Một số yếu tố hình học đại số trong hình học afin

MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ 1.1 Tập đại số 1.2 Idean 11 1.3 Idean nguyên tố tập bất khả quy 15 1.4 Cấu xạ 20 CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC AFIN 2.1 Ánh xạ afin 26 2.2 Phẳng không gian afin .30 2.3 Siêu mặt bậc hai không gian afin 32 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 LỜI MỞ ĐẦU Hình học đại số mơn tốn học dùng cơng cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta thường dùng phương trình để mơ tả hình hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình Mỗi tập nghiệm gọi tập đại số Hình học đại số ngành học quan trọng toán học đại, có mối liên hệ chặt chẽ với ngành hình học khác : Hình học afin, hình học Ơclit, hình học xạ ảnh với nghành tốn học khác giải tích, tơpơ Cơng cụ hình học đại số đại số giao hốn nên địi hỏi người học phải nắm vững khơng kiến thức hình học mà kiến thức đại số giao hốn Với mong muốn tìm hiểu sâu hình học đại số thơng qua việc nhìn nhận, phân tích số yếu tố hình học afin, tác giả chọn đề tài : ‘‘Một số yếu tố hình học đại số hình học afin’’ Luận văn chia làm chương : Chương : Một số kiến thức hình học đại số Trong chương tác giả trình bày số kiến thức tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ Chương : Một số yếu tố hình học đại số hình học afin Trong chương trình bày số kiến thức hình học afin mang yếu tố hình học đại số : phẳng, siêu mặt bậc hai, ánh xạ afin trình bày khái niệm : Tương đương afin, tương đương đại số, tương đương khả vi, tương đương tôpô mối quan hệ chúng Phần cuối chương tác giả nêu số ví dụ đường mặt phẳng afin, tập đại số idean chúng Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS-TS Nguyễn Huỳnh Phán, người hướng dẫn khoa học cho tác giả trình làm đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Trường đại học Vinh, nơi tác giả học tập nhiệt tình đóng góp ý kiến quý báu Bên cạnh tác giả xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả Chương I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức hình học đại số : Tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ tính chất chúng Nhiều tính chất chúng tơi chứng minh chi tiết mà tài liệu tham khảo chứng minh sơ lược không chứng minh 1.1 Tập đại số 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hốn có đơn vị Vành đa thức n biến x1, x2,…., xn A tập A[X] : = A[x1, x2,…., xn ] Mỗi phần tử f A[X] gọi đa thức, có dạng f =  r r  r d n r1,r2 , ,rn x1r1 x2r2 xn rn với d số tự nhiên r1,r2 , ,rn  A gọi hệ tử Khi A trường ta gọi chúng hệ số Các biểu thức x1r1 x2 r2 xn rn gọi đơn thức Bậc đơn thức x1r1 x2 r2 xn rn tổng số mũ r1 + r2 +… + rn Bậc f  bậc lớn đơn thức f ký hiệu degf Nếu f = 0, ta quy định def =  Nếu  f  A, ta nói degf = Khi degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, ln có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1, phải có hệ số gắn biến khác không 1.1.2 Bổ đề Nếu A miền nguyên deg fg = deg f + deg g Chứng minh Mọi đơn thức fg tích đơn thức f đơn thức g Nếu umax , vmax đơn thức có bậc lớn f g tương ứng với