, T c N b B a α=α=α= (10)
c er Sử dụng phương trình uối và (7) húng ta thu đượ kết quả là (13) Tiếp theo ta
dụng phương trình cuối và (7) chúng ta thu được kết quả là (13). Tiếp theo ta xét vectơ : ' 1 2 1 1 e e m N B k k k α = + − ÷ .
Đạo hàm phương trình trên và sử dụng công thức Frenet tương ứng chúng ta nhận được m' =0, do đó m c= onst. Điều đó tức là α−m,α−m =r2, vậy α
nằm trên giả cầu 2 1( , )
S m r tâm m và bán kính r.
Ngược lại, giả sử có mệnh đề (13) và α nằm trên giả cầu 2 1 ( , )
S m r . Khi
đó ta có α−m,α−m =r2. Vi phân phương trình bốn lần theo s và dùng công thức Frenet chúng ta tìm được:
'1 2 1 1 2 1 1 ( )s m e N e B k k k α − = − + ÷ .
Vậy α sai khác một phép tịnh tiến với một đường cong pháp. Trong trường
hợp đặc biệt, ta cho m=0, khi đó (13) kéo theo α α =, r2, ta chứng minh xong mệnh đề (i).
Chứng minh mệnh đề (ii) tương tự như mệnh đề (i).
Chú ý: Đường cong kiểu không gian với pháp tuyến chính kiểu ánh sáng N
trong không gian 3 1
E có thể có độ cong đầu tiên k1=0 hoặc k1=1(xem [7]).
Nếu k1=0 khi đó α là một đường thẳng. Vì vậy α( )s là phương của T s( ) với mỗi s. Cho một đường thẳng, khi đó chúng ta không có mặt phẳng pháp
{N B, } . Do đó nếu k1 =0 thì α( )s không thể là đường cong pháp.
3.3. Định lý (xem [6]). Cho α α= ( )s là một đường cong kiểu không gian có
vận tốc đơn vị với pháp tuyến chính N kiểu ánh sáng và độ cong k1 =1. Khi đó α là một đường cong pháp nếu và chỉ nếu thành phần pháp tuyến chính
, N
α và thành phần trùng pháp tuyến α, B của vectơ vị trí tương ứng là: