hình học sơ cấp

cầu giữa các hình.

2.2. Cấu xạ trong Tôpô Zariski. 2.2.1. Cấu xạ trong tôpô Zariski.

Cho ánh xạ F:

n m

K  V  W  K

thì F luôn có dạng F(a) = (F1(a), F2(a),….., Fm(a)); a  V.

m ánh xạ F1 , F2 ,….., Fm : V  K được gọi là hàm tọa độ. Chú ý rằng, Fi = pi.F ; pi là phép chiếu lên toạ độ thứ i.

2.2.1.1. Định nghĩa. Cho V và W là hai tập đại số. Ánh xạ F nói trên gọi là

ánh xạ đa thức nếu F1 , F2 ,….., Fm là các hàm đa thức (nghĩa là chúng cho bởi các đa thức). Nếu K là trường đóng đại số thì ánh xạ đa thức được gọi là

cấu xạ.

2.2.1.2. Ví dụ.

1/ Mọi hàm số đa thức trên V là ánh xạ đa thức từ V vào K1 = K ;

2/ Ánh xạ đồng nhất IdV trên V là ánh xạ đa thức vì idV : V → V cho bởi IdV (a) = (p1(a), p2(a),….., pn(a)),

ở đây pi : V  K là phép chiếu lên toạ độ thứ i.

3/ Nếu F: V  K là ánh xạ đa thức thì mọi tập đóng T  V, ánh xạ F thu hẹp trên T cũng là ánh xạ đa thức.

4/ Với mọi hàm G : W  K, ta gọi hợp thành GF : V  K là hàm lùi của G theo F.

2.2.1.3. Mệnh đề. F : V  W là ánh xạ đa thức khi và chỉ khi GF  K[V]

với mọi G  K[W].

Chứng minh. Giả sử F là ánh xạ đa thức và G  K[W]. Lấy đa thức m biến g sao cho G = g|V. Khi đó

(GF)(a) = G(F(a)) = g(F1(a), F2(a),….., Fm(a)) = g(F1, F2,….., Fm)(a)

với mọi a  V, suy ra

GF = g(F1, F2,….., Fm).

Vì F1, F2,….., Fm  K[V] nên g(F1, F2,….., Fm)  K[X] và do đó GF  K[V].

Đảo lại, giả sử GF  K[V] với mọi G  K[W]. Khi đó Fi  pi F  K[V] với mọi i =1, 2, …, m nên F là ánh xạ đa thức.

2.2.1.4. Nhận xét. Mỗi ánh xạ đa thức F : V  W cảm sinh ánh xạ F* : K[W]  K[V] cho bởi F*(G) : = GF. Rõ ràng F* là một đồng cấu vành vì mọi G, H  K[W] ta có

F*(G + H) = (G + H)F = GF + HF = F*(G) + F*(H) và F*(G.H) = (G.H)F = (GF).(HF) = F*(G) .F*(H).

2.2.1.5. Ví dụ.

1/ Với mọi hàm đa thức F : VK thì F* : K[x]  K[V] cho bởi F*(g) = g(F).

2/ Id*V = IdK[V] vì Id*(G) = GId = G với mọi G  K[V].

2.2.1.6. Chú ý. Ánh xạ đa thức F được xác định hoàn toàn bởi đồng cấu F* vì F được xác định bởi hàm tọa độ Fi, nhưng Fi = piF = F*(pi).

2.2.1.7. Mệnh đề. Với mọi tập điểm U  V trong tập đại số V ta có IW, F(U) = (F*)-1 (IV, U).

Chứng minh.

Mọi G  K[W] ta thấy G  IW, F(U) khi và chỉ khi G(F(a)) = 0 với mọi a  U. Nhưng F*(G)(a) = G(F(a)) nên điều này có nghĩa là F*(G)  IV, T = IT/IV. Theo các kết quả trên, nói riêng ta có

IW, F(V) = (F*)-1 (IV, V) = (F*)-1 (0) = ker F*.

