Một số yếu tố hình học đại số trong hình học sơ cấp

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu .2 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ Phần Các kiến thức hình học đại số …………………… Phần Tổng quan chương trình hình học sơ cấp toán phổ thông 24 CHƯƠNG II : MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 Các tập đại số hình học sơ cấp 25 2.2 Cấu xạ Tôpô Zariski đẳng cấu đa thức số hình học hình học sơ cấp 28 2.3 Thể iđêan tập đại số hình học sơ cấp 33 Kết luận …………………………………………………… 38 Tài liệu tham khảo ………………………………… 39 LỜI NÓI ĐẦU Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta dùng phương trình để mô tả hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Hình học đại số đóng vai trò trung tâm toán học đại có mối liên hệ với nhiều chuyên ngành khác, Giải tích phức, Số học, Tôpô Có thể thấy hầu hết hình hình học hình học phổ thông điểm, đường thẳng, đường tròn, tập đại số Qua trình giảng dạy học tập chuyên ngành hình học đại số thấy hình học đại số có mối liên hệ mật thiết với hình học sơ cấp Để hiểu sâu hình học ứng dụng hình học sơ cấp, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Luận văn chia làm hai chương: CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày định nghĩa tính chất vành giao hoán, tập đại số, iđêan, vành tọa độ nội dung Hình học sơ cấp toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương này, trình bày yếu tố hình học hình học sơ cấp gồm nội dung : Tập đại số hình học sơ cấp iđêan chúng, tìm mối liên hệ tập đại số qua phép đẳng cấu Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đặt toán, dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả tận tình hướng dẫn tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Sau Đại học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình công tác học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 07 năm 2013 Tác giả luận văn CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN A CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ Trong chương này, trình bày kiến thức hình học đại số : Tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ tính chất chúng Nhiều tính chất chứng minh chi tiết mà tài liệu tham khảo chứng minh sơ lược không chứng minh 1.1 VÀNH ĐA THỨC 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị n số nguyên không âm Vành đa thức A[ x1, x2, , xn] n biến x1, x2, , xn A định nghĩa theo quy nạp sau: A[ x1, x2, , xn] : A[ x1, x2, , xn-1][xn] Tức A[ x1, x2, , xn] vành đa thức biến xn vành A[ x1,x2, ,xn-1] Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, , xn] Khi A[X] vành giao hoán có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức thông thường Các phần tử A[X] gọi đa thức, đa thức f  A[X] có dạng f = với m biểu thức A.Các phần tử gọi hệ số gọi đơn thức f; 1.1.2 Bậc đa thức Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + + rn | 0} f đặt degf  - f  Khi degf gọi bậc f Nếu degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1, phải có hệ số gắn biến khác không Người ta thường viết đa thức nhiều biến theo thức tự biến theo giá trị giảm dần bậc đơn thức, nghĩa là, coi r1 + r2 +… + rn > s1 + s2 +… + sn r1 + r2 +… + rn = s1 + s2 +… + sn tọa độ khác không véctơ (r1 – s1, r2 – s2 ,… , rn - sn ) dương 1.1.2 Mệnh đề Nếu A miền nguyên degfg = degf + degg với đa thức f, g  A[X] Chứng minh Mọi đơn thức fg có dạng uv với u đơn thức f v đơn thức g Gọi umax, vmax đơn thức bậc lớn f, g theo thứ tự nêu Với u uv vmax ta có uv < umaxvmax, umax v umaxvmax Gọi c, d  A hệ số tương ứng umax, vmax Vì c, d nên cd 0 Khi cdumaxvmax hạng tử fg Do đó: deguv  degumaxvmax = degumax + degvmax = degf + degg Vậy degfg = degf + degg 1.1.3 Mệnh đề Nếu A miền nguyên A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Giả sử f, g đa thức khác A[X] Khi degf, degg nên degfg fg Vì A[X] miền nguyên Tiếp theo, fg = degfg = degf +degg = 0, suy degf = degg = 0; f, g phần tử khác A Vì f, g phần tử khả nghịch A 1.1.4 Nhận xét Nếu K trường 1/ Với f, g  K[X] ta có