Tìm hiểu về một số tính chất của tập lồi và hàm lồi trong không gian rn

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ BÍCH THẢO TÌM HIỂU VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THỊ TOÀN NGHỆ AN 05/2014 n MỤC LỤC Trang Lời nói đầu………………………………………………………………………….1 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ………………………………3 1.1 Đại số tuyến tính ……………….….………………………………… 1.2 Các tính chất tơpơ …………………………… ………………………4 1.3 Đạo hàm……………………………………… ………………………6 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN n … …………………………………………… ………………………… 2.1 Tập lồi………………………………… ……………….…………… 2.2 Bao lồi bao afin ……………………………………….……………12 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN ………………………………………….…………………………………17 n 3.1 Hàm lồi…………………………………………………………………17 3.2 hàm lồi giá trị thực mở rộng……………………………………………18 3.3 Tính nửa liên tục tính đóng……………………………………19 3.4 Đặc trưng hàm lồi khả vi………………………………………….23 Kết luận ………………………………………………………………………….26 Tài liệu tham khảo…… …………………………………………………………27 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích lồi đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu lí thuyết tốn tối ưu hóa, tốn cực trị ngành tốn có sử dụng cơng cụ giải tích Sinh viên trường đại học (khối KHTN), đặc biệt sinh viên ngành tốn trang bị tơpơ-nền tảng lí thuyết giải tích đại có giải tích lồi Tuy nhiên, chương trình đào tạo không cho phép nên sinh viên học lí thuyết giải tích lồi cịn Khóa luận phần nguyện vọng tác giả muốn tìm hiểu kĩ số tính chất tập lồi, hàm lồi sở tảng kiến thức học Với lí nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu “Tìm hiểu số tính chất tập lồi hàm lồi khơng gian n ” cho khóa luận Các khái niệm tính chất tập lồi hàm lồi không gian n nghiên cứu tác giả D P Bertsekas, R R Phelps, R T Rockafellar, Hồng Tụy… Mục đích khóa luận cung cấp đầy đủ chứng minh chi tiết số tính chất tập lồi hàm lồi không gian n Với mục đích trên, khóa luận viết thành chương: Chương Trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương Trình bày số khái niệm tính chất tập lồi Chương Trình bày số khái niệm tính chất hàm lồi Phần lớn kết thu khóa luận tác giả D P Bertsekas đưa tài liệu tham khảo [3] Các kết chưa chứng minh chứng minh vắn tắt tác giả chứng minh chi tiết dạng Nhận xét, Ví dụ, Chú ý Mệnh đề Tuy có nhiều cố gắng kiến thức thân thời gian có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo quý báu quý Thầy giáo, Cô giáo ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cơ giáo Nguyễn Thị Tồn người hướng dẫn nhiệt tình cho tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cơ giáo tổ giải tích khoa Sư phạm Tốn học tận tình giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hồn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2014 Tác giả Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất đại số tuyến tính giải tích thực dùng chương sau Vì khái niệm, tính chất quen thuộc nên chúng tơi trình bày mà khơng chứng minh 1.1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1.1.1 Định nghĩa n (i) Cho tập S tập khác rỗng của ax  by  S x, y  S a, b  n (ii) Các vectơ x1 , , xm  k  ,  k  k  1, m (iii) Cho vectơ x  n n