Một số tính chất của tập lồi trong không gian minkowski

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh trÇn anh tn mét sè tÝnh chÊt cđa tËp låi không gian MINKOWSKI Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa häc: pgs ts ph¹m ngäcbéi Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I METRIC MINKOWSKI .3 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Họ tập lồi không gian Minkowski 10 1.3 Bao lồi không gian Minkowski 14 CHƯƠNG II SỰ XẤP XỈ CÁC THỂ LỒI TRONG Ln BỞI CÁC NÓN ĐA DIỆN LỒI 25 2.1 Nón tựa 25 2.2 Điểm cực biên 27 2.3 Đa diện lồi .28 2.4 Sự xấp xỉ thể lồi 30 2.5 Vấn đề thể tích cực trị 34 2.6 Chiều rộng bề rộng: 40 KẾT LUẬN .44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .45 LỜI MỞ ĐẦU Tập lồi khái niệm tốn học có nhiều ứng dụng hình học, giải tích nhiều ngành khoa học khác Các kết tổng quan tập lồi nhà toán học Frederick A Valentine, L Klee, C.Caratheodory, H Minkowski trình bày Các cấu trúc tập lồi, quan hệ chúng, giao tập lồi, điều kiện để tập hợp trở thành tập lồi tính hội tụ dãy tập lồi nhiều tài liệu giáo trình sở đề cập đến Tuy vậy, hầu hết tập lồi tính chất nghiên cứu kỹ khơng gian Euclide, khơng gian tập lồi có nhiều tính chất thú vị Tập lồi xét không gian tổng quát không gian tuyến tính nhiên khơng gian tính chất tập lồi nghèo nàn loại khơng gian tơpơ tuyến tính, khơng gian tơpơ tuyến tính lồi địa phương, khơng gian Minkowski Khơng gian Minkowski loại khơng gian tuyến tính, tổng qt khơng gian Euclide; nghiên cứu tập lồi khơng gian Minkowski tổng qt hóa tính chất tập lồi khơng gian Euclide, mặt khác tính chất tập lồi khơng gian Minkowski phong phú tính chất chúng không gian Euclide Hiện tài liệu, đặc biệt tài liệu tiếng Việt tập lồi khơng gian Minkowski ít, luận văn nhằm mục đích tập hợp số kết nghiên cứu chủ đề Luận văn trình bày số tính chất tập lồi không gian Minkowski ứng dụng chúng Mục đích luận văn nghiên cứu tập lồi khơng gian Minkowski, nhiên có số tính chất tập lồi khơng khơng gian Minkowski mà cịn khơng gian tổng quát không gian Minkowski (như không gian tuyến tính, khơng gian tơpơ tuyến tính,…), luận văn trình bày tính chất khơng gian tổng quát Nội dung luận văn trình bày theo chương Chương Trình bày khái niệm nhằm sử dụng vào chương Nội dung chương 1, phần thứ nhất, trình bày khái niện, số tính chất khơng gian định chuẩn Phần thứ hai, trình bày khái niệm, tính chất họ tập lồi không gian Minkowski Phần thứ ba, trình bày tính chất bao lồi khơng gian Minkowski Chương Trình bày xấp xỉ thể lồi Ln nón đa diện lồi Phần thứ nhất, trình bày tính chất nón tựa Phần thứ hai, trình bày tính chất, định nghĩa, định lý điểm cực biên Phần thứ ba, trình bày khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét đa diện lồi Phần thứ tư, trình bày khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét xấp xỉ thể lồi compact đa diện lồi Phần thứ năm, trình bày số kết tính cực trị thể tích lớp tập lồi tương đương Phần thứ sáu, trình bày khái niệm, định nghĩa, định lý, nhận xét chiều rộng bề rộng Luận văn hoàn thành Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo thầy giáo PGS