dạng khác của định lý đường cong jordan trong không gian tôpô 2 ( , )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Hoàng Lâm DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ( , w) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Hoàng Lâm DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ( , w) Chuyên ngành Mã số : Hình Học Tôpô : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục Danh mục kí hiệu Danh mục hình vẽ LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian tôpô 1.2 So sánh tôpô 1.3 Tập mở, tập đóng, lân cận 1.4 Các loại điểm, phần trong, bao đóng 1.5 Các tiên đề tách 10 1.6 Không gian liên thông 12 1.7 Không gian tôpô thương 14 Chương TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF TÔPÔ KĨ THUẬT SỐ 15 2.1 Toán tử đóng Kuratowski 15 2.2 Tôpô Alexandroff 18 2.3 Lý thuyết tôpô kĩ thuật số 21 2.4 Một số tôpô mặt phẳng 26 Chương DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ( , w ) 31 3.1 Đường cong Jordan, định lý đường cong Jordan 31 3.2 Mệnh đề 32 3.3 Mệnh đề 33 3.4 Định lý 35 3.5 Định lý 37 3.6 Định lý 39 3.7 Định nghĩa 40 3.8 Định lý 41 3.9 Định lý 44 3.10 Ví dụ minh họa 47 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Danh mục kí hiệu  : phép đồng phôi  : phép lấy tổng CL( X ) : tập tập đóng khác rỗng X A4 : – kề ngang A8 : – kề ngang H2 : – kề ngang V2 : – kề dọc D5 : – kề U5 : – kề L5 : – kề trái R5 : – kề phải D4 : – kề chéo t : Không gian tôpô Khalimsky u: Không gian tôpô Macrus T ( z) : Tam giác Danh mục hình vẽ Hình 2.1 : Bảng II .16 Hình 2.2 : – kề 17 Hình 2.3 : – kề 17 Hình 2.4 : – đường 18 Hình 2.5 : – đường 19 Hình 2.6 : Liên thông II 19 Hình 2.7 : Một phần đồ thị liên thông tôpô Khalimsky t 22 Hình 2.8 : Một phần đồ thị liên thông tôpô Marcus u 23 Hình 2.9 : Một phần đồ thị liên thông tôpô w .25 Hình 3.1 : Mô hình đường cong Jordan .27 Hình 3.2 : Sự phân hoạch không gian tôpô  , w toàn ánh f 29 Hình 3.3 : Sự phân hoạch không gian tôpô  , w toàn ánh g 32 Hình 3.4 : Sự phân hoạch không gian tôpô     , w toàn ánh h .34 Hình 3.5 : Mô hình loại đồ thị .37 Hình 3.6 : Mô hình đồ thị vuông - chéo .37 Hình 3.7 : Mô hình loại tam giác 38 Hình 3.8 : Sự phân hoạch không gian tôpô   , w toàn ánh g 41 Hình 3.9 : Một phần đồ thị liên thông w 41 Hình 3.10 : Ví dụ dạng khác đường cong Jordan không gian   , w …43 LỜI MỞ ĐẦU Đường cong Jordan đường liên tục, đơn, đóng Các toán đường cong Jordan đề tài thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Thông thường toán liên quan mang tên “Định lý đường cong Jordan” Định lý đường cong Jordan khẳng định đường cong Jordan chia mặt phẳng thành hai thành phần liên thông nhận đường cong cho biên Do đó, đường liên tục nối điểm miền với điểm miền phải cắt đường cong Jordan Một lĩnh vực quan tâm nhà toán học toán kinh điển phát triển lĩnh vực khác tôpô kĩ thuật số chẳng hạn Tôpô kỹ thuật số nghiên cứu cấu trúc tính chất tôpô ảnh kỹ thuật số (chủ yếu ảnh số chiều – 2D ( ), ảnh số chiều – 3D ( )) Những khái niệm kết tôpô kĩ thuật số giải nhiều vấn đề thực tiễn đặc biệt lĩnh vực xử lí ảnh tạo ảnh, lưu trữ, thao tác biến đổi trình bày ảnh Tôpô kỹ thuật số nghiên cứu vào cuối năm 1960 Azriel Rosenfeld Thuật ngữ "tôpô kỹ thuật số" ông đưa báo lần năm 1973 Ông có đóng góp quan trọng việc xây dựng phát triển lĩnh vực Năm 1989, V Kovalevsky mở rộng tôpô ô lưới Alexandrov-Hopf xây dựng trước vào năm 1935 từ 2D lên 3D lên không gian có số chiều lớn Mãi cuối năm 80 kỷ trước, để xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số mặt phẳng người ta sử dụng thuật ngữ – kề – kề ([9], [10]) Tuy nhiên cách xây dựng có bất lợi định Một bất lợi việc – kề – kề không cho ta tương tự định lý đường cong Jordan mặt phẳng kĩ thuật số Để khắc phục bất lợi này, năm 1980 Khalimsky, Kopperman Meyer người đưa cách xây dựng hoàn toàn sử dụng tôpô túy để tiếp cận đến toán xây dựng cấu trúc tôpô cho mặt phẳng kĩ thuật số ([3]) Từ có nhiều thuận lợi cho việc xử lí ảnh Và trình xây dựng theo cách Khalimsky, Kopperman Meyer giới thiệu không gian tôpô có nhiều thuận lợi cho việc xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số mặt phẳng có tên không gian tôpô Khalimsky ([2]) Ngày không gian tôpô Khalimsky khái niệm quan trọng tôpô kĩ thuật số, nghiên cứu sử dụng nhiều tác giả ([4], [7]) Trong [13], Josef Slapal tác giả báo giới thiệu nghiên cứu tôpô thuận tiện mặt phẳng định nghĩa w Josef Slapal định lý đường cong Jordan không gian tôpô w có nhiều thuận lợi không gian tôpô Khalimsky Không gian tôpô w sau nghiên cứu tỉ mĩ hơn, sâu [14] [14] tác giả chứng minh tôpô thương w cho không gian tôpô Khalimsky Marcus – Wyse [8] Như vấn đề đặt liệu không gian tôpô w có lớp đường cong Jordan khác với lớp đường cong Jordan mà Josef Slapal [13] mà có có thuận lợi so với không gian tôpô Khalimsky hay không? Và câu trả lời có lớp đường cong Jordan Josef Slapal [13] Josef Slapal có lớp đường cong Jordan khác không gian tôpô w mà có thuận tiện không gian tôpô Khalimsky Nhằm tìm hiểu xem lớp đường cong Jordan khác có dạng có đặc điểm tính chất thuận tiện nên chọn đề tài : “Dạng khác định lý đường cong Jordan không gian tôpô ( , w ) ” Luận văn chia làm ba chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày sơ lược số kiến thức tôpô đại cương số tính chất tính chất liên thông tiên đề tách quan tâm đặc biệt làm tảng cho việc nghiên cứu chương Chương TOÁN TỬ ĐÓNG KURATOWSKI – TÔPÔ ALEXANDROFF – Chương trình bày toán tử đóng Kuratowski, tôpô Alexandroff, tôpô kĩ thuật số mặt phẳng , loại tôpô kĩ thuật số tôpô Khalimsky, tôpô Marcus – Wyse đặc biệt tôpô w số kết có để phục vụ cho việc nghiên cứu chương sau Chương DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LÝ ĐƯỜNG CONG JORDAN Chương trình bày dấu hiệu nhận dạng lớp đường cong Jordan khác không gian tôpô ( , w) Trong phần kết luận trình bày số nhận xét đưa hướng mở rộng cho luận