Khi đó, S gọi không gian gọi độc lập tuyến tính tồn m cho  k 1 x  k k vectơ n cột Khi đó, xT  n gọi chuyển vị vectơ x vectơ n hàng n (iv) Tập afin X  không gian tịnh tiến, tức tập X có cấu trúc:  X  x  S  x  x : x  S , x vectơ n n S không gian Khi đó, S gọi khơng gian song song X 1.1.2 Định nghĩa (i) Hàm f : a  n  gọi afin f  x  có cơng thức f ( x)  aT x  b với ,b (ii) Hàm f : A n n  m gọi afin f  x  có cơng thức f ( x)  A.x  b ma trận cỡ m  n , b  m 1.1.3 Định nghĩa Cho A ma trận đối xứng cỡ n  n : Ma trận A gọi xác định dương xT Ax  x  n , x  Ma trận A gọi nửa xác định dương xT Ax  x  n , x  1.2 TÍNH CHẤT TƠPƠ 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập (i) Điểm x điểm đóng tập X n tồn dãy  xk   X hội tụ tới x (ii) Bao đóng X tập tất điểm đóng X , ký hiệu: cl  X  (iii) Tập X gọi đóng X  cl  X  (iv) Tập X gọi mở phần bù  x : x  X  đóng (v) Tập X gọi bị chặn  c  cho x  c x  X (vi) Tập X gọi compact X đóng bị chặn 1.2.2 Định nghĩa Mỗi   x      n , xét tập: S  x : x  x   mở gọi hình cầu mở tâm x B  x : x  x   đóng gọi hình cầu đóng tâm x 1.2.3 Định nghĩa Cho X tập n (i) Lân cận điểm x tập mở U chứa x (ii) Điểm x gọi điểm X tồn lân cận U x nằm X (iii) Tập tất điểm X gọi phần X, ký hiệu: int  X  (iv) Điểm x  cl  X  mà điểm X gọi điểm biên X (v) Tập tất điểm biên gọi biên X X 1.2.4 Mệnh đề (a) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng (b) Giao tùy ý tập đóng đóng (c) Hợp tùy ý tập mở tập mở (d) Giao hữu hạn tập mở tập mở n (e) Tập A tập mở tất phần tử tập A điểm (f) Mỗi không gian (g) Tập A tập n n đóng gọi tập compact dãy phần tử X có dãy hội tụ tới phần tử x  X (h) Nếu  X k    compact cho X k  X k 1 k  k 0 X k   compact 1.2.5 Định nghĩa Cho X tập n (a) Hàm f : X  n gọi liên tục điểm x  X lim f  z   f  x zx (b) Hàm f : X  n gọi liên tục phải (tương ứng: liên tục trái) điểm x  X lim f  z   f  x  (tương ứng: lim f  z   f  x  ) z x z x gọi nửa liên tục (tương ứng: nửa (c) Cho hàm giá trị thực f : X  liên tục dưới) x  X f  x   lim sup f  xk  (tương ứng: f  x   lim inf f  xk  ) với k  x  dãy  xk   X mà hội tụ tới x 1.2.6 Định nghĩa Cho X tập Nếu f : X  f m n liên tục điểm nằm tập miền xác định X liên tục tập Nếu f : X  m liên tục điểm nằm miền xác định X f liên tục 1.2.7 Định nghĩa Cho f : X  Nếu  y  n n hàm, X tập n x X cho dãy  f  xk   y với  xk   X lim xk  x ta viết k  lim f  z   y zx Nếu  y  n cho dãy  f  xk   x với xk   X , lim xk  x xk  x  xk  x  k k    ta viết lim f  z   y lim f  z   y z x z x 1.2.8 Mệnh đề Cho xk  ,  yk  dãy vô hướng (a) Ta có inf xk : k  0  lim inf xk  lim sup xk  sup xk : k  0 k  k  (b)  xk  hội tụ     lim inf xk  lim sup xk   k  k  Hơn nữa,  xk  hội tụ, giới hạn  xk  giá trị vô hướng chung: lim inf xk  lim sup xk  lim xk k  k  k  (c) Nếu xk  yk k đó: lim inf x k  lim inf yk k  (d) Ta có: k  ; lim sup xk  lim sup yk k  k  lim inf xk  lim inf yk  lim inf  xk  yk  , k  k  k  k  k  lim sup xk  lim sup yk  lim sup  xk  yk  k  1.3 ĐẠO HÀM Cho f : n  hàm, x  lim n , xét biểu thức giới hạn: f  x   ei   f  x    0 ei vectơ vị trí thứ i (tất thành phần khác ngoại trừ thành phần vị trí thứ i 1): ei   0, 0, 0,1, 0, ,  Nếu giới hạn tồn gọi đạo hàm theo biến thứ i f điểm x kí hiệu f  x  f ( xi thành phần vị trí thứ i x )  x  xi xi Giả sử tất đạo hàm riêng tồn tại, gradient f x xác định  f  x      xi   vectơ cột f  x       f  x    x  n   Với y  , đạo hàm bên hàm f theo hướng f T  x, y   lim f  x   y  f  x   0 y là: (nếu giới hạn tồn tại) Nếu đạo hàm theo hướng f điểm x tồn với hướng y f T  x, y  hàm tuyến tính theo y f khả vi x Loại khả vi gọi khả vi gradient Hàm f gọi khả vi khả vi x  Rn Nếu f khả vi tập mở U f  x  liên tục x U f gọi khả vi liên tục U, tức là: lim y 0 f  x  y   f  x   f  x  ' y 0 y chuẩn tùy ý x U Ma trận Gradient f , ký hiệu f  x  , ma trận cỡ m  n với cột thứ i gradient fi  x  f i Như vậy, f  x   f1  x  f m  x  Chuyển vị f gọi Jacobian f ma trận cột phần tử thứ ij f i x j hàm Cho f : n  R hàm trơn x, ký hiệu thứ i đạo hàm riêng 2 f  x  để thành phần vị trí xi x j f i x  Rn x j Hessian f ma trận mà vị trí ij nhận giá trị hiệu: 2 f  x  Ta có 2 f  x  với x , ký xi x j 2 f 2 f x     x  điều kéo theo 2 f  x  ma trận đối xi x j x j xi xứng 1.3.1 Bổ đề Hàm f khả vi x gradient f  x  tồn thỏa mãn: f T  x   f T  x, y  với  y  n Chứng minh Thật vậy: f '  x, y   f '  x, y1e1  y2e2   yn en   y1 f  x, e1   y2 f  x, e2    yn f  x, en    y1  f   x   1 y2 yn      ' f  x y    f   xn  Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT TẬP CỦA LỒI TRONG KHÔNG GIAN 2.1 TẬP LỒI n 10 2.1.1 Định nghĩa Cho C tập n gọi lồi  x  1    y  C x, y  C,   0,1 2.1.2 Chú ý Tập  quy ước coi lồi 2.1.3 Mệnh đề a, Nếu Ci : i  I  họ tập lồi b, Nếu C1 C2 tập lồi C tập lồi n n n giao n Ci tập lồi iI tổng C1  C2 tập lồi   R C tập lồi n n c, Nếu Hơn nữa, C tập lồi 1 , 2  , 1, 2   1  2  C  1C  2C d, Nếu C tập lồi bao đóng, phần C tập lồi e, Ảnh nghịch ảnh tập lồi hàm afin tập lồi n n Chứng minh: a, Giả sử x, y  Ci   0,1 Khi đó, x, y  Ci i  I Do Ci iI lồi nên  x  1    y  Ci i  I Suy  x  1    y  Ci hay iI n Ci tập lồi iI b, Giả sử x, y  C1  C2   0,1 Lúc đó, x  x1  x2 , y  y1  y2 x1 , y2  C1 , x2 , y2  C2 Do C1 , C2 tập lồi nên  x1  1    y1  C1  x2  1  y2C2 Điều tương đương với  x1   x2  1    y1  1    y2  C1  C2 Do đó,   x1  x2   1    y1  y2   C1  C2 hay  x  1    y  C1  C2 Vậy C1  C2 tập lồi n x  x c, Vì C tập lồi nên x, y  C  với x1 , y1  C   0,1 ta có y   y   x1  1    y1  C Suy  ( x1  1    y1 )  C hay  x1   1    y1  C Suy  x  1    y  C Suy C tập lồi Hơn nữa, 1 , 2   1  2  C  1C  2C Thật vậy, x   1  2  C x   1  2  x1 với x1  C Suy x  1 x1  2 x2  1C  2C Suy (1  2 )C  1C  2C 1 Ngược lại, x  1C  2C x  1 x1  2 x2 với x1 , x2  C 15 Chứng minh Dễ thấy tập tất tổ hợp lồi X lồi vì: x, y thuộc tổ hợp m m i 1 j 1 lồi X x    j x j , y    j y j ,   0,1 ta có: m m m m j 1 j 1 j 1 j 1  x  1    y   j x j  1      j y j    j x j  1     j y j n Mặt khác, m   1     i 1 i j 1 j    1     x j , y j  X tổ hợp lồi X tập lồi  m m  i 1  Xét tập M  i xi :i  0, i  1, m, i  1, xi  X , m  N  Ta có conv  X    i 1 với X  Ci Ci tập lồi Bây giờ, ta chứng minh M  Ci iI Ci Thật vậy, lấy iI x  M theo mệnh đề 2.2.2 x  X suy x  Ci hay M  Ci Suy M  Ci 1 iI Ci  M   Từ (1) Ngược lại, rõ ràng X  M theo nhận xét 2.2.4 ta có iI (2) ta có M  Ci iI Vậy tập tổ hợp lồi X giao tất tập lồi