Một số yếu tố hình học đại số trong hình học xạ ảnh luận văn thạc sĩ toán học

1 MỤC LỤC Mục lục .1 Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị Phần Vành giáo hoán ….………………………………… … ………… Phần Tập đại số Phần Iđêan 15 Phần Cấu xạ tôpô Zariski … 26 Chương Một số yếu tố hình học đại số hình học xạ ảnh Phần Hình học xạ ảnh ngôn ngữ hình học đại số …….…………… 34 Phần Tập đại số không gian xạ ảnh 40 Phần Một số ví dụ tập đại số iđêan toán học phổ thông …… 43 Phần Phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi tôpô số hình không gian xạ ảnh ………………… ………………………………………………… 48 Kết luận …………………………………………………………………… 51 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 52 LỜI NÓI ĐẦU Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta dùng phương trình để mô tả hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Hình học đại số đóng vai trò trung tâm toán học đại có mối liên hệ với nhiều chuyên ngành khác, Giải tích phức, Số học, Tôpô Có thể thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thông, Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành toán học khác… tập đại số Việc nghiên cứu yếu tố hình học đại số hình học khác, Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh, cần thiết để ta hiểu sâu sắc hình học Vì với mong muốn hiểu biết tốt hình học đại số, ứng dụng hình học khác hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán nên chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH” Luận văn chia làm hai chương: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày định nghĩa tính chất vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ tôpô Zariski Chương MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH Trong chương này, trình bày khái niệm không gian xạ ảnh ngôn ngữ hình học đại số; tập đại số; nêu mối quan hệ chúng; phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi, tôpô số hình phẳng không gian xạ ảnh Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đặt toán, dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả tận tình hướng dẫn tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Sau Đại học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình công tác học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2012 Tác giả luận văn CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần VÀNH GIAO HOÁN Trong phần này, nhắc lại số khái niệm vành, miền nguyên, trường iđêan Đây kiến thức có liên quan tới phần sau 1.1 Định nghĩa Tập hợp V gọi vành có hai phép toán hai kí hiệu theo thứ tự dấu “+” “.” Và gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thõa mãn: V với phép cộng nhóm Aben; V với phép nhân nhóm; Phép nhân phân phối với phép cộng: Với phần tử tùy ý x, y, z  V ta có x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Phần tử trung lập phép cộng kí hiệu gọi phần tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) phần tử x kí hiệu -x gọi đối x Nếu phép nhân giao hoán V gọi vành giao hoán Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị V thường kí hiệu 1, ta gọi V vành có đơn vị Phần tử x vành V giao hoán, có đơn vị 1, gọi khả nghịch tồn y  V cho xy = Khi x gọi ước đơn vị Tập tất ước đơn vị V lập nên nhóm Nếu a = bc V ta nói b ước a; hay b chia hết a; hay a chia hết cho b; hay a bội b 1.2 Ước không; Miền nguyên 1.2.1 Ước không Phần tử a  V, a ≠ gọi ước có b  V, b ≠ thõa mãn quan hệ ab = 1.2.2 Miền nguyên Một vành V có nhiều phần tử, giao hoán, có đơn vị, ước gọi miền nguyên Phần tử