Mối quan hệ F và F* cho tương ứng 1 – 1 giữa các ánh xạ đa thức từ V vào W với các đồng cấu vành từ K[W] vào K[V] qua định lý sau.

2.2.1.8 Định lý. Với mọi đồng cấu vành : K[W]  K[V] thì tồn tại duy nhất ánh xạ đa thức F : V  W sao cho F* =  .

Chứng minh. Cho ánh xạ đa thức F : V → Kn với Fi = (pi). Với mọi đa thức m biến g ta có : gF = g(F1, F2,…., Fm) =  (g(p1, p2,…., pm)) = g|W. Nếu g  IW thì g|W = 0 và do đó gF = (0) = 0. Từ đây suy ra

g(F(a)) = (gF)(a) = 0 với mọi a  V. Vì vậy F(a)  Z(IW) = W nên do đó F(V)  W.

Bây giờ coi F là ánh xạ từ V vào W. Với mọi hàm g|W của K[W] ta có F*(g|W) = g|WF = gF = g|W.

Vì vậy F* =  .

Ta có thể coi ánh xạ F : V  W là ánh xạ từ V lên F(V) nhưng khi đó F không phải là ánh xạ đa thức vì có thể F(V) không phải là tập đại số. Tuy nhiên, lấy bao đóng (theo tôpô Zariski) của F(V) thì có thể coi F là ánh xạ đa thức từ V lên F(V). 2.2.1.9. Mệnh đề. Cho 2 ánh xạ đa thức V F W E T thì hợp thành EF là ánh xạ đa thức và (EF)* = F* E*. Chứng minh. Mọi H  K[T] ta có (EF)* (H) = HEF = E*(H)F = F*(E*(H)) = (F*E*)(H). Do F*(E*(H))  K[V] nên EF là ánh xạ đa thức và (EF)* = F*E*. 2.2.2. Đẳng cấu đa thức

2.2.2.1. Định nghĩa. Ánh xạ đa thức F: V  W gọi là đẳng cấu đa thức

nếu F có ánh xạ nghịch đảo F-1 và F-1 cũng là ánh xạ đa thức. Khi đó ta nói tập đại số V đẳng cấu đa thức với tập đại số W và ký hiệu V  W. Nếu K là trường đóng đại số thì đẳng cấu đa thức sẽ gọi vắn tắt là đẳng cấu.

1/ Mọi phép biến đổi afin hay còn gọi phép biến đổi tọa độ trên Kn (K là R hoặc C) là đẳng cấu đa thức.

2/ Cho F : V = Z(y2 - 2px)  K1 là phép chiếu lên trục Oy, thì F là đẳng cấu đa thức vì F là ánh xạ đa thức và F – 1(a) = ( , a) là ánh xạ đa thức. Vì vậy parabol y2 = 2px đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski).

2.2.2.3. Chú ý. Có những ánh xạ đa thức tồn tại ánh xạ ngược nhưng ánh xạ

ngược không phải là ánh xạ đa thức.

2.2.2.4. Ví dụ. Ánh xạ đa thức F : K1  W = Z(x2 – y3) cho bởi F(a) = (a3, a2) có ánh xạ ngược là F-1 : W = Z(x2 – y3)  K1 cho bởi F-1(a3, a2 ) = a. Nhưng F-1 không phải là ánh xạ đa thức. Bởi vì nếu trái lại thì tồn tại đa thức g  K[x, y] sao cho g(a3, a2) = a với mọi a  K. Khi đó đa thức g(t3, t2) – t có vô số nghiệm trong K nên g(t3, t2) – t = 0. Điều này vô lý vì đa thức g(t3, t2) không chứa biến t.

Mối quan hệ F  F* cũng cho ta tương ứng 1 – 1 giữa các đẳng cấu đa thức từ V đến W với các đẳng cấu vành K[W] vào K[V] qua định lý sau.

2.2.2.5. Định lý. Ánh xạ đa thức F : V W là đẳng cấu đa thức khi và chỉ khi F* là đẳng cấu vành.