chứa X hay: m m  conv  X    i xi : i  0, i  1, m,  i  1, xi  X , m  N  i 1  i 1  2.2.6 Định nghĩa Cho X tập n bao afin X giao tất tập afin chứa X , ký hiệu: aff  X  2.2.7 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng n Khi đó, x gọi tổ hợp không âm phần tử X với 1 , , m vô hướng không âm m m i 1 i 1 cho x  i xi , m   Nếu  i số dương x   i xi , m   gọi tổ hợp dương 2.2.8 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng n Nón sinh xác định bởi: m   cone  X    x   i xi : i  0, xi  X i  1, , m  i 1   X tập 16 2.2.9 Mệnh đề cone  X  nón lồi chứa phần tử m  Chứng minh Xét cone  X   i xi , i  0, xi  X , i  1, m, m    i 1  cone  X  nón x    i xi  cone  X  với   ta có  x    i xi  cone  X  m m i 1 i 1 i  i  1, m, xi  X , m  cone  X  tập lồi Thật vậy, x  i xi , y    j y j  cone  X     0,1 ta có: m m i 1 i 1 m n i 1 j 1  x  1    y   i xi   1     j y j  ,i ,  j  i  1, m, j  1, n ; xi , y j  X ; p  m  n  Suy  x  1    y  cone  X  cone  X   Thật vậy, ta có  x1   xm với xi  X , i  1, m, m  Suy  cone  X  Vậy cone  X  nón lồi chứa phần tử 2.2.10 Chú ý cone  X  khơng thiết phải đóng chí X compact   2.2.11 Ví dụ Chọn X   x1 , x2  : x12   x2  1  X compact 2 m  m  i i cone  X   i x , i  0, x  X    i x1i , i x2i  ,  i  0,( x1i )   x2i  1  1  i 1   i 1  m 2  m       i x1i ,  i x2i  ,  i  0,  i x1i    i x2i  1  1 i 1   i 1  Do i x1i   nên i x2i  1  mà i  i  1, m suy i x2i  i  1, m 2 m Suy  x j 1 i i j  i x2i  i x1i  Suy cone  X    x1 , x2  : x2  0   0,0  khơng đóng 2.2.12 Mệnh đề Nếu X chứa hữu hạn phần tử cone  X  đóng  m  Chứng minh Giả sử X  x1 , x2 , , xn  , cone  X   i xi , i  0, m  n, xi  X   i 1 Khi đó, x j   cone  X  , x j  x , ta chứng minh x  cone  X   17 Thật vậy, x j  cone  X  x j   i xij , m  n x j  x nghĩa xij  xi m i 1 Do  xij   X đóng nên xi  X Suy x  i xi  cone  X  hay cone  X  đóng m i 1 2.2.13 Mệnh đề Cho X tập khác rỗng Ta có: a, aff  x  =aff  conv  X   =aff  cl  X   b, cone  X   cone  conv  X   c, aff  conv  X    aff  cone  X   Chứng minh a, Ta có X  conv  X  (dễ thấy theo định nghĩa) tập affin chứa conv  X  chứa X suy aff  X   aff  conv  X   (1) Ngược lại, y  aff  conv  X   suy y thuộc tất tập affin chứa conv  X  suy y  x  V ( V không gian chứa conv  X  ) Suy V không gian chứa X  x Suy y thuộc x  X tức y thuộc tập afin chứa X hay y  aff  X  Suy aff  conv  X    aff  X    Từ (1) (2) ta có aff  conv  X   =aff  X  Ta có X  cl  X  suy aff  X   aff  cl  X    3 Ngược lại, y  aff  cl  X   suy y thuộc tập afin chứa cl  X  suy y  x  V ( V khơng gian chứa cl  X   x ) Suy V X  x không gian chứa Suy y thuộc tập affin chứa X hay aff  cl  X    aff  X   4 Từ (3) (4) ta có được: aff  cl  X   =aff  X  b, Ta có X  conv  X  suy tập tổ hợp không âm phần tử X tập tổ hợp không âm phần tử conv  X  suy cone  X   cone  conv  X   1 Ngược lại, x  cone  conv  X   n x    i xi , xi  conv  X ,  i  0, i  1, n i 1 Do xi  conv  X  suy 18 n n n m j 1 j 1 i 1 j 1 n m xi    j xij ,  j  0,   j  1, xij  X , j  1, m Suy x   i   j xij    i  j xij với i 1 j 1 i ,  j  0, xij  X i  1, n, j  1, m,   i  j  Suy x  cone  X  hay cone  conv  X    cone  X   2 Tử (1) (2) ta có: cone  conv  X    cone  X  c, Ta có