Một số yếu tố hình học đại số trong hình học sơ cấp

1 MỤC LỤC Mục lục .1 Lời nói đầu CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần Các kiến thức hình học đại số …………………… Phần Tổng quan chương trình đại số sơ cấp toán phổ thông 24 CHƯƠNG II : MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1 Các tập đại số đại số sơ cấp 25 2.2 Cấu xạ, yếu tố ánh xạ liên tục Tôpô Zariski .28 2.3 Thể iđêan tập đại số đại số sơ cấp 34 Kết luận …………………………………………………… .37 Tài liệu tham khảo ………………………………… .38 LỜI NÓI ĐẦU Hình học đại số môn đời từ kỷ 19 vào cuối kỷ 19 hình học đại số phát triển mạnh mẽ Italy với tên tuổi Castelnouvo, Zariski học trò ông Hình học đại số môn toán học dùng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Để làm điều người ta dùng phương trình đa thức để mô tả hình học quy vấn đề hình học việc nghiên cứu tập nghiệm hệ phương trình đa thức Qua trình giảng dạy học tập chuyên ngành Hình học đại số, thấy Hình học đại số có mối liên hệ với toán phổ thông Với mong muốn hiểu sâu mối quan hệ Hình học đại số Đại số sơ cấp, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán , chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP” để làm đề tài luận văn tốt nghiệp Luận văn chia làm hai chương: CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, trình bày định nghĩa tính chất vành giao hoán, tập đại số, iđêan, cấu xạ tôpô Zariski nội dung Đại số sơ cấp toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP Trong chương này, trình bày yếu tố hình học đại số đại số sơ cấp gồm nội dung như: Tập đại số đại số sơ cấp, cấu xạ, ánh xạ liên tục Tôpô Zariski thể iđêan tập đại số Đại số sơ cấp Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán, người dẫn đề cương nghiên cứu cho tác giả tận tình hướng dẫn tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Sau Đại học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình công tác học tập Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Vinh giảng dạy hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả luận văn CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ PHẦN CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ Trong chương này, trình bày kiến thức hình học đại số : Tập đại số, idean, idean nguyên tố tập bất khả quy, cấu xạ tính chất chúng Nhiều tính chất chứng minh chi tiết mà tài liệu tham khảo chứng minh sơ lược không chứng minh 1.1 VÀNH ĐA THỨC 1.1.1 Định nghĩa Cho A vành giao hoán có đơn vị n số nguyên không âm Vành đa thức A[ x1, x2, , xn] n biến x1, x2, , xn A định nghĩa theo quy nạp sau: A[ x1, x2, , xn] : A[ x1, x2, , xn-1][xn] Tức A[ x1, x2, , xn] vành đa thức biến xn vành A[ x1,x2, ,xn-1] Ký hiệu: A[X] = A[ x1, x2, , xn] Khi A[X] vành giao hoán có đơn vị với phép cộng phép nhân đa thức thông thường Các phần tử A[X] gọi đa thức, đa thức f  A[X] có dạng f = với m biểu thức A.Các phần tử gọi hệ số gọi đơn thức f; 1.1.2 Bậc đa thức Với f  A[X], đặt degf :  max{r1 + r2 + + rn | 0} f đặt degf  - f  Khi degf gọi bậc f Nếu degf = 1, ta nói f đa thức bậc nhất, có dạng f = a1x1 + a2x2 + … + anxn + an+1, phải có hệ số gắn biến khác không Người ta thường viết đa thức nhiều biến theo thức tự biến theo giá trị giảm dần bậc đơn thức, nghĩa là, coi r1 + r2 +… + rn > s1 + s2 +… + sn r1 + r2 +… + rn = s1 + s2 +… + sn tọa độ khác không véctơ (r1 – s1, r2 – s2 ,… , rn - sn ) dương 1.1.2 Mệnh đề Nếu A miền nguyên degfg = degf + degg với đa thức f, g  A[X] Chứng minh Mọi đơn thức fg có dạng uv với u đơn thức f v đơn thức g Gọi umax, vmax đơn thức bậc lớn f, g theo thứ tự nêu Với u umax v vmax ta có uv < umaxvmax, uv umaxvmax Gọi c, d  A hệ số tương ứng umax, vmax Vì c, d cd nên Khi cdumaxvmax hạng tử fg Do đó: deguv  degumaxvmax = degumax + degvmax = degf + degg Vậy degfg = degf + degg 1.1.3 Mệnh đề Nếu A miền nguyên