không khả nghịch f miền nguyên V gọi bất khả quy có phân tích f  gh g hay h phần tử khả nghịch 1.3 Vành Giả sử V vành, A phận V thõa mãn x + y  A xy  A với x, y  A Khi A gọi vành vành V; A với hai phép toán cảm sinh A vành 1.4 Iđêan Vành A vành V gọi iđêan thõa mãn điều kiện xa  A ax  A với x  V, a  A 1.5 Vành thương Cho V vành giao hoán có đơn vị I iđêan vành V Qua I, ta có quan hệ tương đương V cho bởi: x, y  V Khi đó: x ~ y  x - y  I Do đó, ta có tập thương V I : {x + I | x  V} vành gọi vành thương với hai phép toán: 1/  x  I    y  I   x  y  I ,  x, y V ; 2/  x  I  y  I   xy  I ,  x, y V 1.6 Đồng cấu 1.6.1 Định nghĩa 1/ Một đồng cấu vành ánh xạ từ vành X đến vành Y, f : X → Y cho f(a + b) = f(a) + f(b) f(ab) = f(a)f(b) với a, b  X 2/ Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu X 3/ Nếu đồng cấu vành f đơn ánh f gọi đơn cấu vành, đồng cấu vành f toàn ánh f gọi toàn cấu vành, đồng cấu vành f song ánh f gọi đẳng cấu vành Khi X đẳng cấu với Y ta kí hiệu X  Y 1.5.2 Một số định lí 1/ Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế Imf vành Y Kerf iđêan X 2/ Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y, p : X  X/Kerf toàn cấu tắc từ vành X đến vành thương X Kerf Thế thì: (i) Có đồng cấu nhất: f : X/Kerf  Y cho tam giác sau: X f Y p f X/Kef giao hoán, nghĩa f = f p (ii) Đồng cấu f đơn cấu Im f = f(X) 3/ Với đồng cấu f : X  Y từ vành X đến vành Y, ta có f(X)  X/Kerf 1.6 Trường Miền nguyên K phần tử khác phần tử nghịch đảo vị nhóm nhân gọi trường Vậy vành K giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử trường K\{0} nhóm phép nhân K 1.7 Định nghĩa Trường K gọi đóng đại số đa thức thực (nghĩa có bậc dương) có nghiệm K Phần TẬP ĐẠI SỐ Trong phần này, nhắc lại định nghĩa, tính chất vành đa thức, tập đại số, tôpô Zariski chứng minh chi tiết số tính chất mà tài liệu tham khảo không chứng minh bỏ qua 2.1 VÀNH ĐA THỨC 2.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị n số nguyên không âm Vành đa thức A[ x1, x2, , xn] n biến x1, x2, , xn A định nghĩa theo quy nạp sau: A[ x1, x2, , xn] : A[ x1, x2, , xn-1][xn] Tức A[ x1, x2, , xn] vành đa thức biến xn vành A[ x1, x2, , xn-1] Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, , xn] Khi A[X] vành giao hoán có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức thông thường Các phần tử A[X] gọi đa thức, đa thức f  A[X] có dạng: f = r  r ,r , r x1 r +r + +r d 1 n n r2 rn x2 xn Với d số tự nhiên r1,r2, rn  A, phần tử r1,r2, rn≠ gọi hệ tử đa thức r1 r2 rn biểu thức x1 x2 xn kèm theo gọi đơn thức f 2.1.2 Bậc đa thức Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + + rn | r1,r2, rn≠ 0} f ≠ đặt degf  - f  Khi degf gọi bậc f Nếu degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + a nx n + an+1, phải có hệ số gắn biến khác không Người ta thường viết đa thức nhiều biến theo thức tự biến theo giá trị giảm dần bậc đơn thức, nghĩa là, coi x1r1 x2r2 xn rn > x1s1 x2 s2 xn sn r1 + r2 +… + rn > s1 + s2 +… + sn r1 + r2 +… + rn = s1 + s2 +… + sn tọa độ khác không véctơ (r1 – s1, r2 – s2 ,… , rn - sn ) dương 2.1.3 Ví dụ Với biến x1, x 2, ta có x1m > x1m 1x2 > x1m x22 >  x2m   x1  x2 2.1.5 Mệnh đề Nếu A miền nguyên degfg = degf + degg với đa thức f, g  A[X] Chứng minh Mọi đơn thức fg có dạng uv với u đơn thức f v đơn thức g Gọi umax, vmax đơn thức bậc lớn f, g theo thứ tự nêu Với u ≠ umax v ≠ vmax ta có uv < umaxvmax, uv ≠ umaxvmax Gọi c, d  A hệ tử tương ứng umax, vmax Vì c, d ≠ nên cd ≠ Khi cdumaxvmax