hệ tử khác khơng c, d, đơn thức có bậc lớn fg tích umax vmax với hệ tử cd Do A miền nguyên nên cd  Do deg fg = deg (umax vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g 1.1.3 Bổ đề Nếu A miền nguyền vành đa thức A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Nếu f, g đa thức khác A[X], deg f, deg g  0, nên deg fg  fg  Vậy A[X] miền nguyên Tiếp theo, f g = deg fg = deg f + deg g = 0, f g phần tử khác A Vậy f g phần tử khả nghịch A Cho f đa thức hệ số trường K Coi Kn không gian afin n- chiều Điểm a = (a1, a2,…., an)  Kn gọi nghiệm f f (a ) =  r1r2 rnd r1,r2 , ,rn a1r1a2 r2 an rn = Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi ánh xạ đa thức 1.1.4 Bổ đề n Nếu trường K vơ hạn f(a) = với  a  K  f = Chứng minh Nếu n = 1, đa thức biến khác có hữu hạn nghiệm nên kết hiển nhiên Khi n > 1, giả sử ngược lại, f  Giả thiết f chứa biến xn Viết f dạng f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm với f0 , f1 , f2 , … , fm đa thức n – biến đầu fm  Dùng quy nạp, ta giả thiết tồn b = (b1, b2,…., bn-1)  Kn - cho fm (b1, b2,….,bn-1)  Khi f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn2 f2 (b) …+ xnm fm(b) Đây đa thức khác khơng bậc m biến xn, nên có hữu hạn nghiệm Điều mâu thuẩn với giả thiết f(a) = với a  Kn Hệ Nếu trường K vô hạn f (a) = g(a) với a = (a1, a2,., an)  Kn f = g Chứng minh Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề trên, ta nhận kết Chú ý Nếu K trường hữu hạn tính chất khơng cịn Ví dụ Nếu K = { a1, a2,…., as} f (x) = (x - a1) (x - a2)… (x - as) f triệt tiêu K f  Từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.1.5 Định nghĩa tập đại số Cho K trường, tập V  Kn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n biến K[X] Ví dụ (về tập đại số) Tập rỗng  tập đại số phương trình f = với f  K mà f  vô nghiệm Tập điểm a = (a1, a2,…., an) tập đại số nghiệm hệ n phương trình  xi - a i =  i = 1, 2, , n Các m – phẳng không gian afin Kn tập đại số nghiệm đa thức bậc có phương trình dạng a11x1+a12x2+ +a1nxn+b1=0  ap1x1+ap2x2+ +apnxn+bp=0 Trong n-m  p n ma trận hệ số có hạng n-m Kn tập đại số nghiệm phương trình = Chú ý Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc việc chọn tọa độ, nghĩa V nghiệm hệ đa thức f(x1, x2,…., xn ) S, với tọa độ  xi = ci + ci1 y1 + ci y2 + .+ cin yn  i = 1, 2, , n (y1, y2,…., yn ), ta có  điểm V với tọa độ nghiệm hệ phương trình f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,… , cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f  S Ta ký hiệu tập nghiệm đa f Z(f) Ta có: Nếu deg f = K n , f = Z(f)     ,f  Nếu deg f > Z(f) gọi siêu mặt Nói riêng, deg f = (nghĩa f đa thức bậc nhất) Z(f) siêu phẳng Cho S tập K[X] Ký hiệu Z(S) tập nghiệm tất đa thức S (thường gọi vắn tắt tập nghiệm S), nghĩa Z(S) tập đại số Ta có Z(S) =  Z( f ) f S Chú ý Tương ứng S  Z(S) cho ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn Ví dụ 1/ Nếu f đa thức biến, tập đại số Z(f) : tập rỗng ; tập hữu hạn toàn K 2/ f = x2 – y, Z(f) = { (a, a2) ; a  K } Nó parabol Thật vậy, đặt V = { (a, a2) ; a  K } Ta có V  