deg(fg) = degf + degg 2/ K[X] miền nguyên fg f, g 3/ K tập phần tử khả nghịch K[X] fg f  K g  K 1.1.5 Nghiệm đa thức Cho A vành giáo hoán có đơn vị f = m  N Với a = (a1, a2, an)  An ta có giá trị: với Khi điểm a gọi nghiệm f f(a)= f(a) = ta nói f triệt tiêu a Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi ánh xạ đa thức 1.1.6 Bổ đề Giả sử K trường có vô hạn phần tử Nếu f(a) = với a  Kn f = Chứng minh +) Nếu n = f đa thức biến nên f đa thức bậc d ≥ f có hữu hạn nghiệm điều mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn +) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn ta viết f dạng f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm ; f0, f1, , fm  K[ x1, x2, , xn-1] fm Suy tồn số (a1, a2, , an-1) cho f(a1, a2, , an-1) Do f0(a1, a2, , an-1) + f1(a1, a2, , an-1) xn + + fm(a1, a2, , an-1)xnm đa thức biến xn có bậc m nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức triệt tiêu với a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí) Vậy f = Từ suy điều phải chứng minh 1.1.7 Nhận xét Bổ đề không K trường hữu hạn Chẳng hạn K = {1,2, ,n } đa thức f = (x-1)(x-2) (x-n) đa thức khác triệt tiêu toàn K 1.1.8 Hệ Giả sử K trường có vô hạn phần tử Cho f g hai đa thức K[X] Nếu f(a) = g(a) với a  Kn f = g Trong luận văn này, từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.2 TẬP ĐẠI SỐ 1.2.1 Định nghĩa Tập V  Kn gọi tập đại số V nghiệm họ đa thức K V={ x=( , nghĩa là: ) kn / fi (x) =0 fi S k } Ta coi tập đại số hình học K 1.2.2 Ví dụ 1/ Tập rỗng  tập đại số phương trình = vô nghiệm 2/ Mọi điểm a = (a1, a2, , an) tập đại số a nghiệm hệ phương trình: 3/ Không gian Kn tập đại số phương trình = với điểm K n 4/ Các m – phẳng không gian afin An tập đại số nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng: Trong hạng ma trận hệ phương trình tuyến tính n - m n - m ≤ p ≤ n 5/Tập tất số thực 6/ Lấy K= tất số phức cho tôpô tập đại số tôpô thông thường ( tôpô sinh khoảng cách ơcơlit d(x,y) = , x = (x1,x2,…,xn); y = (y1,y2,…,yn) Thì tập đại số V ánh xạ đa thức f : ; a tập đóng f(a) ánh xạ liên tục ( với tôpô thông thường) tập đại số V= giao tập đóng f-1(o) nên V đóng 1.2.3 Siêu mặt a) Định nghĩa Cho f  K[X] Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức Z(f) tập nghiệm đa thức f Khi đó: 1/ Z(f) =  f đa thức khác (degf = 0) 2/ Z(f) = Kn f = (degf   ) 3/ Z(f) gọi siêu mặt không gian Kn degf > Đăc biệt degf = Z(f) gọi siêu phẳng Ta tính Z(f) số trường hợp cụ thể b) Ví dụ Trong vành đa thức K[x, y], cho f = x3 – y, Z(f) = { (a, a3) | a K } Thật vậy, đặt V = { (a, a3) | a  K } (a, a3) V f(a) = a3 – a3 = V  Z(f) • Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên (a1, a2) = (0, 02) V Khi a1 a2 0, ta có Do ta có (a1, a2)  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 1.2.4 Tập Zariski a) Định nghĩa: Cho S tập K[X], kí hiệu Z(S) = {a  Kn : f(a) = 0, f  S}; Vậy Z(f) tập đại số tập đại số giao tập dạng Z(f), ta nói Z(S) tập đại số tập đa thức S gọi tập Zariski tập S b) Nhận xét 1/ Khi n  đa thức bậc dương có hữu hạn nghiệm nên tập đại số K tập hữu hạn Ngược lại tập hữu hạn K tập nghiệm đa thức biến Vì Z(f) =  Z(f) tập hữu hạn Z(f) = K Từ suy n  tập đại số K tập rỗng, tập hữu hạn hay K 2/Giả sử S1và S2 hai tập đa thức K[X] Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) 3/ Tập nghiệm họ đa thức bậc (n ẩn) gọi đa tạp tuyến tính c) Bổ đề Cho S1 S2 hai tập đa thức K[X] Đặt S = {fg │f  S1, g  S2 } Ta có: Z(S1)  Z(S2) = Z(S) Chứng minh Z(S1) Z(S2)  Z(S) Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1) Z(S2) - Nếu a  Z(S1) f(a) = với f  S1, suy (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 Do a  Z(S) - Nếu a  Z(S2) g(a) = với g  S2, suy (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 Do a  Z(S) Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (1) +) Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Lấy phần tử tùy ý a  Z(S) Khi (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 , K trường nên a  Z(S1)  Z(S2) Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh d) Bổ đề Cho {Si}iI họ tập đa thức K[X] Khi đó: = Z( Chứng minh Lấy phần tử tùy ý a  a  Z(Si) với i  I đó: f(a) = với f  Si, i  I f(a) = với f  a  Z( Vậy = Z( e) Bổ đề Cho S  K[X] T  K[Y] hai hệ đa thức tùy ý Nếu ta coi S T tập đa thức K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S  T) Chứng minh Giả sử a  Kn b  Km Khi (a, b) nghiệm S  T a nghiệm S b nghiệm T Điều chứng tỏ 10 Z(S) x Z(T) = Z(S  T) 1.2.5 Nhận xét Từ kết ta tóm tắt lại sau: 1/  tập đại số 2/ Kn tập đại số 3/ Hợp hai tập đại số tập đại số 4/ Giao họ tập đại số tập đại số 5/ Tích hai tập đại số tập đại số 6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho S  Z(S) ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn 7/ Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) ; 8/ Z(0) = Kn; 9/ Z(f) = với f  K Từ nhận xét ta có kết sau 1.2.6 Định lí Họ tất tập đại số không gian afin Kn lập nên tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) họ tất tập đại số Z(S) Kn Thế họ chứa rỗng, chứa Kn đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên lập thành tôpo (theo ngôn ngữ tập đóng) Kn 1.2.7 Tô pô Zariski a) Định nghĩa Họ TZ= {U | U = Kn | V tập đại số} lập thành tôpô không gian afin Kn gọi tôpô Zariski b) Mệnh đề.(về số tính chất đơn giản tôpô Zariski) 1/ Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi tập mở Zariski chúng lập thành sở cho tô pô Zariski Thật vậy, tập mở U Kn phần bù tập đại số Z(S) Do Z(S) = U= nên U = Kn \ (đpcm) = 25 +) Các khái niệm đường tròn, hình tròn nêu Sách giáo khoa hình học lớp 9,10(Nhà xuất Giáo dục, năm 2003) Hình đa diện(Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị dạy lớp học thức lớp lớp 11, 12) +) Khái niệm hình đa diện nêu Sách giáo khoa hình học lớp 11(Nhà xuất Giáo dục, năm 2007) Mặt cầu (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị dạy lớp học thức lớp 12) +) Phương trình mặt cầu nêu Sách giáo khoa hình học lớp 12(Nhà xuất Giáo dục, năm 2007) CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương trình bày số tập đại số iđêan chúng đẳng cấu hình hình học sơ cấp 2.1.Các tập đại số hình học sơ cấp 2.1.1 Định nghĩa Tập V  Rn ( n=1,2,3.) gọi tập đại số V nghiệm họ đa thức K V={ x=( ) Rn , n =1,2,3./ fi (x) =0 fi S k } ta coi tập đại số hình học Rn tập đóng Rn 2.1.2 Mệnh đề Trong hình học sơ cấp tập sau tập đại số 1/ Tập rỗng  2/ Tập hữu hạn điểm 3/ Không gian Rn (n=1,2,3) Chứng minh.1/ Tập rỗng  tập đại số phương trình = vô nghiệm 2/ Tập hữu hạn điểm V= {a1, a2, , an} tập đại số nghiệm phương trình: (x- a1)(x- a2)… (x- an) =0 3/ Không gian Rn (n=1,2,3) tập đại số phương trình = với điểm Rn 26 2.1.3 Các tập đại số hình học sơ cấp 1/ Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 Đặt f(A) = ax + by + c với A(x, y)  R2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(A) = ax + by + c = 0} +) Nếu a = 0, b c b Z(f) = {A(,  ) |  R} c a +) Nếu a 0, b = Z(f) = {A(  , ) |  R} +) Nếu ab Z(f) = {A(,    ) |  R} a b c b 2/ Đường tròn có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = r2 với a, b, r  R Đặt f(A) = (x - a)2 + (y - b)2 - r2 với A(x, y)  R2 Khi V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(A) = (x - a)2 + (y - b)2 - r2 = 0} hay V = Z(f) = {(, b - r2-(-a)2 ) |(r-a, r+a)}{(, b + r2-(-a)2 ) |(r-a, r+a)} 3/ Đường elip có phương trình Đặt f(x, y)  x2 y   với a > b > a b2 x2 y   Khi ta có tập đại số: a b2 V = Z(f) = {A(x, y) | f(x, y)  V = Z(f) = {(,  x2 y2    } hay a b2 b b a   ) |    a, a  }  {(, a   ) |    a, a  } a a 4/ Đường hypebol có phương trình x2 y   với a > 0, b > a2 b2 x2 y Đặt f(x, y)    Khi ta có tập đại số: a b V = Z(f) = {A(x, y) | f(x, y)  V = Z(f) = {(,  x2 y    } hay a b2 b b   a ) |   a }  {(,   a2 ) |   a } a a 27 5/ Đường Parabol có phương trình y2 = 2px với p > Đặt f(x, y) = y2 - 2px Khi ta có tập đại số: 2 V = Z(f) = {A(x, y)  R | f(x, y) = y - 2px=0 } = { ( , ) |  R} 2p 2 6/ Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = với a2 + b2 +c2 Đặt f(x, y, z) = ax + by +cz + d Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y, z)  R3 | f(x, y, z) = ax + by + cz +d = 0} +) Nếu a = bc V = Z(f) = {(, , cho trường hợp b = ac +) Nếu a = 0, b = c -b-d ) | ,   R} (tương tự c c = ab V = Z(f) = {(, , cho trường hợp a = 0, c = b a 0); -d ) | ,   R} (tương tự c 0, b = c = 0) 7/ Mặt cầu có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 với a, b, c, r  R Đặt f(x, y, z) = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - r2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y, z)  R3 | f(x, y, z) = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - r2 = 0} = { (, , c - r2-(-a)2-(-b)2 ) | r-a <  < r + a, r-b <  < r + b}  { (, , c + r2-(-a)2-(-b)2 ) | r-a <  < r + a, r-b <  < r + b} 8/ Đường thẳn không gian Trong không gian cho hai mặt phẳng () () cắt có phương trình: (): Ax + By + Cz + d = 0; (): A’x + B’y + C’z +D’= Khi phương trình đường thẳng  là: Ax  By  Cz  d   A' x  B ' y  C ' z  D '  Đặt f1(x, y, z) = Ax + By + Cz + D; f2(x, y, z) = A’x + B’y + C’z + D’ Ta có: V1 = Z(f1) = {M(x, y, z)  R3 | f1 = Ax + By + Cz + D = 0} V2 = Z(f2) = {M(x, y, z)  R3 | f2 = A’x + B’y + C’z + D’ = 0} Khi đó: V = V1  V2 = Z(f1)  Z(f2) 28 Để tìm hiểu mối liên hệ hình hình học sơ cấp, phần trình bày cấu xạ Tôpô Zariski nhờ chứng minh đẳng cầu hình 2.2 Cấu xạ Tôpô Zariski 2.2.1 Cấu xạ tôpô Zariski Cho ánh xạ F: F W  Km K n  V  F có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),… , Fm(a)); a  V m ánh xạ F1 , F2 ,… , Fm : V  K gọi hàm tọa độ Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi phép chiếu lên toạ độ thứ i 2.2.1.1 Định nghĩa Cho V W hai tập đại số Ánh xạ F nói gọi ánh xạ đa thức F1 , F2 ,… , Fm hàm đa thức (nghĩa chúng cho đa thức) Nếu K trường đóng đại số ánh xạ đa thức gọi cấu xạ 2.2.1.2 Ví dụ 1/ Mọi hàm số đa thức V ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ; 2/ Ánh xạ đồng IdV V ánh xạ đa thức idV : V → V cho IdV (a) = (p1(a), p2(a),… , pn(a)), pi : V  K phép chiếu lên toạ độ thứ i 3/ Nếu F: V  K ánh xạ đa thức tập đóng T  V, ánh xạ F thu hẹp T ánh xạ đa thức 4/ Với hàm G : W  K, ta gọi hợp thành G  F : V  K hàm lùi G theo F 2.2.1.3 Mệnh đề F : V  W ánh xạ đa thức G  F  K[V] với G  K[W] Chứng minh Giả sử F ánh xạ đa thức G  K[W] Lấy đa thức m biến g cho G = g|V Khi 29 (G  F)(a) = G(F(a)) = g(F1(a), F2(a),… , Fm(a)) = g(F1, F2,… , Fm)(a) với a  V, suy G  F = g(F1, F2,… , Fm) Vì F1, F2,… , Fm  K[V] nên g(F1, F2,… , Fm)  K[X] G  F  K[V] Đảo lại, giả sử G  F  K[V] với G  K[W] Khi Fi  pi  F  K[V] với i =1, 2, …, m nên F ánh xạ đa thức 2.2.1.4 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F : V  W cảm sinh ánh xạ F* : K[W]  K[V] cho F*(G) : = G  F Rõ ràng F* đồng cấu vành G, H  K[W] ta có F*(G + H) = (G + H)  F = G  F + H  F = F*(G) + F*(H) F*(G.H) = (G.H)  F = (G  F).(H  F) = F*(G) F*(H) 2.2.1.5 Ví dụ 1/ Với hàm đa thức F : V  K F* : K[x]  K[V] cho F*(g) = g(F) 2/ Id*V = IdK[V] Id*(G) = G  Id = G với G  K[V] 2.2.1.6 Chú ý Ánh xạ đa thức F xác định hoàn toàn đồng cấu F* F xác định hàm tọa độ Fi, Fi = pi  F = F*(pi) 2.2.1.7 Mệnh đề Với tập điểm U  V tập đại số V ta có IW, F(U) = (F*)-1 (IV, U) Chứng minh Mọi G  K[W] ta thấy G  IW, F(U) G(F(a)) = với a  U Nhưng F*(G)(a) = G(F(a)) nên điều có nghĩa F*(G)  IV, T = IT/IV Theo kết trên, nói riêng ta có IW, F(V) = (F*)-1 (IV, V) = (F*)-1 (0) = ker F* Mối quan hệ F F* cho tương ứng – ánh xạ đa thức từ V vào W với đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau 30 2.2.1.8 Định lý Với đồng cấu vành  : K[W]  K[V] tồn ánh xạ đa thức F : V  W cho F* =  Chứng minh Cho ánh xạ đa thức F : V → Kn với Fi =  (pi) Với đa thức m biến g ta có : g  F = g(F1, F2,…., Fm) =  (g(p1, p2,…., pm)) =   g|W  Nếu g  IW g|W = g  F =  (0) = Từ suy g(F(a)) = (g  F)(a) = với a  V Vì F(a)  Z(IW) = W nên F(V)  W Bây coi F ánh xạ từ V vào W Với hàm g|W K[W] ta có F*( g|W ) = g |W  F = g  F =   g|W  Vì F* =  Ta coi ánh xạ F : V  W ánh xạ từ V lên F(V) F ánh xạ đa thức F(V) tập đại số Tuy nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) F(V) coi