hạng tử fg Do đó: deguv  degumaxv max = degumax + degvmax = degf + degg Vậy degfg = degf + degg 2.1.6 Mệnh đề Nếu A miền nguyên A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Giả sử f, g đa thức khác A[X] Khi degf, degg  nên degfg  fg ≠ Vì A[X] miền nguyên Tiếp theo, fg = degfg = degf +degg = 0, suy degf = degg = 0; f, g phần tử khác A Vì f, g phần tử khả nghịch A 2.1.7 Nhận xét Nếu K trường 1/ Với f, g  K[X] ta có deg(fg) = degf + degg 2/ K[X] miền nguyên fg ≠ f, g ≠ 3/ K tập phần tử khả nghịch K[X] fg ≠ f  K g  K 2.1.8 Nghiệm đa thức Cho A vành giáo hoán có đơn vị f=  r ,r , r r +r + +r d giá trị: f(a) = n r1 r2  r ,r , r r +r + +r d n rn x1 x2 xn với d  N Với a = (a1, a2, an)  An ta có n r1 n r2 rn a1 a2 an Khi điểm a gọi nghiệm f f(a) = ta nói f triệt tiêu a Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : K n  K; a  f(a), gọi ánh xạ đa thức 2.1.9 Bổ đề Giả sử K trường có vô hạn phần tử Nếu f(a) = với a  Kn f = Chứng minh +) Nếu n = f đa thức biến nên f đa thức bậc d ≥ f có hữu hạn nghiệm điều mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn +) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn ta viết f dạng f = f0 + f1xn + f2xn + + fdxnd; f0, f1, , fd  K[ x1, x2, , xn-1] 10 fd ≠ Suy tồn số (a1, a2, , an-1) cho f(a1, a2, , an-1) ≠ Do f0(a1, a2, , an-1) + f1(a1, a2, , an-1 ) xn + + fd(a1, a2, , an-1)xnd đa thức biến xn có bậc d nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức triệt tiêu với a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí) Vậy f = Từ suy điều phải chứng minh 2.1.10 Nhận xét Bổ đề không K trường hữu hạn Chẳng hạn K = {1,2, ,n } đa thức f = (x-1)(x-2) (x-n) đa thức khác triệt tiêu toàn K 2.1.11 Hệ Giả sử K trường có vô hạn phần tử Cho f g hai đa thức K[X] Nếu f(a) = g(a) với a  Kn f = g Trong luận văn này, từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 2.2 TẬP ĐẠI SỐ 2.2.1 Định nghĩa Cho K trường, tập V  Kn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n biến K[X] 2.2.2 Ví dụ 1/ Tập rỗng  tập đại số phương trình = vô nghiệm 2/ Mọi điểm a = (a1, a2, , an) tập đại số a nghiệm hệ phương trình:  x1  a1    x2  a2     xn  an  3/ Không gian Kn tập đại số phương trình = với điểm Kn 4/ Các m – phẳng không gian afin An tập đại số nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng: 38 Đặt g(x) = f0(a) + f1(a)x + f2(a)x2 +……+ ft(a)xt ta thấy f(ua) = g(u) = Nhưng g(u) = với u  K g = (là đa thức không), hay f0(a) = f1(a) = f2(a) =……= ft(a) = 0.(đpcm) 1.8 Định nghĩa Với hệ đa thức S, ta ký hiệu Z+(S) : = { a  Pn | f(a) = với f  S} gọi tập đa tạp xạ ảnh Có thể đồng tập Z+(S) tập đường thẳng Z(S) qua gốc tọa độ Nếu S tập hữu hạn S = {f1, f2 ,……, ft }, ký hiệu Z+(S) = Z+( f1, f2 ,……, ft) Nếu deg f > Z+(f) gọi siêu mặt Pn 1.9 Ví dụ 1/ Z+(0) = Pn; 2/ Z+ (aixj - ajxi ; i, j = 0, 1, 2, …., n) = {a} với a = (a0, a1, a2,…., an); 3/ Z+ (x 0x – x12 ) = {(u2 , uv, v2); u, v   (u, v)  (0, 0)} ; 4/ Z+( x 0, x1, x2,…., xn ) =  ; Chứng minh 1/ Z+(0) = {a  Pn | 0(a) = 0} = Pn 2/ Z+(aixj - ajxi ; i, j = 0, 1, 2, , n) = {a(b0, b1, …, bn)  Pn | ( aixj - ajx i)(a) = 0; i, j = 0, 1, 2, , n} = {a(b0, b1, …, bn)  Pn | aibj - ajbi = 0; i, j = 0, 1, 2, …, n} = { a(b0, b1, …, bn)  Pn | bi = ai, bj = aj; i, j = 0, 1, 2, …, n} = {a} với a = (a0, a1, a2,…., an) 3/ Z+ (x0x2 – x 12 ) = {a(a0, a1, a2)  P2 | (x0x2 – x12 )(a) = 0} 39 = {a(a0, a1, a2)  P2 | a0a2 - a12 = 0} = {a(a0, a1, a2)  P2 | a 0a2 = a12} = {a(a0, a1, a2)  P2 | a 0a2 = a12} = {a(a0, a1, a2)  