Z(f) Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên (a1, a2) = (0, 02)  V Khi a1  0, ta có  a =    a2 =  a  a12 a = =  2 :=a a1 a1  a1  a  a22 a22 = =   : = a2 a2 a1  a1  Do ta có (a1, a2)  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 3/ f = x3 – y2 Z(f) = { (a2, a3) ; a  K } Thật vậy, đặt V := { (a2, a3) ; a  K } Chứng minh tương tự trên, ta có V  Z(f) Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên (a1, a2) = (02, 03)  V Khi a1  0, ta có   a2  a13 a22 a = = =   : = a a1 a1   a1     a2  a23 a23  a2 = = =   : = a a2 a1  a1   Do ta có (a1, a2)  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 1.1.6 Mệnh đề (về số tính chất đơn giản ánh xạ Z) 1/ Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) ; 2/ Z(0) = Kn; 3/ Z(c) =  với  c  K; 4/ Z(S1)  Z(S2) = Z(S) với S = { fg; f  S1 g  S2 }; 5/  Z(Si) = Z(  Si) Chứng minh 1/ Giả sử S1  S2 Khi với a Z(S1), tức a nghiệm S1 Do S1  S2 nên a nghiệm S2 Do a  Z(S2).Vậy Z(S1)  Z(S2) Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có 2/ 3/ 4/ Ta có S = { fg; f  S1 g  S2 } nên nghiệm S1 S2 nghiệm S nên Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Ta chứng minh Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Thật vậy, giả sử a  Z(S), tức a nghiệm S Nếu a không nghiệm S1 tồn f  S1 cho f(a)  Khi g  S2 ta có g(a) = nên a  Z(S2), nghĩa Z(S1)  Z(S2)  Z(S) 5/ Cho Si họ tập K[X] Thế a nghiệm tập Si a nghiệm tập  Si Từ ta có điều phải chứng minh Hệ Họ tất tập đại số Kn lập thành tôpô, gọi tôpô Zariski Mỗi phần tử tôpô (tức tập Z(S)) gọi tập đóng Zariski Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) họ tất tập đại số Z(S) Kn Thế họ chứa rỗng, chứa Kn đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên lập thành tôpô Kn Chú ý Mỗi tập mở tôpô Zariski tập dạng 10 Kn \ Z(S) = Kn \  Z( f ) f S =  K n  \ Z(f) f S Ký hiệu D(f) = Kn \ Z(f), họ tất tập mở dạng D(f) lập thành sở tôpô Zariski Kn 1.1.7 Mệnh đề (về số tính chất đơn giản tôpô Zariski) 1/ Hai tập mở Zariski khơng rỗng giao tập mở Zariski; 2/ Mọi tập mở Zariski không rỗng tập trù mật (đối với tôpô Zariski); 3/ Tôpô Zariski không Hausdorff Chứng minh 1/ Mỗi tập mở hợp tập mở sở D(f), nên ta cần chứng minh D(f)  D(g)   với D(f) D(g) không rỗng Thật vậy, D(f)  D(g) = Kn \ Z(f)  Z(g) = Kn \ Z(fg) Nhưng D(f), D(g) khác rỗng nên Z(f) Z(g) khác Kn, f g khác 0, fg  Nên Z(fg)  Kn Tức Kn \ Z(fg) ≠  Vậy ta có (f)  D(g) ≠  Kết luận 2/ 3/ suy từ 1/ Z(S) tập mở khác rỗng tập mở khác rỗng khác giao với nó, lân cận điểm Kn giao khác rỗng với Z(S), nghĩa Z(S) tập trù mật Kn Cho K[Y] = K[y1, y2,…., ym] vành đa thức m ẩn, ký hiệu K[X, Y] = K[x1, x2,…., xn , y1, y2,…., ym] 1.1.8 Mệnh đề Cho S  K[X] T  K[Y] Coi S  T  K[X, Y] Ta có Z(S)  Z(T) = Z(S  T) Chứng minh Ta thấy (a, b)  Kn  Km nghiệm S  T a nghiệm S b nghiệm T nên Z(S)  Z(T) = Z(S  T) 27 Không gian afin A gọi đẳng cấu với khơng gian afin A’ có đẳng cấu afin f: A → A’ Khi ta kí hiệu A f ~ A’ Từ định nghĩa ta suy 1) f: A → A’ đẳng cấu afin ánh xạ tuyến tính liên kết    f : A → A’ đẳng cấu tuyến tính 2) Hai không gian afin đẳng cấu với hai không gian vectơ liên kết