A[X] miền nguyên phần tử khả nghịch A[X] phần tử khả nghịch A Chứng minh Giả sử f, g đa thức khác A[X] Khi degf, degg nên degfg fg Vì A[X] miền nguyên Tiếp theo, fg = degfg = degf +degg = 0, suy degf = degg = 0; f, g phần tử khác A Vì f, g phần tử khả nghịch A 1.1.4 Nhận xét Nếu K trường 1/ Với f, g  K[X] ta có deg(fg) = degf + degg 2/ K[X] miền nguyên fg f, g 3/ K tập phần tử khả nghịch K[X] fg f  K g  K 1.1.5 Nghiệm đa thức Cho A vành giáo hoán có đơn vị f = m  N Với a = (a1, a2, an)  An ta có giá trị: với Khi điểm a gọi nghiệm f f(a)= f(a) = ta nói f triệt tiêu a Chú ý rằng, đa thức f xác định ánh xạ f : Kn  K; a  f(a), gọi ánh xạ đa thức 1.1.6 Bổ đề Giả sử K trường có vô hạn phần tử Nếu f(a) = với a  Kn f = Chứng minh +) Nếu n = f đa thức biến nên f đa thức bậc d ≥ f có hữu hạn nghiệm điều mẫu thuẫn với f(a) = 0, a  Kn +) Nếu n > 1, giả sử f chứa biến xn ta viết f dạng: f = f0 + xnf1 + xn2f2 + … + xnmfm f0, f1, , fm  K[ x1, x2, , xn-1] fm Suy tồn số (a1, a2, , an-1) cho f(a1, a2, , an-1) Do f0(a1, a2, , an-1) + f1(a1, a2, , an-1) xn + + fm(a1, a2, , an-1)xnm đa thức biến xn có bậc m nên có hữu hạn nghiệm, mà đa thức triệt tiêu với a thuộc K với K vô hạn phần tử (vô lí) Vậy f = Từ suy điều phải chứng minh 1.1.7 Nhận xét Bổ đề không K trường hữu hạn Chẳng hạn K = {1,2, ,n } đa thức f = (x-1)(x-2) (x-n) đa thức khác triệt tiêu toàn K 1.1.8 Hệ Giả sử K trường có vô hạn phần tử Cho f g hai đa thức K[X] Nếu f(a) = g(a) với a  Kn f = g Trong luận văn này, từ trở đi, ta giả thiết trường K vô hạn 1.2 TẬP ĐẠI SỐ 1.2.1 Định nghĩa Tập V  Kn gọi tập đại số V nghiệm họ đa thức K V={ x=( , nghĩa là: ) kn / fi (x) =0 fi S Ta coi tập đại số hình hình học K k } 1.2.2 Ví dụ 1/ Tập rỗng  tập đại số phương trình = vô nghiệm 2/ Mọi điểm a = (a1, a2, , an) tập đại số a nghiệm hệ phương trình: 3/ Không gian Kn tập đại số phương trình = với điểm K n 4/ Các m – phẳng không gian afin An tập đại số nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng: Trong hạng ma trận hệ phương trình tuyến tính n - m n - m ≤ p ≤ n 5/Tập tất số thực 6/ Lấy K= tất số phức cho tôpô tôpô thông thường ( tôpô sinh khoảng cách ơcơlit d(x,y) = , x = (x1,x2,…,xn); y = (y1,y2,…,yn) Thì tập đại số V ánh xạ đa thức f : ; a tập đại số tập đóng f(a) ánh xạ liên tục ( với tôpô thông thường) tập đại số V= giao tập đóng f-1(o) nên V đóng 1.2.3 Siêu mặt a) Định nghĩa Cho f  K[X] Ký hiệu Z(f) = {a  Kn : f(a) = 0}, tức Z(f) tập nghiệm đa thức f Khi đó: 1/ Z(f) =  f đa thức khác (degf = 0) 2/ Z(f) = Kn f = (degf   ) 3/ Z(f) gọi siêu mặt không gian Kn degf > Đăc biệt degf = Z(f) gọi siêu phẳng Ta tính Z(f) số trường hợp cụ thể b) Ví dụ Trong vành đa thức K[x, y], cho f = x3 – y, Z(f) = { (a, a3) | a K } Thật vậy, đặt V = { (a, a3) | a  K } (a, a3) V f(a) = a3 – a3 = V  Z(f) • Ngược lại, giả sử (a1, a2)  Z(f) Nếu a1 = a2 = nên (a1, a2) = (0, 02) V Khi a1 a2 0, ta có Do ta có (a1, a2)  V Từ suy Z(f)  V Vậy ta có V = Z(f) 1.2.4 Tập Zariski a) Định nghĩa: Cho S tập K[X], kí hiệu Z(S) = {a  Kn : f(a) = 0, f  S}; Vậy Z(S) tập đại số tập đại số giao tập dạng Z(f), ta nói Z(S) tập đại số tập đa thức S gọi tập Zariski tập S b) Nhận xét 1/ Khi n  đa thức bậc dương có hữu hạn nghiệm nên tập đại số K tập hữu hạn Ngược lại tập hữu hạn K tập nghiệm đa thức biến Vì Z(f) =  Z(f) tập hữu hạn Z(f) = K Từ suy n  tập đại số K tập rỗng, tập hữu hạn hay K 2/Giả sử S1và S2 hai tập đa thức K[X] Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) 3/ Tập nghiệm họ đa thức bậc (n ẩn) gọi đa tạp tuyến tính c) Bổ đề Cho S1 S2 hai tập đa thức K[X] Đặt S = {fg │f  S1, g  S2 } Ta có: Z(S1)  Z(S2) = Z(S) Chứng minh Z(S1) Z(S2)  Z(S) Thật vậy: Lấy phần tử tùy ý a  Z(S1) Z(S2) - Nếu a  Z(S1) f(a) = với f  S1, suy (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 Do a  Z(S) - Nếu