Đường cong pháp trong không gian lorentz minkoski 3 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGOAN ĐƯỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI 3 CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGOAN ĐƯỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI 3 CHIỀU CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo cán bộ khoa Toán, khoa Sau đại học - trường Đại học Vinh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học và luận văn. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình đã nhiệt tình hướng dẫn, đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học - Tôpô đã dành nhiều tâm huyết truyền đạt những kiến thức quý báu, cảm ơn tập thể lớp cao học khóa 20 chuyên nghành Hình học – Tôpô cùng gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập giúp tôi hoàn thành luận văn này. Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Tác giả luận văn 3 MỤC LỤC Trang 4 LỜI MỞ ĐẦU Hình học Ơclit được nghiên cứu từ rất lâu với nội dung phong phú và ngày càng được hoàn thiện. Trong hình học Ơclit, đường cong với các đặc trưng khác nhau là đối tượng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học. Một cách tiếp cận để nghiên cứu đường cong là dựa trên mối quan hệ giữa vectơ vị trí với các thành phần của trường mục tiêu Fretnet. Song song với sự tồn tại của hình học Ơclit (hình học được xây dựng trên không gian xác định bởi tích vô hướng xác định dương) là hình học được xây dựng trên không gian xác định bởi tích vô hướng không xác định dương đó là hình học giả Ơclit, đặc biệt trên không gian với tích vô hướng chỉ số 1 còn gọi là không gian Lorentz – Minkowski. Các kết quả nghiên cứu về các không gian Lorentz – Minkowski và mở rộng cho hình học giả Rieman đã phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Cũng như trong không gian Ơclit, người ta cũng nghiên cứu các đường cong với các đặc trưng khác nhau dựa trên mối quan hệ của vectơ vị trí đường cong với các trường vectơ của mục tiêu dọc đường cong. Trong không gian Lorentz – Minkowski, chúng ta biết rằng với mỗi đường cong song chính quy 3 1 E α ⊂ chúng ta luôn xây dựng được các trường vectơ T, N, B tương ứng là trường tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến của đường cong. Với các trường vectơ đó, không gian tạo thành bởi { } { } { } , ; , ; ,T N T B N B được định nghĩa tương ứng là không gian mật tiếp, không gian trực đạc và không gian pháp dạng. Một đường cong α mà vectơ vị trí của α luôn nằm trong các không gian đó tương ứng được gọi là đường cong mật tiếp, đường cong trực đạc và đường cong pháp trong không gian Lorentz – Minkowski. Với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về những tính chất, đặc trưng của một trong các loại đường cong đó, dựa trên các kết quả nghiên cứu gần đây của các nhà toán học, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy 1 Bình chúng tôi chọn đề tài luận văn là: Đường cong pháp trong không gian Lorentz - Minkowski 3 chiều. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1. Kiến thức cơ sở Chương này tôi trình bày về các định nghĩa, kiến thức cơ bản của không gian Minkowski, không gian con, không gian con trực giao, tích Lorentz của các vectơ, khái niệm đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng, xây dựng trường mục tiêu Fretnet, độ cong, độ xoắn tương ứng với mỗi loại đường cong. Chương 2. Đường cong pháp trong không gian Minkowski 3 1 E Trong chương này tôi trình bày định nghĩa, một số đặc trưng và ví dụ của đường cong pháp trong không gian Minkowski 3 1 E về các kiểu đường cong pháp: đường cong pháp kiểu thời gian, đường cong pháp kiểu ánh sáng và đường cong pháp kiểu không gian. Vì kiến thức còn hạn chế và thời gian có hạn nên luận văn còn có nhiều thiếu sót trong cả nội dung lẫn hình thức, chúng tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Ngoan 2 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ CỞ §1. Không gian Lorentz - Minkowski 1.1. Các định nghĩa cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Xét không gian vectơ n R trên không gian vectơ này ta trang bị một tích vô hướng xác định bởi: 1 1 2 , n k k k x y x y x y = = − + ∑ với ( ) 1 2 1 2 , , , , ( , , , ) n n n x x x x y y y y R ∈ . Khi đó không gian n R trở thành không gian giả Ơclit chỉ số 1 và gọi là không gian Lorentz – Minkowski, ký hiệu là 1 n E . + Tích vô hướng , được gọi là tích vô hướng Lorentz – Minkowski. + Người ta thường gọi không gian Lorentz – Minkowski là không gian Minkowski và tích vô hướng , cũng được gọi là tích vô hướng Minkowski. + Với 3n = ta có không gian Lorentz – Minkowski 3 chiều. Trong luận văn này từ đây về sau chúng ta xét trên không gian Lorentz – Minkowski 3 chiều. 1.1.2. Định nghĩa (xem [4]). Cho vectơ 3 1 x E ∈ , khi đó: • x được gọi là vectơ kiểu không gian nếu , 0x x > hoặc 0x = • x được gọi là vectơ kiểu thời gian nếu , 0x x < • x được gọi là vectơ kiểu ánh sáng nếu , 0x x = và 0x ≠ Nhận xét: Vectơ 0x = có , 0x x = nhưng vẫn được xem là vectơ kiểu không gian. 1.1.3. Định nghĩa (xem [4]). Hệ vectơ { } 1 2 3 , ,a a a thỏa mãn: 1 1 2 2 3 3 , 1; , 1; , 1; , 0 , 1,3, j i a a a a a a a a i j i j= − = = = ∀ = ≠ được gọi là một cơ sở trực chuẩn của không gian Lorentz – Minkowski. 3 1.1.4. Ví dụ Trong không gian 3 1 E với cơ sở trực chuẩn { } 1 2 3 , ,e e e , khi đó: g 1 e là vectơ kiểu thời gian vì: 1 1 , 1 0e e = − < g 2 3 ,e e là các vectơ kiểu không gian vì: 2 2 3 3 , 1 0; , 1 0e e e e = > = > g 2 3 e e + là các vectơ kiểu không gian vì: 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 , 2 , 2 0e e e e e e e e + + = + + = > g 1 2,3 i e e i + ∀ = là các vectơ kiểu ánh sáng vì: 2 2 1 1 1 1 , 2 , 1 1 0 i i i i e e e e e e e e + + = + + = − + = 1.1.5. Định nghĩa (xem [4]). Với 3 1 x E ∈ ta gọi môđun hoặc chuẩn của vectơ x là ,x x và ký hiệu: ,x x x= . Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu có môđun bằng 1. • Nếu x là vectơ kiểu không gian thì ,x x x = • Nếu x là vectơ kiểu thời gian thì ,x x x = − 1.1.6. Sự trực giao của vectơ a. Định nghĩa (xem [8]). Hai vectơ 3 1 , ; , 0x y E x y ∈ ≠ được gọi là trực giao với nhau nếu thỏa mãn , 0x y = . b. Mệnh đề (xem [3]). Cho không gian Lorentz – Minkowski 3 1 E , khi đó: i. Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính thì trực giao với nhau. ii. Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại thì độc lập tuyến tính với nhau. iii. Với 3 1 ,x y E ∈ , nếu 0, , 0, , 0x y y x y ≠ < = thì , 0x x > . Nói cách khác, một vectơ khác không nếu trực giao với vectơ kiểu thời gian thì nó là một vectơ kiểu không gian. 4 Chú ý: Một vectơ trực giao với vectơ kiểu không gian thì chưa hẳn là vectơ kiểu thời gian. Chẳng hạn, trong không gian 3 1 E cho vectơ (1,2,0)x khi đó x là vectơ kiểu không gian vì , 3 0x x = > , và vectơ (2, 1, 2)y , khi đó x y ⊥ vì: , 0x y = nhưng y là vectơ kiểu không gian vì , 1 0y y = > . 1.2. Không gian con của không gian Lorentz - Minkowski 1.2.1. Định nghĩa (xem [8]) Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski 3 1 E , khi đó: +) W được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không gian. +) W được gọi là kiểu thời gian nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian. +) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào. 1.2.2. Định lý (xem [4]) Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz – Minkowski 3 1 E (i) W được gọi là kiểu không gian nếu và chỉ nếu , / W là xác định dương. (ii) W được gọi là kiểu thời gian nếu và chỉ nếu , / W là không suy biến có chỉ số 1. (iii) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu và chỉ nếu , / W là suy biến và W 0 ≠ 1.2.3. Ví dụ Trong không gian 3 1 E với cơ sở trực chuẩn { } 1 2 3 , ,e e e + Ta xét mặt phẳng sinh bởi { } 2 1 ,e e , kí hiệu là { } 1 2 ,span e e . Khi đó ta có: { } 1 1 , 1e e =− suy ra 1 e vectơ là kiểu thời gian do đó { } 1 2 ,span e e chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian nên theo định nghĩa nó là không gian kiểu thời gian. 5 + { } 2 3 ,span e e là kiểu không gian vì: { } 2 3 0 ,u span e e ∀ ≠ ∈ 2 2 3 3 2 2 2 3 2 3 (0, , ), 0 u x e x e x x x x ⇒ = + = + ≠ Suy ra 2 2 2 3 , 0u u x x = + > , do đó u là vectơ kiểu không gian. Vậy { } 2 3 ,span e e là kiểu không gian. 1.3. Không gian con trực giao 1.3.1. Định nghĩa (xem [4]) Cho ( ) , ,V là không gian với tích vô hướng không suy biến và U V ⊂ là không gian vectơ con của không gian V . Khi đó ta gọi: { } , , 0,U v V u v u U ⊥ = ∈ = ∀ ∈ là không gian con trực giao với không gian U . 1.3.2. Bổ đề (xem [4]). Cho ( ) , ,V là không gian với tích vô hướng không suy biến. Khi đó: (i) Nếu U là không gian con của V thì dim ( ) dim( ) dim( )U V U ⊥ = − (ii) Nếu U là không gian con của V thì ( )U U ⊥ ⊥ = (iii) Nếu U là không gian con không suy biến của V thì U ⊥ cũng là không gian con không suy biến. 1.3.3. Mệnh đề (xem [4]) (i) Cho 3 1 v E ∈ , khi đó v là một vectơ kiểu thời gian khi và chỉ khi v ⊥ là không gian kiểu không gian và như vậy 3 1 E v v ⊥ = ⊕ . Tương tự, v là kiểu không gian khi và chỉ khi v ⊥ là kiểu thời gian. (ii) Cho U là không gian con của không gian V , khi đó U là kiểu không gian khi và chỉ khi ( )U ⊥ là kiểu thời gian. (iii) Cho U là không gian con của không gian V , khi đó U là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi ( )U ⊥ là kiểu ánh sáng. 6 [...]... ⊥ )⊥ ⊂ v , mà v ⊥ là không gian kiểu không gian (theo i) nên (U ⊥ )⊥ = U là không gian kiểu không gian (iii) Giả sử U là không gian kiểu ánh sáng, cho v ∈U là một vectơ kiểu ánh sáng Vậy v không là vectơ kiểu không gian, cũng không là vectơ kiểu thời gian ⇒ v ⊥ không phải là không gian kiểu thời gian cũng không là không gian kiểu 7 không gian (theo i), do đó v mà v ⊥ ⊥ là không gian kiểu ánh sáng Mặt... s)) α ' ( s) × α '' (s ) 2 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ - MINKOWSKI 3 CHIỀU Xét {T, N, B} là trường mục tiêu Frenet dọc đường cong α ( s ) trong không gian E 13 Khi đó với một đường cong α ( s) là đường cong kiểu thời gian (hoặc kiểu ánh sáng hoặc kiểu không gian) trên một khoảng xác định trong không gian ta luôn biểu diễn được theo trường mục tiêu Fretnet... là một đường cong kiểu không gian có vận tốc đơn vị trong không gian E 13 với pháp tuyến chính N kiểu không gian hoặc kiểu thời gian, độ cong k1 ( s ) > 0, k2 (s) ≠ 0, s ∈ I ⊂ ¡ và một trong các mệnh đề (i), (ii), (iii) được thỏa mãn, khi đó α là một đường cong pháp hoặc sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp Chứng minh: Đầu tiên ta giả sử α ( s) là một đường cong pháp kiểu không gian có... không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz – Minkowski 2.1.1 Định nghĩa (xem [4]) + Cho α là đường cong trong E 13 , ta nói rằng α là đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại t nếu α ' (t ) là vectơ kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) + Đường cong α được gọi là đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng)... Đường cong kiểu không gian với pháp tuyến chính kiểu ánh sáng N trong không gian E 13 có thể có độ cong đầu tiên k1 = 0 hoặc k1 = 1 (xem [7]) Nếu k1 = 0 khi đó α là một đường thẳng Vì vậy α ( s ) là phương của T ( s) với mỗi s Cho một đường thẳng, khi đó chúng ta không có mặt phẳng pháp { N , B} Do đó nếu k1 = 0 thì α ( s ) không thể là đường cong pháp 3. 3 Định lý (xem [6]) Cho α = α ( s) là một đường. .. 2 .3. 5 Nhận xét Tương tự như trong không gian Euclid người ta có thể tìm thấy công thức của hàm độ cong và độ xoắn của đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski trong trường hợp đường cong đó không được biểu diễn bằng tham số hóa độ dài cung Ví dụ như cho đường cong α kiểu thời gian, khi đó độ cong và độ xoắn của α được xác định như sau: k1 ( s ) = k2 ( s ) = α ' ( s ) × α '' ( s) α ' ( s) 3 det... x2 x3 ii) x × y, z = y1 y2 y3 z1 iii) z2 z3 x × ( y × z ) = x, y z − z , x y 1.4.4 Hệ quả (xem [8]) Nếu x và y là các vectơ kiểu không gian trong E 13 thì: i) x, y < x y khi và chỉ khi x × y là kiểu thời gian ii) x, y = x y khi và chỉ khi x × y là kiểu ánh sáng 8 iii) x, y > x y khi và chỉ khi x × y là kiểu không gian §2 Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski 2.1 Đường cong kiểu không gian, ... thiết span { v, e2 , e3} ∈ E1 là không gian chỉ số 1) Do đó v là vectơ kiểu thời gian (ii) Nếu U là một không gian con kiểu không gian, cho v ∈U là một vectơ ⊥ kiểu không gian, khi đó U ⊥ ⊂ v Mặt khác vì v ⊥ là không gian kiểu thời gian (suy ra từ (i)) nên U ⊥ là không gian kiểu thời gian Ngược lại, giả sử U ⊥ là một không gian con kiểu thời gian, cho v ∈U ⊥ ⊥ là một vectơ kiểu thời gian Khi đó (U ⊥ )⊥... Độ cong và độ xoắn của đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski 2 .3. 1 Nhận xét (xem [4]) Xét đường cong α trong không gian Lorentz – Minkowski: + Trường hợp đơn giản của đường cong là đường thẳng Nếu điểm p ∈ E 13 và v ≠ 0 , đường thẳng qua điểm p và theo hướng v có tham số hóa cho bởi α (t ) = p + tv Khi đó α '' (t ) = 0 hay gia tốc có mô đun 0, ta nói rằng độ cong của đường thẳng bằng 0 + Nếu... lại đường cong α bởi t = ln 1/ k2 ( s) , trong đó s là hàm độ dài của α Khi đó phương trình (12) trở thành: α (s) = 1 y ( s ) và do đó α , α = (1/ k2 ) 2 Vậy theo định lý (2 .3) có k2 ( s) nghĩa α là một đường cong pháp 3 Đường cong pháp kiểu không gian (xem [6]) Giả sử α là một đường cong kiểu không gian với pháp tuyến chính kiểu không gian hoặc kiểu thời gian N , khi đó công thức Frenet là: T ' . của đường cong pháp trong không gian Minkowski 3 1 E về các kiểu đường cong pháp: đường cong pháp kiểu thời gian, đường cong pháp kiểu ánh sáng và đường cong pháp kiểu không gian. Vì kiến. chỉ khi x y × là kiểu không gian. §2. Đường cong trong không gian Lorentz – Minkowski 2.1. Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz – Minkowski 2.1.1 NGOAN ĐƯỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI 3 CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ NGOAN ĐƯỜNG CONG PHÁP TRONG KHÔNG