văn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Hà Thanh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Trong trình học tập làm luận văn, Thầy động viên, giúp đỡ tiếp cận với hướng toán học đại vấn đề lớn toán mở để có nhìn bao quát vấn đề nghiên cứu Chính nhờ giúp đỡ động viên khích lệ nhiều trình hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ông Josef Slapal người có chia sẻ góp ý quý báu trình hoàn thành luận văn Và xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất quý Thầy Cô tổ môn Hình Học, Khoa Toán – Tin, Ban giám hiệu nhà trường, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin Phòng Đào Tạo Sau Đại Học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập Cao học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao Học Hình Học Tôpô khóa 23 động viên, giúp đỡ góp ý cho nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gừi lời cám ơn chân thành đến gia đình tôi, nơi động viên hỗ trợ nhiều suốt trình học tập hoàn thành luận văn 38 (4) z2  (k  l, l  k 1)  (k  (l 1)  1,(l 1)  k )) Cũng vào hình bên ta dễ thấy bốn trường hợp ta có z1  u{z2} Suy với điểm tùy ý z1, z2  , z1  z2 , z1  u{z2} ta có z1  u{z2} có điểm a  g 1( z1) b  g 1( z2 ) cho a  w{b} Khi z1  z2 tương đương hiển nhiên Theo Bổ đề ta có u tôpô thương w sinh g  Cho h :  toàn ánh xác định sau với ( x, y)  ta đặt: neáu ( x, y )  A8 (4k , 4l ), k , l   (2k , 2l )  (2k , 2l  1) neáu ( x, y )  H (4k , 4l  1), k , l   h ( x, y )   neáu ( x, y )  V2 (4k  2, 4l ), k , l   (2k  1, 2l ) (2k  1, 2l  1) neáu ( x, y )  (4k  2, 4l  2), k , l  Sự phân hoạch không gian tôpô (  , w) cho h minh họa hình bên đường gạch ngang Mọi lớp phân hoạch ánh xạ h tới điểm tâm biểu diễn tọa độ đậm Hình 3.4 39 Cũng giống g f , việc phân hoạch không gian tôpô (  , w) h cho cho ta kết sau: 3.6 Định lý Tôpô v trùng với tôpô thương w sinh h Chứng minh Cho z1, z2  điểm tùy ý, z1  z2 Giả sử z1  t{z2} Khi z2 điểm mở ( , v) Do z2  ( x, y) với x y lẻ Khi ba trường hợp sau xảy ra: (1) z2  (2k  1,2l ) với k , l  z1  H ( z2 )  {z2} , (2) z2  (2k ,2l 1) với k , l  z1 V2 ( z2 )  {z2} , (3) z2  (2k  1,2l  1) với k , l  z1  A4 '( z2 )  {z2} Chúng ta thấy hình trên, trường hợp ta có với z1 có điểm a  h1( z1) b  h1( z2 ) cho a  w{b} Ngược lại, giả sử có điểm a  h1( z1) b  h1( z2 ) cho a  w{b} Khi h1( z1) không mở ( , w) Do h1( z1)  A8 (4k ,4l ), k , l  , nghĩa z1  (2k ,2l ) Khi có tám trường hợp sau: (1) z2  (2k  1,2l ) , (2) z2  (2k 1,2l ) , (3) z2  (2k ,2l 1) , (4) z2  (2k ,2l 1) , (5) z2  (2k  1,2l  1) , (6) z2  (2k  1,2l 1) , 40 (7) z2  (2k 1,2l  1) , (8) z2  (2k 1,2l 1) Bây giờ, dễ thấy hình trên, trường hợp ta có z1  v{z2} Suy với điểm z1, z2  , z1  z2 tùy ý, z1  v{z2} có điểm a  h1( z1) b  h1( z2 ) cho a  w{b} Khi z1  z2 tương đương hiển nhiên Theo Bổ đề ta có v tôpô thương w sinh h  Tiếp theo xét định lý đường cong Jordan ( , w) trình bày [13] Nhưng trước tiên tìm hiểu số định nghĩa sau: 3.7 Định nghĩa Một đồ thị gọi : (i) Một đồ thị vuông hai điểm tùy ý z1  ( x1, y1), z2  ( x2 , y2 )  kề hai điều kiện sau thỏa : (a) x1 chẵn, x1  x2 | y1  y2 | (b) y1 chẵn, y1  y2 | x1  x2 | (ii) Một đồ thị chéo hai điểm tùy ý z1  ( x1, y1), z2  ( x2 , y2 )  kề điều kiện sau thỏa : x1  y1 chẵn | x1  x2 || y1  y2 | (iii) Một đồ thị vuông-chéo hai điểm tùy ý z1  ( x1, y1), z2  ( x2 , y2 )  kề bốn điều kiện sau thỏa : (a) x1  x2  4k với k  , | y1  y2 | (b) | x1  x2 | 1, y1  y2  4l với l  (c) x1  4k  y1  4l với k , l  , x1  x2  y1  y2  1 41 (d) x1  4k  4l  y1 với k , l  x1  x2  y2  y1  1 Một phần của: đồ thị vuông, đồ thị chéo đồ thị vuông-chéo minh họa hình vẽ sau Hình 3.5 Trong ba đồ thị trên, đồ thị vuông - chéo dùng công cụ thuận lợi cho việc xử lí hình ảnh kĩ thuật số Điều thể qua Định lý sau: 3.8 Định lý Cho ( , w) không gian tôpô liên thông Khi chu trình C đồ thị vuông – chéo ( , w) đường cong Jordan ( , w) Hình 3.6 Chứng minh Rõ ràng, chu trình đồ thị vuông-chéo cấp đường cong đóng đơn ( , w) Lấy z  ( x, y)  điểm cho x  4k  p y  4l  q với k , l, p, q  , pq  2 Khi đó, định nghĩa tam giác T ( z) tập - điểm cho sau : 42 {(r , s )   {(r , s )  T ( z)   {(r , s )   {(r , s )  ;y   s  y   r  x } neáu x  4k  2, y  4l  1, k , l  ;y   r  x  s  y  1} neáu x  4k  2, y  4l  1, k , l  ;x   r  x   s  y } neáu x  4k  1, y  4l  2, k , l  ;x   s  y  r  x  1} neáu x  4k  1, y  4l  2, k , l  Qua đồ thị ta thấy tam giác T ( z) gồm điểm điểm nằm biên tam giác Bốn loại tam giác minh họa bên Hình 3.7 Khi cho tam giác ta có cạnh tam giác bao gồm điểm hai tam giác khác nhiều cạnh chung Bây giờ, ta có điều sau : (a) Mọi tam giác liên thông Vì hợp hai tam giác có cạnh chung liên thông (b) Nếu trừ từ tam giác số cạnh tập hợp lại liên thông (c) Nếu S1, S2 tam giác có cạnh chung D , tập hợp (S1  S2 )  M liên thông với M hợp số cạnh S1 S2 khác D 43 (d) Mọi chu trình C đồ thị vuông - chéo cấp tồn hai dãy F , I tam giác bản, F hữu hạn I vô hạn cho với { F , I } hai điều kiện sau thỏa : (i) Mỗi phần tử S trừ phần tử đầu tiên, có cạnh chung với phần tử trước (ii) C hợp cạnh tam giác từ hai tam giác từ mà chia Các khẳng định (a), (b), (c) hiển nhiên Bây ta chứng minh (d), ta lấy  (s1, s2 ,) dãy tam giác (hữu hạn vô hạn) Lấy T1 tam giác tùy ý Với k  , k  S1, S2 ,, Sk tồn tại, lấy Sk 1 tam giác có cạnh rời với C chung với tam giác S1, S2 ,, Sk Với k  tam giác Sk 1 Sk xem phần tử cuối , nghĩa có Sk 1 tồn với k  , có  (S1, S2 ,, Sk ) Ngược lại,  (Si )i1 Hơn nữa, lấy S1 '  S ( z) tam giác cho z  S với S phần tử Khi ta đặt  (S1 ', S2 ',) dãy tam giác định nghĩa tương tự Do ' dãy , ' hữu hạn lại vô hạn Thật vậy, hữu hạn vô hạn cách tương ứng phần tử tam giác S ( z) {( x, l )  với z  (k , l )  có tính chất lực lượng tập hợp , x  k}  C lẻ chẵn tương ứng Sự tương tự cho Nếu đặt { F , I }  { , '} với F hữu hạn (i) (ii) thỏa Vậy ta có điều (d) I ' vô hạn điều kiện 44 Bây cho chu trình C đồ thị vuông - chéo cấp 4, đặt hiệu hợp tất phần tử  F I tương ứng Khi đó, F F  I  I kí  C Lấy * F * I dãy thu từ F phần tử F I tương ứng Đặt * I kí hiệu hợp tất F I phần tử * F rõ ràng * F thông I  F * I tương ứng Khi đó,  C  C (d) * I F  I * F I cách trừ C từ * F và * I liên thông (a), (b) (c) * F  C Do đó, * I hai thành phần liên  C gọi thành phần liên thông bên  C gọi thành phần liên thông bên Vậy chu trình C đường cong Jordan ( , w)  Tiếp theo xét hai điều kiện sau cho chu trình C không gian tôpô ( , w) sau: (1) H ( z )  C với z  (4k  2,2l  1), k ,l  V ( z )  C với z  (2k  1,4l  2), k , l  (2) Nếu z  (4k ,4l ) với k , l  z  C Bây kết luận văn này, trình bày dấu hiệu nhận dạng lớp đường cong Jordan khác không gian tôpô ( , w) thể qua Định lý sau: 3.9 Định lý Trong không gian topo ( , w) , đường cong đóng đơn C với điểm thỏa điều kiện (1) (2) đường cong Jordan Chứng minh 45 Cho C đường cong đóng đơn ( , w) với điểm thỏa điều kiện (1), (2) cho f toàn ánh Khi ta dễ dàng thấy f (C ) đường cong đóng đơn mặt phẳng Khalimsky có điểm Do f (C ) đường cong Jordan Hình 3.8 Hình 3.9 46 Rõ ràng có :  (4k ,4l ); k , l    A4( z); z  (4k ,4l  2) z  (4k  2,4l ), k , l    D4(4k  2,4l  2); k, l   Bây cho z  A4 (4k ,4l  2) z  A4 (4k  2,4l ) với vài k , l  , tức ta có z  A4 ( x, y) với (x,y) điểm hỗn tạp không gian tôpô ( , w) Khi f 1( f ( z))  A4 ( x, y) f 1( f ( z))  C bao gồm hai thành phần liên thông Trong trường hợp hai thành phần, chúng thành phần liên thông đơn nằm thành phần liên thông khác f 1( f (C))  C đồ thị liên thông w thành phần chúng kề với xác điểm  f 1( f ( z)) điểm (4m,4n), m, n  Nói cách khác, trường hợp thành phần liên thông, đồ thị liên thông w có xác điểm thành phần kề với điểm nữa, cho z  D4 (4k  2,4l  2)k , l   f 1( f (C)) điểm (2m,2n), m, n  Hơn ta có f 1( f ( z))  C bao gồm hai thành phần liên thông đơn Nếu chu trình C không trở lại điểm z thành phần liên thông thành phần khác f 1( f (C))  C thành phần chúng kề với xác điểm  f 1( f (C)) điểm (4m,4n), m, n  Nếu chu trình C trở lại z thành phần f 1( f ( z))  C liên thông thành phần f 1( f (C))  C thành phần chúng kề với xác điểm có tọa độ (4m,4n), m, n nằm thành phần Thật vậy, có điểm ( x, y)  điểm cho hai thành phần f 1( f ( z))  C trùng với hai điểm V2 ( x, y) H ( x, y) 47 tương ứng thành phần chúng kề với ( x, y) Từ ta suy tất điểm kề với điểm hai thành phần f 1( f ( z))  C nằm xác tập hợp f 1( D1) f 1( D2 ) với D1, D2 kí hiệu hai thành phần liên thông không gian  f (C ) mặt phẳng Khalimsky Vì f 1( f (C ))  C  zC ( f 1( f ( z))  C ) , thành phần liên thông f 1( f (C ))  C không gian ( , w) Mà chứng minh có điểm kề với điểm xác tập hợp f 1( D1) f 1( D2 ) Vì theo Mệnh đề ta có C đường cong Jordan ( , w)  3.10 Ví dụ minh họa Trong hình bên dưới, theo Định lý điểm kí hiệu dấu chấm đậm tạo thành đường cong Jordan ( , w) Hình 3.10 48 KẾT LUẬN Trong chương nhắc lại kiến thức không gian tôpô nhằm phục vụ cho nội dung luận văn chương chương Tiếp theo