TS Phạm Ngọc Bội Nhân dịp hoàn thành luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo tổ Hình học giảng dạy dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh, bạn bè gia đình tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù có cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG I METRIC MINKOWSKI 1.1 Không gian định chuẩn 1.1.1 Định nghĩa Kí hiệu L khơng gian tơpơ tuyến tính (cịn gọi khơng gian vectơ) R  Nếu x  L , y  L đoạn thẳng xy nối x y tập hợp tất cảc điểm có dạng αx +βy, α +β = 1,   0,    Tập S  L gọi tập lồi, cặp điểm x  S , y  S xy  S Một tập S gọi điểm x  L , với y  S xy  S  Các tập linS   y \ x  S , x  y,int( xy)  S  Điểm x  S điểm lõi S điểm y  L, y  x, tồn điểm z  int( xy) cho xz  S Tập tất cảc điểm lõi S kí hiệu coreS  Trong khơng gian tuyến tính L, bao lồi tập S giao tất tập lồi chứa S kí hiệu coS  Bao lồi  tập xác định n + điểm x1, x2,…,xn+1 khơng gian tuyến tính L, gọi đơn hình n – chiều, phẳng có chiều nhỏ n chứa  , điểm xi, i  1, n  gọi đỉnh đơn hình   Vectơ x  L gọi tổ hợp lồi vectơ x1,x2,….,xn+1  L i  (i = 1,2,…n), n n i 1 i 1  i cho x   i xi  Ta ký hiệu  gốc (vectơ không) L 1.1.2 Định nghĩa Tập S  L, gốc  gọi bị chặn tuyến tính với đường thẳng qua  cắt S theo đoạn thẳng Giả sử S tập mở L,  mà bị chặn tuyến tính Hàm khoảng cách Minkowski p hàm giá trị thực định nghĩa sau: p  x     , với  x0  x, x0  bd S (biên S )  x0  int S ,    Nếu x  S p  x   Hàm khoảng cách Minkowski mở rộng R   với quy ước      với  từ ta có       với       1.1.3 Định nghĩa Giả sử S tập khơng gian tuyến tính L với  Hàm khoảng cách Minkowski p hàm số thực p ( theo nghĩa mở rộng ) định nghĩa L sau: x   p  x   inf r : r  0,  S  r   Nếu   coreS , p  x    1.1.4 Định lý Giả sử S  L  đường thẳng qua  cắt S tập đóng tương đối Thì S lồi hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p tương ứng với S, cộng tính nhất; có nghĩa (i) p  x  y   p  x   p  y  với x  L, y  L, (ii) p   x    p  x  với   0, x  L Chứng minh (ii) đúng, Định nghĩa hàm khoảng cách Minkowski tổng quát Ta có: x x     p( x)  inf  r :  r  0,  S   inf r : r  0,  S    p( x),   r r     Giả sử S tập lồi lấy x  L, y  L Nếu p  x    p  y    (i) Nếu p  x    p( y)   tồn số   0,   cho p ( x)   , p ( y )   Từ tính p suy x   S, y  x p      x p    ,   S Vì S tập lồi, nên ta có: x y  x  y   S           x y p        Suy p  x  y       p( x)  p( y) Vậy p  x  y   p  x   p  y  Ngược lại, giả sử hàm khoảng cách Minkowski tổng quát p thỏa mãn (i) (ii) Cho R tia, có  điểm cuối Vì giả thiết R  S đóng p  z   z  R  S Do S  x  L : p  x   1 Cho x  S , y  S , xét  x   y,     1,  0,   Lúc đó, p  x   1, p  y   nên p  x   y   p  x    p  y       Vậy  x   y  S Do S tập lồi 1.1.5 Định nghĩa Tập U không gian tôpô X gọi lân cận điểm x  X tồn tập mở V, cho x V  U  Điểm x gọi điểm tập A  X, tồn lân cận U x cho U  A Tập hợp gồm tất điểm tập A tập mở chứa A gọi phần A, kí hiệu intA  Tập B X gọi đóng X\B mở  Điểm x gọi điểm dính điểm A, lân cận U x thì: U  A   Tập hợp tất điểm dính A tập đóng chứa A gọi bao đóng A, kí hiệu A  Điểm x gọi điểm biên tập A lân cận U x U  A   X \ A   Rõ ràng biên tập A tập X\A trùng nhau, kí hiệu bdA Một tập đóng biên thuộc nó, tập mở khơng có điểm chung với biên  Tập A  X gọi thể int A    Không gian tôpô X gọi Hausdorff x  X, y  X, x  y, tồn lân cận U x V, cho U  V   1.1.6 Định nghĩa Nếu X khơng gian tuyến tính trường K tôpô  X  gọi tương thích với cấu trúc đại số X phép toán đại số X, phép cộng vectơ phép nhân vectơ với lượng vô hướng liên tục Một không gian tuyến tính K với tơpơ tương thích, gọi khơng gian tơpơ tuyến tính (cịn gọi không gian vectơ tôpô) Một không gian tôpô tuyến tính L gọi lồi địa phương, lân cận U gốc  không gian, tồn lân cận lồi V  cho V  U 1.1.7 Định nghĩa Một tập S khơng gian tơpơ tuyến tính L gọi bị chặn với lân cận N  tồn số dương  cho S   N 1.1.8 Định nghĩa Một không gian tôpô tuyến tính L gọi định chuẩn lồi địa phương chứa tập mở bị chặn khác rỗng Dễ thấy khơng gian tơpơ tuyến tính định chuẩn chứa lân cận  mở, lồi, bị chặn, tâm đối xứng  1.1.9 Định nghĩa Trong không gian định chuẩn L, đặt x  p  x , p hàm khoảng cách Minkowski xác định N Hàm gọi chuẩn L 1.1.10 Định lý Nếu Ln không gian tơpơ tuyến tính n-chiều Ln đồng phơi tuyến tính với khơng gian Euclide n-chiều En, tức tồn ánh xạ tuyến tính 1-1 liên tục hai chiều từ Ln lên En Chứng minh Giả sử (u1,u2,…,un) sở En (v1,v2,…,vn) sở của Ln Mỗi x  En , tồn số thực ci (i  1,2, , n) , cho n x   ci ui Thiết lập ánh xạ i 1 F: En  Ln , n F ( x)   ciui i 1 Ta chứng minh khẳng định sau n 1) F song ánh Giả sử F ( x)   ciui ci  di (i  1,2, , n) ui i 1 sở suy x  y Ngược lại x  y  F ( x)  F ( y) 2) F tuyến tính: n  ( c   d )u i 1 i i i n n i 1 i 1    ciui    diui Tương tự F 1 tuyến tính 3) F liên tục tổ hợp afin tích hàm liên tục 4) F-1 liên tục Ta cần chứng minh F-1 liên tục  F-1 tuyến tính Với   , giả sử E hình cầu mở đồng vị En với  tồn   (0,0, ,0) Gọi B = bd E B compact tương đối En nên tập F ( B) compact Mặt khác   F ( B) nên  lân cận U  cho U  F ( B)   ,  lân cận V  cho V  U Ta chứng minh V  F ( E ) Thật vậy, giả sử V  F ( E ) Do F ( B)  V   , ta chọn V1 V \ dF ( E ) Suy x  F 1 (V1 )  dE Điểm y  B   x điểm thuộc En ,(  x đoạn thẳng đóng có mút  , x ) Vì F tuyến tính V nên F ( y) V Mặt khác F ( y)  F ( B) V  F ( B)   Do mâu thuẫn với U  F ( B)  Suy V  F ( E ) tức F 1 (V )  E Do F 1 liên tục  1.1.11 Định lý Khơng gian tơpơ tuyến tính Ln hữu hạn chiều không gian định chuẩn Chứng minh Ta biết (theo Định lý 1.1.10), Ln đồng phơi tuyến tính với không gian Euclide En Vậy Ln lồi địa phương chứa tập mở, lồi, bị chặn Vậy Ln không gian định chuẩn 1.1.12 Định nghĩa Mêtric không gian định chuẩn L hàm , nhận giá trị thực L  L , xác định ( x, y)  ( x  y)  p( x  y) , với p hàm khoảng cách Minkowski 1.1.13 Chú ý Dề dàng thấy tính chất mêtric khơng gian định chuẩn: (i) ( x, x)  , (ii) ( x, y)  , x  y , (iii) ( x, y)  ( y, x) , (iv) ( x, z )  ( x, y)  ( y, z) 1.1.14 Định nghĩa Khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều gọi không gian Minkowski 31 định diện tích bề mặt đa diện lồi Điều cho phép định nghĩa muốn nói đến diện tích bề mặt vật lồi En cách dễ dàng 2.4.4 Định nghĩa Cho C khối lồi compact không gian Euclidean n-chiều Thể