P2 | a0 = u2, a1 = uv, a2 = v2; u, v   (u, v)  (0, 0)} = {(u2 , uv, v2); u, v   (u, v)  (0, 0)} 4/ Z+( x0, x1, x 2,…., xn ) = {a(a0, a1, …,)  Pn | xi(a) = 0; i = 0, 1, …, n} = {a(a0, a1, …,)  Pn | = 0; i = 0, 1, …, n} =  1.10 Mệnh đề Họ tất đa tạp xạ ảnh không gian xạ ảnh Pn lập thành tôpô theo ngôn ngữ tập đóng, nghĩa họ đóng kín với hợp hữu hạn giao tùy ý, chứa tập rỗng chứa Pn Chứng minh Từ định nghĩa số tính chất ta thấy họ tất đa tạp xạ ảnh lập thành tôpô với chúng tập đóng Tôpô nói Mệnh đề gọi tôpô Zariski Pn Ta xây dựng mối quan hệ đa tạp xạ ảnh Pn với iđêan vành đa thức  [x0, x1, x ,….,x n] giống mối quan hệ tập đại số  n với iđêan vành đa thức  [ x 1, x2 ,….,xn] Ký hiệu (X) : (x0, x1, x ,…., xn) (X) iđêan cực đại  [X] iđêan  [X] nằm (X) Với tập V  Pn, định nghĩa IV : { f    X *  ; a nghiệm xạ ảnh f với a  V } Tập IV gọi iđêan tập V Nếu V gồm điểm a ký hiệu Ia Ta thấy f  IV thành phần f thuộc IV Vì IV iđêan 1.11 Ví dụ 40 1/ I  = (X); 2/ I{a} = (aix j - ajxi ; i, j = 0, 1, 2, …., n) ; 3/ I Pn = (0) Chứng minh 1/ Theo định nghĩa; 2/ Cho a = (a0, a1, a2,…., an) Giả sử a0 = Viết đa thức f dạng f = h1(x1 - a1x0 ) + h2(x2 - a2x0 ) + ………+ hn(x n - anx0 ) + v với v đa thức biến x0  [x0] Ta thấy f(1, a1, a2,…., an) = v = Từ suy I{a} = (x - a1x0 , x2 - a2x0,… , xn - a nx ) = (aixj - ajxi ; i, j = 0, 1, 2, …., n) 3/ Theo định nghĩa Phần TẬP ĐẠI SỐ TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Trong phần này, trình bày số khái niệm tính chất tập đại số không gian xạ ảnh 2.1 Định nghĩa Tập V  Pn gọi tập đại số nghiệm họ đa thức n + biến   X *  Chú ý rằng, giả sử f1, f2, , fr    X *  đa thức Khi đó, tập hợp V( f1, f2, , fr) = {(a0, a1, , an)  Pn | fi(a0, a1, , an) = 0, i = 1, 2, , r} gọi tập đại số xác định f1, f2, , fr 2.2 Ví dụ Các đa thức bậc đa thức dạng 41 f  x0, x1 , , xn   a0 x0  a1 x1   an xn ;   0, i  0, , n Tập đại số Z(f)  Pn(  ) gọi siêu phẳng Chẳng hạn, n = ta gọi Z(f) đường thẳng; n = ta gọi Z(f) mặt phẳng 2.3 Nhận xét 1/ Các m - phẳng không gian xạ ảnh tập đại số không gian xạ ảnh 2/ Các siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh tập đại số không gian xạ ảnh 2.4 Các tập đại số P2(  ) 1/ Đường ôvan ảo: x02  x12  x22  Đặt f  x02  x12  x22 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2)  P2(  ) | x02  x12  x22  } =  2/ Đường ôvan:  x02  x12  x22  Đặt f   x02  x12  x22 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2)  P2(  ) |  x02  x12  x22  } 3/ Cặp đường thẳng ảo liên hợp: x02  x12  Đặt f  x02  x12 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2)  P2(  ) | x02  x12  } = (0:0:1) 4/ Cặp đường thẳng:  x02  x12  Đặt f   x02  x12 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2)  P2(  ) |  x02  x12  } 42 5/ Cặp đường thẳng trùng nhau: x02  Đặt f  x02 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2)  P2(  ) | x02  } 2.5 Các tập đại số P3(  ) 1/ Mặt trái xoan ảo: x02  x12  x22  x32  Đặt f  x02  x12  x22  x32 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) | x02  x12  x22  x32  } =  2/ Mặt trái xoan:  x02  x12  x22  x32  Đặt f   x02  x12  x22  x32 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) |  x02  x12  x22  x32  } 3/ Mặt kẻ bậc hai:  x02  x12  x22  x32  Đặt f   x02  x12  x22  x32 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) |  x02  x12  x22  x32  } 4/ Mặt nón ảo: x02  x12  x22  Đặt f  x02  x12  x22 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) | x02  x12  x22  } = (0:0:0:1) 5/ Mặt nón:  x02  x12  x22  Đặt f   x02  x12  x22 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) |  x02  x12  x22  } 43 6/ Cặp mặt phẳng ảo liên hợp: x02  x12  Đặt f  x02  x12 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) | x02  x12  } 7/ Cặp mặt phẳng:  x02  x12  Đặt f   x02  x12 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) |  x02  x12  } 8/ Cặp mặt phẳng trùng nhau: x02  Đặt f  x02 Khi tập đại số V = Z(f) = {(A(x 0, x1, x2, x3)  P3(  ) | x02  } Phần MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ TẬP ĐẠI SỐ VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG TRONG TOÁN HỌC PHỔ THÔNG Trong phần này, trình bày tập đại số iđêan số hình toán học phổ thông Đây kết rút từ thực tiễn giảng dạy sở kiến thức Hình học đại số 3.1 Các hình  1/ Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 ≠ a) Tập đại số Đặt f(A) = ax + by + c với A(x, y)  R2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(A) = ax + by + c = 0} c b +) Nếu a = 0, b ≠ Z(f) = {A(,  ) |  R} 44 c a +) Nếu a ≠ 0, b = Z(f) = {A(  ,  ) |  R} a b c b +) Nếu ab ≠ Z(f) = {A(,    ) |  R} b) Iđêan IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } 2/ Đường tròn có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = r2 với a, b, r  R a) Tập đại số Đặt f(A) = (x - a)2 + (y - b)2 - r2 với A(x, y)  R2 Khi V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(A) = (x - a)2 + (y - b)2 - r2 = 0} hay V = Z(f) = {(, b - r2-(-a)2 ) |(r-a, r+a)}{(, b + r2-(-a)2 ) |(r-a, r+a)} b) Iđêan IV = ( x  a)  ( y  b)2  r 3/ Đường elip có phương trình a) Tập đại số Đặt f(x, y)  x2 y   Khi ta có tập đạ số: a b2 V = Z(f) = {A(x, y) | f(x, y)  V = Z(f) = {(,  b) Iđêan IV = x2 y   với a > b > a b2 x2 y    } hay a b2 b b a   ) |    a, a  }  {(, a   ) |    a, a  } a a  x y   x2 y2       1 f | f  R  x, y  2 a b b   a  Như vậy, đường tròn (O) elip (E) đẳng cấu đa thức với nên Z(O) đẳng cấu với Z(E) 45 4/ Đường hypebol có phương trình a) Tập đại số Đặt f(x, y)  x2 y2   Khi ta có tập đạ số: a b2 V = Z(f) = {A(x, y) | f(x, y)  V = Z(f) = {(,  b) Iđêan IV = x2 y   với a > 0, b > a b2 x2 y    } hay a b2 b b   a ) |   a }  {(,   a2 ) |   a } a a  x y   x2 y        f | f  R  x, y  2 a b   a b  5/ Đường Parabol có phương trình y2 = 2px với p > a) Tập đại số Đặt f(x, y) = y2 - 2px Khi ta có tập đại số: 2 V = Z(f) = {A(x, y)  R | f(x, y) = y - 2px = 0} = { ( , ) |  R} 2p 2 b) Iđêan IV = y  px   y  px  f | f  R[x, y] Như vậy, Đường thẳng (d) Parabol (P) đẳng cấu đa thức với nên Z(d)  Z(P) 6/ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với a, b, c  R a ≠ a) Tập đại số Đặt f(x, y) = ax2 + bx - y + c Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(x, y) = ax2 + bx -y + c = 0} = ((, a2 + b + c) |  R} b) Iđêan IV = ax  bx  y  c   ax  bx  y  c  f | f  R[x, y] 7/ Hàm số bậc ba y = ax3 +bx2 + cx + d với a, b, c, d  R a ≠ a) Tập đại số Đặt f(x, y) = ax3 +bx2 + cx - y + d Khi đó: 46 V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(x, y) = ax3 +bx2 + cx - y + d = 0} = {(, a3 + b2 + c + d) |  R} b) Iđêan IV = ax  bx  cx-y+d   ax  bx  cx-y+d  f | f  R[x, y ] 8/ Hàm số trùng phương y = ax4 +bx2 + c với a, b, c  R a ≠ a) Tập đại số Đặt f(x, y) = ax4 +bx2 - y + c Khi ta có: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(x, y) = ax4 +bx2 - y + c = 0} = {(, a4 + b2 + c) |  R} b) Iđêan IV = ax  bx  y  c   ax  bx  y  c  f | f  R[x, y ] 9/ Hàm phân thức y = ax+b với a, b, c, d  R ad-bc ≠ 0, c ≠ cx+d a) Tập