F ánh xạ đa thức từ V lên F(V) 2.2.1.9 Mệnh đề Cho ánh xạ đa thức F W  E T V  hợp thành E  F ánh xạ đa thức (E  F)* = F*  E* Chứng minh Mọi H  K[T] ta có (E  F)* (H) = H  E  F = E*(H)  F = F*(E*(H)) = (F*  E*)(H) Do F*(E*(H))  K[V] nên E  F ánh xạ đa thức (E  F)* = F*  E* 2.2.2 Đẳng cấu đa thức 2.2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ đa thức F: V  W gọi đẳng cấu đa thức F có ánh xạ nghịch đảo F-1 F-1 ánh xạ đa thức Khi ta nói tập đại số V đẳng cấu đa thức với tập đại số W ký hiệu V  W Nếu K trường đóng đại số đẳng cấu đa thức gọi vắn tắt đẳng cấu 2.2.2.2 Ví dụ 31 1/ Mọi phép biến đổi afin hay gọi phép biến đổi tọa độ Kn (K R C) đẳng cấu đa thức 2/ Cho F : V = Z(y2 - 2px)  K1 phép chiếu lên trục Oy, F đẳng cấu đa thức F ánh xạ đa thức F – 1(a) = ( , a) ánh xạ đa thức Vì parabol y2 = 2px đồng phôi với đường thẳng (với tư cách hai không gian tôpô Zariski) 2.2.2.3 Chú ý Có ánh xạ đa thức tồn ánh xạ ngược ánh xạ ngược ánh xạ đa thức 2.2.2.4 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K1  W = Z(x2 – y3) cho F(a) = (a3, a2) có ánh xạ ngược F-1 : W = Z(x2 – y3)  K1 cho F-1(a3, a2 ) = a Nhưng F-1 ánh xạ đa thức Bởi trái lại tồn đa thức g  K[x, y] cho g(a3, a2) = a với a  K Khi đa thức g(t3, t2) – t có vô số nghiệm K nên g(t3, t2) – t = Điều vô lý đa thức g(t3, t2) không chứa biến t Mối quan hệ F  F* cho ta tương ứng – đẳng cấu đa thức từ V đến W với đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau 2.2.2.5 Định lý Ánh xạ đa thức F : V  W đẳng cấu đa thức F* đẳng cấu vành Chứng minh Nếu F đẳng cấu đa thức, ta có F*(F-1)* = (F-1  F)* = (IdV)* = IdK[V] tương tự (F-1)*  F* = IdK[V] Vì F* đẳng cấu Đảo lại, F* đẳng cấu, có ánh xạ đa thức E : W  V cho E* = (F*)-1 Do (E  F)* = F*  E* = IdK[V] = (IdV)* nên E  F = IdV Tương tự, F  E = IdW nên E ánh xạ ngược F Vậy F đẳng cấu đa thức 2.2.2.6 Hệ Với đẳng cấu vành  : K[W]  K[V] tồn đẳng cấu đa thức F : V  W cho F* =  2.2.2.7 Ví dụ 32 1/ Cho F phép chiếu từ V = Z(y2 - 2px) lên trục Oy Do F = x |V nên F*(g) = g( x |V ) với g  K[x] Ta biết K[V]  K[x] x |V  y Do coi F* ánh xạ đồng K[x] nên F đẳng cấu đa thức 2/ Đường cong V = Z((x-2) – y2)  K2 không đẳng cấu đa thức với K1 Thật vậy, V  K1 tồn đẳng cấu vành  : K[(t-2)3, t2]  K[x] K[V]  K[(t-2)3, t2] Ta có (  ((t-2)3))2 = (  (t2))3 So sánh thành phần bất khả quy hai đa thức với tìm thấy đa thức f  K[x] cho  (t2) = f2 ;  ((t-2)3) = f3 Do  toàn cấu nên x = g(f2, f3) với g đa thức biến Ta viết g(f2, f3) = a + f2h với a  K, h  K[x] Mặt khác x - a = f2h suy f  K x = g(f2, f3)  K điều vô lý 2.2.2.8 Đinh nghĩa Ánh xạ F: V  W gọi phép nhúng ánh xạ cảm sinh F từ V vào F(V) F(V) đẳng cấu đa thức Chú ý F(V) = tập đại số V  F(V) 2.2.2.9 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K  K2 ; F(a) = (a, (a-2)2) phép nhúng Thật vậy, F(K) = Z((x-2)2 – y) parabol Ánh xạ cảm sinh từ K vào F(K) đẳng cấu đa thức có ánh xạ ngược (a, (a-2)2)  a ánh xạ đa thức 2.2.2.10 Định lý F phép nhúng F* toàn cấu Chứng minh Ký hiệu  : V  F(V) ;  (a) ; = F(a) Giả sử F phép nhúng,  đẳng cấu đa thức Do  * đẳng cấu nên với F  K[V], tồn G  K[W] cho F =  *  G |F(v)  Từ suy F*(G) = G  F = G|F(V)   =  *  G |F(V)  = F Điều chứng tỏ F* toàn cấu Đảo lại, giả sử F* toàn cấu Với F  K[V], tồn G  K[W] cho F*(G) = F Do  *  G|F(V)  = G |F(V)    G  F = F* (G) = F 33 Điều chứng tỏ  * toàn cấu Nhưng  cấu xạ trội nên  * đơn cấu  * đẳng cấu vành,  đẳng cấu đa thức, nghĩa F phép nhúng 2.2.3 Đẳng cấu đa thức số hình học hình học sơ cấp 2.2.3.1 Mệnh đề Đường tròn (O) elip (E) đẳng cấu đa thức với Chứng minh: Cho F : V = Z(x2+y2- a2)  W = Z( M(x,y) M’(x, y) (M (O)) F đẳng cấu đa thức F ánh xạ đa thức F – 1(x’,y’) = ( , M’(x’,y’) ) với ánh xạ đa thức Vì đường tròn (O) elip (E) đẳng cấu đa thức với nên Z(O) đẳng cấu với Z(E) (với tư cách hai không gian tôpô Zariski) 2.2.3.2 Mệnh đề Đường thẳng d có phương trình y =m với m R parapol y =ax2+ bx+c (a 0) đẳng cấu đa thức với Chứng minh: Cho F : V = Z(y -ax2- bx-c)  W = Z(y-m) phép chiếu lên đường thẳng y=m, F đẳng cấu đa thức F ánh xạ đa thức F –1(x0) = ( 0, a + bx0+c) ánh xạ đa thức Vì parabol y =ax2+ bx+c đồng phôi với đường thẳng (với tư cách hai không gian tôpô Zariski) 2.3 Thể iđêan tập đại số đại số sơ cấp Ta có iđêan tập đại số hình học sơ cấp : 2.3.