian giả hypebolic H 02 (m, r ) và: 28 c e r cosh( k2 (s)ds ) c sinh( k2 (s)ds), c , e 1 k1 ( s) (14) Chứng minh Đầu tiên ta giả sử vectơ vị trí kiểu khơng gian Khi , r2, r , vào phương trình (9) có c1 c22 e r Sử dụng phương trình cuối (7) thu kết (13) Tiếp theo ta xét vectơ : ' e e1 m N B k1 k2 k1 Đạo hàm phương trình sử dụng cơng thức Frenet tương ứng nhận m' , m const Điều tức m, m r , nằm giả cầu S12 (m, r ) tâm m bán kính r Ngược lại, giả sử có mệnh đề (13) nằm giả cầu S12 (m, r ) Khi ta có m, m r Vi phân phương trình bốn lần theo s dùng cơng thức Frenet tìm được: ' e e1 (s) m N B k1 k2 k1 Vậy sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Trong trường hợp đặc biệt, ta cho m , (13) kéo theo , r , ta chứng minh xong mệnh đề (i) Chứng minh mệnh đề (ii) tương tự mệnh đề (i) Chú ý: Đường cong kiểu không gian với pháp tuyến kiểu ánh sáng N khơng gian E13 có độ cong k1 k1 (xem [7]) Nếu k1 đường thẳng Vì (s) phương T (s) với s Cho đường thẳng, khơng có mặt phẳng pháp N , B Do k1 ( s) đường cong pháp 29 3.3 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với pháp tuyến N kiểu ánh sáng độ cong k1 Khi đường cong pháp thành phần pháp tuyến , N thành phần trùng pháp tuyến , B vectơ vị trí tương ứng là: , N 1, , B c, c Chứng minh Đầu tiên ta giả sử (s) đường cong pháp, có: (s) (s) N (s) (s) B( s) (15) Vi phân hàm ẩn s dùng công thức Frenet (2) nhận được: 1, ' k2 0, ' k2 (16) Chúng ta thu từ phương trình thứ ba (16) k2 Khi phương trình thứ hai (16) kéo theo ' Do c, c : cN B (17) Cuối thu , N 1, , B c, c Ngược lại, đặt , N 1, , B c, c , vi phân phương trình với biến s tìm k2 , T , điều có nghĩa đường cong pháp 3.4 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với pháp tuyến kiểu ánh sáng N độ cong k1 Khi nằm giả cầu S12 (m, r ) đường cong pháp với phương trình: m r2 N B Chứng minh Giả sử nằm giả cầu S12 (m, r ) Khi có: m, m r , r Đạo hàm phương trình sử dụng cơng thức Frenet tìm được: 30 k2 N , m Do k2 (s) , đường cong phẳng Chúng ta chứng minh đường cong pháp Phân tích vectơ m thành: m T bN cB , đó, a a(s), b b(s), c c(s) hàm khả vi s Khi đó, m, T a, m, N c 1, m, B b Đạo hàm phương trình: m b0 N B từ m, m r có: m, m 2b0 r b0 r2 Suy phương trình là: m r2 N B Điều chứng tỏ sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Ngược lại, trình m r2 N B, r Tiếp theo ta có m đường cong pháp có phương , m (m1 , m2 , m3 ) E13 , có k2 r2 N B , đạo hàm theo biến s ta có: m' Do đó, m cons t E13 Vậy nằm S12 (m, r ) 3.5 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị với pháp tuyến kiểu ánh sáng N độ cong k1 Khi nằm khơng gian giả hypebolic H 02 (m, r ) sai khác phép tịnh tiến đường cong pháp có phương trình: r2 m N B, r Chứng minh Giả sử nằm H 02 (m, r ) Khi có: m, m r , r 31 Đạo hàm phương trình áp dụng cơng thức Frenet ta có: ( m)' , m T, m Vi phân phương trình ta được: T ', m T, T T ' , m ( T , T ) T ' , m 1 k1 N , m N , m (vì k1 1( gt ) ) Vi phân tiếp phương trình ta được: N ', m N, T k2 N , m H 02 (m, r ) (vì N , T ) Do k2 (s) , đường cong phẳng Chúng ta chứng minh đường cong pháp Phân tích vectơ m thành: m T bN cB , đó, a a(s), b b(s), c c(s) hàm khả vi s Khi đó, m, T a, m, N c 1, m, B b Vi phân hàm m, B b nhận b b0 cons t Từ ta thu được: m b0 N B, Từ m, m r có: b0 N B, b0 N B r 2b0 r b0 r2 Suy phương trình là: 32 m r2 N B Điều chứng tỏ sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp Ngược lại, trình m m r2 N B, r đường cong pháp có phương , m (m1 , m2 , m3 ) E13 Tiếp theo ta có r2 N B , vi phân hàm theo biến s ta có: m' Do đó, m const E13 Vậy nằm H 02 (m, r ) 3.6 Định lý (xem [6]) Cho (s) đường cong pháp kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với pháp tuyến kiểu ánh sáng N độ cong k1 Khi nằm nón ánh sáng C (m) với đỉnh m sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp có phương trình (s) B(s) Chứng minh Giả sử nằm nón ánh sáng C (m) với đỉnh m E13 Khi đó: m, m Đạo hàm phương trình dùng cơng thức Frenet (2) có: m, T a, m, N c 1, m, B b Đạo hàm m, B b tìm b b0 const Điều có nghĩa m b0 N B, Từ m, m 2b0 ta có b0 Do m B Tịnh tiến theo vectơ m sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp có phương trình B Ngược lại, giả sử sai khác phép tịnh tiến với đường cong pháp