đại số Đặt f(x, y) = ax+b - y Khi đó: cx+d V = Z(f) = {A(x, y)  R | f(x, y) = b) Iđêan IV = ax+b a+b - y = 0} = {(, ) |  R} cx+d c+d ax  b  ax  b    y    y  f | f  R[x, y ] cx  d   cx  d  3.2 Các hình  1/ Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = với a2 + b2 +c2 ≠ a) Tập đại số Đặt f(x, y, z) = ax + by +cz + d Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y, z)  R3 | f(x, y, z) = ax + by + cz +d = 0} 47 +) Nếu a = bc ≠ V = Z(f) = {(, , -b-d ) | ,   R} (tương tự cho c trường hợp b = ac ≠ c = ab ≠ 0); +) Nếu a = 0, b = c ≠ V = Z(f) = {(, , -d ) | ,   R} (tương tự cho c trường hợp a = 0, c = b ≠ a ≠ 0, b = c = 0) b) Iđêan IV = ax  by  cz  d   ax  by  cz  d  f | f  R[x, y, z ] 2/ Mặt cầu có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 với a, b, c, r  R a) Tập đại số Đặt f(x, y, z) = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - r2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y, z)  R3 | f(x, y, z) = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - r2 = 0} = { (, , c - r2-(-a)2-(-b)2 ) | r-a <  < r + a, r-b <  < r + b}  { (, , c + r2-(-a) 2-(-b)2 ) | r-a <  < r + a, r-b <  < r + b} b) Iđêan 2  2   IV =  x  a    y  b    z  c   r   x  a    y  b    z  c   r f | f  R[x, y, z ] 3/ Đường thẳng Trong không gian cho hai mặt phẳng () () cắt có phương trình: (): Ax + By + Cz + D = 0; Khi phương trình đường thẳng  là: (): A’x + B’y + C’z =  Ax  By  Cz  d   A' x  B ' y  C ' z  D '  a Tập đại số Đặt f1(x, y, z) = Ax + By + Cz + D; f2(x, y, z) = A’x + B’y + C’z + D’ 48 Ta có: V1 = Z(f1) = {M(x, y, z)  R3 | f1 = Ax + By + Cz + D = 0} V2 = Z(f2) = {M(x, y, z)  R3 | f2 = A’x + B’y + C’z + D’ = 0} Khi đó: V = V1  V2 = Z(f1)  Z(f2) b Iđêan IV = {f.(Ax + By + Cz + D) +g.(A’x + B’y + C’z + D’) | f, g  R[x, y, z]} Phần PHÂN LOẠI XẠ ẢNH, ĐẠI SỐ, KHẢ VI VÀ TÔPÔ MỘT SỐ HÌNH TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH Trong phần này, trình bày việc phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi tôpô số hình P n(  ) Ở có kết phát khảo sát yếu tố hình học đại số hình học xạ ảnh (Định lí 4.5.3) 4.1 Nhóm phép biến đổi hình hình học Cho X tập, phần tử gọi điểm Mỗi tập X gọi hình Khi X gọi không gian Mỗi song ánh f: X → X gọi phép biến đổi không gian X Tập hợp phép biến đổi X làm thành nhóm với phép hợp thành song ánh Mỗi nhóm gọi nhóm phép biến đổi không gian X 4.2 Định nghĩa Cho F nhóm phép biến đổi không gian X, H1 H2 hai hình X Khi hình H1 gọi tương đương với hình H2 (đối với nhóm F hay gọi F- tương đương) có phép biến đổi f  F cho F f(H1) = H2 kí hiệu: H1 ~ H2 4.3 Nhận xét 1/ Mọi hình H tương đương với 49 F F 2/ Nếu H1 ~ H2 H1 ~ H2 F F F 3/ Nếu H1 ~ H2, H2 ~ H3 H1 ~ H3 Như tập hợp hình không gian gian X chia thành lớp F - tương đương, cho hai hình thuộc lớp có phép f  F biến hình thành hình 4.4 Ví dụ 1/ Hai đơn hình Rn có số đỉnh tương đương afin 2/ Hai m - hộp Rn tương đương afin 3/ Hai m - phẳng Rn tương đương afin 4/ Hai m - phẳng Pn tương đương xạ ảnh 4.5 Phân loại xạ ảnh, đại số, khả vi tôpô số hình Pn(  ) 4.5.1 Định nghĩa Cho hai hình H1, H2  Pn(  ) f: Pn(  ) → Pn(  ) song ánh cho f(H1) = H2 Khi đó: P 1/ H1 tương đương xạ ảnh với H2 f đẳng cấu xạ ảnh kí hiệu H1 ~ H2 Al 2/ H1 tương đương đại số với H2 f đẳng cấu đa thức kí hiệu H1 ~ H2 T 3/ H1 tương đương tôpô với H2 f đồng phôi kí hiệu H1 ~ H2 4.5.2 Nhận xét Hai hình tương đương xạ ảnh tương đương đại số; Hai hình tương đương đại số tương đương tôpô Tức là, ta có sơ đồ 50 P T Al H1 ~ H2  H1 ~ H2  H1 ~ H2 4.5.3 Định lí Hai phẳng Pm Pk không gian xạ ảnh Pn(  ) tương đương đại số m = k Hơn ta có sơ đồ sau: P H1 ~ H2 Al H1 ~ H2 T H1 ~ H2 (Dấu  nghĩa khi) Chứng minh Ta có nhận xét trên, nên ta cần chứng minh hai phẳng T Pm ~ Pk chúng chiều Thật vậy, Pm đồng phôi với Pk tồn hai tập mở U  Pm V  Pk cho U đồng phôi với V Nhưng theo Định lí Brouwer bất biến miền (xem tr.199-[10]) m = dimU = dimV = k (đpcm) 51 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày lại theo hệ thống để phục vụ cho luận văn Đại số giao hoán Trình bày có chứng minh chi tiết kiến thức tập đại số, tập đại số bất khả quy, iđêan tập đại số, cấu xạ (ánh xạ liên tục tô pô Zariski) Các chứng minh cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Trình bày khái niệm tương đương xạ ảnh, tương đương đại số, tương đương khả vi tương đương tôpô Nêu điều kiện cần đủ để hai phẳng không gian xạ ảnh tương đương đại số chúng chiều Trình bày số tập đại số toán học phổ thông iđêan Qua có thêm cách (hình học đại số) để nhìn nhận toán phổ thông cách sâu sắc Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu hình học đại số hình học khác, chẳng hạn Hình học Ơclit, Hình học afin Vinh, tháng năm 2012 Tác giả luận văn 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://thuvientoanhoc.net.vn [2] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội [3] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội [4] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng - Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Công Nghệ Mới [5] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội [6] Ngô Việt Trung(2009), Đại Số Giao Hoán & Hình Học Đại Số, http://thuvientoanhoc.net.vn [7] Sách giáo khoa phổ thông: Đại số hình học 10; Đại số giải tích 11, hình học 11; Giải tích 12, hình học 12 NXB giáo dục năm 2008 TIẾNG ANH [8] I.R.Shafarevich(1994), Basic in Algebraric Geometry, Springer [9] Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry, New York Haidelborg Berlin [10] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK COMPANY, Professor of Mathematics University of California, Berkely TIẾNG PHÁP [11] Bertrand HAUCHECORNE – Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A Z, Ellipses Paris [...]... Z(S  T) 2.2.6 Nhận xét Từ các kết quả trên ta tóm tắt lại như sau: 14 1/  là tập đại số 2/ Kn là tập đại số 3/ Hợp của hai tập đại số là một tập đại số 4/ Giao của một họ bất kỳ các tập đại số cũng là một tập đại số 5/ Tích của hai tập đại số là một tập đại số 6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho bởi S  Z(S) là một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không... kết quả tương tự Đa thức f    X *  gọi là đa thức thuần nhất nếu mọi đơn thức của nó có cùng bậc Phần 1 HÌNH HỌC XẠ ẢNH TRONG NGÔN NGỮ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của hình học xạ ảnh bằng ngôn ngữ hình học đại số 1.1 Không gian xạ ảnh Kí hiệu   X *  là vành đa thức n+1 biến  [ x0 , x1 , , xn ] Đa thức f    X *  được gọi là đa thức... cấu Nhưng  là cấu xạ trội nên  * là đơn cấu và do đó  * là đẳng cấu vành, cho nên  là đẳng cấu đa thức, nghĩa là F là phép nhúng CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH Trong chương này ta ký hiệu K[X*] = K[x0, x1, x2 ,….,xn] là vành đa thức n + 1 biến trên trường K với K là trường số thực hoặc số phức Tuy nhiên ta chỉ xét K là trường số thực vì trường hợp số phức là tượng tự...  