suốt luận văn tất tôpô đề cập tôpô Alexandroff cho toán tử đóng Kuratowski tất tôpô xây dựng mặt phẳng kĩ thuật số nên dành riêng chương để trình bày toán tử đóng Kuratowski, tôpô Alexandroff, tôpô kĩ thuật số mặt phẳng kĩ thuật số tôpô Khalimsky, tôpôMarcus tôpô w đặc biệt quan tâm đến tôpô w tôpô w tôpô mà chúng nghiên cứu luận văn số kết có liên quan để phục vụ cho chương chương luận văn Nội dung luận văn nằm chương Trong chương nhắc lại định nghĩa đường cong Jordan, định lý đường cong Jordan không gian tôpô bất kì, chứng minh định lý đường cong Jordan không gian tôpô w mà Josef Slapal [13] Và cuối kết luận văn chứng minh dạng khác định lý đường cong Jordan không gian tôpô w Điều không gian tôpô ( , w) có nhiều dạng đường cong Jordan kết thu chứng tỏ tôpô w sử dụng cấu trúc để giải vấn đề trình xử lí hình ảnh kĩ thuật số, đặc biệt vấn đề liên quan đến biên (sự nén liệu hình ảnh, nhận dạng mẫu, tìm kiếm biên làm đầy viền ) Dĩ nhiên, có đường cong ( , w) mà hai Định lý không xác định Chẳng hạn đường cong đóng đơn có dạng sau: 49 A4 (4k  2,4l ),A4 (4k ,4l  2) A8 (4k  2,4l  2), k , l  Tóm lại luận văn làm điều sau: Tìm hiểu tôpô Alexandroff kết có liên quan đến đến tôpô Tìm hiểu tôpô kĩ thuật số, cách thức xây dựng cấu trúc tôpô kĩ thuật số mặt phẳng số tìm hiểu số tôpô mặt phẳng kĩ thuật như: tôpô Khalimsky, tôpô Marcus – Wyse đặc biệt tôpô w Chứng minh định lý đường cong Jordan lớp đường cong Jordan không gian tôpô ( , w) mà Josef Slapal trình bày [13] Chứng minh dạng khác định lý đường cong Jordan lớp đường cong Jordan khác không gian tôpô  , w Cuối đạt mục đích luận văn chứng minh dạng khác định lý đường cong Jordan đưa dấu hiệu nhận dạng lớp đường cong Jordan khác không gian tôpô  , w cách sử dụng đường cong Jordan không gian tôpô thương ( , w) không gian tôpô Khalimsky t luận văn số vấn đề chưa giải sau: Liệu áp dụng tiến trình ngược lại hay không nghĩa xác định đường cong Jordan không gian topo ( , w) sử dụng chúng để xác định đường cong Jordan tôpô thương w không? hay 50 Như tương tự nội dung luận văn trường hợp áp dụng tiến trình ngược lại liệu xác định dạng khác định lý đường cong Jordan hay không? 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Cung Thế Anh – Nguyễn Thành Anh (2011), Giáo trình tôpô đại cương, Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, Hà Nội Hoàng Thị Ngọc Lan (2013), Một số mô hình siêu không gian, Luận văn thạc sĩ Toán Học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh Khalimsky, E.D., On topologies of generalized segments, Soviet Math Dokl., 10 (1999), 1508–1511 Khalimsky, E.D., Kopperman, R., Meyer, P.R., Computer graphics and connected topologies on finite ordered sets, Topology Appl., 36(1990), 1–17 Khalimsky, E.D., Kopperman R., Meyer, P.R., Boundaries in digital planes, Jour of Appl Math and Stoch Anal.,3(1990), 27–55 Kiselman, C.O., Digital Jordan curve theorems, Lect Notes Comput Sc., 1953 (2000), 