a  Z(S2) g(a) = với g  S2, suy (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 Do a  Z(S) Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (1) +) Z(S1)  Z(S2)  Z(S) Lấy phần tử tùy ý a  Z(S) Khi (fg)(a) = f(a)g(a) = với f  S1 g  S2 , K trường nên a  Z(S1)  Z(S2) Vậy Z(S1)  Z(S2)  Z(S) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh d) Bổ đề Cho {Si}iI họ tập đa thức K[X] Khi đó: = Z( Chứng minh Lấy phần tử tùy ý a  a  Z(Si) với i  I đó: f(a) = với f  Si, i  I f(a) = với f  a  Z( Vậy = Z( e) Bổ đề Cho S  K[X] T  K[Y] hai hệ đa thức tùy ý Nếu ta coi S T tập đa thức K[X, Y] thì: Z(S) x Z(T) = Z(S  T) 10 Chứng minh Giả sử a  Kn b  Km Khi (a, b) nghiệm S  T a nghiệm S b nghiệm T Điều chứng tỏ Z(S) x Z(T) = Z(S  T) 1.2.5 Nhận xét Từ kết ta tóm tắt lại sau: 1/  tập đại số 2/ Kn tập đại số 3/ Hợp hai tập đại số tập đại số 4/ Giao họ tập đại số tập đại số 5/ Tích hai tập đại số tập đại số 6/ Tương ứng Z: K[X]  Kn, cho S  Z(S) ánh xạ từ họ tất tập vành đa thức K[X] đến họ tất tập không gian afin Kn 7/ Nếu S1  S2 Z(S1)  Z(S2) ; 8/ Z(0) = Kn; 9/ Z(f) = với f  K Từ nhận xét ta có kết sau 1.2.6 Định lí Họ tất tập đại số không gian afin Kn lập nên tôpô (theo ngôn ngữ tập đóng) Chứng minh Ký hiệu Z(Kn) họ tất tập đại số Z(S) Kn Thế họ chứa rỗng, chứa Kn đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên lập thành tôpo (theo ngôn ngữ tập đóng) Kn 1.2.7 Tô pô Zariski a) Định nghĩa Họ TZ= {V | V Kn | V tập đại số} lập thành tôpô không gian afin Kn gọi tôpô Zariski b) Mệnh đề.(về số tính chất đơn giản tôpô Zariski) 1/ Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi tập mở Zariski chúng lập thành sở cho tô pô Zariski 24 J = {f  A; f + I  Q} Vì tương ứng: J  J/I cho tương ứng – iđêan chứa I với iđêan A/I, nên quy việc nghiên cứu iđêan A chứa iđêan I việc nghiên cứu iđêan A/I 1.4.4 Bổ đề A/J  (A/I)/(J/I) Chứng minh Ký hiệu π A/I  π'  A/I  φ: A   J/I     '  toàn cấu (vì , ’ toàn cấu) ker  = J nên A/J  (A) = (A/I)/(J/I) PHẦN TỔNG QUAN VỀ CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ SƠ CẤP TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Trong phần nêu tổng quan số kiến thức sách giáo khoa môn toán lớp 2,3,4,5,6 sách giáo khoa môn đại số lớp đến lớp 12 nhà xuất Giáo dục ban hành từ năm 2007, bao gồm phần sau đây: 1.TẬP HỢP Mỗi tập đại số tập hợp không gian afin Rn nên cách hiển nhiên nhiều yếu tố hình học đại số có mặt khái niệm tập hợp toán phổ thông +) Khái niệm tập hợp trình bày sách giáo khoa toán lớp lớp 10 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số đồ thị hàm số trình bày sách giáo khoa toán 4,5,6 dạng kiến thức chuẩn bị học thức lớp 7, 9, 10, 11, 12 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ, PHÂN THỨC ĐẠI SỐ, ĐA THỨC Biểu thức đại số đa thức trình bày sách giáo khoa toán 3,4,5 dạng kiến thức chuẩn bị học thức lớp 7, 8,9, 10 4.PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 25 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trình bày sách giáo khoa toán 2,3,4,5,6,7 dạng kiến thức chuẩn bị học thức lớp 8, 9, 10, 11, 12 Trên sở chương trình Đại số sơ cấp toán phổ thông vừa nêu trên, khảo sát yếu tố tập đại số iđêan chúng, ánh xạ liên tục tôpô Zariski thể toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1 Các tập đại số đại số sơ cấp 2.1.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 tập đại số đẳng cấu tôpô Zariski với trục Ox: y = trục Oy: x=0 Chứng minh Đặt f(A) = ax + by + c với A(x, y)  R2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(A) = ax + by + c = 0} +) Nếu a = 0, b c b Z(f) = {A(,  ) |  R} c a +) Nếu a 0, b = Z(f) = {A(  , ) |  R} +) Nếu ab Z(f) = {A(,    ) |  R} a b c b Vậy đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 tập đại số +) Ta biết có phép biến đổi afin f: R2  R2 x ' x    A     b    y '  y  x, y    x ', y ' ;   x '  a11x  a12 y  b1   y '  a21x  a22 y  b2 26  a11a12  với det    biến đường thẳng d thành trục Ox, trục Oy a a  21 22  Phép biến đổi afin là ánh xạ đa thức ánh xạ afin ánh xạ đa thức nên phép biến đổi đẳng cấu tôpô Zariski, đường thẳng d đồng phôi Zariski với trục Ox, trục Oy 2.1.2 Mệnh đề Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với a, b, c  R a tập đại số R2 đồng phôi với tập W = {(m,m2) | m R} Chứng minh.+) Đặt f(x, y) = ax2 + bx - y + c Khi đó: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(x, y) = ax2 + bx -y + c = 0} = ((, a2 + b + c) |  R} Vậy đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c với a, b, c  R a đại số R2 : R2 +) Xét ánh xạ: (x, y) Ta chứng minh R2 (x’, y’) : song ánh (đơn ánh, toàn ánh) đơn ánh : Thật vậy, với x = (x1,x2)  y = (y1,y2) (x1  y1,x2  y2) Giả sử (x) = (y) x=y (Trái với giả thiết) đơn ánh toàn ánh Lấy y(y1,y2)  R2 , tồn x(x1,x2) : x1 = (x1,x2)  R2 ; x2 = tập 27 Khi (x1,x2) = (y1,y2) toàn ánh song ánh * Vì song ánh nên tồn f-1: R2  R2 (x, y) Cuối ta nhận thấy (x’, y’) : -1 ánh xạ đa thức nên đường bậc hai y = ax2 + bx + c đẳng cấu tôpô Zariski với đường bậc hai y = x2 Do Z( ax2 + bx + c –y) đồng phôi với Z(x2-y) Mặt khác: Z(x2-y) ={ (m,m2) | m R} nên ta có điều phải chứng minh 2.1.3 Mệnh đề Đồ thị hàm số bậc y = ax3 +bx2 + cx + d với a, b, c, d  R a tập đại số R2 Chứng minh +)Đặt f(x, y) = ax3 +bx2 + cx - y + d Khi đó: V = Z(f) = {(x, y)  R2 | f(x, y) = ax3 +bx2 + cx - y + d = 0} = {(, a3 + b2 + c + d) |  R} 2.1.4 Mệnh đề Đồ thị hàm số bậc y = ax4 +bx2+ c với a, b, c, d  R a tập đại số R2 Chứng minh Đặt f(x, y) = ax4 +bx2 - y + c Khi ta có: V = Z(f) = {A(x, y)  R2 | f(x, y) = ax4 +bx2 - y + c = 0} = {(, a4 + b2 + c) |  R} 2.1.5 Mệnh đề Đồ thị hàm số phân thức y = ad-bc ax+b với a, b, c, d  R cx+d 0, tập đại số R, nghiệm đa thức 2.1.6 Nhận xét Một tập hợp số tập đại số tập rỗng tập R, tập hữu hạn 2.1.7 Mệnh đề Đồ thị hàm số lượng giác không tập đại số 28 Chứng minh Tập W = ( A(x,y)  R| f(x, y) = sinx - y }không nghiệm đa thức y= sinx = x- + -…+ + 0(x2n+1) Tương tự với hàm số y=cosx y = tanx, y=cotx 2.1.8 Mệnh đề Đồ thị hàm y= lnx không tập đại số Chứng minh.Tập W = ( A(x,y)  R| f(x, y) = lnx - y }không nghiệm đa thức y= ln(x+1) = x- + -…+ + 0(xn+1) 2.1.9 Mệnh đề Đồ thị hàm y= ex không tập đại số Chứng minh Tập W = ( A(x,y)  R| f(x, y) = ex- y }không nghiệm đa thức y= ex= 1+ + +…+ + 0(xn+1) 2.2 Cấu xạ, yếu tố ánh xạ liên tục Tôpô Zariski toán phổ thông 2.2.1 Cấu xạ tôpô Zariski Cho ánh xạ F: F W  Km K n  V  F có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),… , Fm(a)); a  V m ánh xạ F1 , F2 ,… , Fm : V  K gọi hàm tọa độ Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi phép chiếu lên toạ độ thứ i 2.2.1.1 Định nghĩa Cho V W hai tập đại số Ánh xạ F nói gọi ánh xạ đa thức F1 , F2 ,… , Fm hàm đa thức (nghĩa chúng cho đa thức) Nếu K trường đóng đại số ánh xạ đa thức gọi cấu xạ 2.2.1.2 Ví dụ 1/ Mọi hàm số đa thức V ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ; 2/ Ánh xạ đồng IdV V ánh xạ đa thức idV : V → V cho IdV (a) = (p1(a), p2(a),… , pn(a)), pi : V  K phép chiếu lên toạ độ thứ i 3/ Nếu F: V  K ánh xạ đa thức tập đóng T  V, ánh xạ F thu hẹp T ánh xạ đa thức 4/ Với hàm G : W  K, ta gọi hợp thành G  F : V  K hàm lùi G theo F 29 2.2.1.3 Mệnh đề F : V  W ánh xạ đa thức G  F  K[V] với G  K[W] Chứng minh Giả sử F ánh xạ đa thức G  K[W] Lấy đa thức m biến g cho G = g|V Khi (G  F)(a) = G(F(a)) = g(F1(a), F2(a),… , Fm(a)) = g(F1, F2,… , Fm)(a) với a  V, suy G  F = g(F1, F2,… , Fm) Vì F1, F2,… , Fm  K[V] nên g(F1, F2,… , Fm)  K[X] G  F  K[V] Đảo lại, giả sử G  F  K[V] với G  K[W] Khi Fi  pi  F  K[V] với i =1, 2, …, m nên F ánh xạ đa thức 2.2.1.4 Nhận xét Mỗi ánh xạ đa thức F : V  W cảm sinh ánh xạ F* : K[W]  K[V] cho F*(G) : = G  F Rõ ràng F* đồng cấu vành G, H  K[W] ta có F*(G + H) = (G + H)  F = G  F + H  F = F*(G) + F*(H) F*(G.H) = (G.H)  F = (G  F).