IV W Kết luận: V  W  V  W 3.16 Nhận xét 1/ Nếu V là tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV) Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV Vì vậy, IV còn gọi là iđêan định nghĩa của tập đại số V 2/ Các ánh xạ I và Z trong sơ đồ Z  K[ X ]      I    Kn thu hẹp trên họ Z(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau: Z(IV) = V Nói cách khác, trong sơ đồ sau,... bất kỳ trong Kn đều là phần bù của một tập đại số Z(S) Do Z(S) =  Z(f) nên fS 15 U = Kn \  Z(f) =  (Kn \ Z(f)), suy ra U = fS fS  D(f) (đpcm) fS 3/ Khi K = ,  (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong  n ,  n với tôpô thông thường trên  n ,  n là các tập đóng vì Z(S) =  f-1(0) trong đó f-1 là fS ngược ảnh của {0} của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K... Cho S là một tập con của K[X], kí hiệu Z(S) = {a  Kn : f(a) = 0, f  S}; Vậy 12 Z(S) =  Z(f) thế thì Z(f) là một tập đại số và vì vậy mọi tập đại số đều là giao fS của các tập dạng Z(f), khi này ta cũng nói Z(S) là tập đại số của tập các đa thức S 2.2.2.4 Nhận xét 1/ Khi n  1 thì mọi đa thức bậc dương chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập đại số trong K là tập hữu hạn Ngược lại mọi tập hữu hạn trong K... h  K[x, y]} = {xyu + y3v | u, v  K[x, y]} = xy, y 3 3/ I  J = xy, y 2 3.4 Bổ đề Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan nào đó 17 Chứng minh Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I  S là iđêan sinh bởi S Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại số của iđêan I Thật vậy: Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (1) Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần... hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức) Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xạ 4.2.2 Chú ý Về sau ta sẽ chứng minh các ánh xạ đa thức F như vậy là ánh xạ liên tục trên tôpô Zariski 4.2.3 Ví dụ 1/ Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ; 2/ Ánh xạ đồng nhất IdV trên V là ánh xạ đa thức vì idV : V → V cho bởi IdV (a) = (p1(a), p2(a),… , p n(a)),... tất cả các tập đại số trong không gian afin Kn lập nên một tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) 2.3 Tô pô Zariski 2.3.1 Định nghĩa Họ TZ = {U | U = Kn \V, V là tập đại số} lập thành một tôpô trên không gian afin Kn và gọi là tôpô Zariski 2.3.2 Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski) 1/ TZ là tô pô 2/ Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành một cơ sở cho tô... các tập đại số sang nghiên cứu các iđêan dạng IV Hơn nữa, họ tất cả các iđêan IV dạng { I ; V  K n là tập đại số} V lập nên một tôpô trong K[X] đồng phôi với tôpô Zariski trong Kn Do đó cần nghiên cứu kỹ các iđêan dạng IV 25 3.17 Iđêan nguyên tố 3.17.1 Định nghĩa Iđêan thực sự I của vành A gọi là iđêan nguyên tố nếu fg  I thì hoặc f  I hoặc g  I 3.17.2 Ví dụ 1/ iđêan 0 là iđêan nguyên tố khi và ... afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh nhiều hình thường xét ngành toán học khác… tập đại số Việc nghiên cứu yếu tố hình học đại số hình học khác, Hình học afin, Hình học Ơclit, Hình học xạ ảnh, ... hình học Vì với mong muốn hiểu biết tốt hình học đại số, ứng dụng hình học khác hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán nên chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH Luận văn. .. SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC XẠ ẢNH Trong chương này, trình bày khái niệm không gian xạ ảnh ngôn ngữ hình học đại số; tập đại số; nêu mối quan hệ chúng; phân loại xạ ảnh, đại số, khả