conv  X   cone  X  (suy từ định nghĩa) suy tập afin chứa cone  X  tập afin chứa conv  X  suy aff  conv  X    aff  cone  X   2.2.14 Mệnh đề (xem [3], mệnh đề 1.3.1) (định lý Caratheodory) Cho X tập khác rỗng n a, Mỗi x cone  x  biểu diễn tố hợp dương vectơ x1 , , xm từ x cho chúng độc lập tuyến tính b, Mỗi x conv  X  biểu diễn tố hợp lồi vectơ x1 , , xm từ x cho x2  x1 , , xm  x1 độc lập tuyến tính Định lý Caratheodory sử dụng để chứng minh nhiều kết quan trọng khác, ví dụ mệnh đề sau: 2.2.15 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.3.2) Bao lồi tập compact compact 2.2.16 Chú ý Bao lồi tập đóng chưa tập đóng 2.2.17 Ví dụ Cho tập đóng X n xác định bởi: X   0,0    x1, x2  : x1x2  1, x1  0, x2  0 bao lồi n n  conv  X   i xi , i  1, i  0, xi  X , n  N    0,0   x1 , x2  : x1  0, x2  0 i 1  i 1  khơng đóng Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG GIAN 3.1 HÀM LỒI 3.1.1 Định nghĩa Cho C tập lồi (i) Hàm f : C  R gọi lồi nếu: n n 19 f  x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C,   0,1 1.2 (ii) Hàm lồi f : C  R gọi lồi ngặt bất đẳng thức (1.2) ngặt với x, y  C , x  y,   0,1 (iii) Hàm f :C  R gọi lõm – f hàm lồi 3.1.2 Chú ý Tập C lồi điều kiện cần để hàm f : C  R lồi 3.1.3 Định nghĩa Cho C , X tập R n cho tập C tập lồi khác rỗng tập của tập X Mỗi hàm f : C  R gọi lồi C bất đẳng thức (1.2) C , tức f hạn chế miền C f hàm lồi 3.1.4 Định nghĩa Cho C tập khác rỗng , f : C  R   Khi đó, n tập x  C : f  x     x  C : f  x     gọi tập định mức hàm f 3.1.5 Mệnh đề Nếu f hàm lồi tất tập định mức f tập lồi Chứng minh Với x, y  C cho f  x    f  y    Khi với   0,1  x  1    y  C (do tính lồi C), ta lại có f  x  1    y    f  x   1    f  y    (do tính lồi f ) Suy ra:  x  1    y x  C : f  x     hay tập định mức x  C : f  x     lồi Tương tự, ta chứng minh tập x  C : f  x     lồi Thật vậy, với x, y  C cho f  x    f  y    Khi với   0,1 ta có  x  1    y  C (do tính lồi C) f  x  1    y    f  x   1    f  y    (do tính lồi f ) Suy ra:  x  1    y x  C : f  x     hay tập định mức x  C : f  x     lồi 3.1.6 Chú ý Tính lồi tập định mức khơng kéo theo tính lồi f 3.1.7 Ví dụ: Cho hàm f xác định f  x   x Hàm có tập định mức lồi hàm f không lồi Chọn y   x f  y    x   x   0,1 chọn    khơng hàm lồi   R ta có: 1 x  2 x nên f 20 A  x  R : f  x      x  R : x    tập lồi Ta chứng minh tập A lồi Thật vậy, x1 , x2  A,   0,1  x1  1    x2  R x1   , x2   suy  x1  1    x2   x1  1    x2    1       suy  x1  1    x2  A Vậy x   A tập lồi Tương tự, ta chứng minh tập : f  x     lồi 3.2 HÀM LỒI GIÁ TRỊ THỰC MỞ RỘNG Xét hàm có cấu trúc f  x   sup fi  x  tập só I hữu hạn, hàm f có iI thể nhận giá trị  hàm f i hàm giá trị thực Khi đó, hàm f hàm lồi tập lồi C n không hàm lồi toàn xác định bởi: f  x   n Ví dụ hàm f :  0,    Như vậy, thay hạn chế f tập C f nhận giá x trị thực ta mở rộng tất miền n cho phép f nhận hữu hạn giá trị Do đó, ta đưa khái niệm hàm giá trị thực mở rộng nhận giá trị   số điểm Trong phần đưa số tập sau: Đồ thị hàm f : X   ,  X  Rn tập Rn1 xác định bởi: epi  f    x,   : x  X ,   R, f  x    Miền hữu hiệu f tập dom  f    x : f  x    viết: dom  f    x :   R saocho  x,   epi  f  Ta thấy dom  