tích diện tích bề mặt C ký hiệu Vn(C) An-1(C) xác định sau : Vn (C )  inf V ( P) P C (2.2) An1 (C )  inf An1 ( P) P C Trong P đa diện lồi ( xem Định nghĩa 2.4.3) 2.4.5 Chú ý Rõ ràng Vn An-1 tồn với tất khối lồi compact C có En Tuy nhiên Định nghĩa thỏa đáng chứng minh tồn Định lí sau giúp ta trả lời câu hỏi 2.4.6 Định lý Nếu C khối lồi compact En   int C với   , tồn đa diện lồi P cho: P  C  P , ( 2.3) P  x : x  P Chứng minh Giả sư K ( , r ) hình cầu compact nội tiếp C (xem Định nghĩa 1.2.3) Chọn   cho:    r (  1) (2.4) Theo Định lí 2.4.1 tồn khối đa diện lồi P cho K ( , r )  P  C  P (2.5) 32 Giả sử F  F mặt phẳng song song với P  P Nếu d(F) (là khoảng cách ngắn  siêu phẳng chứa F) khoảng cách tương ứng d(  F) thỏa mãn điều kiện : d(  F) =  d(F) (2.6) Chọn điểm tùy ý x  P \ P Giả sử F mặt P gần với x  F mặt phẳng  P gần x Vậy theo (2.4) (2.5) ta có inf x  y    r (  1)d ( F ) , với x  P Do P   P , điều yF với (2.5) suy (2.3) 2.4.7 Định nghĩa Cho C khối lồi compact không gian Euclide n-chiều Ta định nghĩa U n (C )  supVn ( P) P C (2.7) Bn1 (C )  sup An1 ( P) P C 2.4.8 Định lý Nếu C khối lồi compact En Vn(C) = Un(C), An-1 (C) =Bn-1 (C) Chứng minh Theo Định lí 2.4.6 tồn đa diện P thỏa mãn (2.3) Vì với đa diện P đẳng thức : Vn ( P)   nVn ( P) An1 ( P)   n1 ( P)   (2.8) Từ định nghĩa thể tích diện tích Euclide khối đa diện định nghĩa 2.4.4 2.4.7 ta dễ dàng thấy : Vn ( P)  U n (C )  Vn (C )  Vn ( P) An1 ( P)  Bn1 (C )  An1 (C )  An1 ( P) Điều kiện (2.8) suy Vn (C ) - U n (C ) < (dn - 1)Vn ( P) An- (C ) - Bn- (C ) < (dn- - 1) An- ( P) Do đó, Định lí 2.4.8 chứng minh   33 2.4.9 Định lí Giả sử Ci (i  1, 2) thể lồi compact không gian Euclide n-chiều, giả sử C1 tập hợp thực C2 An- (C1 ) < An- (C2 ) Lúc Vn (C1 ) < Vn (C2 ) Chứng minh Vì tồn điểm p  int C2 \ C1 C1 đóng (i = 1,2), tồn khối cầu compact K ( p,  )  K nội tiếp C2 không cắt C1 Theo (2.3) (2.8) tồn khối đa diện lồi P  C1 cho: Vn (C1 ) - Vn ( P) < Vì Vn (C2 ) < Vn ( P) + Vn ( K ) Vn ( K ) > Vn (C1 ) Để chứng minh An-1(C1) < An-1(C2), ta lấy p  int C2 \ C1 Theo Định lý 2.4.6 tồn siêu phẳng qua p không cắt C1 biên nửa khơng gian đóng H1 chứa C1 Giả sử C3 = H1  C2 Ta thấy An-1(C3) < An-1(C2) Việc chứng minh An-1(C1)  An-1(C3) suy từ Định lí 2.4.8 Định nghĩa 2.4.7 Kết hợp hai khẳng định trước ta có An-1(C1) < An-1(C2) 2.4.10 Định lí Giả sử {C} họ thể lồi compact không gian Euclide n-chiều Các hàm số thể tích diện tích Vn An-1 liên tục {C} Chứng minh Giả sử C  {C}, khơng làm tính tổng quát với giả định   int C Với   tồn   đa diện lồi với P  C  P , int P  , Sao cho Vn ( P)  Vn ( P)   , An1 ( P)   Vì theo Định lí 2.4.9 thể lồi D, với P  D   P , cho Vn ( P)  Vn ( D)  Vn (P), An1 ( P)  An1 (P) , ta có Vn ( D)  Vn (C )   An1 ( D)  An1 (C )   (2.9) 34 Điều kiện (2.9) suy Khi mà lim Vn ( DJ )  Vn (C ) J  lim An1 ( D j )  An1 (C ) j  lim( D j , C )  , j  (theo nghĩa Định nghĩa 1.2.7) Vì Vn An-1 liên tục {C} 2.5 Vấn đề thể tích cực trị Sau chúng tơi trình bày số vấn đề đẳng (cùng chu vi), đẳng (cùng thể tích) 2.5.1 Định lý Giả sử F họ khác  tập lồi có tính chất dãy F có dãy hội tụ phần tử F (theo