(H  F) = F*(G) F*(H) 2.2.1.5 Ví dụ 1/ Với hàm đa thức F : V  K F* : K[x]  K[V] cho F*(g) = g(F) 2/ Id*V = IdK[V] Id*(G) = G  Id = G với G  K[V] 2.2.1.6 Chú ý Ánh xạ đa thức F xác định hoàn toàn đồng cấu F* F xác định hàm tọa độ Fi, Fi = pi  F = F*(pi) 2.2.1.7 Mệnh đề Với tập điểm U  V tập đại số V ta có IW, F(U) = (F*)-1 (IV, U) Chứng minh Mọi G  K[W] ta thấy G  IW, F(U) G(F(a)) = với a  U Nhưng F*(G)(a) = G(F(a)) nên điều có nghĩa F*(G)  IV, T = IT/IV Theo kết trên, nói riêng ta có IW, F(V) = (F*)-1 (IV, V) = (F*)-1 (0) = ker F* 30 Mối quan hệ F F* cho tương ứng – ánh xạ đa thức từ V vào W với đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau 2.2.1.8 Định lý Với đồng cấu vành  : K[W]  K[V] tồn ánh xạ đa thức F : V  W cho F* =  Chứng minh Cho ánh xạ đa thức F : V → Kn với Fi =  (pi) Với đa thức m biến g ta có : g  F = g(F1, F2,…., Fm) =  (g(p1, p2,…., pm)) =   g|W  Nếu g  IW g|W = g  F =  (0) = Từ suy g(F(a)) = (g  F)(a) = với a  V Vì F(a)  Z(IW) = W nên F(V)  W Bây coi F ánh xạ từ V vào W Với hàm g|W K[W] ta có F*( g|W ) = g |W  F = g  F =   g|W  Vì F* =  Ta coi ánh xạ F : V  W ánh xạ từ V lên F(V) F ánh xạ đa thức F(V) tập đại số Tuy nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) F(V) coi F ánh xạ đa thức từ V lên F(V) 2.2.1.9 Mệnh đề Cho ánh xạ đa thức F W  E T V  hợp thành E  F ánh xạ đa thức (E  F)* = F*  E* Chứng minh Mọi H  K[T] ta có (E  F)* (H) = H  E  F = E*(H)  F = F*(E*(H)) = (F*  E*)(H) Do F*(E*(H))  K[V] nên E  F ánh xạ đa thức (E  F)* = F*  E* 2.2.1.10 Định nghĩa Ánh xạ đa thức F: V  W gọi đẳng cấu đa thức F có ánh xạ nghịch đảo F-1 F-1 ánh xạ đa thức Khi ta nói tập đại số V đẳng cấu đa thức với tập đại số W ký hiệu V  W Nếu K trường đóng đại số đẳng cấu đa thức gọi vắn tắt đẳng cấu 2.2.1.11 Ví dụ 31 1/ Mọi phép biến đổi afin hay gọi phép biến đổi tọa độ Kn (K R C) đẳng cấu đa thức 2/ Cho F : V = Z((x-1)2 – y)  K1 phép chiếu lên trục Ox, F đẳng cấu đa thức F – 1(a) = (a, (a-1)2) F-1 ánh xạ đa thức Vì parabol y = (x1)2 đồng phôi với đường thẳng (với tư cách hai không gian tôpô Zariski) Tương tự ta có đường thẳng (d) : ax +by +c =0 Parabol (P) y = ax2+bx+c đồng phôi với 2.2.1.12 Chú ý Có ánh xạ đa thức tồn ánh xạ ngược ánh xạ ngược ánh xạ đa thức 2.2.1.13 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K1  W = Z(x2 – y3) cho F(a) = (a3, a2) có ánh xạ ngược F-1 : W = Z(x2 – y3)  K1 cho F-1(a3, a2 ) = a Nhưng F-1 ánh xạ đa thức Bởi trái lại tồn đa thức g  K[x, y] cho g(a3, a2) = a với a  K Khi đa thức g(t3, t2) – t có vô số nghiệm K nên g(t3, t2) – t = Điều vô lý đa thức g(t3, t2) không chứa biến t Mối quan hệ F  F* cho ta tương ứng – đẳng cấu đa thức từ V đến W với đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau 2.2.1.14 Định lý Ánh xạ đa thức F : V  W đẳng cấu đa thức F* đẳng cấu vành Chứng minh Nếu F đẳng cấu đa thức, ta có F*(F-1)* = (F-1  F)* = (IdV)* = IdK[V] tương tự (F-1)*  F* = IdK[V] Vì F* đẳng cấu Đảo lại, F* đẳng cấu, có ánh xạ đa thức E : W  V cho E* = (F*)-1 Do (E  F)* = F*  E* = IdK[V] = (IdV)* nên E  F = IdV Tương tự, F  E = IdW nên E ánh xạ ngược F Vậy F đẳng cấu đa thức 2.2.1.15 Hệ Với đẳng cấu vành  : K[W]  K[V] tồn đẳng cấu đa thức F : V  W cho F* =  2.2.1.16 Ví dụ 32 1/ Cho F phép chiếu từ V = Z(x2 – y) lên trục Ox Do F = x |V nên F*(g) = g( x |V ) với g  K[x] Ta biết K[V]  K[x] x |V  x Do coi F* ánh xạ đồng K[x] nên F đẳng cấu đa thức 2/ Đường cong V = Z(x3 – y2)  K2 không đẳng cấu đa thức với K1 Thật vậy, V  K1 tồn đẳng cấu vành  : K[t3, t2]  K[x] K[V]  K[t3, t2] Ta có (  (t3))2 = (  (t2))3 So sánh thành phần bất khả quy hai đa thức với tìm thấy đa thức f  K[x] cho  (t2) = f2 ;  (t3) = f3 Do  toàn