Khảo sát một số tính chất của đường cong slant helix trong không gian minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN DUY DIỆN KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG CONG SLANT HELIX TRONG KHƠNG GIAN MINKOWSKI KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN LỚP 49 A TỐN Chun ngành : HÌNH HỌC Cán hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN - 2012 Mục lục Lời nói đầu KHƠNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI 1.1 Các định nghĩa 1.2 Một số tính chất 5 Đường cong không gian Lorentz – Minkowski 2.1 Cung tham số 2.1.1 Các định nghĩa ví dụ 2.1.2 Một số tính chất 2.2 Độ cong độ xoắn 2.2.1 Trường hợp đường cong có tham số hố độ dài cung tham số hoá giả độ dài cung (xem [3]) 2.2.2 Trường hợp đường cong có tham số hố 2.3 Đường xoắn ốc E13 9 10 11 Đường cong slant helix không gian Minkowski 3.1 Đường cong slant helix 3.1.1 Định nghĩa ví dụ 3.1.2 Các tính chất 3.2 Chỉ đồ đường thân khai đường slant helix 3.2.1 Các định nghĩa 3.2.2 Các tính chất (Xem [6]) E13 11 14 15 17 17 17 18 22 23 23 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 Lời nói đầu Lý thuyết đường khơng gian Euclide trình bày nhiều giáo trình hình học vi phân cổ điển Trong khơng gian Euclide, đường xoắn ốc đường cong tiếp tuyến điểm tạo góc khơng đổi với phương cố định Phương gọi trục đường xoắn ốc Năm 1802, nhà toán học Lancret rằng: Một đường cong đường xoắn ốc tỉ số τ /κ hàm hằng, với τ κ tương ứng Chẳng hạn đường cong phẳng đường xoắn ốc Một đường xoắn ốc có độ cong độ xoắn không đổi gọi đường xoắn ốc trụ Năm 2004, hai nhà toán học Izumiya Takeuchi nghiên cứu đường cong mới, đặt tên slant helix, đường cong pháp tuyến điểm tạo góc khơng đổi với phương cố định Khơng gian Minkowski có ứng dụng rộng rãi vật lý học đại, đặc biệt lý thuyết tương đối Lý thuyết đường cong nghiên cứu nhiều không gian Minkowski Trong tài liệu có trình bày đường slant helix khơng gian Minkowski chiều (E14 ), nhiên, có tài liệu trình bày tính chất đường cong không gian chiều (E13 ) Trong tài liệu [4], hai tác giả A T Ali, Rafael López có trình bày số kết tính chất đường cong slant helix không gian E13 , chưa chi tiết Do chúng tơi lựa chọn đề tài: " Khảo sát số tính chất đường cong slant helix không gian Minkowski E13 " Trong khố luận này, chúng tơi trình bày kết mở rộng khái niệm đường cong slant helix tính chất khơng gian Minkowski ba chiều (E13 ) Cụ thể khoá luận chia thành chương: Chương 1: Không gian Lorentz - Minkowski E31 Để thuận tiện cho việc trình bày mục sau, chương trình bày số khái niệm tính chất khơng gian Lorentz - Minkowski mà khơng trình bày chứng minh chi tiết Chương 2: Đường cong không gian Lorentz - Minkowski E31 Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất lý thuyết đường cong khơng gian Lorentz- Minkowski bao gồm: cung tham số, độ cong, độ xoắn đường xoắn ốc (helix) Đây kiến thức cần thiết phục vụ cho chương Một số tính chất, định lý mục chúng tơi có trình bày chứng minh, có số mệnh đề nêu không chứng minh Các chứng minh chi tiết mệnh đề, định lý hai chương tham khảo tài liệu [3] Chương 3: Đường cong slant helix không gian Lorentz Minkowski E31 Đây nội dung khố luận, chương trình bày định nghĩa số tính chất của đường slant helix không gian Lorentz - Minkowski Chương trình bày số hướng nghiên cứu đường cong slant helix thơng qua đồ đường thân khai Khố luận thực hồn thành hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo - tiến sĩ Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô giáo khoa bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến suốt q trình tơi thực khố luận Nghệ An, tháng năm 2012 Nguyễn Duy Diện Chương KHÔNG GIAN LORENTZMINKOWSKI 1.1 Các định nghĩa Cho R3 không gian véctơ thực với cấu trúc thông thường Gọi B = {E1 , E2 , E3 } sở thông thường, với E1 = (1, 0, 0), E2 = (1, 0, 0), E3 = (1, 0, 0) Định nghĩa 1.1.1 Cho E không gian véctơ sinh tích vơ hướng: u, v = u1 v1 + u2 v2 − u3 v3 , với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) Khi E gọi không gian Lorentz - Minkowski Ký hiệu E13 Tích vơ hướng , gọi tích vơ hướng Lorentz – Minkowski Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski khơng gian Minkowski tích vơ hướng , gọi tích vơ hướng Minkowski Định nghĩa 1.1.2 Cho véctơ v ∈ E13 (i) v gọi véctơ kiểu không gian v, v > v=0 (ii) v gọi véctơ kiểu thời gian v, v < (iii) v gọi véctơ kiểu ánh sáng v, v = v = Nhận xét: véctơ v = có v, v = xét véctơ kiểu khơng gian Ví dụ 1.1.1 Véctơ E1 E2 véctơ kiểu không gian E1 , E1 = > E2 , E2 > Véctơ E3 véctơ kiểu thời gian E1 , E1 = > Véctơ E1 + E2 véctơ kiểu ánh sáng E1 + E2 , E1 + E2 = Định nghĩa 1.1.3 Cho E13 khơng gian Minkowski với tích vô hướng U không gian véctơ E13 Ta xét tích vơ hướng cảm sinh: u, v U = u, v Khi đó, U gọi không gian kiểu không gian tích vơ hướng cảm sinh xác định dương ( u, u > 0, ∀u ∈ U ) U gọi khơng gian kiểu thời gian tích vơ hướng cảm sinh xác định âm ( u, u < 0, ∀u ∈ U ) U gọi khơng gian kiểu ánh sáng tích vơ hướng cảm sinh thoả mãn: ( u, u = 0, ∀u ∈ U Định nghĩa 1.1.4 Cho véctơ u ∈ E13 Khi số | u, u | gọi mô đun hay chuẩn véctơ u Ký hiệu |u| Nếu |u| = u gọi véctơ đơn vị Định nghĩa 1.1.5 Cho u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ E13 Khi đó, tích Lorentz hai véctơ u v véctơ ký hiệu u × v thoả mãn: u1 u1 u3 (u × v, w) = det(u, v, w) = v1 v1 v3 , ∀w = (w1 , w2 , w3 ) ∈ E13 w1 w w3 Toạ độ tích Lorentz tính sau: u×v = 1.2 u2 u3 u3 u1 u1 u2 , , − v2 v3 v3 v1 v1 v2 Một số tính chất Định lý 1.2.1 (xem [3]) Ta có mệnh đề sau: Cho v ∈ E13 Khi đó, v véctơ kiểu thời gian < v >⊥ không gian kiểu không gian E13 =< v > ⊕ < v >⊥ Đối với véctơ kiểu không gian, ta có: v véctơ kiểu khơng gian < v >⊥ không gian kiểu thời gian U không gian E Khi đó, U kiểu khơng gian U ⊥ kiểu thời gian, U kiểu ánh sáng U ⊥ kiểu ánh sáng Chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [3] Định lý 1.2.2 (Xem [3]) Ta có mệnh đề sau: Cho u v hai véctơ kiểu ánh sáng Khi đó, v v phụ thuộc tuyến tính u, v = Nếu u v véctơ khác kiểu không gian cho u, v = chúng véctơ kiểu ánh sáng Nếu U không gian kiểu ánh sáng, dim(U ∩ U ⊥ ) = Chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [3] Định lý 1.2.3 (xem [3]) Cho U khơng gian hai chiều E13 Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) U không gian kiểu thời gian (ii) U chứa hai véctơ kiểu ánh sáng độc lập tuyến tính (iii) U chứa véctơ kiểu thời gian Chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [3] Định lý 1.2.4 (xem [3]) Cho U không gian hai chiều E13 Khi đó, mệnh đề sau tương đương: (i) U không gian kiểu ánh sáng (ii) U chứa véctơ kiểu ánh sáng không chứa véctơ kiểu thời gian Chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [3] Mệnh đề 1.2.1 (xem [3]) Sử dụng biểu thức toạ độ tích Lorentz, ta chứng minh tính chất sau: u × v = v × u u × v vng góc với u, v u × v = u, v tỉ lệ Chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [3] Trong không gian E3 , ta có cơng thức mối liên hệ tích có hướng tích vơ hướng sau: ux uy (u × v)(x × y) = vx vy Câu hỏi đặt liệu không gian Minkowski, mối liên hệ tích Lorentz tích vơ hướng có cịn hay không? Chúng ta xây dựng công thức biểu thị mối liên hệ Giả sử u(u1 , u2 , u3 ), v(v1 , v2 , v3 ), x(x1 , x2 , x3 ), y(y1 , y2 , y3 ) ∈ E13 Ta có: v = u2 u3 u3 u1 u1 u2 v2 v3 , v3 v1 , − v1 v2 , x×y = x2 x3 x3 x1 x1 x2 , , − y2 y3 y3 y y1 y2 Từ suy ra: (u × v)(x × y) = (u2 v3 − u3 v2 )(x2 y3 − x3 y2 ) + (u3 v1 − u1 v3 )(x3 y1 − x1 y3 ) +(u1 v2 − u2 v1 )(x1 y2 − x2 y1 ) (1.1) Mặt khác u1 x1 + u2 x2 − u3 x3 u1 y1 + u2 y2 − u3 y3 ux uy = vx vy v1 x1 + v2 x2 − v3 x3 v1 y1 + v2 y2 − v3 y3 = (u1 x1 + u2 x2 − u3 x3 )(v1 y1 + v2 y2 − v3 y3 ) −(u1 y1 + u2 y2 − u3 y3 )(v1 x1 + v2 x2 − v3 x3 ) (1.2) ux uy Từ (1.1) (1.2) ta có: (u × v)(x × y) = − vx vy Ta phát biểu kết thành mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.2 Cho u,v , x, y ∈ E13 Khi đó, mối liên hệ tích Lorentz tích vơ hướng Lorentz - Minkowski thể qua cơng thức sau: ux uy (u × v)(x × y) = − vx vy Chương Đường cong không gian Lorentz – Minkowski Chúng ta nhắc lại khái niệm: Một đường cong ánh xạ khả vi α : I → R3 , với I khoảng mở R Trong chương ta xét I khoảng mở chứa 2.1 2.1.1 Cung tham số Các định nghĩa ví dụ Định nghĩa 2.1.1 Cho α đường cong E13 Ta nói α đường cong kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) t véctơ α (t) véctơ kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) Đường cong α gọi đường cong kiểu khơng gian đường cong kiểu không gian điểm Nhận xét: Một đường cong α E13 với t ∈ I , α (t) kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, tính chất khơng tồn khoảng I Ví dụ 2.1.1 Xét đường cong α cho tham số hoá: α(t) = (cosh(t), t2 , sinh(t)) Khi đó, α (t), α (t) = 4t2 − Do đó, đường cong kiểu khơng gian khoảng (−∞, − 21 ), kiểu thời gian khoảng (− 12 , 12 ) kiểu ánh sáng − 21 12 Định nghĩa 2.1.2 Cho α đường cong E13 xác định khoảng I Khi α gọi quy to ∈ I α (t) = Nếu α quy điểm t ∈ I α gọi quy 2.1.2 Một số tính chất Mệnh đề 2.1.1 ( Xem [3]) Mọi đường cong kiểu thời gian kiểu ánh sáng quy Chứng minh Giả sử đường cong α kiểu thời gian Ta viết α(t) = (x(t), y(t), z(t)), hàm x, y z hàm khả vi theo t Ta có: α (t), α (t) = x (t)2 + y (t)2 − z (t)2 < 0, suy z (t) = z (t) = α khơng phải kiểu thời gian Từ suy α quy Trong trường hợp α kiểu ánh sáng, giả sử z (t) = 0, suy x (t) = y (t) = α (t) = Khi α kiểu không gian Mâu thuẫn, z (t) = Từ suy α quy Kể từ giờ, ta giả thiết đường cong quy Mệnh đề 2.1.2 (xem [3]) Cho α đường cong kiểu không gian thời gian Khi đó, tồn tham số hố α cho |β (t)| = Ta gọi tham số hoá tham số hoá độ dài cung Chứng minh Ta chứng minh trường hợp đường cong kiểu thời gian Giả sử α(t) tham số hoá α Đặt t λ(t) = − α (u), α (u) du a Khi đó, λ ≥ Hơn nữa, λ hàm đơn điệu tăng, λ (t) = α (t), α (t) > 0, ∀t, λ vi phôi Đặt β(s) = α ◦ λ−1 (s) Ta chứng minh β tham số hoá độ dài cung β Thật vậy: 1 |β (s)| = |(α ◦ λ−1 (s)) | = |αλ−1 ◦ (λ−1 )s | = |αt | = |α (t)| = 1, ∀s λ1 λt Mệnh đề 2.1.3 (xem [3]) Cho α đường cong kiểu ánh sáng E13 Khi đó, tồn tham số hố α cho β(s) = α(φ(s)) cho |β (s)| = Ta gọi tham số hoá tham số hoá giả độ dài cung Chứng minh Ta viết: β(s) = α(φ(s)) Đạo hàm hai lần vế ta có: β (s) = α (t)φ (s)2 + α (t)φ (s) 10 Ta định nghĩa hàm độ cong α là: κ = | T’(s) | Khi đó, tương tự trường hợp trên, ta định nghĩa: T (s) B(s) = T(s) × N(s) κ(s) N (s) = Ta định nghĩa hàm độ xoắn: τ (s) = − N (s), B(s) Chứng minh tương tự trường hợp α đường cong kiểu thời gian, ta có phương trình Frenet: T N B = T N B κ −κ τ τ (2.4) b Trường hợp véctơ T (s) kiểu thời gian Ta định nghĩa hàm độ cong α là: − T (s), T(s) κ = |T (s)| = Khi đó, tương tự mục trường hợp trên, ta định nghĩa: N (s) = T (s) B(s) = T(s) × N(s) κ(s) Ta định nghĩa hàm độ xoắn: τ (s) = N (s), B(s) Véctơ trùng pháp tuyến định nghĩa tương tự mục trên: B(s) = T(s) × N(s) Dễ thấy véctơ véctơ kiểu khơng gian Từ ta lập phương trình Frenet: T N B = κ κ τ τ T N B (2.5) c Trường hợp véctơ T (s) kiểu ánh sáng với s Ta định nghĩa véctơ pháp tuyến N(s) = T (s), độc lập tuyến tính với T(s) Khi đó, với điểm s cho trước, tồn véctơ kiểu ánh sáng B(s) cho: T(s), B(s) = vng góc với N(s) Véctơ B(s) gọi véctơ trùng pháp tuyến α s Phương trình Frenet: T N B = 0 τ −1 −τ 13 T N B (2.6) Trong đó, τ gọi độ xoắn α Ở ta không định nghĩa độ cong α Trường hợp đường cong kiểu ánh sáng Cho α đường cong kiểu ánh sáng tham số hoá tham số hoá giả độ dài cung, nghĩa véctơ α (s) véctơ đơn vị Giả sử véctơ thời gian kiểu ánh sáng, đó, α (s) kiểu ánh sáng α (s), α (s) = 0, trái với giả thiết α (s) véctơ đơn vịnên theo định lý 1.2.2, α (s) phải kiểu ánh sáng, hay α (s) véctơ đơn vị Do đó, α (s) kiểu không gian Ta xét véctơ T(s) = α (s) định nghĩa véctơ pháp tuyến N(s) = T (s) = Khi đó, tồn véctơ kiểu ánh sáng vng góc với N(s) cho T(s), B(s) = Thật vậy, giả sử T = (a1 , a2 , a3 ) Do phép biến đổi Lorent bảo tồn tính chất véctơ khơng tính tổng qt, giả sử N = (1, 0, 0) Giả sử toạ độ véctơ B = (x, y, z) Theo giả thiết ta có: T, T T, N B, B N, B T, B = = = = = 0 Do T, T = 0 1 ,− ) 2α2 2α3 Mặt khác, hệ {T, N, B} độc lập tuyến tính Thật vậy, xét định thức: Giải hệ trên, ta được: B = (0, − T, T N, T B, T T, N N, N B, N T, B N, B B, B 0 = =1 0 Do đó, hệ {T, N, B} lập thành mục tiêu Khi đó, phép vi phân, ta xây dựng phương trình Frenet sau: T N B = τ −1 −τ T N B (2.7) Trong đó, τ gọi độ xoắn α Ở ta không định nghĩa độ cong α 2.2.2 Trường hợp đường cong có tham số hố Ở mục định nghĩa độ cong độ xoắn đường cong có vận tốc đơn vị Tuy nhiên, lúc dễ dàng tìm 14 tham số hố để đường cong có vận tốc đơn vị Do đó, cần có cơng thức tính độ cong độ xoắn cho đường cong có tham số hố Mệnh đề 2.2.1 Cho α : I → E13 đường cong kiểu thời gian kiểu không gian khơng gian Minkowski E13 có tham số hố α(t) Khi đó, độ cong độ xoắn α là: |α (t) × α (t)| |α (t)|3 (2.8) det(α (t), α (t), α (t)) |α (t) × α (t)|2 (2.9) κα (t) = τα (t) = Chứng minh Giả sử r : s −→ r(s) tham số hố tự nhiên α Ta có: α(t) = r.λ(t) (với λ(t) = s) α (t) = rλ λt = λ (t).T α (t) = λ (t).T + λ (t).Tt = λ (t).T + λ (t).λ (t).T = λ (t).T + κ.λ (t)2 N Ta có: α × α = (λ T) × (λ T + κλ N) = κ.λ T × N = κ.λ B Từ suy ra:|α × α | = κ|α | ⇒ κ = |α × α | |α (t) × α (t)| = |λ | |α(t) | Công thức (2.9) chứng minh tương tự 2.3 Đường xoắn ốc E13 Trong không gian Euclide, đường xoắn ốc đường cong tiếp tuyến điểm tạo góc khơng đổi với phương cố định Phương gọi trục đường xoắn ốc Năm 1802, nhà toán học Lancret rằng: Một đường cong đường xoắn ốc tỉ số τ /κ hàm Chẳng hạn đường cong phẳng đường xoắn ốc Một đường xoắn ốc có độ cong độ xoắn không đổi gọi đường xoắn ốc trụ Chúng ta mở rộng khái niệm cho không gian Minkowski Tuy nhiên không gian Minkowski khơng định nghĩa góc véctơ, thay vào ta xét hàm số T, v , với v phương cố định Ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.3.1 Cho α đường cong quy v = véctơ có phương khơng đổi E13 Gọi T(s) véctơ tiếp tuyến α 15 s Nếu T(s), v hàm α gọi đường xoắn ốc Mọi đường thẳng có phương song song với phương v gọi trục đường xoắn ốc Ta giả thiết đường cong không phẳng Định lý 2.3.1 (xem [3]) Cho α đường cong kiểu không gian kiểu khơng gian E13 Khi đó: Nếu α đường xoắn ốc hàm τ /κ hàm Nếu α có véctơ pháp tuyến kiểu không gian kiểu ánh sáng hàm τ /κ hàm α đường xoắn ốc Chứng minh Xét trường hợp: • Trường hợp α đường cong kiểu khơng gian Khi đó, có ba khả véctơ T - T véctơ kiểu không gian Đạo hàm hai vế biểu thức T, v = c, ta có: T , v = 0, ta có: κ T, v = Suy κ T, v = Khi đó, tồn hàm a, b cho v = aT + bB Đạo hàm hai vế theo tham số s ta có: a.T + b.B = Mặt khác, theo cơng thức (2.4) ta có: T = κN B = τ N Do ta suy ra: aκ + bτ = Ta có điều phải chứng minh - T véctơ kiểu thời gian Chứng minh hoàn toàn tương tự - T véctơ kiểu ánh sáng Đạo hàm hai vế biểu thức T, v = c, ta có: T , v = 0, ta có: κ T, v = Suy κ T, v = Khi đó, tồn hàm số a, b cho v = aT+bB Đạo hàm hai vế theo tham số s ta có: a.T +b.B = Mặt khác, theo công thức (2.6) ta có: T = N B = −T − τ B Do ta suy ra: (a − b)T + aN + (b − τ b)B = Điều kéo theo a = b = 0, từ ta có v = (mâu thuẫn) • Trường hợp α đường cong kiểu thời gian hoàn toàn tương tự với khả thứ trường hợp (cả α T kiểu không gian) Giả sử τ = cκ, c ∈ R Ta xét trường hợp đường cong kiểu thời gian Ta định nghĩa hàm véctơ cho công thức: v(s) = cT(s) + B(s) Đạo hàm hai vế theo s ta có: v (s) = cT (s) + B (s) = cκN(s) − τ N(s) = Nghĩa v hàm Mặt khác: T, v = c, theo định nghĩa ta có α đường xoắn ốc 16 Chương Đường cong slant helix không gian Minkowski E13 Ở chương trước biết đường xoắn ốc (helix) đường cong tiếp tuyến điểm tạo góc khơng đổi với phương cố định Gần đây, người ta nghiên cứu đường cong không gian Euclide tương tự đường xoắn ốc trên, đường cong slant helix Đó đường cong có pháp tuyến điểm tạo góc khơng đổi với phương cố định Chúng ta mở rộng khái niệm cho không gian Minkowski E13 khảo sát số tính chất 3.1 Đường cong slant helix 3.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 3.1.1 Cho α đường cong có vận tốc đơn vị Khi đó, α gọi slant helix tồn trường véctơ U ∈ E13 cho hàm N(s), U hàm Ví dụ 3.1.1 s s s Đường xoắn ốc α(s) = (a , b sinh , b cosh ), s ∈ R, a > 0, a = với c c c 2 c = a + b slant helix s b s a b Chứng minh Thật vậy, ta có: α (s) = ( , cosh , sinh ) Đó c c c c c toạ độ trường véctơ tiếp tuyến T Từ ta tính toạ độ trường véctơ pháp tuyến: N(s) = α (s) b s b s = (0, sinh , cosh ) |α (s)| c c c c Chọn U = (1, 0, 0), ta có: N(s), U = hàm với s 17 3.1.2 Các tính chất Định lý 3.1.1 (xem [4]) Cho α đường cong kiểu thời gian có vận tốc đơn vị Khi đó, α đường cong slant helix hai hàm số: τ κ2 (τ − κ2 )3/2 κ κ2 τ (κ2 − τ )3/2 κ (3.1) số điểm mà κ2 − τ không triệt tiêu Chứng minh Cho α đường cong kiểu thời gian E13 Trường mục tiêu Frenet {T, N, B} α cho bởi: T(s) = α (s), N(s) = α (s) , |α (s)| , B(s) = T(s) × N(s) Khi đó, phương trình Frenet là: T (s) N (s) B (s) κ(s) −κ(s) τ (s) τ (s) = T(s) N(s) B(s) (3.2) κ τ độ cong độ xoắn α Để chứng minh định lý 3.1.1, trước hết ta giả sử α đường cong Slant helix Cho U trường véctơ cho hàm N(s), U = c hàm với s Khi đó, tồn hàm khả vi a1 a3 cho: U = a1 (s)T(s) + cN(s) + a3 (s)B(s), s ∈ I (3.3) Do U véctơ hằng, đạo hàm phương trình (3.3), ta có: a1 + c.κ = κa1 − τ a3 = =0 a3 + cκ Từ phương trình thứ hệ (3.4) ta rút: τ a1 = a3 κ (3.4) (3.5) Mặt khác: U, U = −a21 + c2 + a23 = contant Kết hợp (3.5) (3.6) ta có: m2 := a31 τ κ − , m > 0, ∈ {−1, 0, 1} 18 (3.6) Nếu = a3 từ (3.4) ta có: a1 = c = 0, nghĩa U = Do đó, = −1 τ − κ2 = Do vậy: m m I a3 = ± a3 = ± τ τ −1 1− κ κ Từ phương trình thứ (3.4) ta có:    d  ± ds m 1− τ κ   = cτ d  ± ds =1  m τ κ −1   = −cτ I Do ta viết: τ κ2 (τ − κ2 )3/2 κ c =± m κ2 τ (κ2 − τ )3/2 κ = c m Từ ta biểu thức (3.1) chứng minh Ngược lại, giả sử (3.1) thoả mãn Bằng tính tốn đơn giản, ta giả sử hàm công thức (3.1) hàm hằng, gọi c Ta định nghĩa: τ κ U=√ T + cN + √ B (3.7) τ − κ2 τ − κ2 Đạo hàm hai vế (3.7), ta có: τ dU −κ3 = ds (τ − κ2 )3/2 κ τ τ τ.κ2 T+ √ T +cN + (τ − κ2 )3/2 κ τ − κ2 B+ √ κ B τ − κ2 Áp dụng phương trình Frenet (2.3) ta có: τ −κ3 dU = ds (τ − κ2 )3/2 κ T + √ τ.κ2 τ + (τ − κ2 )3/2 κ τ κN + c.κT + c.