CHƯƠNG II MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC ĐẠI SỐ TRONG ĐẠI SỐ SƠ CẤP 2.1. Các tập đại số trong đại số sơ cấp
2.2. Cấu xạ, yếu tố ánh xạ liên tục trên Tôpô Zariski
Cho ánh xạ F:
F
n m
K V W K
thì F luôn có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),….., Fm(a)); a V.
m ánh xạ F1 , F2 ,….., Fm : V K được gọi là hàm tọa độ. Chú ý rằng, Fi
= pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i.
2.2.1.1. Định nghĩa. Cho V và W là hai tập đại số. Ánh xạ F nói trên gọi là ánh xạ đa thức nếu F1 , F2 ,….., Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức). Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là cấu xạ.
2.2.1.2. Ví dụ.
1/ Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;
2/ Ánh xạ đồng nhất IdV trên V là ánh xạ đa thức vì idV : V → V cho bởi IdV (a) = (p1(a), p2(a),….., pn(a)),
ở đây pi : V K là phép chiếu lên toạ độ thứ i.
3/ Nếu F: V K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng T V, ánh xạ F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức.
4/ Với mọi hàm G : W K, ta gọi hợp thành GF : V K là hàm lùi của G theo F.
29
2.2.1.3. Mệnh đề. F : V W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi GF K[V]
với mọi G K[W].
Chứng minh. Giả sử F là ánh xạ đa thức và G K[W]. Lấy đa thức m biến g sao cho G = g|V. Khi đó
(GF)(a) = G(F(a)) = g(F1(a), F2(a),….., Fm(a)) = g(F1, F2,….., Fm)(a) với mọi a V, suy ra
GF = g(F1, F2,….., Fm).
Vì F1, F2,….., Fm K[V] nên g(F1, F2,….., Fm) K[X] và do đó GF K[V].
Đảo lại, giả sử GF K[V] với mọi G K[W]. Khi đó Fi pi F K[V] với mọi i =1, 2, …, m nên F là ánh xạ đa thức.
2.2.1.4. Nhận xét. Mỗi ánh xạ đa thức F : V W cảm sinh ánh xạ F* : K[W] K[V] cho bởi F*(G) : = GF.
Rõ ràng F* là một đồng cấu vành vì mọi G, H K[W] ta có
F*(G + H) = (G + H)F = GF + HF = F*(G) + F*(H) và F*(G.H) = (G.H)F = (GF).(HF) = F*(G) .F*(H).
2.2.1.5. Ví dụ.
1/ Với mọi hàm đa thức F : VK thì F* : K[x] K[V] cho bởi F*(g) = g(F).
2/ Id*V = IdK[V] vì Id*(G) = GId = G với mọi G K[V].
2.2.1.6. Chú ý. Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu F* vì F được xác định bởi hàm tọa độ Fi, nhưng Fi = piF = F*(pi).
2.2.1.7. Mệnh đề. Với mọi tập điểm U V trong tập đại số V ta có IW, F(U) = (F*)-1 (IV, U).
Chứng minh.
Mọi G K[W] ta thấy G IW, F(U) khi và chỉ khi G(F(a)) = 0 với mọi a U.
Nhưng F*(G)(a) = G(F(a)) nên điều này có nghĩa là F*(G) IV, T = IT/IV. Theo các kết quả trên, nói riêng ta có
IW, F(V) = (F*)-1 (IV, V) = (F*)-1 (0) = ker F*.
30
Mối quan hệ F và F* cho tương ứng 1 – 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau.
2.2.1.8 Định lý. Với mọi đồng cấu vành : K[W] K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức F : V W sao cho F* = .
Chứng minh. Cho ánh xạ đa thức F : V → Kn với Fi = (pi). Với mọi đa thức m biến g ta có : gF = g(F1, F2,…., Fm) = (g(p1, p2,…., pm)) = g|W. Nếu g IW thì g|W = 0 và do đó gF = (0) = 0. Từ đây suy ra
g(F(a)) = (gF)(a) = 0 với mọi a V. Vì vậy F(a) Z(IW) = W nên do đó F(V) W.