cấu nên x = g(f2, f3) với g đa thức biến Ta viết g(f2, f3) = a + f2h với a  K, h  K[x] Mặt khác x - a = f2h suy f  K x = g(f2, f3)  K điều vô lý 2.2.1.17 Đinh nghĩa Ánh xạ F: V  W gọi phép nhúng ánh xạ cảm sinh F từ V vào F(V) F(V) đẳng cấu đa thức Chú ý F(V) = tập đại số V  F(V) 2.2.1.18 Ví dụ Ánh xạ đa thức F : K  K2 ; F(a) = (a, (a-1)2) phép nhúng Thật vậy, F(K) = Z((x-1)2 – y) parabol Ánh xạ cảm sinh từ K vào F(K) đẳng cấu đa thức có ánh xạ ngược (a, (a-1)2)  a ánh xạ đa thức 2.2.1.19 Định lý F phép nhúng F* toàn cấu Chứng minh Ký hiệu  : V  F(V) ;  (a) ; = F(a) Giả sử F phép nhúng,  đẳng cấu đa thức Do  * đẳng cấu nên với F  K[V], tồn G  K[W] cho F =  *  G |F(v)  Từ suy F*(G) = G  F = G|F(V)   =  *  G |F(V)  = F Điều chứng tỏ F* toàn cấu Đảo lại, giả sử F* toàn cấu Với F  K[V], tồn G  K[W] cho F*(G) = F Do  *  G|F(V)  = G |F(V)    G  F = F* (G) = F 33 Điều chứng tỏ  * toàn cấu Nhưng  cấu xạ trội nên  * đơn cấu  * đẳng cấu vành,  đẳng cấu đa thức, nghĩa F phép nhúng 2.2.2 Ánh xạ liên tục với tôpô Zariski 2.2.2.1 Định lý Cho V W tập đại số ánh xạ đa thức F F W  Km K n  V  liên tục với tôpô Zariski Chứng minh: Ánh xạ đa thức F liên tục với tôpô Zariski ngược ảnh tập đóng T tập đóng Z(F*(IW, T)) Từ định lý trên, ta xét ánh xạ toán học phổ thông : 2.2.2.2 Mệnh đề Mọi hàm đa thức liên tục với tôpô Zariski Chứng minh Xét ánh xạ : f : y= f(x) = anxn+…+a1x+a0 x R tập đại số nên f ánh xạ đa thức liên tục với tôpô Zariski Suy ta có điều phải chứng minh 2.2.2.3 Mệnh đề Mọi hàm lượng giác không liên tục với tôpô Zariski Chứng minh Xét ánh xạ: f : x y= sinx f không liên tục với tôpô Zariski : Ta biết {0} tập đóng Zariski Nhưng f-1({0})= k ; k nghiệm đa thức f(x) = x tập vô hạn nên không tập đóng Zariski Tương tự với hàm số lượng giác lại 2.2.2.4 Mệnh đề Hàm số f : x Chứng minh Ta biết tập đóng Zariski = Nhưng f-1( ) = (0; y= lnx không liên tục với tôpô Zariski ) nghiệm đa thức tập vô hạn nên không tập đóng Zariski Do f không liên tục với tôpô Zariski 2.3 Thể iđêan tập đại số đại số sơ cấp 34 Ta có iđêan tập đại số đại số sơ cấp 2.3.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 a b c b Khi iđêan tập đại số V= Z(f) = {(,    ) R2 ,  R} IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } Chứng minh f(x, y) = ax + by + c = , +) Ta có V tập vô hạn điểm Z( ax+by+c) , IV = {f(x,y)  R[x,y], f(v) = 0,  vV}, ta cần chứng minh IV = ( ax+by+c) a b Thật vậy:+) ta có f(x,y) = (ax+by+c)  IV   R f(v) = a  +(-a  -c)+c = f  Iv c b v=(,    ) fh  Iv ,  h  R[x,y] ax+by+c  Iv (1) +) Với h(x,y)  R[x,y] ta có h(x,y) đa thức biến y với hệ tử lấy k[x], c h(x,y) có dạng h(x,y)= rr r2 x r1 y r2  k[x] h viết dạng r1r2  n a b c b h = (ax+by+c)g+v , vk[x] V = Z(f) = {(,    ) R[x,y], R} nên a b c b h  Iv f(,    ) = v(  ) = v(  ) = , vk[x] với   thuộc tập vô hạn điểm Z (ax+by+c) v=0 h(x,y) = (ax+by+c)g Iv  (ax+by+c) (2) Từ (1) (2) ta có IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } 2.3.2 Định lý Iđêan đường thẳng d R2 đẳng cấu với iđêan sinh y x I d  (y) = yR[x,y]  xR[x, y] Chứng minh: Cho d đường thẳng R2 Theo Mệnh đề 2.1.1, d đồng phôi tôpo Zariski với trục Ox đồng phôi Zariski với trục Oy, ba idean sau đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) Id  IOx  IOy 35 Trục Ox có phương trình y = Nên đa thức hai ẩn f(x, y) triệt tiêu Ox f(x, y) có dạng f(x, y) = y h(x, y) với h(x, y) đa thức hai biến R[x, y] Cho nên IOx = yR[x,y] Tương tự, ta có IOy = xR[x,y] 2.3.3 Mệnh đề Đường Parabol (P) có phương trình y2 = 2px với p > 2 Khi iđêan tập đại số V= Z(f) = {( ,  ) R2,  R} 2p y  px   y  px  f | f  R[x, y ]  IV =  Chứng minh Tương tự 2.3.1 với cách chọn V = Z(y2 - 2px) = {( 2 ,  ) R ,  R} 2p 2.3.4 Định lý Idean parabol R2 đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y]) với iđean (x2 – y) R[x, y] sinh bở