τ B τ − κ2 κ τN = τ − κ2 Từ suy U hàm Mặt khác, N(s), U = 1, theo định nghĩa ta có α slant helix Định lý chứng minh .B − √ Nhận xét: Trong định lý 3.1.1, ta cần giả thiết hàm τ − κ2 không triệt tiêu điểm Ta kết triệt tiêu vài điểm Giả sử đường cong kiểu ánh sáng α có độ cong κ độ xoắn τ thoả mãn τ (s) − κ2 (s) = s ∈ I Ta chứng minh α đường cong slant helix Thật vậy, ta định nghĩa U = T(s) + B(s), U hàm số (3.2) Mặt khác, N, U = 0, nghĩa α đường cong slant helix 19 Định lý 3.1.2 (xem [4]) Cho α đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị E13 Nếu véctơ pháp tuyến α véctơ kiểu không gian, đó, α đường cong slant helix hai hàm sau: κ2 τ 2 3/2 κ (τ − κ ) κ2 τ 2 3/2 κ (κ − τ ) (3.8) số điểm mà κ2 − τ không triệt tiêu Nếu véctơ pháp tuyến α véctơ kiểu thời gian, đó, α đường cong slant helix hàm: κ2 τ (τ + κ2 )3/2 κ (3.9) số Nếu véctơ pháp tuyến α véctơ kiểu ánh sáng, đó, α đường cong slant helix Chứng minh Cho α đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị E13 Trong trường hợp véctơ N(s) α véctơ kiểu không gian kiểu thời gian, chứng minh định lý 3.1.2 hoàn toàn tương tự chứng minh định lý 3.1.1 Trong trường hợp véctơ N(s) α véctơ kiểu sáng với s ∈ I Khi đó, trường mục tiêu Frenet là: T(s) = α (s), N(s) = T (s) B(s) véctơ kiểu ánh sáng vng góc với T(s) cho N(s), B(s) = Khi đó, phương trình Frenet α là: T (s) T(s) τ (s) N (s) = N(s) (3.10) −1 −τ (s) B (s) B(s) với τ độ xoắn α Ta đường cong slant helix Cho α2 (s) nghiệm khơng tầm thường phương trình y (s) + τ (s).y(s) = Ta định nghĩa hàm U = α2 (s)N(s) Đạo hàm hai vế Sử dụng phương trình Frenet (3.10), ta được: dUds(s) = 0, nghĩa U trường véctơ E13 Mặt khác: N(s), U = α2 (s) N(s), N = 0, điều α slant helix Định lý 3.1.3 (xem [4]) Cho α đường cong kiểu ánh sáng có vận tốc đơn vị E13 Khi đó, α đường cong slant helix hàm độ xoắn α thoả mãn: a τ (s) = , (3.11) (bs + c)2 20 a, b c số, với bs + c = Chứng minh Cho α đường cong kiểu ánh sáng có vận tốc đơn vị E13 T(s) = α (s), N(s) = T (s) B(s) véctơ kiểu ánh sáng vng góc với T(s) cho T(s), B(s) = Khi đó, phương trình Frenet α là: T (s) N (s) B (s) = τ (s) 0 −τ (s) T(s) N(s) B(s) (3.12) với τ độ xoắn α Giả thiết α có độ xoắn khác khơng điểm Giả sử α đường cong slant helix Cho U là trường véctơ cho hàm N(s), U = c hàm Tương tự chứng minh định lý 3.1.1, ta có: U = a1 (s)T(s) + cN(s) + a3 (s)T(s), s ∈ I a1 + c.τ = κa1 − τ a3 = a3 − c = (3.13) Từ phương trình thứ ba (3.13) ta suy ra: a3 (s) = cs + m, m ∈ R a1 = (cs + m)τ Sử dụng phương trình thứ (3.13), ta có: (cs + m)τ + 2cτ = Giải hệ phương trình vi phân ta được: n τ (s) = (cs + m)2 với m n số Nghĩa (3.11) chứng minh Ngược lại, điều kiện (3.11) thoả mãn, ta xét: a U= T(s) + bN(s) + (bs + c)B(s) bs + c dU (s) = nghĩa U ds trường véctơ E13 Mặt khác, N(s), U = b Vậy, α slant helix Sử dụng phương trình Frenet (3.12), ta có Nhận xét 3.1.1 Chứng minh cho ta cách xác định trục đường slant helix thông qua trường mục tiêu Frenet: a U= T(s) + bN(s) + (bs + c)B(s) bs + c Hệ 3.1.1 Cho α : I → E13 đường cong có vận tốc đơn vị Cho α đường cong kiểu không gian kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến 21 véctơ kiểu không gian κ2 − τ = Gọi β đường cong phẳng định nghĩa sau: β : I → E12 với β(s) = κds, τ ds Khi đó, α đường cong slant helix β đường cong phẳng có độ cong số Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả sử κ2 > τ Khi đó, độ cong β κβ thoả mãn: −κ2β (s) = 2 |β (s)| |β (s)| − β (s), β (s) |β (s)| (3.14) Từ giả thiết ta có: β (s) = (κ, τ ), suy ra: β (s) = (κ , τ ) Sử dụng tích Lorent khơng gian E12 , ta có kết sau: 2 |β (s)| = | β (s), β (s) | = κ2 −τ , |β (s)| = κ −τ , β (s), β (s) = (κκ −τ τ )2 Thay vào (3.14) ta có: κ2 τ κβ (s) = ± (κ − τ )3/2 κ (3.15) Khi đó, theo định lý 3.1.1, hàm độ cong κβ hàm α đường slant helix Chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp β đường cong phẳng không gian Euclide E , ta có hệ sau: Hệ 3.1.2 Cho α : I → E13 đường cong kiểu khơng gian có vận tốc đơn vị với véctơ pháp tuyến véctơ kiểu thời gian κ2 − τ = Gọi β đường cong phẳng định nghĩa sau: β : I → E2 với β(s) = κds, τ ds Khi đó, α đường cong slant helix β đường tròn phẳng Euclide E2 3.2 Chỉ đồ đường thân khai đường slant helix Trong mục này, ta nghiên cứu tính chất đường slant helix thông qua đồ đường thân khai chúng Ở ta xét đường cong kiểu không gian đường cong kiểu thời gian có véctơ pháp tuyến véctơ kiểu thời gian kiểu không gian 22 3.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.2.1 Cho α : I → E13 đường cong có vận tốc đơn vị Gọi T : I → E13 đường cong E13 cho T(s) véctơ tiếp tuyến α s Khi đó, T gọi đồ tiếp xúc α Định nghĩa 3.2.2 Cho α : I → E13 đường cong có vận tốc đơn vị Gọi N : I → E13 đường cong E13 cho N(s) véctơ pháp tuyến α s Khi đó, N gọi đồ pháp tuyến α Định nghĩa 3.2.3 Cho α : I → E13 đường cong có vận tốc đơn vị Gọi B : I → E13 đường cong E13 cho B(s) véctơ trùng pháp tuyến α s Khi đó, B gọi đồ trùng pháp tuyến α Định nghĩa 3.2.4 Ký hiệu H2 = {x ∈ E13 ; x, x = −1} mặt Hyperbolic S2 = {x ∈ E13 ; x, x = 1} mặt De Sitter Khi đó, ảnh đường cong lên H2 S2 gọi đồ cầu đường cong Định nghĩa 3.2.5 Cho α : I → E13 đường cong Ta gọi đường thân khai α đường cong β : I → E13 thoả mãn: với s ∈ I , điểm β(s) nằm đường tiếp tuyến α s α (s), β (s) = Nhận xét 3.2.1 Nếu α đường cong kiểu không gian kiểu thời gian, đó, phương trình đường thân khai β(s) = α(s) + (c − s)T(s), c số T véctơ tiếp tuyến đơn vị α 3.2.2 Các tính chất (Xem [4]) Định lý 3.2.1 Cho α đường cong có vận tốc đơn vị kiểu không gian kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến véctơ kiểu không gian kiểu thời gian Khi đó, α slant helix E13 đồ tiếp xúc T α đường xoắn ốc Chứng minh Ta ký hiệu độ cong độ xoắn T κT τT Để chứng minh T đường xoắn ốc E13 , ta chứng minh tỉ số τT /κT hàm Ta nhận thấy tham số hoá T khơng phải tham số hố độ dài cung Trong trường hợp tổng quát, đường cong β(t) tham số hố khơng phải tham số hố độ dài cung cơng thức tính độ cong độ xoắn là: κ2β (t) |β (t)|2 |β (t)|2 − β (t), β (t) det(β (t), β (t), β (t)) = , τ (t) = − , β |β (t)|6 κβ (t)2 |β (t)|6 Trong đó, -1 ứng với trường hợp β (t) véctơ kiểu không gian kiểu thời gian 23 Giả thiết α đường cong với véctơ pháp tuyến N kiểu không gian kiểu thời gian Ký hiệu = 1-1 tương ứng với trường hợp N kiểu khơng gian kiểu thời gian Khi đó, dồ tiếp tuyến T đường cong kiểu không gian kiểu thời gian Trong hai trường hợp: τ κ τ κ2T = κ2 − τ , det (T , T , T ) = κ5 , τT = κ κ κ κ − 0τ Trong trường hợp α đường cong kiểu thời gian, T kiểu khơng gian và: τ κ τ , τT = κ κ2T = − κ2 − τ , det (T , T , T ) = −κ5 κ κ κ −τ Từ ta có: τ τ κ2 κ2 τT τ T κ κ = = , 3/2 2 κT κ T (κ − τ ) (τ − κ2 )3/2 Theo định lý 3.1.1 3.1.2 tỷ số κτTT số Điều nghĩa T đường xoắn ốc ta có điều phải chứng minh Định lý 3.2.2 Cho α đường cong có vận tốc đơn vị kiểu khơng gian kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến véctơ kiểu khơng gian kiểu thời gian Khi đó, α slant helix E13 đồ trùng pháp tuyến B α đường xoắn ốc (spherical helix) Chứng minh Tính tốn tương tự chứng minh định lý 3.2.1 Ta viết κβ τβ tương ứng độ cong độ xoắn đường cong B Xét trường hợp α đường cong kiểu khơng gian Khi đồ trùng pháp tuyến B đường cong kiểu không gian kiểu thời gian,tương ứng với N kiểu thời gian kiểu không gian κ2 κ2 − τ 2 τ , det(B , B , B ) = κ τ , τB = = τ2 κ τ (κ2 − τ Trong = -1 ứng