Chứng minh. Nếu F là đẳng cấu đa thức, ta có

F*(F-1)* = (F-1 F)* = (IdV)* = IdK[V] và tương tự (F-1)*F* = IdK[V] . Vì vậy F* là đẳng cấu.

Đảo lại, nếu F* là đẳng cấu, khi đó có ánh xạ đa thức E : W  V sao cho E* = (F*)-1. Do (EF)* = F* E* = IdK[V] = (IdV)*

nên EF = IdV. Tương tự, FE = IdW nên E là ánh xạ ngược của F. Vậy F là đẳng cấu đa thức.

2.2.2.6. Hệ quả. Với mọi đẳng cấu vành : K[W]  K[V] luôn tồn tại duy nhất đẳng cấu đa thức F : V  W sao cho F* =  .

1/ Cho F là phép chiếu từ V = Z(y2 - 2px) lên trục Oy. Do F = x|V nên F*(g) = g(x|V) với mọi g  K[x]. Ta đã biết K[V]  K[x] bởi x|Vy. Do đó có thể coi F* là ánh xạ đồng nhất của K[x] nên F là đẳng cấu đa thức 2/ Đường cong V = Z((x-2) 3 – y2)  K2 không đẳng cấu đa thức với K1. Thật vậy, nếu V  K1 thì tồn tại đẳng cấu vành  : K[(t-2)3, t2]  K[x] do K[V]  K[(t-2)3, t2]. Ta có (((t-2)3))2 = ((t2))3. So sánh thành phần bất khả quy của hai đa thức này với nhau sẽ tìm thấy đa thức f  K[x] sao cho

 (t2) = f2 ;  ((t-2)3) = f3. Do  là toàn cấu nên x = g(f2, f3) với g là một đa thức 2 biến nào đó. Ta có thể viết g(f2, f3) = a + f2h với a  K, h  K[x]. Mặt khác x - a = f2h suy ra f  K và do đó x = g(f2, f3)  K là điều vô lý.

2.2.2.8. Đinh nghĩa. Ánh xạ F: V  W gọi là phép nhúng nếu ánh xạ cảm sinh của F từ V vào F(V) là đẳng cấu đa thức. Chú ý rằng khi đó F(V) =

F(V) là tập đại số và V F(V).

2.2.2.9 . Ví dụ. Ánh xạ đa thức F : K K2 ; F(a) = (a, (a-2)2) là một phép nhúng. Thật vậy, F(K) = Z((x-2)2 – y) là parabol. Ánh xạ cảm sinh từ K vào F(K) là đẳng cấu đa thức vì có ánh xạ ngược (a, (a-2)2)  a cũng là ánh xạ đa thức.

2.2.2.10. Định lý. F là phép nhúng khi và chỉ khi F* là toàn cấu.

Chứng minh. Ký hiệu  : V  F(V) ; (a) ; = F(a) . Giả sử F là phép nhúng, thì  là đẳng cấu đa thức. Do  * là đẳng cấu nên với mọi F  K[V], tồn tại G  K[W] sao cho F = * 

|F(v) G  . Từ đây suy ra F*(G) = GF = G|F(V)   = *  |F(V) G  = F. Điều này chứng tỏ F* là toàn cấu.

Đảo lại, giả sử F* là toàn cấu. Với F  K[V], tồn tại G  K[W] sao cho F*(G)

= F. Do *  *

|F(V) |F(V)

G = G G F = F (G) = F

Điều này chứng tỏ * là toàn cấu. Nhưng  là cấu xạ trội nên * là đơn cấu và do đó * là đẳng cấu vành, cho nên  là đẳng cấu đa thức, nghĩa là F là phép nhúng.

2.2.3. Đẳng cấu đa thức của một số hình học trong hình học sơ cấp.