f  có phép chiếu epi  f  Điểm khác định nghĩa hàm lồi giá trị thực mở rộng f có nhận thêm giá trị    f  x   1    f  y  phát sinh tất định nghĩa hàm giá trị thực trường hợp có liên quan đến việc tính   3.2.1 Định nghĩa Cho C tập lồi f : C   ,  n Hàm giá trị thực mở rộng gọi lồi epi  f  tập lồi Rn1 21 Khi đó, f có miền giá trị dom  f  tập định mức A  x  C : f  x     B  x  C : f  x     tập lồi với  Hơn nữa, f  x    f  x   x ta có: f  x  1    y    f  x   1    f  y  x, y  C   0,1 1.3 Mỗi hàm lồi f : C   ,  gọi lồi ngặt bất đẳng thức (1.3) ngặt với x, y  dom  f  , x  y,   0,1 Do đó, định nghĩa phù hợp với định nghĩa trước tính lồi hàm giá trị thực Định nghĩa sau trường hợp hàm lồi giá trị thực mở rộng bị hạn chế tập 3.2.2 Định nghĩa Cho C X tập R n cho C tâp lồi khác rỗng tập X Hàm giá trị thực mở rộng f : X   ,  gọi lồi C f lồi miền giá trị f bị giới hạn C , nghĩa hàm f : C   ,  xác định f  x   f  x  x  C hàm lồi 3.3 TÍNH NỬA LIÊN TỤC DƯỚI VÀ TÍNH ĐĨNG 3.3.1 Định nghĩa Hàm giá trị thực mở rộng f : X   ,  gọi nửa liên tục x  X f  x   lim inf f  xk  với dãy  xk   X mà xk  x k  Nếu f nửa liên tục x U  X f nửa liên tục U 3.3.2 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.2.2) Cho hàm f : X   ,  , khẳng định sau tương đương: (i), Tập định mức A  x : f  x     đóng với   (ii), f nửa liên tục n (iii), epi  f  đóng 3.3.3 Chú ý Nếu đồ thị hàm f : X   ,  tập đóng f gọi hàm đóng 22 Để hiểu mối liên hệ tính đóng nửa liên tục ta mở rộng miền xác định f n xét hàm f : n   ,  cho công thức: f  x  NÕu x  X f x     NÕu x  X f f có đồ thị theo mệnh đề ta có f hàm đóng f nửa liên tục n 3.3.4 Chú ý Nếu f nửa liên tục dom  f  khơng thiết f đóng Hơn nữa, f đóng dom  f  khơng cần đóng 1 NÕu x   3.3.5 Ví dụ Hàm f  x    x  NÕu x  Ta có f đóng   ta xét tập định mức: 1    A   x  : f  x       x  :      x  : x   tập đóng x     dom  f    0,   tia dương mở 3.3.6 Nhận xét Nếu dom  f  đóng f nửa liên tục dom  f  f đóng epi  f  đóng (xem chứng minh 3.3.2) 3.3.7 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.2.3) Cho hàm f : X   ,  Nếu dom  f  đóng f nửa liên tục dom  f  f đóng 3.3.8 Nhận xét Hàm lồi, đóng đặc biệt, khơng thể nhận giá trị hữu hạn điểm mà phải có cấu trúc:  NÕu x  dom  f   f x      NÕu x  dom  f  Thật vậy, ta xét hàm riêng đóng, lồi f : n   ,  giả sử  x cho f  x  hữu hạn   Cho x cho f  x    (luôn tồn giả thiết f riêng khơng đồng  ) Vì f lồi nên nhiều điểm có dạng: xk k 1 x  x k  1, 2, Thỏa k k 23 mãn f  xk    f  x  hữu hạn f  x    Khi ta có xk  x f đóng suy f  xk    (mâu thuẫn với  ) Vậy hàm lồi, đóng tầm thường khơng thể nhận hữu hạn giá trị điểm 3.3.8 Mệnh đề a, cho fi : g: n   ,  n   ,  i  1, m hàm, 1 , 2 , , m  ta xét hàm cho bởi: g  x   1 f1  x    m f m  x  Nếu f1 , f , , f m hàm lồi g hàm lồi, f1 , f , , f m hàm đóng g hàm đóng b, Cho f : g: n   ,  m   ,  hàm, A ma trận cỡ m  n Xét hàm cho g  x   f  Ax  Khi đó, f hàm lồi g hàm lồi, f hàm đóng g hàm đóng c, Cho fi : n   ,   i  I hàm, xét hàm g : n   ,  cho g  x   sup fi  x  Khi đó, fi , i  I hàm lồi g hàm lồi, fi , i  I iI hàm đóng g hàm đóng Chứng minh a, Cho f i lồi với i  1, m, i  m m i 1 i 1  với x, y  n ,    0,1 ta có: g  x  