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 a b c b Khi iđêan tập đại số V= Z(f) = {(,    ) R[x,y] , R} IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } Chứng minh f(x, y) = ax + by + c = , +) Ta có V tập vô hạn điểm Z( ax+by+c) , IV = {f(x,y)  R[x,y], f(v) = 0,  vV}, ta cần chứng minh IV = ( ax+by+c) Thật vậy:+) ta có f(x,y) = (ax+by+c)  IV   R a b c b v=(,    ) 34 f(v) = a  +(-a  -c)+c = f  Iv fh  Iv ,  h  R[x,y] ax+by+c  Iv (1) +) Với h(x,y)  R[x,y] ta có h(x,y) đa thức biến y với hệ tử lấy k[x], h(x,y) có dạng h(x,y)= c rr r2 x r1 y r2  k[x] h viết dạng r1r2  n a b c b h = (ax+by+c)g+v , vk[x] V = Z(f) = {(,    ) R[x,y], R} nên a b c b h  Iv f(,    ) = v(  ) = v(  ) = , vk[x] với   thuộc tập vô hạn điểm Z (ax+by+c) v=0 h(x,y) = (ax+by+c)g Iv  (ax+by+c) (2) Từ (1) (2) ta có IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } 2.3.2 Mệnh đề Đường tròn có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = r2 với a, b, r  R Khi iđêan tập đại số V = Z ( (x-a)2+(y-b)2-R2) = {(Rsin  + a,Rcos  +b)  R[x,y],   R} IV = ( x  a)  ( y  b)2  r ={ (x - a)2 + (y - b)2 - r2).f∣ f R[x,y]} Chứng minh +) Ta có V tập vô hạn điểm Z((x-a)2+(y-b)2-R2) , IV = {f(x,y)  R[x,y],f(v) = 0,  vV} Ta cần chứng minh Iv = ((x-a)2+(y-b)2-R2) Thật vậy: Ta có f(x,y) = ((x-a)2+(y-b)2-R2) Iv  vV v=( Rsin  + a, Rcos  + b) f(v) = (Rsin  + a-a)2+(Rcos  + b-b)2-R2)= fh  Iv ,  h  R[x,y] f  IV ((x-a)2+(y-b)2-R2)  Iv (3) +) Với đa thức h(x,y)  R[x,y] ta có h(x,y) đa thức biến y với hệ tử lấy k[x], h(x,y) có dạng h(x,y)= c rr r2 r1r2  n h = ((x-a)2+(y-b)2-R2)g+v , vk[x] x r1 y r2  k[x] h viết dạng 35 V = Z(f) = {(Rsin  + a, Rcos  + b) R[x,y],   R} nên h  Iv f((x-a)2+(y-b)2-R2) = v(  ) = v(  ) = , vk[x] với   thuộc tập vô hạn điểm Z (ax+by+c) v=0 h(x,y) = ((x-a)2+(y-b)2-R2)g Iv  ((x-a)2+(y-b)2-R2) (4) Từ (3) (4) ta có IV = ((x-a)2+(y-b)2-R2) Vậy Iv iđêan 2.3.3 Nhận xét: Tượng tự mệnh đề 2.3.1 2.3.2 ta có: x2 y +)Đường elip có phương trình   với a > b > a b Khi iđêan tập đại số V = Z( R} IV = + -1) = {(asin,bcos)  R[x,y],    x2 y2 y2   x      1 f | f  R  x, y   2 2 a b b   a  x2 y +) Đường hypebol có phương trình   với a > 0, b > a b với cách chọn V = Z( iđêan IV = x2 y a    ) = {( ,btan  ) R2,    k } Ta có a b cos 2  x2 y2 y2   x      1 f | f  R  x, y    2 2 a b b   a  +) Đường Parabol có phương trình y2 = 2px với p > với cách chọn V = Z(y2 - 2px) = {( 2 ,  ) R ,  R} 2p Ta có iđêan IV = y  px   y  px  f | f  R[x, y ] 2.3.4 Mệnh đề Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = với a2 + b2 +c2 Khi iđêan tập đại số V = Z(ax + by + cz + d) = {  1 ,  ,   a1  b  d    R[x,y,z] ,   R} c  IV = ax  by  cz  d   ax  by  cz  d  f | f  R[x, y, z ] 36 Chứng minh Iv iđêan: ax + by + cz + d = f(x, y, z) = ax + by +cz + d = Ta có V tập vô hạn điểm Z(ax + by + cz + d), IV = {f(x,y,z)  R[x,y,z],f(v) = ,  v  V} Ta cần chứng minh IV = (ax+by+cz+d) Thật vậy:+) Ta có f(x,y,z) = (ax+by+cz+d)  IV,  v  V a  b  d  v =  1 ,  ,   c  f(v) =  f  Iv ax+by+cz+d  Iv fh  Iv ,  h  R[x,y,z] (1) +) Với h(x,y,z)  R[x,y,z] ta có h(x,y,z) đa thức biến z với hệ tử lấy k[x,y], h(x,y,z) có dạng h(x,y,z)=  crr r2 r3 x r1 y r2 z r3  k[x,y] h viết r1r2 r3  n dạng h = (ax+by+cz+d)g+v,  v  k[x,y] với 1 ,  thuộc tập vô hạn điểm Z(ax + by + cz + d) v=0 h(x,y,z) = (ax+by+cz+d)g h (ax + by + cz + d) Iv  (ax + by + cz + d) (2) Từ (1) (2) ta có Iv = (ax+by+cz+d) Vậy Iv iđêan 2.3.5 Mệnh đề Mặt cầu có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 với a, b, c, r  R Khi iđêan tập đại số V = Z((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2) = {(Rsin  + a,Rcos  +b,c)  R[x,y,z],   R} IV = 2  x  a   y  b   z  c  r2   x  a    y  b    z  c   r  f | f  R[x, y, z ] 2 2 Chứng minh: +) Ta có V tập vô