chúng đẳng cấu với 3) Không gian afin hữu hạn chiều trường K đẳng cấu với chúng có số chiều 4) Quan hệ đẳng cấu không gian afin trường K quan hệ tương đương 2.1.3 Định nghĩa Phép đẳng cấu afin f: A → A từ không gian afin A lên gọi biến phép đổi afin Nhận xét Một phép biến đổi afin đẳng cấu đa thức Chứng minh: Cho f: Kn → Kn Chọn Kn mục tiêu afin ta có: f(x1, x2,…, xn) = (y1, y2, …, yn), biết tọa độ y1, y2, ,yn cho y1=a11x1+a12x2+….a1nxn yn = an1x1+ an2xn + + annxn 28 Nghĩa tọa độ cho hàm đa thức bậc Hơn ma trận hệ số (aij) khả nghịch nên tọa độ x1, x2,…xn lại tính qua y1, y2,…, yn nghĩa f có hàm ngược, f đẳng cấu đa thức 2.1.4 Nhóm biến phép biến đổi hình hình học Cho X tập hợp khác rỗng, phần tử gọi điểm Khi X cịn gọi khơng gian Mỗi tập X gọi hình Mỗi song ánh f: X → X gọi phép biến đổi không gian X Tập hợp phép biến đổi X làm thành nhóm với phép hợp thành song ánh Mỗi nhóm gọi nhóm phép biến đổi khơng gian X 2.1.5 Định nghĩa Gọi F nhóm phép biến đổi không gian X, H1 H2 hai hình X Khi hình H1 gọi tương đương với hình H2 (đối với nhóm F hay cịn gọi F- tương đương) có phép biến đổi f  F cho (F) f(H1) = H2, ta kí hiệu H1 ~ H2 Từ định nghĩa ta suy 1) Mọi hình H tương đương với (F) (F) 2) Nếu H1 ~ H2 H2 ~ H1 (F) (F) (F) 3) Nếu H1 ~ H2 , H2 ~ H3 H1 ~ H3 Như tập hợp hình khơng gian gian X chia thành lớp F tương đương, cho hai hình thuộc lớp có phép f  F biến hình thành hình Sau đây, ta giả thiết X Rn Cho H1, H2 X hai hình ta nói: 29 1) Hai hình H1 H2 gọi tương đương afin tồn phép biến đổi afin A từ H1 vào H2 Kí hiệu H1 ~ H2 2) Hai hình H1 H2 gọi tương đương đại số tồn đẳng cấu đại số Al từ H1 vào H2 Kí hiệu H1 ~ H2 3) Hai hình H1 H2 gọi tương đương khả vi tồn vi phôi D từ H1 vào H2 Kí hiệu H1 ~ H2 4) Hai hình H1 H2 gọi tương đương tôpô tồn đồng phơi T từ H1 vào H2 Kí hiệu H1 ~ H2 Nhận xét Hai hình tương đương afin tương đương đại số; Hai hình tương đương đại số tương đương khả vi; Hai hình tương đương khả vi tương đương tơpơ Tức là, ta có sơ đồ Al D A T H1 ~ H2  H1 ~ H2  H1 ~ H2  H1 ~ H2 Chiều ngược lại không Chẳng hạn, A3, tồn song ánh từ đường thẳng vào mặt phẳng khơng thể có vi phơi từ đường thẳng vào mặt phẳng Nghĩa 2) không suy 1) Sau ta đưa điều kiện để chúng tương đương 2.1.6 Định lí Hai phẳng Pm Pk không gian afin tương đương đại số m = k 30 Hơn ta có sơ đồ sau: A H1 ~ H2 T H1 ~ H2 Al H1 ~ H2 D H1 ~ H2 Chứng minh Ta có nhận xét trên, nên ta cần chứng minh hai phẳng T Pm ~ Pk chúng chiều Thật vậy, Pm đồng phơi với Pk tồn hai tập mở U  Pm V  Pk cho U đồng phôi với V Nhưng theo Định lí Brouwer bất biến miền (xem tr.199-[9]) dimU = dimV , ta có m=k (đpcm) 2.2 Phẳng khơng gian afin Ta biết khơng gian afin Kn phương trình m - phẳng có dạng: a11x1+a12x2+ +a1nxn+b1=0  ap1x1+ap2x2+ +apnxn+bp=0 Trong n-m  p n ma trận hệ số có hạng n-m Như m-phẳng không gian afin An biểu thị hệ phương trình tuyến tính biến xi mà hạng ma trận hệ số biến n-m Ngược lại hệ phương trình hệ phương trình xác định m-phẳng Đặc biệt siêu phẳng An có phương trình dạng: 31 a1x1 + a2x2 + + anxn + b = 0, hạng ma trận (a1a2 an) 1, tức có ≠ Như vậy, không gian afin An m-phẳng xem giao n-m siêu phẳng Từ ta thấy phẳng tập nghiệm phương trình hay hệ phương trình bậc nên chúng tập đại số Ta có số nhận xét sau: NHẬN XÉT 1/ Phẳng tập đóng tơpơ Zariski, phần bù trù mật với tơpơ Zariski 2/ Nếu V m- phẳng Kn mà ta giả sử tập hợp có dạng V = {( x1, x2,…., xm , 0, …0)  Kn } IV = (xm+1, xm+2,…., xn) nghĩa tập tất đa thức n biến triệt tiêu V lập thành idean sinh n-m đa thức xm+1, xm+2,…., xn Thật vậy, ta viết đa thức K[X] dạng f = hm+1xm+1 + hm+2xm+2 +……+ hnxn + g g  K[x1, x2 ,…., xm] Thế f  IV f(a1, a2 ,…., am, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., am) = với a1, a2 ,…., am  K Điều có nghĩa g = 0, nên f = hm+1xm+1 + hm+2xm+2 +……+ hnxn  (xm+1, xm+2 ,… , xn) Vậy ta có IV = (xm+1, xm+2,…., xn) 32 2.3 Siêu mặt bậc hai không gian afin 2.3.1 Định nghĩa Tập hợp tất điểm X thuộc An cho tọa độ (x1, x2, , xn) n n thỏa mãn phương trình  aij xi x j  2 xi  a0  (1) hệ số i , j 1 i 1 aij, , a0 số thực, aij không đồng thời không aij = aji gọi siêu mặt bậc hai xác định phương trình Nếu (S) siêu mặt bậc hai xác định phương trình (1) phương trình (1) gọi phương trình (S) Với n = n = 2, siêu mặt bậc hai gọi đường bậc hai mặt bậc hai Ta kí hiệu A ma trận (aij), ma trận vuông cấp n mà phần tử hàng i cột j hệ số aij Đặt A = (aij), aij = aji nên A = AT Ta kí hiệu x = (x1, x2, , xn)T a = (a1, a2, , an)T ma trận cột phương trình (1) viết dạng ma trận xtAx + 2atx + a0 = (2) Chú ý A = At hạng ma trận A lớn Siêu mặt bậc hai tập không điểm hàm bậc hai nên tập đại số 2.3.2 Định lý Qua phép biến đổi afin, siêu mặt bậc hai biến thành siêu mặt bậc hai 33 Chứng minh Giả sử ta có siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (2) biến đổi afin có phương trình: x = Bx’ + b (detB ≠ 0) (3) Thay (3) vào (2) ta có (Bx’ + b)t A(Bx’ + b) + 2at (Bx’ + b) + a0 = Khai triển phương trình với ý x’t BtAb = btABx’ (vì hai ma trận vng cấp 1) ta có: x’t A’x’ + 2at x’ + a’0 = (4) A’= Bt AB a’ = Bt (Ab + a) a’0 = btAb + 2atb + a0 Rõ ràng A’ = A’t (vì (BtAB)t = BtAB) hạng A’ = hạng BtAB  (do det B ≠ ) Vậy (4) phương trình siêu mặt bậc hai (S’), ảnh (S) qua phép afin cho 2.3.3 Giao siêu mặt bậc hai với đường thẳng Việc tìm giao siêu mặt bậc hai đường thẳng việc tìm nghiệm hệ phương trình hay tìm giao hai tập đại số tập không điểm siêu mặt bậc hai đường thẳng Cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (2) đường d qua điểm B=(b1, b2, , bn) có khơng gian phương chiều sinh vectơ  c =(c1,c2, , cn) 34 Khi phương trình d viết dạng : x= c + b (5) b c ma trận cột c =(c1, c2, , cn)t b =(b1, b2 , , bn)t Ta tìm giao điểm đường thẳng với siêu mặt bậc hai (S) có phương trình (2) Các giao điểm có tọa độ thỏa mãn (2) (5), để tìm ta phải giải hệ phương trình (2) (5) Thay (5) vào (2) ta có ( c + b)t A( c + b) + 2at ( c + b) + a0 = hay (ctAc)2 + 2P + Q = (6) Trong n t t P = b Ac + a c = n  a bc a c ij i j i , j 1 Q = btAb + 2atb + a0 i j (7) i 1 (8) Nếu  nghiệm (6) cách thay  vào (5) ta tìm tọa độ giao điểm Ta có trường hợp sau: - Nếu ctAc ≠ (6) phương trình bậc hai , có hai nghiệm phân