1    y    i fi  x  1    y    i  fi  x   1    fi  y  (do tính lồi f ) Mặt khác, m m m i 1 i 1 i 1  i  fi  x   1    fi  y     i fi  x   1     i fi  y    g  x   1    g  y  Do g hàm lồi Cho hàm f1 , f , , f m đóng f1  x  , f  x  , , f m  x  nửa liên tục x n Ta chứng minh hàm g nửa liên tục Thật vậy, xk   n n mà xk  x fi  x   lim inf fi  xk  i  1, 2, Do k  m m g  x    i liminffi  xk   lim inf  i fi  xk   lim infg  xk  (do giả thiết i  mệnh đề i 1 k  k  i 1 k  1.2.8) Suy g nửa liên tục x  n (do mệnh đề 3.3.2) Vậy hàm g đóng b, Giả sử f lồi, A ma trận m  n g  x   f  Ax  24 Khi đó, x, y  n ,   0,1 ta có:   g  x  1    y   f A  x  1    y   f  Ax  1    Ay  Vì x, y  n nên Ax, Ay   n Do hàm f lồi nên  f A  x  1    y    f  Ax   1    f  Ay    g  x   1    g  y  Do đó, hàm g lồi Ta có hàm f đóng nên hàm f nửa liên tục Giả sử x  n ,  xk   n dãy mà xk  x Khi đó,  Axk   n m Axk  Ax Do f nửa liên tục nên f  Ax   lim inf f  Axk  Suy g  x   lim inf g  xk  Suy hàm k  k  g nửa liên tục x Suy hàm g đóng c, Ta chứng minh epi  g  lồi hàm g lồi Ta có: epi  g    x,    n  : g  x       Giả sử g lồi  x, 1  ,  y, 2   epi  f  ,  0,1 Khi đó,   x, 1   1    y, 2    x  1    y,1  1    2  g hàm lồi nên g  x  1    y    g  x   1    g  y   1  1    2 Do g  x   1 g  y   2 nên  x  1    y, 1  1    2   epi  g  Suy epi  g  lồi   Giả sử epi  g  Thật vậy, x, y  lồi ta chứng minh g lồi n ,   0,1 chọn 1  g  x  , 2  g  y   x, 1  ,  y, 2 epi  g  Khi đó,   x, 1   1    y, 2   epi  g    x  1    y,1  1    2   epi  g   g  x  1    y   1  1    2   g  x   1    g  y  Suy g hàm lồi  Lấy  x,    epi  g  g  x     sup fi  x     fi  x    i  I iI   x,    epi  f  i  I   x,    epi  fi  hay epi  g   iI epi  fi  iI Nếu f i hàm lồi i  I epi  fi  tập lồi suy epi  g  tập lồi suy g hàm lồi 25 Tương tự, ta có f i hàm đóng i  I tập epi  fi  đóng Suy epi  g  tập đóng Suy hàm g đóng 3.4 ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM LỒI KHẢ VI 3.4.1 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.2.5) Cho C tâp lồi khả vi n f : n  n a, Hàm f lồi C  f  z   f  x    z  x T f  x  x, z  C 1.4 b, Hàm f lồi ngặt C  biểu thức (1.4) ngặt với x  z Đặc điểm tính lồi hàm lồi khả vi cấp thể mệnh đề sau: 3.4.2 Mệnh đề (xem [3] mệnh đề 1.2.6) Cho tập C lồi có đạo hàm cấp n n , f: n  hàm (a) Nếu 2 f  x  nửa xác định dương x  C f lồi C (b) Nếu 2 f  x  xác định dương x  C f lồi ngặt C (c) Nếu C mở f lồi C 2 f  x  nửa xác định dương x  C 3.4.3 Ví dụ Xét phương trình tồn phương f  x   xT Qx  aT x với Q ma trận đối xứng cỡ n  n , với a, b n Khi 2 f  x   2Q theo mệnh đề ta có:  f lồi  Q nửa xác định dương  f lồi ngặt  Q xác định dương Bây ta cần chứng minh 2 f  x   2Q Thật vậy, f T  x  y  lim 0 f  x   y  f  x   x  y  lim T Q  x   y   aT  x   y   xT Qx  aT x   0  xT Qx   yT Qx   yT Qy   aT y  lim  xT Qy  yT Qx  aT y  0   xT Qy  xT QT y  aT y   xT  Q  QT   aT  y y  n  T f  x   xT  Q  QT   aT  xT Q  aT  f  x   2QT x  a   f T  x  y  lim f  x   y   f  x   0  lim  0 2 Q y T   2QT y y   n  lim 2QT  x   y   a  2QT x  a  0   f  x   2Q  26 3.4.4 Chú ý Nếu f lồi tập thực C  n khơng thiết 2 f  x  nửa xác định dương C 3.4.5 Ví dụ Xét C   x1 , 0 : x1   f  x   x  x 22 Ta chứng