46–56 Kong, T.Y., Kopperman, R., Meyer, P.R., A topological approach to digital topology, Amer Math Monthly, 98(1991), 902–917 Kopperman, R., Meyer, P.R., Wilson, R.G., A Jordan surface theorem for threedimensional digital spaces, Discr.andComput.Geom.,6(1991), 155–161 52 Marcus, D at al., A special topology for the integers (Problem 5712), Amer.Math Monthly,77(1970), 1119 Rosenfeld, A., Digital topology, Amer Math Monthly, 86(1979), 621–630 Rosenfeld, A., Picture Languages, Academic Press, New York (1979) 10 Šlapal, J., A Jordan curve theorem with respect to certain closure operations on the digital plane, El Notes in Theor Comp Sci 46 (2001) 20pp 11 Šlapal, J, Closure operations for digital topology, Theor Comp.Sci., 305(2003), 457–471 12 Šlapal, J, A digital analogue of the Jordan curve theorem, Discr Appl Math., 139 (2004), 231–251 13 Šlapal, J, Digital Jordan curves, Top Appl., 153(2006), 3255–3264 14 Šlapal,J., A quotient-universal digital topology, Theor Comp Sci., 405(2008), 164–175 15 Šlapal, J, Jordan curve theorems with respect to certain pretopologies on , Lect Notes Comput Sc.,5852(2009), 425–436 16 Šlapal, J, Convenient closure operators on Lect Notes in Comp Sci 5852:425–436, 2009 17 Šlapal, J, A Jordan curve theorem in the digital plane, Lect Notes Comput Sc., 6636(2011), 120–131 [...]... ); l   1,1  , D5 ( z )  H 2 (z)  ( x  k , y  1); k   1,0 ,1  , U 5 ( z )  H 2 (z)  ( x  k , y  1); k   1,0 ,1  , L5 ( z )  V2 (z)  ( x  1, y  l ); l   1,0 ,1  , R 5 ( z )  V2 (z)  ( x  1, y  l ); l   1,0 ,1  Tiếp theo, chúng ta đặt A4 ( z)  H 2 ( z) V2 ( z); A8 ( z)  L5 ( z)  R5 ( z )( D5 ( z) U5 (z )) và D4 ( z)  A8 ( z)  A4 ( z) Do đó số điểm của mỗi tập hợp trong 9 tập... chỉ số của các tập hợp đó với A4 ( z) và A8 ( z ) được gọi là 4 – kề và 8 – kề của điểm z  ( x, y)  2 Một cách tự nhiên, ta gọi những điểm của H 2 ( z ), V2 ( z ), D5 ( z ), U5 ( z ), L5 ( z ), R5 ( z) và D4 ( z ) theo thứ tự là 2 – kề ngang, 2 – kề dọc, 5 – kề dưới, 5 – kề trên, 5 – kề trái, 5 – kề phải và 4 – kề chéo của điểm z  ( x, y)  2 Hợp của mỗi tập hợp của 9 27 tập hợp H 2 ( z),V2 ( z ), với... thì f (uf  1( B ))  vB và vì v là tốn tử đóng lũy đẳng nên f (uf  1( B )) đóng trong (Y , v) với mỗi B  Y Ngược lại, lấy f (uf 1(B )) đóng trong (Y , v) với B  Y Vì B  f (uf  1( B )) nên chúng ta có vB  f (uf  1( B )) Vì f là một tồn ánh liên tục nên ta có f (uf  1( B ))  vB Do đó f : ( X , u)  (Y , v) là một ánh xạ thương  2. 1.3 Hệ quả Cho ( X , u); (Y , v) là các khơng gian đóng, v là tốn tử... 1  4l , k , l  ,  U 5 (z) nếu x  2+ 4l ,y  3+4l ,k , l  ,  w z    L5 ( z ) nếu x  1+4k ,y  2+ 4l ,k , l  ,   R 5 ( z ) nếu x  3+4k ,y  2+ 4l ,k , l  ,  H 2 ( z ) nếu x  2+ 4k ,y  4l ,k , l  ,   V 2 ( z ) nếu x  4k ,y  2+ 4l ,k , l  , Khi đó w là một tơpơ trên khơng gian tơpơ  2 2 Cặp  2 , w tạo thành một khơng gian tơpơ gọi là , w Như vậy trong khơng gian tơpơ w ta có:... 