biệt khác, nghiệm kép vô nghiệm Như đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai hai điểm phân biệt điểm không cắt - Nếu ctAc = P ≠ phương trình (6) có nghiệm nhất, tức đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai điểm 35 - Nếu ctAc = 0, P = 0, Q ≠ phương trình (6) vơ nghiệm, tức đường thẳng không cắt siêu mặt bậc hai - Nếu ctAc = 0, P = 0, Q = giá trị  nghiệm phương trình (6), tồn đường thẳng d nằm siêu mặt bậc hai (S) 2.3.4 Định nghĩa: Tâm siêu mặt bậc hai (S) điểm mà ta chọn làm gốc phương n a xx trình (S) có dạng ij i j  a0  i , j 1 Hay viết dạng ma trận xtAx + a0 = với A = (aij) Từ định nghĩa suy điểm M thuộc siêu mặt bậc hai (S) (S) có tâm I điểm M’ đối xứng với M qua I thuộc (S) Vậy (S) ≠  tâm tâm đối xứng (S) 2.3.5 Định lý Trong không gian afin An với mục tiêu chọn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình : xtAx + 2atx + a0 = Điều kiện cần đủ để (S) có tâm detA ≠ Nếu (S) có tâm tập hợp tâm m - phẳng Chứng minh Tịnh tiến mục tiêu chọn {O; } đến mục tiêu {O’; } tức dùng công thức đổi mục tiêu x = x’ + x0 x = (x01 x02 x0n)t ma trận cột tọa đọ điểm O’ mục tiêu{O; }, phương trình (S) mục tiêu {O’; } là: (x’ + x0)t A(x’ + x0) + 2at(x’ + x0) + a0 = 36 Hay x’tAx’ + 2(Ax0 + a)tx’ + a0’ = Điểm O’ = (x01, x02, , x0n) tâm (S) Ax0 + a = Như tọa độ tâm siêu mặt bậc hai (S) nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt: Ax + a = (9) Từ suy ra: - Nếu detA ≠ 0, hệ phương trình nói có nghiệm nhất, tức (S) có tâm - Nếu detA = 0, hệ phương trình vơ nghiệm hay có vơ số nghiệm, tức (S) khơng có tâm có vơ số tâm - Nếu hạng ma trận A r, tất tâm (S) (nếu có) m - phẳng với m =n-r 2.3.6 Định nghĩa Một điểm gọi điểm kì dị siêu mặt bậc hai (S) I (S) I tâm (S) Vậy cho phương trình (S) là: xtAx + 2atx + a0 = điểm kì dị thỏa mãn hệ phương trình t t x Ax+2a x+a0=0  Ax+a=0 hệ phương trình tương đương t t t (x A+a )x+a x+a0=0  Ax+a=0 37 t a x+a0=0  Ax+a=0 Tương tự trên, việc tìm tâm hay điểm kì dị siêu mặt bậc hai việc giải để tìm nghiệm hệ phương trình 2.3.7 Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai    Trong không gian afin An với mục tiêu afin {O; e 1, e , , e n } cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình tổng qt n n a xx ij i i , j 1 j  2 xi  a0  (10) i 1 Chúng ta biết với cách chọn mục tiêu thích hợp, siêu mặt bậc hai (S) An có phương trình thuộc dạng sau: r i i  1,  i  1,1  r  n i i  0,  i  1,1  r  n i i  xr 1 ,  i  1,1  r  n   x i 1 r  x i 1 r  x i 1 Ba dạng gọi phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai Các dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai nêu viết cụ thể sau:  x12  x22   xk2  xk21  xr2  1,1  r  n,  k  r (I) r   x12  x22   xk2  xk21  xr2  0,1  r  n,  k    2 (II) r  x12  x22   xk2  xk21  xr2  xr 1 ,1  r  n  1,  k     2 (III) 38 2.4.8 Định nghĩa Hai siêu mặt bậc hai An gọi loại phương trình chuẩn tắc chúng có dạng (I) (II) (III) với giá trị k r giống Nói cách khác hai siêu mặt bậc hai gọi loại phương trình chuẩn tắc chúng hồn tồn giống Trong khơng gian A2, siêu mặt bậc hai gọi đường bậc hai, phương trình