Một số yếu tố của hình học vi phân trên không gian giả hyperbolic trong không gian lorentz minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THU MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THU MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI Chun ngành: HÌNH HỌC TÔPÔ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Liên thơng tuyến tính dạng thứ không gian nửa Riemann 1.2 Độ cong đa tạp nửa Riemann 1.3 Tốn tử dạng tính rốn siêu mặt nửa Riemann 14 1.4 Đường trắc địa đa tạp nửa Riemann 17 MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHƠNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI 21 2.1 Khơng gian Lorentz - Minkowski 21 2.2 Các độ cong điểm rốn siêu mặt không gian Lorentz Minkowski 26 2.3 Đường trắc địa hyperbolic không gian Rn+1 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Trong hình học vi phân, đa tạp nửa Riemann tổng quát đa tạp Riemann Những năm gần đây, nhà Toán học quan tâm đến việc khảo sát đa tạp không gian Lorentz-Minkowski thông qua ánh xạ kiểu Weigarten Một số tác giả thành công lĩnh vực là: Barrett O’Neill, S.Izumiya, Dong-he Pei, M.C Romero Fuster Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu số yếu tố hình học vi phân không gian giả hyperbolic không gian Rn+1 bao gồm độ cong, điểm rốn đường trắc địa Với lý hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình chọn đề tài luận văn là: “Một số yếu tố hình học vi phân khơng gian giả hyperbolic khơng gian Lorentz - Minkowski” Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm liên thơng tuyến tính dạng thứ không gian nửa Riemann, độ cong đa tạp nửa Riemann Đồng thời chúng tơi trình bày số khái niệm tốn tử dạng tính rốn siêu mặt nửa Riemann số tính chất đường trắc địa đa tạp nửa Riemann, sở cho việc xây dựng lý thuyết chương Chương Một số yếu tố hình học vi phân không gian giả hyperbolic không gian Lorentz - Minkowski Chương nội dung luận văn Trong chương này, tiến hành khảo sát độ cong, điểm rốn đường trắc địa đa tạp đặc biệt siêu mặt hyperbolic không gian Rn+1 thông qua ánh xạ kiểu Weigarten Luận văn thực hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, giáo Chun ngành Hình học Tơpơ, Khoa Tốn học Phịng Đào tạo Sau Đại học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm động viên tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên thơng tuyến tính dạng thứ không gian nửa Riemann, độ cong đa tạp nửa Riemann; tốn tử dạng tính rốn siêu mặt nửa Riemann, số tính chất đường trắc địa đa tạp nửa Riemann Trong tồn luận văn này, chúng tơi ln giả thiết B (M ) tập trường vectơ khả vi đa tạp M F (M ) tập hàm khả vi M Tp M không gian vectơ tiếp xúc với M p g = , kí hiệu tích vơ hướng 1.1 Liên thơng tuyến tính dạng thứ không gian nửa Riemann 1.1.1 Định nghĩa (Xem [1]) Cho B (M ) tập trường vectơ khả vi đa tạp M Ánh xạ ∇:B (M ) × B (M ) → B (M ) (X, Y ) → ∇X Y gọi liên thông tuyến tính M ∇ thỏa mãn điều kiện (1) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z , ∀X, Y, Z ∈ B (M ); (2) ∇X+Y Z = ∇X Z + ∇Y Z , ∀X, Y, Z ∈ B (M ); (3) ∇f X Y = f ∇X Y , ∀X, Y ∈ B (M ) ,∀f ∈ F (M ); (4) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf ) Y , ∀X, Y ∈ B (M ) ,∀f ∈ F (M ) 1.1.2 Định nghĩa (Xem [4]) Một tenxơ metric nửa Riemann g M ánh xạ p → gp , p ∈ M , gp tích vơ hướng Tp M g phụ thuộc khả vi vào p (nghĩa g (X, Y ) (p) = gp (Xp , Yp ) g hàm khả vi theo p) Khi đó, (M, g) gọi đa tạp nửa Riemann 1.1.3 Định nghĩa (Xem [4]) Cho P đa tạp đa tạp nửa Riemann M , j phép nhúng từ P vào M Nếu j ∗ (g) tenxơ metric P P gọi đa tạp nửa Rieman M 1.1.4 Định nghĩa (Xem [4]) Cho M đa tạp nửa Riemann Liên thơng tuyến tính ∇ gọi liên thông Levi – civita ∇ thỏa mãn hai tiên đề sau: (1) Trường tenxơ xoắn T = 0, nghĩa [X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X, ∀X, Y ∈ B (M ) ; (2) Với trường vectơ X, Y, Z M ∇g = 0, nghĩa Xg (Y, Z) = g (∇X Y, Z) + g (Y, ∇X Z) Giả sử M đa tạp nửa Riemann n– chiều nhúng vào đa tạp nửa Riemann N có chiều n + p Ký hiệu: ∇ liên thơng tuyến tính N ; ∇ liên thơng tuyến tính M Giả sử X Y trường vectơ M Bởi ∇X Y x xác định với x ∈ M nên ký hiệu (∇X Y )x thành phần tiếp xúc x ∈ M II(X, Y )x thành phần pháp dạng nó, nghĩa ∇X Y x = (∇X Y )x + II(X, Y )x , (∇X Y )x ∈ Tx (M ) ; II(X, Y )x ∈ (Tx M )⊥ Dễ dàng kiểm tra trường vectơ ∇X Y điểm x ∈ M xác định (∇X Y ) khả vi II(X, Y ) trường vectơ pháp khả vi 1.1.5 Mệnh đề (Xem [4]) ∇X Y đạo hàm hiệp biến liên thông nửa Riemann M Chứng minh Chúng ta kiểm tra bốn điều kiện Định nghĩa 1.1.1 Từ điều kiện (1) đến (3) hiển nhiên Từ tính chất ∇ N phép chiếu tuyến tính Tx (N ) → Tx (M ) Để kiểm tra tính chất (4) giả sử f hàm khả vi M Khi đó, ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf ) Y , (Xf ) Y tiếp xúc M Bởi vậy, lấy thành phần tiếp xúc hai vế ta có ∇X (f Y ) = f (∇X Y ) + (Xf ) Y Điều chứng minh tính chất (4) ∇ Khi đó, tồn liên thơng tuyến tính Γ M , ∇X Y đạo hàm hiệp biến Để chứng minh Γ liên thông Levi–civita metric cảm sinh N cần chứng minh (a) Trường tenxơ xoắn Γ = 0, tức ∇X Y − ∇Y X = [X, Y ] , ∀X, Y ∈ B (M ) (b) Với trường vectơ X, Y, Z M ∇g = 0, nghĩa Z [g (X, Y )] = g (∇Z X, Y ) + g (X, ∇Z Y ) Thật vậy, (a) Nếu thác triển X Y đến trường vec tơ X Y N (điều cách địa phương) thu hẹp X, Y M tiếp xúc M trùng với [X, Y ] Bởi vậy, X, Y x = [X, Y ]x , x ∈ M Cuối cùng, ta ∇X Y = ∇X Y, ∇Y X = ∇Y X Từ phương trình đây, nhận ∇X Y − ∇Y X − X, Y = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] + II (X, Y ) − II (Y, X) Vì vế trái (do tenxơ xoắn liên thông giả Riemann ∇ N 0) nên ta có ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = Do ta II (X, Y ) = II (Y, X) (b) Ta có ∇g = suy Xg (Y, Z) = g ∇X Y, Z + g Y, ∇X Z M trường vectơ X, Y, Z M Ta có g ∇X Y, Z = g (∇X Y + II (X, Y ) , Z) = g (∇X Y, Z) Bởi II (X, Y ) pháp M Bằng cách tương tự, ta có g Y, ∇X Z = g (Y, ∇X Z) Bởi Xg (Y, Z) = g (∇X Y, Z) + g (Y, ∇X Z), điều có nghĩa ∇g = Vậy Mệnh đề 1.1.5 chứng minh 1.2 Độ cong đa tạp nửa Riemann 1.2.1 Định nghĩa (Xem [4]) Cho M đa tạp nửa Riemann với liên thông Levi–civita ∇ Hàm khả vi xác định sau R : B (M ) × B (M ) × B (M ) → B (M ) (X, Y, Z) → RXY Z RXY Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z gọi tenxơ cong đa tạp nửa Riemann M 1.2.2 Mệnh đề (Xem [4]) Nếu x, y, z, v, w ∈ Tp M (i) Rxy = −Ryx ; (ii) Rxy v, w = − Rxy w, v ; (iii) Rxy z + Ryz x + Rzx y = 0; (iv) Rxy v, w = Rvw x, y Chứng minh (i) Ta có Rxy z = ∇x ∇y z − ∇y ∇x z − ∇[x,y] z = −∇y ∇x z + ∇x ∇y z + ∇[y,x] z = − ∇y ∇x z − ∇x ∇y z − ∇[y,x] z = −Ryx z, với z ∈ Tp M Suy Rxy = −Ryx (ii) Vì x [y v, w ] = x [ ∇y v, w + v, ∇y w ] = ∇x ∇y v, w + ∇y v, ∇x w + ∇x v, ∇y w + v, ∇x ∇y w nên [x, y] v, w = x [y v, w ] − y [x v, w ] = ∇x ∇y v − ∇y ∇x v, w + v, ∇x ∇y w − ∇y ∇x w Suy Rxy v, w + Rxy w, v = [x, y] v, w − ∇[x,y] v, w − v, ∇[x,y] w = [x, y] v, w − [x, y] v, w = 0, hay Rxy v, w = − Rxy w, v 19 (ii) Đa tạp nửa Riemann M gọi đầy đủ với v ∈ Tp M tồn đường trắc địa γ : R → M cho γ (0) = p γ˙ (0) = v với p ∈ M 1.4.4 Mệnh đề (Xem [8]) Giả sử v ∈ Tp M vectơ tiếp xúc p ∈ M giả sử c ∈ R số Đường trắc địa γcv xác định t đường trắc địa γv xác định ct Khi γcv (t) ≡ γv (ct) Chứng minh Với p ∈ M v ∈ Tp M Xét đường trắc địa cực đại γv : I → M cho γv (0) = p γ˙ v (0) = v Đặt γ (t) = γv (t), với t ∈ c−1 I Ta có γ (0) = γv (0) = p γ˙ (0) = cγ˙ v (0) = cv Do ∇γ(t) ˙ (t) = ∇cγ(ct) cγ˙ (ct) = c2 ∇γ(ct) γ˙ (ct) = ˙ γ ˙ ˙ Suy γ (t) đường trắc địa γ c−1 t = γv (t) Mặt khác γcv (0) = p = γ (0) γ˙ cv (0) = cv = γ˙ (0) Vậy γcv (t) ≡ γv (ct) 1.4.5 Định lý (Xem [5]) Giả sử Y trường vectơ tiếp xúc với M dọc ¯ đường cong α M ⊂ M Y˙ = Y + II (α , Y ) , Y tiếp xúc M , II (α , Y ) trực giao M , ¯ ∇Y Y˙ = ∇Y ds Y = ds Chứng minh Ta có Vì ∂˙i |α Y = Y i ∂i Y˙ = dY i ∂i + ds Y i ∂˙i |α ¯ α (∂i ) = ∇α (∂i ) + II (α , ∂i ) nên vào phương trình = ∇ ta có điều phải chứng minh 20 ¯ đường 1.4.6 Hệ (Xem [5]) Một đường cong α M ⊂ M ¯ trực giao với M trắc địa M gia tốc α M điểm Chứng minh Xét Y = α = α˙ trường vectơ dọc α Theo Định lý 1.4.5 ta cú ă = + II ( , α ) Suy α trắc địa M α = ∇α =0 ⇔ α ¨ = II (α , α ) dt Điều tng ng vi ă= dt trc giao với M điểm 21 CHƯƠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI Trong chương này, xây dựng ánh xạ Weigarten siêu mặt Rn+1 , từ khảo sát độ cong, điểm rốn, đường trắc địa siêu mặt hyperbolic không gian Rn+1 2.1 Không gian Lorentz - Minkowski Trong phần này, xét không gian Rn+1 với dạng song tuyến tính khơng suy biến với số qn tính (1, n) gọi không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu: Rn+1 Để thuận tiện cho việc trình bày khái niệm giả trực giao, giả pháp vectơ Rn+1 gọi trực giao, pháp vectơ mà không giải thích thêm 2.1.1 Định nghĩa Cho R1 n+1 = {(x0 , x1 , , xn ) |xi ∈ R, i = 0, 1, , n} không gian vectơ (n + 1)- chiều Với x = (x0 , x1 , , xn ) y = (y0 , y1 , , yn ) ∈ R1 n+1 ta định nghĩa tích vơ hướng x y sau n x, y = −x0 y0 + x i yi i=1 Ta gọi R1 n+1 , , không gian Lorentz – Minkowski (n + 1)- chiều ký hiệu: Rn+1 thay cho R1 n+1 , , 22 Với x ∈ Rn+1 , độ dài vectơ x xác định theo tích vơ hướng x = | x, x | 2.1.2 Các loại vectơ tích có hướng n véctơ khơng gian Lorentz – Minkowski (a) Cho x ∈ Rn+1 , x = Khi (i) x gọi vectơ tựa không gian x, x > 0, (ii) x gọi vectơ tựa ánh sáng x, x = 0, (iii) x gọi vectơ tựa thời gian x, x < Hai vectơ x y gọi trực giao với x, y = (b) Với x1 , x2 , , xn ∈ Rn+1 ta định nghĩa tích có hướng n vectơ x1 , x2 , , xn vectơ, ký hiệu x1 ∧ x2 ∧ ∧ xn xác định −e0 x1 ∧ x2 ∧ ∧ xn = x xn0 e1 x11 xn1 en x1n xnn i i i đó, {e0 , e1 , , en } sở tắc Rn+1 , xi = x1 , x2 , , xn ∈ Rn+1 , ∀i = 1, 2, , n Dễ thấy x, x1 ∧ x2 ∧ ∧ xn = det (x, x1 , x2 , , xn ) Do x1 ∧ x2 ∧ ∧ xn trực giao với xi , ∀i = 1, 2, , n 2.1.3 Nhận xét (i) Hai vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc tuyến tính trực giao với nhau, (ii) Hệ gồm hai vectơ khác loại độc lập tuyến tính với nhau, (iii) Với a, b ∈ Rn+1 Nếu a = mà b, b = −λ < a, b = a, a > Nói cách khác, vectơ khác khơng trực giao với vectơ tựa thời gian vectơ tựa không gian 23 hai vectơ tựa ánh sáng phụ thuộc Chứng minh (i) Giả sử a, b ∈ Rn+1 tuyến tính với Suy ra, tồn λ ∈ R∗ cho a = λb Khi đó, a, b = λb, b = λ b, b = λ.0 = hay a, b trực giao với (ii) Giả sử a vectơ tựa không gian, b vectơ tựa thời gian, c vectơ hai vectơ phụ thuộc tuyến tính Suy ra, tựa ánh sáng Giả sử a, b ∈ Rn+1 tồn λ ∈ R∗ cho a = λb Khi đó, ta có < a, a = λb, λb = λ2 b, b < Do đó, {a, b} độc lập tuyến tính Tương tự, ta có hệ {b, c} , {c, a} độc lập tuyến tính (iii) Với a, b ∈ Rn+1 a = , theo giả thiết ta có b, b = −λ ⇔ b21 + b22 + + b2n−1 + b2n = b20 − λ (2.1) a, b = ⇔ a20 b20 = (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Từ (1) ta suy b0 = nên ta có a20 (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 = b20 a1 + a2 + + an b1 + b2 + + bn ≤ b20 2 2 b0 − λ = a1 + a2 + + an b20 Mặt khác a, a = −a20 + a21 + + a2n ≥ a21 + a21 + + a2n − a21 + a22 + + a2n ≥ a21 + a21 + + a2n = a21 + a21 + + a2n b20 − λ 1− b20 λ ≥ b20 b20 − λ b20 24 Vì a21 + + a2n = a20 = Do a = (vơ lý) Vậy −a20 + a21 + + a2n > nên a, a > Do đó, a vectơ tựa khơng gian Chú ý Một vectơ trực giao với vectơ tựa khơng gian chưa vectơ tựa thời gian Ví dụ Cho vectơ tựa khơng gian a = (2, 1, 0) b⊥a , b (1, 2, 0) vectơ tựa không gian 2.1.4 Định nghĩa (Xem [5]) Cho V không gian vectơ R1 n+1 Khi đó, (i) V gọi tựa không gian g V xác định dương, điều có nghĩa V khơng gian với tích vô hướng xác định dương; (ii) V gọi tựa thời gian g (iii) V gọi tựa ánh sáng g V không suy biến với số 1; V suy biến 2.1.5 Bổ đề (Xem [5]) Cho V không gian vectơ R1 n+1 Khi (i) V tựa thời gian V chứa vectơ tựa thời gian; (ii) V vectơ tựa ánh sáng V chứa vectơ tựa ánh sáng không chứa vectơ tựa thời gian 2.1.6 Các loại siêu phẳng không gian Lorentz – Minkowski Với vectơ khác không v ∈ Rn+1 số thực c Khi đó, ta xác định siêu phẳng trực giao với v HP (v, c) = x ∈ Rn+1 | x, v = c v gọi vectơ pháp tuyến siêu phẳng HP (v, c) Khi 25 (i) HP (v, c) siêu phẳng tựa không gian v vectơ tựa thời gian; (ii) HP (v, c) siêu phẳng tựa thời gian v vectơ tựa không gian; (iii) HP (v, c) siêu phẳng tựa ánh sáng v vectơ tựa ánh sáng Nhận xét HP (v, c) có phương khơng gian W := HP (v, 0) = x ∈ Rn+1 | x, v = Khi đó, (i) W tựa không gian v vectơ tựa thời gian; (ii) W tựa thời gian v vectơ tựa không gian; (iii) W tựa ánh sáng v vectơ tựa ánh sáng Chứng minh (i) Khi v vectơ tựa thời gian, giả sử x ∈ W x, v = 0, theo Nhận xét 2.1.3 ta có x vectơ tựa khơng gian, g W xác định dương Khi đó, W tựa không gian (ii) Khi v vectơ tựa không gian, xét e1 = v v , e1 = tồn sở trực chuẩn {e1 , e2 , , en+1 } cho e2 = = en = , en+1 = −1 , tức có en+1 , v = Suy en+1 ∈ W vectơ tựa thời gian Khi đó, W khơng gian tựa thời gian (iii) Khi v vectơ tựa ánh sáng ta có v, v = suy v ∈ W ta chứng minh W không chứa vectơ tựa thời gian Giả sử ngược lại, x ∈ W vectơ tựa thời gian ta có x, v = 0, theo Nhận xét 2.1.3 suy v vectơ tựa không gian (mâu thuẫn với giả thiết) Do W chứa vectơ tựa ánh sáng không chứa vectơ tựa thời gian nên W không gian tựa ánh sáng 2.1.7 Các loại giả cầu n - không gian không gian Lorentz – Minkowski (a) Các loại giả cầu thường gặp (i) H n = x ∈ Rn+1 | x, x = −1 gọi siêu mặt hyperbolic n – chiều; 26 (ii) S1 n = x ∈ Rn+1 | x, x = gọi không gian de Sitter n – chiều; (iii) LCa = x ∈ Rn+1 | x − a, x − a = gọi nón ánh sáng đóng với đỉnh a (b) Các loại n – không gian n (i) n– không gian hyperbolic tâm a ∈ Rn+1 , bán kính r ∈ R+ , ký hiệu H+ (a, r) xác định H+n (a, r) = x ∈ Rn+1 | x − a, x − a = −r , x0 − a0 ≥ n (ii) n – không gian de Sitter tâm a ∈ Rn+1 , bán kính r ∈ R+ , ký hiệu S1 xác định S1n = x ∈ Rn+1 | x − a, x − a = r (iii) Tập LC+∗ = {x = (x0 , x1 , , xn ) ∈ LC0 /x0 > 0} gọi nón ánh sáng đóng tương lai gốc Với x = (x0 , x1 , , xn ) vectơ tựa ánh sáng x0 = Giả sử n ngược lại, x0 = ta có = −x0 + n xi = i=1 xi Suy xi = 0, với i=1 i = 1, 2, , n hay x = (điều mâu thuẫn với định nghĩa x vectơ tựa ánh sáng) Do đó, x0 = Khi đó, đặt x1 xn x = 1, , , ∈ S+n−1 = {x = (x0 , x1 , , xn ) | x, x = 0, x0 = 1} x0 x0 gọi S+n−1 (n − 1) – cầu nón ánh sáng n– không gian hyperbolic, ký hiệu H+n (1) xác định H+n (1) = x ∈ Rn+1 | x, x = −1, x0 ≥ 2.2 Các độ cong điểm rốn siêu mặt không gian Lorentz - Minkowski Áp dụng kết nghiên cứu Chương số yếu tố như: tính rốn, độ cong, đường trắc địa đa tạp đa tạp nửa Riemann 27 tổng quát, tiến hành khảo sát đa tạp đặc biệt siêu mặt hyperbolic không gian Lorentz - Minkowski 2.2.1 Mệnh đề Cho siêu mặt H n khơng gian Rn+1 Khi ánh xạ n U : p = (a0 , a1 , , an ) → U (p) := eˆi (p) i=0 trường vectơ pháp siêu mặt, eˆi , i = 0, 1, , n trường mục tiêu tọa độ Chứng minh Xét siêu mặt hyperbolic H n = (x0 , , xn ) ∈ R1 n+1 | − x0 + x1 + + xn = −1 Xét điểm p = (a0 , an ) H n , α ∈ Tp H n lấy đường cong ρ H n qua p Khi ρ (t) = (x0 (t) , , xn (t)) ρ (t0 ) = α Ta có −x0 (t) + x1 (t) + + xn (t) = −1 Lấy đạo hàm hai vế theo t t = t0 ta −2x0 (t) x (t) + 2x1 (t) x (t) + + 2xn (t) x n (t) = 0, hay −a0 x (t0 ) + a1 x (t0 ) + + an x n (t0 ) = Suy U (p) , ρ (t0 ) = U (p) , α = 0, ∀α ∈ Tp H n Do U trường pháp vectơ Mặt khác, U = −1 nên U trường pháp đơn vị dọc H n Vì U vectơ tựa thời gian H n nên H n siêu mặt tựa không gian (do không gian tiếp xúc điểm tựa không gian) Vậy H n đa tạp nửa Riemann không gian Lorentz - Minkowski 2.2.2 Mệnh đề Mọi điểm siêu mặt H n Rn+1 điểm rốn 28 Chứng minh Xét siêu mặt hyperbolic H n = (x0 , , xn ) ∈ R1 n+1 | − x0 + x1 + + xn = −1 Ánh xạ U : H n → T R1 n+1 n p = (a0 , , an ) → U (p) := eˆi i=0 trường vectơ đơn vị dọc H n Ta có S (v) = −∇v U Lấy đường c H n cho c˙ (0) = v, d ∇v U = /t=0 U (c (t)) = dt n i=0 d /t=0 c (t)ˆ en (0) = v dt Do S = −id Vậy điểm H n điểm rốn 2.2.3 Mệnh đề Với n ≥ khơng gian H n đa tạp Riemann với độ cong âm, có giá trị k = −1 Chứng minh Với n ≥ áp dụng Hệ 1.3.4 ta có Sv, v S w, w − Sv, w ¯ K (v, w) = K (v, w) + ε v, v w, w − v, w Theo kết Mệnh đề 2.2.2 ta có S (v) = −v vào phương trình ta ¯ (v, w) + ε −v, v , −w, w − −v, w K (v, w) = K v, v w, w − v, w v, v w, w − v, w =− = −1 v, v w, w − v, w 2 29 ¯ (v, w) = (vì khơng gian Lorentz - Minkowski có độ cong K 0) Vậy khơng gian H n có độ cong âm, có giá trị k = −1 2.3 Đường trắc địa hyperbolic không gian Rn+1 2.3.1 Định nghĩa Đường hyperbolic H+ n giao H+ n với khơng gian vectơ tựa thời gian chiều Π Rn+1 H = H+ n ∩ Π, đường hyperbolic H+ n Khi đó, H nhánh hyperbolic 2.3.2 Mệnh đề Nếu α : J → H+ n đường hyperbolic H+ n α có tham số hóa đường trắc địa H+ n ⊂ Rn+1 Chứng minh Giả sử p ∈ H ⊂ H+ n Π mặt phẳng Rn+1 qua p Nếu g tích vơ hướng Rn+1 p vectơ tựa thời gian, g Π không suy biến với số Trong không gian Π xét sở trực chuẩn {e0 = p , e1 } tức e0 = −1 , e1 = , e0 , e1 = Ta có q = ae0 + be1 ∈ Π ∩ H+ n q = ae0 + be1 ae0 + be1 = −a2 + b2 = −1 Suy −a2 + b2 = −1 hay a2 − b2 = Do đó, đường hyperbolic có tham số hóa α (t) ∈ Π ∩ H+ n với α (t) = chte0 + shte1 ; t ∈ R Do α˙ (t) = α (t) = shte0 + chte1 nên ă (t) = chte0 + shte1 Th thỡ ă (t) (t) 30 T ú ta có α, ˙ α˙ = e0 sht2 + e1 cht2 = −sht2 + cht2 = Suy ra, l vect ta khụng gian Do ă = U ◦ α U trường vectơ vị trí U (x) = x, trực giao với H+ n (theo Mnh 2.2.1) nờn ă trc giao với H+ n , tức α = Do đó, theo Hệ 1.4.6 Chương 1, α đường trắc địa H+ n 2.3.3 Mệnh đề Nếu α : J → H+ n đường trắc địa H+ n ⊂ Rn+1 ảnh α chứa đường hyperbolic Chứng minh Giả sử α đường trắc địa H+ n với α (t0 ) = p , α (t0 ) = v Xét mặt phẳng qua gốc Π = span (p, v) Khi đó, theo Mệnh đề 2.3.2 tồn đường trắc địa γ có ảnh Π ∩ H+ n , γ (t) ∈ Π ∩ H+ n với t Vì γ (t) ∈ Π nên γ (t) ∈ Π γ (t) ∈ H+ n nên γ (t) ∈ Tγ(t) H+ n Có thể chọn tham số hóa thích hợp cho γ (t0 ) = p = α(t0 ),γ (t0 ) = v = α (t0 ) Theo tính đường trắc địa ta có α = γ lân cận t0 , ảnh α lân cận chứa γ Từ tính khả vi α suy ảnh α nằm mặt phẳng nhất, ta có α = γ J Vậy α có ảnh chứa đường hyperbolic (giao mặt phẳng với H+ n ) 2.3.4 Mệnh đề Cho hai điểm phân biệt p,q ∈ H+ n tồn đường trắc địa qua hai điểm Chứng minh Giả sử p, q ∈ H+ n Khi đó, ba điểm 0, p, q không thẳng hàng Thật vậy, giả sử ngược lại, q = λp ta có −1 = q, q = λp, λp = λ2 p, p = −λ2 31 (do p, q ∈ H+ n ) suy λ2 = 1, p ≡ q (mâu thuẫn với giả thiết p q phân biệt) Ta gọi mặt phẳng qua ba điểm 0, p, q không thẳng hàng Π Suy p, q ∈ Π ∩ H+ n Theo Định nghĩa 2.3.1, H := H+ n ∩ Π đường hyperbolic H+ n chứa p q Vậy tồn đường trắc địa qua hai điểm phân biệt p, q ∈ H+ n 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau Trình bày khái niệm khơng gian Lorentz – Minkowski số tính chất Trình bày số tính chất độ cong đa tạp nửa Riemann; tốn tử dạng tính rốn siêu mặt nửa Riemann Chứng minh siêu mặt H n siêu mặt tựa không gian (Mệnh đề 2.2.1) Khảo sát độ cong tính rốn hyperbolic không gian Lorentz – Minkowski (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3) Khảo sát đường trắc địa siêu mặt hyperbolic không gian Lorentz – Minkowski (Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.4) Trong thời gian tới tiếp tục khảo sát số tính chất đặc biệt khác siêu mặt hyperbolic không gian Lorentz - Minkowski như: v - rốn, trắc địa hoàn toàn, 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đồn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [2] Khu Quốc Anh – Nguyễn Dỗn Tuấn (2005), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, Nhà xuất Đại học sư phạm [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Hình học Riemann, Đại học Vinh Tiếng Anh [5] Barrett O’Neill (1983), Semi – Riemannian geometry, Academic Press [6] S.Izumiya, D.Pei, MC.Romero – Fusster and M.Takahashi (2005), The horospherical geometry of submanifolds in Hyperbolic space, Department of mathematics, Hokkaido University [7] S.Izumiya, D.Pei and T.Sano (2003), Singulaties of hyperbolic Gauss maps, Proc London Math [8] S.Izumiya, D.Pei and M.C.Romero Fuster (2002), Umbilicity of spacelike submanifolds of Minkowski space, Department of mathematics, Hokkaido University ... ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THU MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI Chun ngành: HÌNH HỌC TƠPƠ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN... α ) dt Điều tương đương vi ă= dt trc giao vi M điểm 21 CHƯƠNG MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHƠNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ – MINKOWSKI Trong chương này, xây dựng... 1.3 Tốn tử dạng tính rốn siêu mặt nửa Riemann 14 1.4 Đường trắc địa đa tạp nửa Riemann 17 MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA HÌNH HỌC VI PHÂN TRÊN KHÔNG GIAN GIẢ HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