1(C ))  B 17 Vì f (uf 1(C )  B đóng trong B nên ta cũng có f (uf 1(C )  f  1( B )) đóng trong khơng gian con B của (Y , v) Do đ , theo Bổ đề 1 ta có: f f  1( B) là một ánh xạ thương  2. 1.4 Bồ đề Cho ( X , u);(Y , v) là các khơng gian đóng, v là tốn tử đóng lũy đẳng và f : ( X , u)  (Y , v) là một ánh xạ thương có tính chất với mỗi y Y ta có f  1({ y }) liên thơng trong ( X , u) Khi đ , ( X , u)... Marcus ( điểm {z 1, z2}  2 2 2 là đóng , u) là khơng gian liên thơng trong đó tập con 2 - là liên thơng khi và chỉ khi z1 và z2 là 4 - kề Một phần đồ thị liên thơng của tơpơ Marcus được cho trong hình bên dưới 29 2. 1.3 Tơpơ w Với bất kì điểm z  ( x, y)  2 , ta đặt:  A8 ( z ) nếu x  4k , y  4l , k , l , ,   D 4 ( z ) nếu x  2+ 4k ,y  2+ 4l ,k ,l  ,   D 5 ( z ) nếu x  2  4k , y  1  4l , k ,. .. : ( X , u)  (Y , v) là một tồn ánh liên tục Khi đ , với mỗi B  Y ta có: f| f  1( B) : f  1( B)  B là một ánh xạ thương Chứng minh Cho B là một tập con của (Y ,v) Rõ ràng f | f  1( B) liên tục Cho C  B là một tập con tùy ý Vì f | : f  1( B)  B là một tồn ánh f 1(C )  vC và v là tốn tử đóng lũy đẳng nên f (uf 1(C )) đóng trong (Y , v) Khi đ , chúng ta có: f (uf 1(C )  f  1( B ))  f (uf 1(C... Y , ta có B là liên thơng trong (Y , q) nếu và chỉ nếu e 1( B) liên thơng trong ( X , p) Chứng minh Nếu e 1( B) liên thơng thì B liên thơng vì B  e(e 1( B )) Ngược lại, nếu B liên thơng và cho x, y  e 1( B) là một cặp điểm tùy , khi đó có một đường e( x)  z0 , z 1, , zn  e( y) trong đồ thị liên thơng của p chứa trong B Do đ , chúng ta có zi  q  zi 1 hoặc zi 1  q  zi  với mỗi i 1 ,2 , ,. .. A 1.4 .2. 4 Định lý (i) int A  ,intX  X (ii) A, B  X , ta có : 9 + int(int A)  int A + Nếu A  B  int A  int B + int( A  B)  int( A)  int( B) + int( A  B)  intA intB 1.4.3 Bao đóng 1.4.3.1 Định nghĩa Bao đóng của A là tập đóng nhỏ bé nhất trong X chứa A Kí hiệu [ A] hay A 1.4.3 .2 Hệ quả (i) A  {F : F đóng  A} (ii) A đóng  A  A 1.4.3.3 Định lý (i)  , XX (ii) A  A (iii) A  B... với mỗi i 1 ,2 , , n có điểm yi  e 1( zi ) và xi 1  e 1( zi  1) sao cho yi  p  xi 1 hoặc xi 1  p  yi  Điều đó có nghĩa là với mỗi i 1 ,2 , , n có một điểm trong e 1( zi ) kề với một điểm của e 1( zi  1) trong đồ thị liên thơng của p Vì x  e 1( z0 ) , y  e 1( zn ) và e1(zi ) là liên thơng với mỗi i 1 ,2 , , n nên có một đường trong đồ thị liên thơng của p chứa trong e 1( B) và nối x ... , (3 ) z2  (2 k ,2 l  1) , (4 ) z2  (2 k ,2 l  1) , (5 ) z2  (2 k  1,2 l  1) , (6 ) z2  (2 k  1,2 l  1) , 40 (7 ) z2  (2 k  1,2 l  1) , (8 ) z2  (2 k  1,2 l  1) Bây gi , dễ thấy hình trên, trường hợp... ) , z2  ( x, y) với x y chẵn Khi ba trường hợp sau xảy ra: (1 ) z2  (2 k ,2 l ), k , l  z1  A8 ( z2 )  {z2} , (2 ) z2  (2 k ,2 l  1 ), k , l  z1  H ( z2 )  {z2} , (3 ) z2  (2 k  1,2 l ), k ,. .. xác định sau với ( x, y)  ta đặt: ( x, y )  A8 (4 k , 4l ), k , l   (2 k , 2l )  (2 k , 2l  1) ( x, y )  H (4 k , 4l  1 ), k , l   h ( x, y )   ( x, y )  V2 (4 k  2, 4l ), k , l   (2 k