tổng quát chúng là: a11x12 + a22x22 + 2a12x1x2 + 2a1x1 + 2a2x2 + a0 = Sau ta xét số trường hợp cụ thể: 1) x12 + x22 = 1, elip Tập đại số V = {(sin, cos)│  K} IV = ( x12 + x22 -1) Ta cần chứng minh IV  (x12 + x22 -1) Coi đa thức f  K[x1, x2 ] đa thức ẩn x2 với hệ số K[x] Tương tự thuật tốn Euclide ta viết f = h(x12 + x22 -1) + g.x2 + u với g,u  K[x1] Do V  Z( x12 + x22 -1) = { (sin, cos)│  K} nên với f  IV f(sin, cos) = g(sin)cos = với  thuộc tập vô hạn K nên g đa thức 0, nên f = h(x12 + x22 -1), nghĩa f  (x12 + x22 -1) Vậy ta có IV = (x12 + x22 -1) Tương tự ta có 2) - x12 + x22 = 1, hypebol Tập đại số : V = {(tan,  +k} )│  K, ≠ cos  Idean định nghĩa V IV = (- x12 + x22 = 1) 3) x12 = 2x2, parabol 39 a2 Ta có tập đại số V = {(a, ),a  K} Ta cần chứng minh IV  (x12 – 2x2) Coi đa thức f  K[x1, x2] đa thức ẩn x2 với hệ số K[x1] Tương tự thuật tốn Euclide ta viết f = h(x12 – 2x2) + g với g  K[x1] 2 Do V  Z(x12 – 2x2) = { (a, a ), a  K } nên với f  IV f(a, a ) = g(a) = 2 với a thuộc tập vô hạn K nên g đa thức 0, nên f = h(x12 – 2x2), nghĩa f  (x12 – 2x2) Vậy ta có IV = (x12 – 2x2) NHẬN XÉT 1/ Siêu mặt bậc hai An tập đại số nên tập đóng khơng gian An tơpơ Zariski, nên phần bù tập trù mật An với tôpô Zariski 2/ Siêu mặt bậc hai tập bất khả quy khơng phải tập bất khả quy 40 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là: Trình bày xếp theo hệ thống kèm với chứng minh chi tiết khái niệm tập đại số, tôpô Zariski, ánh xạ đa thức, cấu xạ, idean tập đại số tính chất chúng Nêu rõ yếu hình học đại số hình học afin như: Các phẳng tập đại số, siêu mặt tập đại số, phép biến đổi afin đẳng cấu đa thức Chứng minh hai phẳng tương đương đại số chúng chiều Mô tả idean số đường bậc hai không gian A2, từ cho phép nhìn nhận tốn phổ thông cách sâu sắc 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngơ Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http:/www.vietmaths.com [2] Văn Như Cương - Tạ Mân (2002), Hình học afin hình học Ơclit,NXB ĐHQG Hà Nội, Hà Nội [3] Văn Như Cương (1977), Lịch sử hình học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Nhập môn hình học đại số, Viện nghiên cứu phát triển công nghệ [6] Ngô Việt Trung (2009), Nhập môn đại số giao hốn hình học đại số, http:/www.vietmaths.com [7] R.Hartshorne (1977), Algebraic Geometry, Spring - Verlag.Bertand [8] Hauchecorne -Daniel Suratteau (1996) Des Mathématiciens de A Z,Elipses, Paris [9] Ed WinH Spaniner (1966), Algebraic Topology, Mc Graw, New York ... nhận, phân tích số yếu tố hình học afin, tác giả chọn đề tài : ‘? ?Một số yếu tố hình học đại số hình học afin? ??’ Luận văn chia làm chương : Chương : Một số kiến thức hình học đại số Trong chương... số kiến thức tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ Chương : Một số yếu tố hình học đại số hình học afin Trong chương trình chúng tơi bày số kiến thức hình học afin mang yếu. .. Chương MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC AFIN Cơng cụ đại số giúp mơ tả, mơ kết quả, nội dung hình học afin, từ giúp nhìn nhận khía cạnh mang tính chất đại số Trong chương xem xét số đối