Bây giờ coi F là ánh xạ từ V vào W. Với mọi hàm g|W của K[W] ta có F*(g|W) = g|W F = gF = g|W.
Vì vậy F* = .
Ta có thể coi ánh xạ F : V W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó F không phải là ánh xạ đa thức vì có thể F(V) không phải là tập đại số. Tuy nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa thức từ V lên F(V).
2.2.1.9. Mệnh đề. Cho 2 ánh xạ đa thức
V F W E T thì hợp thành EF là ánh xạ đa thức và (EF)* = F*E*. Chứng minh. Mọi H K[T] ta có
(EF)* (H) = HEF = E*(H)F = F*(E*(H)) = (F*E*)(H).
Do F*(E*(H)) K[V] nên EF là ánh xạ đa thức và (EF)* = F*E*.
2.2.1.10. Định nghĩa. Ánh xạ đa thức F: V W gọi là đẳng cấu đa thức nếu F có ánh xạ nghịch đảo F-1 và F-1 cũng là ánh xạ đa thức. Khi đó ta nói tập đại số V đẳng cấu đa thức với tập đại số W và ký hiệu V W. Nếu K là trường đóng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cấu.
2.2.1.11. Ví dụ.
31
1/ Mọi phép biến đổi afin hay còn gọi phép biến đổi tọa độ trên Kn (K là R hoặc C) là đẳng cấu đa thức.
2/ Cho F : V = Z((x-1)2 – y) K1 là phép chiếu lên trục Ox, thì F là đẳng cấu đa thức vì F – 1(a) = (a, (a-1)2) và F-1 là ánh xạ đa thức. Vì vậy parabol y = (x- 1)2 đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski).
Tương tự ta cũng có đường thẳng (d) : ax +by +c =0 và Parabol (P) y = ax2+bx+c đồng phôi với nhau.
2.2.1.12. Chú ý. Có những ánh xạ đa thức tồn tại ánh xạ ngược nhưng ánh xạ ngược không phải là ánh xạ đa thức.
2.2.1.13. Ví dụ. Ánh xạ đa thức F : K1 W = Z(x2 – y3) cho bởi F(a) = (a3, a2) có ánh xạ ngược là F-1 : W = Z(x2 – y3) K1 cho bởi F-1(a3, a2 ) = a.
Nhưng F-1 không phải là ánh xạ đa thức. Bởi vì nếu trái lại thì tồn tại đa thức g K[x, y] sao cho g(a3, a2) = a với mọi a K. Khi đó đa thức g(t3, t2) – t có vô số nghiệm trong K nên g(t3, t2) – t = 0. Điều này vô lý vì đa thức g(t3, t2) không chứa biến t.
Mối quan hệ F F* cũng cho ta tương ứng 1 – 1 giữa các đẳng cấu đa thức từ V đến W với các đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau.
2.2.1.14. Định lý. Ánh xạ đa thức F : V W là đẳng cấu đa thức khi và chỉ khi F* là đẳng cấu vành.
Chứng minh. Nếu F là đẳng cấu đa thức, ta có
F*(F-1)* = (F-1 F)* = (IdV)* = IdK[V]
và tương tự (F-1)*F* = IdK[V] . Vì vậy F* là đẳng cấu.
Đảo lại, nếu F* là đẳng cấu, khi đó có ánh xạ đa thức E : W V sao cho E* = (F*)-1. Do (EF)* = F* E* = IdK[V] = (IdV)*
nên EF = IdV. Tương tự, FE = IdW nên E là ánh xạ ngược của F. Vậy F là đẳng cấu đa thức.
2.2.1.15. Hệ quả. Với mọi đẳng cấu vành : K[W] K[V] luôn tồn tại duy nhất đẳng cấu đa thức F : V W sao cho F* = .
2.2.1.16. Ví dụ.
32
1/ Cho F là phép chiếu từ V = Z(x2 – y) lên trục Ox. Do F = x|V nên F*(g) = g(x|V) với mọi g K[x]. Ta đã biết K[V] K[x] bởi x|Vx.