với N kiểu không gian kiểu thời Nếu α kiểu thời gian, B kiểu khơng gian Ta có: κ2 − τ κ2 τ 2 τ κB = , det(B , B , B ) = κ τ , τ = B τ2 κ τ (κ2 − τ κ κ2B Do ta có: τ τB κ = δ(τ ) , κB (κ − τ )3/2 κ2 τ τB κ = δ(τ ) κB (κ − τ )3/2 κ2 24 τ , κ gian , Trong δ -1 tương ứng với khả τ dương hay âm Trong τB hai trường hợp, sử dụng công thức (3.1), (3.8) (3.9) ta có tỉ số κB số, điều chứng tỏ đồ trùng pháp tuyến B đường xoắn ốc E13 Định lý 3.2.3 Cho α đường cong có vận tốc đơn vị kiểu không gian kiểu thời gian với véctơ pháp tuyến véctơ kiểu không gian kiểu thời gian Cho β đường thân khai α Khi đó, α đường cong slant helix β đường xoắn ốc Chứng minh Ký hiệu κβ τβ tương ứng độ cong độ xoắn đường cong β Nếu α đường cong kiểu thời gian κ2β τ − κ2 = , κ2 (c − s)2 Khi đó: τβ = − τ κ (c − s) (τ − κ2 ) κ κ2 τ τβ =− κβ (τ − κ2 )3/2 κ (3.16) Nếu α đường cong kiểu không gian, đó: κ2β và: κ2 − τ κ τ = τ = β (c − s) (κ2 − τ ) κ κ2 (c − s)2 κ2 τβ τ = κβ (κ − τ )3/2 κ (3.17) Trong -1 tương ứng với véctơ N kiểu không gian thời gian Từ (3.16) (3.17) định lý 3.1.1, 3.1.2 ta có điều phải chứng minh 25 Kết luận Khoá luận đạt kết sau: Trình bày cách ngắn gọn đầy đủ kiến thức không gian Lorentz -Minkowski, xây dựng chứng minh công thức mối liên hệ tích Lorentz tích vơ hướng Lorentz - Minkowski Trình bày kết lý thuyết đường cong không gian Lorentz - Minkowski, chứng minh chi tiết mệnh đề 2.1.1, mệnh đề 2.1.2, mệnh đề 2.1.3, định lý 2.3.1 Chứng minh giải thích chi tiết cách xây dựng trường mục tiêu Frenet trường hợp đường cong có tham số hoá độ dài cung tham số hoá giả độ dài cung Chứng minh chi tiết cơng thức tính độ cong độ xoắn trường hợp đường cong kiểu thời gian có tham số hố (trong tài liệu [3] chưa chứng minh), kiểm nghiệm công thức với đường cong kiểu khơng gian Trình bày cách hệ thống kết đường cong slant helix không gian Minkowski E13 , đưa ví dụ đường cong slant helix Trình bày chi tiết chứng minh định lý đường cong slant helix không gian E13 nêu tài liệu [4] Phát biểu chứng minh hệ 3.1.1, 3.1.2 Trình bày thêm phần đồ đường thân khai đường slant helix E13 , hướng nghiên cứu mẻ đường cong không gian Minkowski Một số điều mà khoá luận chưa làm tiếp tục nghiên cứu thời gian tới: Xây dựng cơng thức tính độ xoắn đường cong kiểu ánh sáng trường hợp tham số hoá Phát triển kết khác đường cong slant helix E sang không gian Minkowski E13 Nghiên cứu đồ đường thân khai đường cong slant helix kiểu ánh sáng 26 Tài liệu tham khảo [1] Đồn Quỳnh, 2008, Hình học vi phân NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Hữu Quang - Ngơ Đình Quốc - Nguyễn Văn Bồng, 2008, Hình học vi phân NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Rafael López (2008), Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Univesity of Sao Paulo, Brazil [4] A T Ali and Rafael López (2011), Slant helix in Minkowski space E13 , Journal of the Korean Mathematical Society, 48 , No 1, pp 164 - 166 [5] Izumiya and Takeuchi, 2004, New special curves and developable surfaces Turkish J Math, 28, pp 153 - 163 27 ... kết tính chất đường cong slant helix không gian E13 , chưa chi tiết Do chúng tơi lựa chọn đề tài: " Khảo sát số tính chất đường cong slant helix không gian Minkowski E13 " Trong khố luận này,... với đường cong kiểu không gian Trình bày cách hệ thống kết đường cong slant helix không gian Minkowski E13 , đưa ví dụ đường cong slant helix Trình bày chi tiết chứng minh định lý đường cong slant. .. kiểu không gian (tương ứng: kiểu thời gian, ánh sáng) Đường cong α gọi đường cong kiểu khơng gian đường cong kiểu không gian điểm Nhận xét: Một đường cong α E13 với t ∈ I , α (t) kiểu không gian,