nghĩa nói Định nghĩa 1.2.7) Nếu g hàm liên tục F (theo nghĩa nói Định nghĩa 1.2.7) g đạt giá trị lớn giá trị nhỏ F Chứng minh Tập hợp  g ( F ) : F  F  bị chặn khơng bị chặn ta tìm dãy Fi  F (i  1,2, ) cho g ( Fi )   i   theo tính chất F suy tồn dãy Fi (i  1,2, ) hội tụ F0  F Từ tính liên tục g F ta có g ( F0 )   g ( Fi )   i   , điều khơng xảy Giả sử M  sup g ( F ) FF Từ giả thiết F suy tồn thành phần F0 F cho g ( F0 )  M 2.5.2 Định lý Cho  họ thể lồi compact En có thể tích cho trước V  bị chứa hình cầu cho trước Khi  chứa thành phần có diện tích bề mặt nhỏ Chứng minh Họ  họ compact Để thấy điều cần để ý đến dãy thành phần bất kí Fi   ( i = 1,2…) Theo Định lí 1.2.3, dãy {Fi} chứa dạy hội tụ thể lồi compact F Vì thể tích Vn hàm liên 35 tục họ thể lồi đồng nhất, nên thể tích F giới hạn thể tích thành phần  Do  họ thể lồi compact En Cuối , diện tích An-1 hàm liên tục  , từ Định lí 2.5.1 suy An-1 nhận giá trị nhỏ họ  Do tồn thành phần  có diện tích nhỏ 2.5.3 Định lí Giả sử  họ thể lồi compact En có diện tích bề mặt cho trước A, bị chứa hình cầu cho trước Khi  chứa thành phần tích lớn Chứng minh Các bước chứng minh tương tự chứng minh định lí 2.5.2 Sau chúng tơi trình bày vấn đề đẳng mặt phẳng E Bài toán đẳng mặt phẳng E2 thường xác định tập hợp đường cong thay đổi thỏa mãn tính chất chung 2.5.4 Định nghĩa Một đường cong kín đơn B E2 qua ánh xạ 11, đồng phơi đường trịn đơn vị Một đường cong kín đơn E2 gọi cầu trường tồn số N > cho m  xx i 1 i i 1 N Với tất tập hợp điểm x0, x1… xm = x0 chọn theo thứ tự có B Độ dài L(B) B cận lớn tổng nói trên, lấy theo tập hợp tất điểm x0,x1…xm chọn theo thứ tự B 2.5.5 Bổ đề Nếu B đường cong kín đơn cầu trường đổi E2, thì: A1 (convB)  L( B) , A1 (convB)  L(convB) (2.10) Chứng minh Đây hệ trực tiếp Định nghĩa 2.4.4 2.5.4 bất đẳng thức tam giác mêtric Bây ta nói toán đẳng mặt phẳng E2 36 2.5.6 Định lý Cho họ  đường cong phẳng kín đơn có cấu trường E2, có chiều dài L Khi tồn thành phần  bao quanh diện tích lớn miền giới hạn đường trịn bán kính L/2  Chứng minh Giả sử  họ tập hợp compact E2, bao quanh thành phần  Tịnh tiến thành phần  cho thành phần chứa  Bổ đề 2.5.5 ta giới hạn vấn đề họ  thành phần lồi  Vì thành phần  có chiều dài L, họ  bị chặn Hơn nữa, ta giới hạn thành phần  mà tất có diện tích V2 lớn số dương cố định Đinh lí 2.5.2 tồn thành phần  1, tích hai chiều lớn Ký hiệu thành phần C Ta chứng minh C đường tròn sử p S1 p * S1 x y  x1 y Giả sử D = xy dây cung C chia C thành phần C1 C2 cho A1(C1) = A2(C2) Nếu diện tích V2(C2) lớn diện tích V2(C1), lấy C2' hình đối xứng C2 qua xy ta tập hợp C’’ = C2  C’2 thỏa mãn V2 (C’’) > V2 (C), A1(C’’) = A1 (C) = L Nhưng V2 (C’’) > V2 (C) mâu thuẩn với tính cực đại V2(C) V2 (C2) = V2(C1) Ta chứng minh biên C2 cung bán nguyệt với xy đường kính Chọn điểm p  biên C2 với  xpy   / Xem C2 gồm có ba phần, tam giác  xpy, hai hình quạt S1 C2 bị chặn dây cung xp , ba hình quạt C2 bị chắn dây cung yp Tồn phép quay S1 xung quanh p cho x tiến đến x1 điểm mà  x1py =  / Ta gắn phần S1 S2 vào vị trí mới, gọi chung S1* S2* theo thứ tự 37 Gọi S1*  S 2*  x1 py  C2* Gọi ảnh C2* qua phép