2.2.3.1. Mệnh đề. Đường tròn (O) và elip (E) đẳng cấu đa thức với nhau.

Chứng minh: Cho F : V = Z(x2+y2- a2)  W = Z( M(x,y) M’(x, y) (M (O))

thì F là đẳng cấu đa thức vì F là ánh xạ đa thức và F – 1(x’,y’) = ( , ) với M’(x’,y’) là ánh xạ đa thức. Vì vậy đường tròn (O) và elip (E) đẳng cấu đa thức với nhau nên Z(O) đẳng cấu với Z(E) (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski).

2.2.3.2. Mệnh đề. Đường thẳng d có phương trình y =m với m R và parapol y =ax2+ bx+c (a 0) đẳng cấu đa thức với nhau.

Chứng minh:Cho F : V = Z(y -ax2- bx-c)  W = Z(y-m) là phép chiếu lên đường thẳng y=m, thì F là đẳng cấu đa thức vì F là ánh xạ đa thức và

F –1(x0) = ( 0, a + bx0+c) là ánh xạ đa thức. Vì vậy parabol y =ax2+ bx+c đồng phôi với đường thẳng (với tư cách là hai không gian tôpô Zariski).

2.3. Thể hiện iđêan của tập đại số trong đại số sơ cấp

Ta có iđêan của tập đại số trong hình học sơ cấp :

2.3.1. Mệnh đề . Đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 với a, b, c  R và a2 + b2 0. Khi đó iđêan của tập đại số V= Z(f) = {(, a c

b b

  ) R[x,y] , R} là IV = axby c {(axby c f ) | f R x y , }

Chứng minh. f(x, y) = ax + by + c = 0 ,

+) Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z( ax+by+c) ,

IV = {f(x,y)  R[x,y], f(v) = 0,vV}, ta cần chứng minh IV = ( ax+by+c) Thật vậy:+) ta có f(x,y) = (ax+by+c)  IV vì  R v=(, a c

b b

f(v) = a+(-a -c)+c = 0 f  Iv fh  Iv , h  R[x,y]

ax+by+c Iv (1). +) Với h(x,y)  R[x,y] ta có h(x,y) là đa thức biến y với hệ tử lấy trong k[x], vì h(x,y) có dạng h(x,y)= 1 2 2 1 2 r r r r r r r n c x y  

 k[x] và h viết được dưới dạng h = (ax+by+c)g+v , vk[x] vì V = Z(f) = {(, a c b b   ) R[x,y], R} nên nếu hIv thì f(, a c b b   ) = v( ) = 0 v() = 0 , vk[x] với  thuộc tập vô hạn điểm trong Z (ax+by+c)

v = 0

h(x,y) = (ax+by+c)g

Iv (ax+by+c) (2). Từ (1) và (2) ta có IV = axby c {(axby c f ) | f R x y , }.

2.3.2. Mệnh đề . Đường tròn có phương trình (x - a)2 + (y - b)2 = r2 với a, b, r

 R. Khi đó iđêan của tập đại số V = Z ( (x-a)2+(y-b)2-R2) = {(Rsin+ a,Rcos+b) R[x,y],  R} là IV = 2 2 2

(x a ) (y b ) r

={ (x - a)2 + (y - b)2 - r2).f∣ f R[x,y]}

Chứng minh. +) Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z((x-a)2+(y-b)2-R2) , IV = {f(x,y)  R[x,y],f(v) = 0,vV}.

Ta cần chứng minh Iv = ((x-a)2+(y-b)2-R2)

Thật vậy: Ta có f(x,y) = ((x-a)2+(y-b)2-R2) Iv vì vV v=( Rsin + a, Rcos + b)

f(v) = (Rsin+ a-a)2+(Rcos + b-b)2-R2)= 0 f  IV

fh  Iv , h  R[x,y] ((x-a)2+(y-b)2-R2) Iv (3).

+) Với đa thức h(x,y)  R[x,y] ta có h(x,y) là đa thức biến y với hệ tử lấy trong k[x], vì h(x,y) có dạng h(x,y)= 1 2 2 1 2 r r r r r r r n c x y  

 k[x] và h viết được dưới dạng h = ((x-a)2+(y-b)2-R2)g+v , vk[x]

vì V = Z(f) = {(Rsin+ a, Rcos+ b) R[x,y],   R} nên nếu hIv thì f((x-a)2+(y-b)2-R2) = v() = 0

v() = 0 , vk[x] với  thuộc tập vô hạn điểm trong Z (ax+by+c) v = 0

h(x,y) = ((x-a)2+(y-b)2-R2)g

Iv ((x-a)2+(y-b)2-R2) (4) Từ (3) và (4) ta có IV = ((x-a)2+(y-b)2-R2).

Vậy Iv là iđêan.

2.3.3 .Nhận xét: Tượng tự mệnh đề 2.3.1 và 2.3.2. ta có:

+)Đường elip có phương trình

2 2

2 2 1

x y

a b  với a > b > 0.

Khi đó iđêan của tập đại số V = Z( + -1) = {(asin,bcos)  R[x,y], 

R} là IV =   2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 | , x y x y f f R x y a b a b                    .

+) Đường hypebol có phương trình

2 2 2 2 1 x y a b  với a > 0, b > 0. với cách chọn V = Z( 2 2 2 2 1 x y a b  ) = {( os a c  ,btan ) R2, 2 k     }. Ta có iđêan IV =   2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 | , x y x y f f R x y a b a b                    .

+) Đường Parabol có phương trình y2 = 2px với p > 0.

với cách chọn V = Z(y2 - 2px) = {( 2 , 2p  ) R2, R} Ta có iđêan IV = 2  2   2 2 | [ , ] y  px  y  px f f R x y 2.3.4. Mệnh đề . Mặt phẳng có phương trình ax + by + cz + d = 0 với a2 + b2 +c2 0. Khi đó iđêan của tập đại số V =Z(ax + by + cz + d) =

{ 1 2 1, 2, a b d c               R[x,y,z] ,   R} là IV = axbyczd axby cz d f | f R x y z[ , , ].

36 Chứng minh Iv là iđêan:

ax + by + cz + d = 0

f(x, y, z) = ax + by +cz + d = 0

Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z(ax + by + cz + d),

IV = {f(x,y,z) R[x,y,z],f(v) = 0 , vV}. Ta cần chứng minh IV = (ax+by+cz+d).

Thật vậy:+) Ta có f(x,y,z) = (ax+by+cz+d)  IV, vì vV

v = 1 2 1, 2, a b d c              f(v) = 0 f Iv fh  Iv , h R[x,y,z] ax+by+cz+d Iv (1).

+) Với h(x,y,z)  R[x,y,z] ta có h(x,y,z) là đa thức biến z với hệ tử lấy trong k[x,y], vì h(x,y,z) có dạng h(x,y,z)= 1 2 3

2 3 1 2 3 r r r r r r r r r r n c x y z  

 k[x,y] và h viết được

dưới dạng h = (ax+by+cz+d)g+v, vk[x,y] với  1, 2 thuộc tập vô hạn điểm trong Z(ax + by + cz + d) v = 0 h(x,y,z) = (ax+by+cz+d)g

h (ax + by + cz + d) Iv  (ax + by + cz + d) (2). Từ (1) và (2) ta có Iv = (ax+by+cz+d).

Vậy Iv là iđêan.

2.3.5. Mệnh đề . Mặt cầu có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = r2 với a, b, c, r  R. Khi đó iđêan của tập đại số V = Z((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2) = {(Rsin+ a,Rcos+b,c) R[x,y,z],  R} là IV =

 2  2  2 2  2  2  2 2 

| [ , , ]

x a  y b  z c r  x a  y b  zc r f f R x y z . Chứng minh: +) Ta có V là tập vô hạn điểm trong Z((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2)

+) IV= {f(x,y,z)  R[x,y,z],f(v) = 0,vV}.