đa thức x2 – y Chứng minh: Vì parabol (P) đẳng cấu topo Zariski với parabol (H) có phương trình y = x2 Cho nên ta có hai idean sau đẳng cấu vành đa thức hai ẩn R[x, y] I(P)  IH Mặt khác IH = (x2 – y) R[x, y], nên ta có điều phải chứng minh 2.3.5 Mệnh đề Đường Parabol (P) có phương trình y = ax2 + bx + c với a, b, c  R a 2 Khi iđêan tập đại số V= Z(f) = {( ,  ) R2, 2p  R} IV = y  px   y   px  f | f  R[x, y ] Chứng minh Iv iđêan tương tự 2.3.1 với cách chọn V = Z(ax2+bx-y+c) = {(, a2 + b + c)  R2 | R} 2.3.6 Mệnh đề Đồ thị hàm số bậc ba có phương trình y = ax3 +bx2 + cx + d với a, b, c, d  R a Khi iđêan tập đại số V= Z(f) = {(, a2 + b + c)  R2 | R } IV = ax  bx  cx-y+d   ax  bx  cx-y+d  f | f  R[x, y ] Chứng minh Iv iđêan tương tự 2.3.1 với cách chọn V = Z(ax3 +bx2 + cx - y + d) = {(, a3 + b2 + c + d)  R2 , R} 36 2.3.7 Mệnh đề Đồ thị hàm số bậc bốn có phương trình y = ax4 +bx2 + c với a, b, c  R a Khi iđêan tập đại số V = Z(f) = {(x, y)  R2 | f(x, y) = ax4 +bx2- y + c = 0} = {(, a4 + b2 + c)  R2 , R} IV = ax  bx  y  c   ax  bx  y  c  f | f  R[x, y ] Chứng minh Iv iđêan tương tự 2.3.1 với cách chọn V = Z(ax4 +bx2 - y + c) = {(, a4 + b2 + c)  R2 , R} 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày có chứng minh chi tiết kiến thức tập đại số, tập đại số bất khả quy, iđêan tập đại số, cấu xạ (ánh xạ liên tục tô pô Zariski) Các chứng minh cụ thể hóa mà tài liệu tham khảo nêu vắn tắt không chứng minh Trình bày sơ lược nội dung đại số sơ cấp toán phổ thông Nêu chứng minh số tập đại số toán học phổ thông iđêan Qua có thêm cách (hình học đại số) để nhìn nhận toán phổ thông cách sâu sắc hơn(Từ mệnh đề 2.1.1 đến 2.1.9; mệnh đề 2.3.1; mệnh đề 2.3.3; mệnh đề 2.3.5; mệnh đề 2.3.6; mệnh đề 2.3.7) Nêu chứng minh hàm số liên tục với tôpô Zariski, đồng phôi tập đại số đẳng cấu số idean(Định lý 2.3.2; Định lý 2.3.4) 5.Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng hình học đại số để giải số tập toán học phổ thông Vinh, tháng 10 năm 2013 Tác giả luận văn 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội [3] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng - Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Công Nghệ Mới [4] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội [5] Bộ Giáo dục Đào tạo (2006): Chương trình giáo dục phổ thông Nhà XBGD, Hà Nội Sách giáo khoa, sách tham khảo số học, đại số từ lớp đến lớp 12 Bộ Giáo dục Đào tạo [6] [7] TIẾNG ANH [8] I.R.Shafarevich(1994), Basic in Algebraric Geometry, Springer Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry, New York Haidelborg Berlin [9] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK COMPANY, Professor of Mathematics University of California, Berkely TIẾNG PHÁP [10] Bertrand HAUCHECORNE – Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A Z, Ellipses Paris [...]... trình bày trong sách giáo khoa toán 2,3,4,5,6,7 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 8, 9, 10, 11, 12 Trên cơ sở chương trình Đại số sơ cấp trong toán phổ thông vừa nêu trên, dưới đây chúng tôi sẽ khảo sát các yếu tố về tập đại số và iđêan của chúng, ánh xạ liên tục trên tôpô Zariski được thể hiện trong toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1... TRÌNH ĐẠI SỐ SƠ CẤP TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Trong phần này chúng tôi nêu tổng quan một số kiến thức trong sách giáo khoa môn toán lớp 2,3,4,5,6 và sách giáo khoa môn đại số lớp 7 đến lớp 12 do nhà xuất bản Giáo dục ban hành từ năm 2007, nó bao gồm 4 phần chính sau đây: 1.TẬP HỢP Mỗi một tập đại số là một tập hợp trong không gian afin Rn nên một cách hiển nhiên nhiều yếu tố hình học đại số có mặt trong. .. hiện iđêan của tập đại số trong đại số sơ cấp 34 Ta có iđêan của tập đại số trong đại số sơ cấp 2.3.