đối xứng trục x1 y D2*, ta có : V2 ( S2* D2* )  V2 (C ) A1 ( S2*  D2* )  A1 (C )  L V2 (D x1 py) > V2 (D xpy),V2 (Si* ) = V2 (Si ) Vì (i  1,2) Do C2*  D2* thành phần  có diện tích lớn C, điều vơ lí Vì  xpy =  / với p  biên C2 điều suy C đường trịn Để tìm lời giải cho toán đẳng E3, ta sử dụng phương pháp đối xứng hóa Steiner 2.5.7 Định nghĩa Cho K thể lồi compact E3 H phẳng E3 Gọi Q hình chiếu vng góc K lên H Mỗi đường thẳng L(p) (p  Q) qua p vng góc với H cắt K theo đoạn u(p) v(p),u(p)  biên K, v(p)  biên K Tịnh tiến đoạn u(p) v(p) L(p) cho trung điểm nằm Q Hợp tất đoạn thẳng ảnh gọi ảnh đối xứng hóa Steiner K* K v(q) v(p) K* u(q) u(q) H Q p q u*(q) K 38 2.5.8 Định lí Ảnh đối xứng hóa Steiner K* thể lồi đồng K  E3 lồi Chứng minh Để chứng minh Định lí 2.5.8, ta cần chứng minh tiết diện phẳng K* vng góc với H lồi Giả sử z trục vng góc với H Nếu p  Q, q  Q Vậy tọa độ z u(p) v(p) cị cơng thức là: z1 = f1(p) z2 = f2(p) Ở ta chọn z2  z1 Từ tính lồi K suy f ( p)  f1 ( p) f (q)  f1 (q)  2 (1   ) f ( p)   f (q) (1   ) f1 ( p)   f1   2 f  (1   ) p   q   f1  (1   ) p   q   (1   ) Chú ý có bất đẳng thức f hàm “lõm” tức với đoạn xy thuộc miền xác định f với    ta có f  x  (1   ) y    f ( x)  (1   ) f ( y) Suy (1-  ) v*(p) +  v*(q) k*, với v*(q) ảnh v(q) qua phép tịnh tiến nói Vì K  tập lồi 2.5.9 Định lí Nếu K thể lồi compact E3, khơng phải hình cầu, tồn mặt phẳng H cho: A2 ( K * )  A2 ( K ) , (2.11) V3 ( K * )  V3 ( K ) , (2.12) K* phép đối xứng hóa Steiner K H Chứng minh Phương pháp chứng minh sau thể lồi hình cầu giảm thực số phép đối xứng hóa Nếu ta biểu diện phần bề mặt K int Q hai hàm lồi z1 ( p)' ,  z2 ( p)' , 39 p  int Q , cho (p, z)  K ta có: p  intQ , z1 (p)  z  z2(p) điều kiện (2.11) tương đương với việc chứng minh tồn mặt phẳng H cho: 2   z1    z   A2 ( K )  A2 ( K )           x  y     Q    * 2  dương (z1 / x  z2 / x)  z   z         dxdy  x   y  Bất đẳng thức suy từ kết luận với   , tồn  > cho   , bi   (i  1,2) thì: 1  a12  b12   (a1  a2 )  (b1  b2 ) 4 (2.13)   a2  b2   (a1  a2 )  (b1  b2 )   Bất đẳng thức (2.12) hệ trực tiếp định nghĩa thể tích, tiết diện theo phương thẳng đứng, song song tương ứng K K* có diện tích 2.5.10 Định lí Cho  thể lồi compact E3, có thể tích, với thể tích xác định theo (2.2) Khi  chứa thành phần có diện tích nhỏ nhất, hình cầu Chứng minh Xét hình cầu (  , r ) cho họ   thuộc K(  , r ) vơ hạn Áp dụng Định lí 2.5.2 cho  suy  chứa thành phần có diện tích nhỏ Ký hiệu thành phần K Định lí 2.5.9 suy K phải hình cầu Vì hình cầu K(  , r 1) (r1>r) chứa tập   có diện tích thể tích K Điều dẫn đến tồn thành phần  có diện tích nhỏ nhất, hình cầu 40 2.6 Chiều rộng bề rộng 2.6.1 Định nghĩa Giả sử C tập lồi khơng gian Ơclít hữu hạn chiều E có tích vơ hướng hàm u, h(u) xác định E cho h(u )  sup x.u   goi hàm tựa C x C 2.6.2 Định nghĩa Cho K tập lồi compact không rỗng En với hàm tựa h xác định En Chiều rộng B(u) K xác định theo u  u   u  B(u )  h    h   u    u   u      (2.14) Chiều rộng B(u) K xác định theo u khoảng cách hai siêu phẳng tựa song song K vng góc với u chứa K hai siêu phẳng Ngoài B(-u) = B(u) 2.6.3 Định nghĩa Giả sử S tập khác  bị chặn không gian tuyến tính định chuẩn L Đường kính định nghĩa số: d  sup x  y xS yS Một đoạn thẳng gọi đường kính S x  S , y  S x y d 2.6.4 Định lý Nếu K tập lồi compact khơng rỗng En, đường kính d Định nghĩa 2.6.4 K thỏa mãn: d  max B(u ) u 1 (2.15) Chứng minh Để chứng minh (2.15), Giả sử D  x0 y0 đường kính K Rõ ràng K phải bị chứa phần không gian bị giới hạn hai mặt phẳng ngồi vng góc với x0 y0 x0 y0, (2.15) thỏa mãn với u tương ứng với chiều x0 y0 Ngược lại, giả sử (2.15) Điều suy với phẳng cực đại u x0 u = h(u), x0  K , x1.(-u) = h(-u), x1  K đoạn xác định x0x1 phải hướng 41 u – u Điều suy d cho (2.15) d  max x  y  x1  x0 x , yS 2.6.5 Định nghĩa Bề rộng w tập lồi compact không rỗng K En xác đinh sau:   B(u) uE u  (2.16) n 2.6.6 Định nghĩa Một dây cung tập lồi compact không rỗng K En giao khác rỗng K đường thẳng En Giả sử w(u) độ dài lớn tất dây cung K song song với vectơ u, u   2.6.7 Định lí Nếu K tập lồi compact khơng rỗng En w1  w(u)  w  bề rộng K, u   , u  En uEn Chứng minh Vì với u   , chiều rộng dây cung K song song với u bé khoảng cách hai mặt phẳng tựa S, song song với nhau, vng góc với u Ta có: w1  w (2.17) Giả sử xy đoạn thuộc K cho: ||x-y|| = w(n) (2.18) Ta chứng minh tồn mặt phẳng song song xác định theo K x y Nếu điều khơng phép tịnh tiến K1  K  y  x K dẫn đến int K  K1  Vì giả sử p1  int( K  K1 ) Khi điểm p  p1 + y- x  int K , ||p-p1|| = ||x-y|| Nhưng p  int K , p1  int K ta có ||x-y||< w(n), trái với (26) Do mặt phẳng song song xác định theo K x y tồn tai Do suy ra: w  w1 (2.19) Các điều kiện (2.17) (2.19) suy điều phải chứng minh 2.6.8 Định nghĩa Một tập lồi compact K  En gọi tập hợp có chiều rộng khơng đổi B B(u) B với u  En , u   42 2.6.9 Định lý Giả sử K tập lồi compact En với chiều rộng không đổi B Khi mệnh đề sau : a Đường kinh d K bề rộng w K b Mỗi điểm thuộc biên K điểm nhọn K, tức điểm mà qua có mặt phẳng tựa K có giao với K tập gồm điểm c Mỗi dây cung xy K vng góc với siêu phẳng tựa K x vng góc với siêu phẳng tựa K y d Không phải tất đường kính K có hai điểm cuối đỉnh K e Tập hợp K hồn chỉnh theo định nghĩa khơng có điểm thêm vào K mà khơng làm tăng đường kính K f Nếu K nằm E2 độ dài bdK A1(k)=  B g Trong tất tập lồi compact phẳng với chiều rộng khơng đổi hình trịn có diện tích lớn hình tam giác Reuleaux có diện tích nhỏ Tam giác Reuleaux abc tạo thành từ điểm a,b,c mà d (a, b)  d (b, c)  d (c, a) cung ab, ba, ca nằm đường tròn tâm a, b, c tương ứng Chứng minh Điều kiện a kết trực tiếp Định lí 2.6.5 điều kiện (2.16) Để chứng minh b giả sử bdK chứa đoạn thẳng xy, giả sử H siêu phẳng tựa K chứa xy Giả sử u vec tơ pháp tuyến đơn vị H Tồn điểm a  K , b  H  K b  a  B(u ) Vì hai bất đẳng thức cho a  x  B(u ) a  y  B(u ) đúng, ta thấy có mâu thuẫn với K có chiều rộng không đổi Việc chứng minh điều kiện c d tương tự Điều ngược lại e đúng, mệnh đề Mỗi khối hoàn chỉnh En tập hợp có chiều rộng khơng đổi (xem Meissner) Để chứng minh f ta thêm vào định lí Barbier 43 2.6.10 Định lý Nếu K thể lồi compact E2, chiều rộng A1 phạm vi K xác định công thức A1  2  p( )d với p( )  h(cos ,sin ) , h hàm