Ta cần chứng minh IV = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2)

Thật vậy:+) Ta có f(x,y,z) = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 - R2) Iv vì vV v=( Rsin + a, Rcos+ b,c)

f(v) = (Rsin + a-a)2+(Rcos+ b-b)2-R2) +(c-c)2= 0 f  Iv fh  Iv , h  R[x,y,z] ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)Iv (1).

+) Với đa thức h(x,y,z)  R[x,y,z] ta có h(x,y,z) là đa thức biến z với hệ tử lấy trong k[x,y], vì h(x,y,z) có dạng h(x,y,z) = 1 2 3

2 3 1 2 3 r r r r r r r r r r n c x y z    k[x,y] và h viết

được dưới dạng h = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)g+v , vk[x,y]

vì V = Z(f) = {(Rsin+ a, Rcos+ b,c) R[x,y,z],  R} nên nếu hIv thì f((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) = v( ) = 0 v( ) = 0 , vk[x,y] với

thuộc tập vô hạn điểm trong Z ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) => v = 0 h(x,y,z) = ((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2)g

Iv((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) (2)

Từ (1) và (2) ta có IV =((x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 – R2) Vậy IV là iđêan.

2.3.6. Nhận xét:

Tương tự mệnh đề 2.3.4 ta có tập đại số của đường thẳng trong không gian có iđêan IV = {f.(Ax + By + Cz + D) +g.(A’x + B’y + C’z + D’) | f, g  R[x, y, z]}.

KẾT LUẬN

Luận văn đạt được những kết quả sau:

1. Trình bày và có chứng minh chi tiết những kiến thức về tập đại số, tập đại số bất khả quy, về iđêan trên tập đại số, cấu xạ .Các chứng minh này chúng tôi đã cụ thể hóa mà trong các tài liệu tham khảo nêu vắn tắt hoặc không chứng minh.

2.Trình bày sơ lược các nội dung chính của hình học sơ cấp trong toán phổ thông.

3. Trình bày được một số tập đại số trong toán học phổ thông và iđêan của nó. Qua đó chúng tôi có thêm một cách mới (hình học đại số) để nhìn nhận toán phổ thông một cách sâu sắc hơn.

4. Hướng phát triển: Tiếp tục nghiên cứu ứng dụng của hình học đại số để có thể giải một số bài tập trong toán học phổ thông.

Vinh, tháng 7 năm 2013 Tác giả luận văn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

TIẾNG VIỆT

[1] Ngô Bảo Châu (2003), Giáo trình hình học đại số, http://thuvientoanhoc.net.vn [2] Văn Như Cương (2006), Hình học xạ ảnh, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội. [3] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại Số, NXB Giáo Dục Hà Nội.

[4] Nguyễn Huỳnh Phán (2012), Bài giảng -Nhập môn hình học đại số, Viện Nghiên Cứu Và Phát Triển Công Nghệ Mới.

[5] Hoàng Xuân Sính (2000), Đại Số Đại Cương, NXB Giáo Dục Hà Nội. [6] Ngô Việt Trung(2009), Đại Số Giao Hoán & Hình Học Đại Số,

http://thuvientoanhoc.net.vn

[7] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006): Chương trình giáo dục phổ thông. Nhà XBGD, Hà Nội

Sách giáo khoa, sách tham khảo hình học từ lớp 6 đến lớp 12. Bộ Giáo dục và Đào tạo( 2003)

[8]

[9] TIẾNG ANH

[10] I.R.Shafarevich(1994), Basic inAlgebraric Geometry, Springer.

Robin Hartshorne (1987), Algebraric Geometry, New York Haidelborg Berlin. [11] EDWIN H.SPANIER (1966), ALGEBRAIC TOPOLOGY, Mc GRAW-HILL BOOK

COMPANY, Professor of Mathematics University of California, Berkely. TIẾNG PHÁP

[12] Bertrand HAUCHECORNE – Daniel SURATTEAU (1996), Des Mathhématiciens de A à Z, Ellipses Paris.