Do đó có thể coi F* là ánh xạ đồng nhất của K[x] nên F là đẳng cấu đa thức 2/ Đường cong V = Z(x3 – y2) K2 không đẳng cấu đa thức với K1. Thật vậy, nếu V K1 thì tồn tại đẳng cấu vành : K[t3, t2] K[x] do
K[V] K[t3, t2]. Ta có ((t3))2 = ((t2))3. So sánh thành phần bất khả quy của hai đa thức này với nhau sẽ tìm thấy đa thức f K[x] sao cho (t2) = f2 ;
(t3) = f3. Do là toàn cấu nên x = g(f2, f3) với g là một đa thức 2 biến nào đó. Ta có thể viết g(f2, f3) = a + f2h với a K, h K[x]. Mặt khác x - a = f2h suy ra f K và do đó x = g(f2, f3) K là điều vô lý.
2.2.1.17. Đinh nghĩa. Ánh xạ F: V W gọi là phép nhúng nếu ánh xạ cảm sinh của F từ V vào F(V) là đẳng cấu đa thức. Chú ý rằng khi đó F(V) =
F(V) là tập đại số và V F(V).
2.2.1.18. Ví dụ. Ánh xạ đa thức F : K K2 ; F(a) = (a, (a-1)2) là một phép nhúng. Thật vậy, F(K) = Z((x-1)2 – y) là parabol. Ánh xạ cảm sinh từ K vào F(K) là đẳng cấu đa thức vì có ánh xạ ngược (a, (a-1)2) a cũng là ánh xạ đa thức.
2.2.1.19. Định lý. F là phép nhúng khi và chỉ khi F* là toàn cấu.
Chứng minh. Ký hiệu : V F(V) ; (a) ; = F(a) . Giả sử F là phép nhúng, thì là đẳng cấu đa thức. Do * là đẳng cấu nên với mọi F K[V], tồn tại G K[W] sao cho F = *G|F(v). Từ đây suy ra
F*(G) = GF = G|F(V) = *G|F(V) = F.
Điều này chứng tỏ F* là toàn cấu.
Đảo lại, giả sử F* là toàn cấu. Với F K[V], tồn tại G K[W] sao cho F*(G)
= F. Do *G|F(V) = G|F(V) G F = F (G) = F * .
33
Điều này chứng tỏ * là toàn cấu. Nhưng là cấu xạ trội nên * là đơn cấu và do đó * là đẳng cấu vành, cho nên là đẳng cấu đa thức, nghĩa là F là phép nhúng.
2.2.2. Ánh xạ liên tục với tôpô Zariski.
2.2.2.1. Định lý. Cho V và W là các tập đại số thì mọi ánh xạ đa thức F K n V F W Km
là liên tục với tôpô Zariski.
Chứng minh: Ánh xạ đa thức F là liên tục với tôpô Zariski vì ngược ảnh của tập đóng T là tập đóng Z(F*(IW, T)).
Từ định lý trên, ta xét các ánh xạ ở trong toán học phổ thông : 2.2.2.2. Mệnh đề. Mọi hàm đa thức liên tục với tôpô Zariski.
Chứng minh. Xét ánh xạ : f :
x y= f(x) = anxn+…+a1x+a0
vì R là tập đại số nên f là ánh xạ đa thức và liên tục với tôpô Zariski. Suy ra ta có điều phải chứng minh.
2.2.2.3. Mệnh đề. Mọi hàm lượng giác không liên tục với tôpô Zariski.
Chứng minh. Xét ánh xạ: f : x y= sinx
f không liên tục với tôpô Zariski vì :
Ta biết {0} là tập đóng Zariski trong vì nó là nghiệm của đa thức f(x) = x.
Nhưng f-1({0})= k ; k là tập vô hạn nên không là tập đóng Zariski trong . Tương tự với các hàm số lượng giác còn lại.
2.2.2.4. Mệnh đề. Hàm số f :
x y= lnx không liên tục với tôpô Zariski.
Chứng minh. Ta biết là tập đóng Zariski trong vì nó là nghiệm của đa thức 0 = 0. Nhưng f-1( ) = (0; ) là tập vô hạn nên không là tập đóng Zariski trong . Do đó f không liên tục với tôpô Zariski.