hạn điểm Z((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 R 2) +) IV= {f(x,y,z)  R[x,y,z],f(v) = 0,  vV} Ta cần chứng minh IV = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2) Thật vậy:+) Ta có f(x,y,z) = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2) Iv  vV v=( Rsin  + a, Rcos  + b,c) f(v) = (Rsin  + a-a)2+(Rcos  + b-b)2-R2) +(c-c)2= fh  Iv ,  h  R[x,y,z] f  Iv ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)  Iv (1) 37 +) Với đa thức h(x,y,z)  R[x,y,z] ta có h(x,y,z) đa thức biến z với hệ tử lấy k[x,y], h(x,y,z) có dạng h(x,y,z) =  crr r2 r3 x r1 y r2 z r3  k[x,y] h viết r1r2 r3  n dạng h = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)g+v , vk[x,y] V = Z(f) = {(Rsin  + a, Rcos  + b,c) R[x,y,z],   R} nên h  Iv f((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) = v(  ) = v(  ) = , vk[x,y] với   thuộc tập vô hạn điểm Z ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) => v = h(x,y,z) = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)g Iv  ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) (2) Từ (1) (2) ta có IV =((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) Vậy IV iđêan 2.3.6 Nhận xét: Tương tự mệnh đề 2.3.4 ta có tập đại số đường thẳng không gian có iđêan IV = {f.(Ax + By + Cz + D) +g.(A’x + B’y + C’z + D’) | f, g  R[x, y, z]} 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày có chứng minh chi tiết kiến thức tập đại số, tập đại số bất khả quy, iđêan tập đại số, cấu xạ Các chứng minh cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Trình bày sơ lược nội dung hình học sơ cấp toán phổ thông Trình bày số tập đại số toán học phổ thông iđêan Qua có thêm cách (hình học đại số) để nhìn nhận toán phổ thông cách sâu sắc Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng hình học đại số để giải số tập toán học phổ thông Vinh, tháng năm 2013 Tác giả luận văn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://thuvientoanhoc.net.vn [2] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội [3] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội [4] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng - Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Công Nghệ Mới [5] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội [6] Ngô Việt Trung(2009), Đại Số Giao Hoán & Hình Học Đại Số, http://thuvientoanhoc.net.vn [7] [8] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006): Chương trình giáo dục phổ thông Nhà XBGD, Hà Nội Sách giáo khoa, sách tham khảo hình học từ lớp đến lớp 12 Bộ Giáo dục Đào tạo( 2003) [9] [10] TIẾNG ANH I.R.Shafarevich(1994), Basic in Algebraric Geometry, Springer Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry, New York Haidelborg Berlin [11] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK COMPANY, Professor of Mathematics University of California, Berkely TIẾNG PHÁP [12] Bertrand HAUCHECORNE – Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A Z, Ellipses Paris [...]... như đẳng cấu giữa các hình trong hình học sơ cấp 2.1.Các tập đại số trong hình học sơ cấp 2.1.1 Định nghĩa Tập V  Rn ( n=1,2,3.) được gọi là tập đại số nếu V là nghiệm của một họ các đa thức K V={ x=( ) Rn , n =1,2,3./ fi (x) =0 fi S k } ta có thể coi các tập đại số là các hình học trong Rn và là tập đóng trong Rn 2.1.2 Mệnh đề Trong hình học sơ cấp các tập sau là tập đại số 1/ Tập rỗng  2/ Tập hữu... hình học lớp 11(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007) Mặt cầu (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 9 và học chính thức ở lớp 12) +) Phương trình mặt cầu được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp 12(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2007) CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương này chúng tôi trình bày một số tập đại số và iđêan của chúng cũng như đẳng cấu giữa các hình. .. hiện iđêan của tập đại số trong đại số sơ cấp Ta có iđêan của tập đại số trong hình học sơ cấp : 2.3.