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 với a, b, c  R và a2 + b2 a b c b 0 Khi đó iđêan của tập đại số V= Z(f) = {(,    ) R2 ,  R} là IV = ax  by  c  {(ax  by  c) f | f  R  x, y } Chứng minh f(x, y) = ax + by + c = 0 , +) Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z( ax+by+c) ,... trình bày trong sách giáo khoa toán lớp 6 và lớp 10 2 HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số và đồ thị hàm số được trình bày trong sách giáo khoa toán 4,5,6 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức ở lớp 7, 9, 10, 11, 12 3 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ, PHÂN THỨC ĐẠI SỐ, ĐA THỨC Biểu thức đại số và đa thức được trình bày trong sách giáo khoa toán 3,4,5 dưới dạng các kiến thức chuẩn bị và được học chính thức... tập đại số thì V = V và ta có V = Z(IV) Nghĩa là tập đại số V được xác định hoàn toàn bởi idean IV Vì vậy, IV còn gọi là iđêan được xác định bởi tập đại số V 2/ Các ánh xạ I và Z trong sơ đồ IV V =Z(IV) thu hẹp trên họ Z(Kn) tất cả các tập đại số trong Kn là hai ánh xạ ngược nhau Nói cách khác, trong sơ đồ sau,  Im I Z(Kn) Z, I là các song ánh ngược nhau Do đó có thể chuyển việc nghiên cứu các tập đại. .. V1, V2 là 2 tập đại số thực sự bé hơn V IV = nhưng IV nguyên tố nên IV (vô lý) d) Ví dụ 1/ Ia là idean cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy; 2/ Kn bất khả quy vì = 0 là idean nguyên tố e) Chú ý Không phải idean nguyên tố nào trong K[X] cũng là idean của một tập đại số bất khả quy, chẳng hạn khi idean nguyên tố mà vô nghiệm, thì nó không là idean của 1 tập đại số nào f) Ví dụ... Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong Kn đều là phần bù của một tập đại số Z(S) Do Z(S) = U= nên U = Kn \ = (đpcm) 2/ Khi K =R, C (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong Rn, Cn với tôpô thông thường trên Rn, Cn là các tập đóng vì Z(S) = trong đó f-1 là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K 3/ Hai tập mở (với tôpô Zariski trong Kn) không rỗng của Kn luôn... tập đại số V nào (vì I vô nghiệm) I = I  = K[X], do đó 1  I, vì vậy I = K[X] Mâu thuẩn với I  K[X] Ví dụ I =  x2 1  R  x  là idean căn với Z(I) =  vì đa thức x2 + 1   vô nghiêm trong R Vì thế I không là idean xác định bởi tập đại số nào trong R 4/ Về sau ta sẽ thấy, nêu mọi idean trong K[X] đều có nghiệm thì mọi idean căn của nó đều là idean của một tập đại số nào đó 1.3.19 Iđêan nguyên tố. .. tục trên tôpô Zariski được thể hiện trong toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1 Các tập đại số trong đại số sơ cấp 2.1.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 với a, b, c  R và a2 + b2 0 là một tập đại số và nó đẳng cấu trong tôpô Zariski với trục Ox: y = 0 hoặc trục Oy: x=0 Chứng minh Đặt f(A) = ax + by + c với A(x, y)  R2 Khi đó: V = Z(f) = {A(x,... yg | f, g  K[x, y]} {yh | h  K[x, y]} = {x2 yf + yg | f, g  K[x, y]} = 1.3.6 Bổ đề Mọi tập đại số đều là tập đại số của một iđêan nào đó Chứng minh Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I= là iđêan sinh bởi S Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập đại số của iđêan I Thật vậy: Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I) (3) Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử ... tập đại số, iđêan, cấu xạ tôpô Zariski nội dung Đại số sơ cấp toán phổ thông CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP Trong chương này, trình bày yếu tố hình học đại số đại số. .. CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1 Các tập đại số đại số sơ cấp 2.1.1 Mệnh đề Đường thẳng có phương trình ax + by + c = với a, b, c  R a2 + b2 tập đại số đẳng cấu... học đại số, thấy Hình học đại số có mối liên hệ với toán phổ thông Với mong muốn hiểu sâu mối quan hệ Hình học đại số Đại số sơ cấp, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Huỳnh Phán , chọn đề tài “MỘT SỐ YẾU