có phương trình B Vi phân hàm có k2 Đặt m B , 33 đạo hàm phương trình tìm m const m, m , điều chứng tỏ nằm nón ánh sáng C (m) §4 Một số ví dụ 4.1 Ví dụ Cho đường cong có phương trình: (s) ( chs , 1, shs) , s tham số hóa Khi ta có: , ch2 s sh2 s , nằm mặt nón có phương trình: x2 y z Ta có: T ' (shs; 0; chs) ', ' , suy đường cong kiểu không gian +) T ' (chs, 0, shs) T' N ( chs , 0, shs) +) B T N B (0, 1, 0) Giả sử tồn a, b hàm khả vi theo s cho: aN bB ( chs, 1, shs) a( chs , 0, shs) b(0, 1, 0) a b Vậy N B đường cong pháp kiểu không gian nằm mặt nón x2 y z 4.2 Ví dụ Trong không gian Lorentz – Minkowski E13 cho đường cong (t ) ( sht , 0, cht ) , t tham số hóa Khi ta có: + , sh2t ch2t + ' (cht , 0, sht ) ' , ' 1 34 Vậy đường cong kiểu thời gian nằm giả cầu S12 (0, 1) + T ' (cht , 0, sht ) T ' '' ( sht , 0, cht ) T' N T' ( sht , 0, cht ) T' + B T N B (0, 1, 0) Khi đường cong pháp có dạng aN bB , a, b hàm khả vi t Ngoài cách chứng minh tương tự ví dụ tìm a, b chứng minh đường cong pháp , T Ta có: (sht, 0, cht ) , T ' (cht , 0, sht ) , T chtsht chtsht Vậy đường cong pháp kiểu thời gian nằm giả cầu S12 (0, 1) 4.3 Ví dụ Trong khơng gian Lorentz – Minkowski E13 cho đường cong (t ) ( 0; cos t; sin t ) Tính tốn tương tự hai ví dụ ta ( 0; cos t; sin t ) đường cong pháp kiểu không gian nằm giả cầu S12 (0; 1) 4.4 Ví dụ Trong khơng gian Lorentz – Minkowski E13 cho đường cong t r t r (t ) (rch ; 0; rsh ) , r t r t r Ta có: , r 2ch2 r sh2 r H 02 (0, r ) t r t r + ' ( sh , 0, ch ) ' , ' ' Vậy đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị nằm giả hyperbolic H 02 (0, r ) 35 t r t r + T ' (sh , 0, ch ) t t T ' '' ( ch , 0, sh ) T ' r r r r r N T ', T ' T ' kiểu thời gian r T' t t (ch , 0, sh ) ' r r T + B T N B (0, 1, 0) Để chứng minh thuộc không gian pháp tức ta cần chứng minh biểu diễn qua N, B Giả sử tồn a, b cho aN bB , a, b hàm khả vi t Khi ta có: t r t r aN bB a(ch , 0, sh ) b(0, 1, 0) t t t t (rch , 0, rsh ) (ach , b, ash ) r r r r a r b rN Vậy đường cong pháp kiểu không gian nằm H 02 (0, r ) 36 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt số kết sau: Trình bày kiến thức sở khái niệm đặc trưng khơng gian Lorentz – Minkowski chiều Trình bày cách xây dựng trường mục tiêu Fretnet, độ cong, độ xoắn ứng với loại đường cong Nghiên cứu trình bày số đặc trưng đường cong pháp kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, kiểu không gian Lorentz - Minkowski chiều Lấy số ví dụ minh họa cho đường cong pháp 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (2008), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Hữu Quang, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục [3] Phạm Thị Hiền (2013), Về tính kiểu khơng gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng đường cong không gian Lorentz – Minkowski, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [4] Rafael Lo’pez (2008), Differential Geometry of Curves anh Surface in Lorentz – Minkowski space, University of Sao Paulo, Braszil [5] Kazim Ilarslan and Emilija Nesovic’ (2004), Timelike and Null Normal Curves in Minkowski Space E13 Indian J pure appl Math., 35(7): 881-888, July 2004 [6] Kazim Ilarslan (2005), Spacelike Normal Curves in Minkowski Space E13 Turk J Math, 29 (2005), 53 – 63 © TUBITAK [7] Petrovi’c – Torgasev, M and Sucurovi’c, E: “Some characterizations of Lorentzian spherical spacelike curves with the timelike and null principal normal”, Mathematicki Vesnik, 4, 2000, 83 – 92 [8] John G Ratliffe (1994), “Foundations of Hyperbolic Manifolds Graduate Text in Mathematics” 149, Springe, New York 38 39 ... Đƣờng cong pháp không gian Minkowski E 13 Trong chương tơi trình bày định nghĩa, số đặc trưng ví dụ đường cong pháp không gian Minkowski E 13 kiểu đường cong pháp: đường cong pháp kiểu thời gian, đường. .. ứng không gian mật tiếp, không gian trực đạc không gian pháp dạng Một đường cong mà vectơ vị trí ln nằm khơng gian tương ứng gọi đường cong mật tiếp, đường cong trực đạc đường cong pháp không. .. chất đường cong khơng gian Lorentz – Minkowski 10 2 .3 Độ cong độ xoắn đường cong không gian Lorentz – Minkowski 10 CHƢƠNG MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐƢỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