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 với a, b, c  R và a2 + b2 a b c b 0 Khi đó iđêan của tập đại số V= Z(f) = {(,    ) R[x,y] , R} là IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } Chứng minh f(x, y) = ax + by + c = 0 , +) Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z( ax+by+c)... đại số thì V = V và ta có V = Z(IV) 20 Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV Vì vậy, IV còn gọi là iđêan định nghĩa của tập đại số V 2/ Các ánh xạ I và Z trong sơ đồ IV V =Z(IV) thu hẹp trên họ Z(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau Nói cách khác, trong sơ đồ sau,  Im I Z(Kn) Z, I là các song ánh ngược nhau Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại. .. đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy; 2/ Kn bất khả quy vì = 0 là idean nguyên tố e) Chú ý Không phải idean nguyên tố nào trong K[X] cũng là idean của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi idean nguyên tố mà vô nghiệm, thì nó không là idean của 1 tập đại số nào f) Ví dụ Mọi idean nguyên tố chứa x2 + 1 trong R[x] đều vô nghiệm trong Rn g) Mệnh đề Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X]... (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở tiểu học, học chính thức từ lớp 6 đến lớp 10) 2 Tứ giác (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở tiểu học, học chính thức ở lớp 8 và lớp 9) 3 Đa giác (Học chính thức ở lớp 8) +)Các khái niệm tam giác, tứ giác, đa giác được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp 8,9,10 (Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003) Đường tròn, elip, parabol 1 Đường tròn, hình tròn (Các yếu. .. (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 1, 3, 5 và học chính thức ở lớp 6 và lớp 9, 10) 2 Elip, parabol (Học chính thức ở lớp 10) 25 +) Các khái niệm đường tròn, hình tròn được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp 9,10(Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003) Hình đa diện(Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 5 và học chính thức ở lớp 7 và lớp 11, 12) +) Khái niệm hình đa diện được nêu trong Sách... Không gian Rn (n=1,2,3) Chứng minh.1/ Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình 1 = 0 vô nghiệm 2/ Tập hữu hạn điểm V= {a1, a2, , an} là tập đại số vì là nghiệm duy nhất của phương trình: (x- a1)(x- a2)… (x- an) =0 3/ Không gian Rn (n=1,2,3) là tập đại số vì phương trình 0 = 0 đúng với mọi điểm của Rn 26 2.1.3 Các tập đại số trong hình học sơ cấp 1/ Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 với a,... PHẦN B TỔNG QUAN VỀ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC SƠ CẤP TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Đường thẳng, mặt phẳng 1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng (Các yếu tố, kiến thức chuẩn bị được dạy ở lớp 2, học chính thức ở lớp 6 và lớp 11) +) Khái niệm về đường thẳng được nêu trong Sách giáo khoa môn toán lớp 6 (Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2003) và mặt phẳng được nêu trong Sách giáo khoa hình học lớp 11(Nhà xuất bản Giáo dục,... yg | f, g  K[x, y]} {yh | h  K[x, y]} = {x2 yf + yg | f, g  K[x, y]} = 1.3.6 Bổ đề Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan nào đó Chứng minh Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I= là iđêan sinh bởi S Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại số của iđêan I Thật vậy: Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (3) Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử ... tập đại số, iđêan, vành tọa độ nội dung Hình học sơ cấp toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương này, trình bày yếu tố hình học hình học sơ cấp. .. khoa hình học lớp 12(Nhà xuất Giáo dục, năm 2007) CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương trình bày số tập đại số iđêan chúng đẳng cấu hình hình học sơ cấp 2.1.Các... tròn, tập đại số Qua trình giảng dạy học tập chuyên ngành hình học đại số thấy hình học đại số có mối liên hệ mật thiết với hình học sơ cấp Để hiểu sâu hình học ứng dụng hình học sơ cấp, hướng