tựa K Chứng minh Giả sử p có đạo hàm cấp liên tục p( )  p'' ( )  với dp / d  p, ( ), Họ tham số đường thẳng tựa K biểu diễn tọa độ vng góc (x,y) phương trình sau f ( x, y, )  x cos  ysin   p( )  f x Vì 2 f x f y 2 f y    2  1, 2 f  với (x,y)  bdK p(  )+ p’’(  ) >0 suy  Từ lí thuyết bao hình suy phương trình f ( x, y, )  x cos   ysin   p( )  0, f ( x, y, )   x sin   ycos  p '( )  0,  tương đương với: x  p( )cos  p '( )sin   y  p( )sin   p '( )cos  biểu diễn bdK Từ (2.19) suy ra: x'     2 , (2.20) dx  [ p( )  p ''( )]sin  , d y'  dy  [ p( )  p ''( )]cos d Độ dài A1  bdK thỏa mãn: A1  K   2  2 2 0 x '2  y '2 d    p    p ''  d  p’(   2 ) = p’(  )  p  d , 44 KẾT LUẬN Luận văn thực nội dung sau: 1, Luận văn hệ thống khái niệm, tính chất tập lồi metric Minkowski  Trình bày định nghĩa, định lý khơng gian định chuẩn, hàm khoảng cách Minkowski  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh định lý họ tập lồi khơng gian Minkowski  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh định lý bao lồi không gian Minkowski 2, Luận văn hệ thống khái niệm, tính chất xấp xỉ thể lồi Ln nón đa diện lồi  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh định lý nón tựa  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh định lý điểm cực biên  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh số định lý đa diện lồi  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng minh số định lý xấp xỉ thể lồi  Trình bày định nghĩa, định lý, chứng ninh định lý vấn đề thể tích cực trị  Trình bày định nghĩa, định lý chiều rộng bề rộng Các kết luận văn trình bày rải rác tài liệu tham khảo Tác giả tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn, chứng minh chi tiết nhiều tính chất, định lý, hệ mà tài liệu tham khảo đưa mà bỏ qua chứng minh, chứng minh vắn tắt nêu dạng tập 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [2] Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tường (dịch năm 1973), Tôpô đại cương, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [3] Frederick A.Valentine, Convex Set, Mc Graw-Hill Book company [4] Jvan Tiel, Convex Analysic, John wiley and Sons.6 Kelley, J.Lnamiok, Linear topological spaces (Princeton, Van Nostrand, 1936) [5] B Kelly et L M Kelly (1954), Paths and Circuits in critical graph, Am J.of Math [6] C Berge (1957), Two theorems in graph theory, Proc.Nat.Ac.Sc [7] G A Dirac (1953), The structure of k-chromatic graph, Fund Math [8] M Benhzad, G Chartrand and L Lesniak-Forster (1979), Graph and ... khơng gian Euclide, khơng gian tập lồi có nhiều tính chất thú vị Tập lồi xét không gian tổng quát khơng gian tuyến tính nhiên khơng gian tính chất tập lồi nghèo nàn loại khơng gian tơpơ tuyến tính, ... tập hợp số kết nghiên cứu chủ đề Luận văn trình bày số tính chất tập lồi không gian Minkowski ứng dụng chúng Mục đích luận văn nghiên cứu tập lồi không gian Minkowski, nhiên có số tính chất tập. .. tính chất tập lồi khơng gian Euclide, mặt khác tính chất tập lồi khơng gian Minkowski phong phú tính chất chúng không gian Euclide Hiện tài liệu, đặc biệt tài liệu tiếng Việt tập lồi khơng gian Minkowski