minh f lồi C 2 f  x  không xác định dương C  x   x , x C  x   x , 0  Thật vậy,       0,1 ta có: y  y , y  C y  y  2  , 0     f  x  1    y   f  x1  1    y1 ,    x1  1    y1    x12  1    y12 2   x12  1    y12   f  x   1    f  y  Suy hàm f lồi  Chứng minh 2 f  x  không xác định dương f T  x  y  lim 0 f  x   y  f  x   x   y1   lim  x12   0  lim 2 x1 y1   y12   0 y   x1 y1   x1 0    T f  x   xT x  C  f  x   x 0 f  x   y    f  x   x   y   2x   f T  x  y  lim  lim  y y  C   0  f T  0  x  y  y   f  x    Suy 2 f  x  khơng nửa xác định dương lấy x   3, 1 xT 2 f  x  x  3.4.6 Mệnh đề Cho hàm f : n  lồi X ta có:  m  m f    i xi     i f  xi  1.7   i 1  i 1 Với m   x tổ hợp lồi phần tử x1, x2 , , xm i 1 i i X Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp Đầu tiên ta chứng bất đẳng thức với m=3 Thật vậy, x1 , x2 , x3  X ,  i  ,  i  0,  i  i 1 27    1  2 f 1 x1   x2  3 x3   f  1     x1  x2   3 x3  1     1     z đặt 1 2 x1  x ,ta có : 1   1   2 f 1 x1   x2   x3   f    1    3    z   x3   1      f  z x3  1       1      1    3  1       f  z  f  x3    1    f  z    f  x3  1      1       1     1  2 f x1  x2    f  x3   1 f  x1    f  x2    f  x3     i f  xi  1    i 1  1   Với  m  m  f    i xi     i f  xi   i 1  i 1 quy trình ta chứng minh bất đẳng thức với m Bất đẳng thức (1.7) gọi bất đẳng thức Jensen, mệnh đề, tính chất trước trường hợp đặc biệt bất đẳng thức KẾT LUẬN 28 Các kết mà tài liệu tham khảo [3] chưa chứng minh chứng minh vắn tắt tác giả chứng minh chi tiết dạng mệnh đề, ví dụ cụ thể số kết sau: Mệnh đề 2.1.3, mệnh đề 2.1.6, mệnh đề 2.1.12, mệnh đề 2.2.2, mệnh đề 2.2.5, mệnh đề 2.2.9, mệnh đề 2.2.13, mệnh đề 3.1.5, mệnh đề 3.1.7, mệnh đề 3.3.8 b,c Làm rõ ví dụ: Ví dụ 2.2.11, ví dụ 3.1.7, ví dụ 3.4.3, ví dụ 3.4.5 Chúng tơi cố gắng hồn thành khóa luận cách tốt có thể, sâu vào phân tích, chứng minh vấn đề nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế thân kiến thức thời gian, chắn tránh khỏi thiếu sót nên lần mong nhận nhận xét đóng góp chân thành từ q Thầy Cơ đọc giả để khóa luận hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 2002 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 29 [3] D P Bertsekas, Convex Analysis and Optimization, Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, 2003 [4] R T Rockaferall, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersay, 1970 [5] R R Phelps, Convex Function, Monotone Operators and Differentiability, Spinger-Verlag, Berlin –Heidelberg, 1993 ... Với lí nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu ? ?Tìm hiểu số tính chất tập lồi hàm lồi không gian n ” cho khóa luận Các khái niệm tính chất tập lồi hàm lồi không gian n nghiên cứu tác giả D P Bertsekas,... CHẤT CỦA TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN n … …………………………………………… ………………………… 2.1 Tập lồi? ??……………………………… ……………….…………… 2.2 Bao lồi bao afin ……………………………………….……………12 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI TRONG KHÔNG...  Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT TẬP CỦA LỒI TRONG KHÔNG GIAN 2.1 TẬP LỒI n 10 2.1.1 Định nghĩa Cho C tập n gọi lồi  x  1    y  C x, y  C,   0,1 2.1.2 Chú ý Tập  quy ước coi lồi 2.1.3